Содержание к диссертации
Введение
1. Порождающие ядра групп когомологий в Cd \ Z(E) 15
1.1 Торические многообразия 15
1.1.1 Однородные координаты торического многообразия 16
1.1.2 Проективные торические многообразия 27
1.1.3 Конус Кэлера 32
1.1.4 Торические компактификации пространства Сп и теорема Циха-Ижера 34
1.2 Конструкция ядра и формулировка основной теоремы о ядрах 37
1.3 Доказательство основной теоремы о ядрах 40
2. Применения к интегральным представлениям и реализации вычета Гротендика 44
2.1 Формула интегрального представления 44
2.1.1 Воспроизводящее свойство ядра 45
2.1.2 Интегральное представление в области 46
2.1.3 Форма объема проективного торического многообразия, индуцированная метрикой Фубини-Штуди . 51
2.2 Примеры 57
2.3 Формула логарифмического вычета 63
2.4 Интегральная реализация вычета Гротендика 66
Заключение 70
Приложение 71
Список литературы 80
- Однородные координаты торического многообразия
- Конструкция ядра и формулировка основной теоремы о ядрах
- Форма объема проективного торического многообразия, индуцированная метрикой Фубини-Штуди
- Интегральная реализация вычета Гротендика
Введение к работе
Наборы плоскостей в евклидовых пространствах, как вещественных, так и комплексных, играют большую роль в комбинаторике и анализе ([40], [33], [23], [20], [1]). Комбинаторная задача изучения наборов плоскостей в Cd по сложности совпадает с задачей изучения симплици-альных комплексов с d вершинами (см. [22, Prop. 8.6] или [20]).
В своей классической работе Брискорн [21] показал, что наборы гиперплоскостей служат модельной ситуацией в теории сингулярностей при исследовании вопросов монодромии. Во всех этих исследованиях первостепенное внимание отводилось описанию групп гомологии дополнений к указанным наборам. Самым общим результатом в этом направлении является формула Горески-Макферсона [29].
С точки зрения теории особенностей и их разрешений наборы плоскостей служат модельной ситуацией более сложных наборов комплексных аналитических множеств. В настоящей диссертации такая модельность рассматривается в рамках теории многомерных вычетов, а именно, в задаче конструирования ядер — эталонных дифференциальных форм с предписанными сингулярностями в виде наборов комплексных аналитических множеств. Мы сосредоточимся на типичной ситуации теории вычетов, когда максимальномерная нетривиальная группа гомологии до полнения к заданному набору порождена одним элементом. Следующее определение было дано А.К. Цихом [38].
Определение 0.1. Конечный набор плоскостей {Z1/}l/ej в Cd называется атомарным, если максималъномерная нетривиальная группа гомологии дополнения C XUj, Zv однопорождена, то есть если существует целое ко Є N такое, что Hk\cd\\Jzu,z\ = Z для k = ко, 0 для к к0.
Порождающий элемент г) двойственного класса когомологий де Рама Н1 I Cd \ (J Zv \ называется ядром для атомарного набора {Z tf.
Примерами атомарных наборов координатных плоскостей могут служить особенности дифференциальных форм Копій и Бохнера-Мартинел-ли — основных интегральных ядер многомерного комплексного анализа, являющихся исходным пунктом для построения других интегральных формул, таких как формулы Бергмана-Вейля, Коши-Фантаппье [2], [14] или специальных формул в полиэдральных областях [6]. Действительно, ядро Копій в С rjciC) = r л л Т"» Cl Cd определено в дополнении к набору всех координатных гиперплоскостей Zc в Cd, а это множество гомотопически эквивалентно вещественному тору, и поэтому его максимальномерная нетривиальная группа гомологии однопорождена:
Z, если k = d, CVc- x-.-xS1, и Hk{Cd\Zc, Z) = I (0.1) d раз I 0, ЄСЛИ к d. Ядро Бохнера-Мартинелли в Cd г)вм{0- (Ci2 + ... + Cd2)d не определено только в начале координат ZBM — {0}, поэтому { Z, если к = 2d — 1, (0.2) 0, если /г 2d - 1. Наборы плоскостей ZQ И ZBM ЯВЛЯЮТСЯ крайними в семействе наборов Z® = {Z }, р = О, 1,...,п-1, где Z = {г Є Cd: zx = • • - = гп_р_і =2, = 0},i/ = n-p)...,n, поскольку ZQ — Z(n_1) и ZBM = Z°. Все наборы Z атомарные, и они являются сингулярными множествами для ядер интегральных представлений Сорани [36]. Такие ядра были получены при реализации схемы Майера-Виеториса, позволяющей перейти от ядра Бохнера-Мартинелли к ядру Коши.
После работ Д. Кокса [24], [25] и В. Батырева [19] в области торической геометрии стало ясно, что существует еще один класс атомарных наборов, связанных с конструкцией торических многообразий. Такие многообразия являются обобщением как аффинных, так и проективных пространств, сохраняющим мономиальность соотношений соседства между координатными окрестностями. Впервые точное определение торическо-го многообразия было дано М. Демазюром при описании алгебраических подгрупп максимального ранга групп Кремоны [27]. Торическое многообразие размерности п было определено как многообразие, содержащее алгебраический тор ТГ1 = (С \ {0})™ в виде открытого всюду плотного подмножества так, что естественное действие этого тора на себе (покомпонентным умножением) продолжается до действия на всем многообразии. Каждое n-мерное торическое многообразие связано с веером Е в Rn — полиэдральным разбиением Rn на конусы различных размерностей. Пусть d — число одномерных конусов в веере, связанном с многообразием X, тогда оно представляется в виде фактор-пространства [24] X = Cd\ Z{T)/G, (0.3) где Z(E) — нулевое множество построенного по вееру Е мономиального идеала, a G — группа, действующая на Cd \ Z{T,). Если веер Е полный и симплициальный, то набор координатных плоскостей Z(E) является атомарным [38].
Не все координатные наборы являются атомарными. Например, в С4 набор z = {Сі = С2 = 0} и {Сі = Сз = 0} и {Ci = 4 = 0}и и {С2 = Сз = о} и {С2 = 4 = о} и {Сз = z4 = о}, не является таковым: вычисления по формуле из [29, стр. 238, Theorem А] показывают, что максимальномерная нетривиальная группа гомологии его дополнения Щ(С4 \ Z ) изоморфна Z3. Этот набор "не происходит" от веера (или торического многообразия), однако он возникает при построении торического предмногообразия [41].
Целью диссертации является построение ядерных форм для атомарных наборов Z(E), связанных с торическими многообразиями, и применение их к получению новых формул интегральных представлений для голоморфных функций, а также в теории локальных вычетов.
Основным результатом первой главы диссертации является новая конструкция ядра для атомарного набора Z(), связанного с компактным проективным симплициальным торическим многообразием Х%. Сопоставим каждому одномерному конусу V{ переменную Q. Пространство Cd в представлении (0.3) такого многообразия играет роль пространства однородных координат для торического многообразия Х-,- Пусть ш(0 форма объема на Х-%, записанная в его однородных координатах (см. раздел 1.1.4). Для n-мерного конуса а Є Е через мы обозначим произведение всех координат вектора С Є Crf за исключением тех, что соответствуют образующим конуса а. Обозначим также через deta определитель матрицы из образующих конуса а Є Е. С торическим многообразием Хъ (или с веером в К71 с d одномерными образующими) мы свяжем следующую дифференциальную (d, п)-форму •rfo- d t- (а4) В предположении, что веер Е содержит примитивный конус, верна Теорема 1. Дифференциальная форма (0.4) не зависит от выбора конуса а Є Е. Она регулярна в Cd \ Z(E), замкнута и является ядром для набора Z(E) С С .
Одним из основных компонентов доказательства теоремы является результат А.К. Циха и А. Ижера о подклеивании Х% к евклидову пространству Cd в виде "остова бесконечности" (см. раздел 1.1.4) в некотором компактном торическом многообразии, анонсированный в [38] и [39]. Полное доказательство этого результата включено в подготовленную к печати совместную статью А.К. Циха, А. Ижера и автора настоящей полноты изложения его доказательство приведено в Приложении к основному тексту диссертации.
Кроме представления (0.3) компактные проективные торические многообразия допускают представление в виде Xz = A _1(P)/ R. где GR — вещественная часть группы G, // — моментное отображение, ассоциированное с действием 6 на Cd\ Z(E), а вектор р выбирается из конуса Кэлера К С К+ п (подробно описанного в разделе 1.1.3) многообразия XY,- В Теореме 1 утверждается также, что цикл /л г(р) является двойственным по де Раму циклом к форме Г).
Форма объема ш непосредственно участвует в определении ядра » и в разделе 2.1.3 второй главы диссертации приведена естественная конструкция формы объема компактного проективного торического многообразия, относительно которой его объем VOI(XE) может быть точно вычислен. А именно, пусть Д — n-мерный целочисленный многогранник в Rn, двойственный к вееру . Обозначим элементы А П Zn через с о, • • • &N и определим вложение тора /: Тп — • Р# формулой ( ,..., ) -+( 0- : ...ly/c z?») с неотрицательными параметрами са. такими, что многогранник Ньютона полинома Лорана лг 3=0 совпадает с Д. Оказывается, замыкание /(Т") С Рлг изоморфно ториче-скому многообразию Х-. Обозначим через UFS форму метрики Фубини-Штуди на Р#.
Определение 2.1. Форму ш = \f { Fs) будем называть формой объема симплициалъного проективного торического многообразия Х-z, индуцированной метрикой Фубини-Штуди.
Форма объема и есть ни что иное, как сужение на торическое под многообразие /(Тп) Х- формы объема в метрике Фубини-Штуди в Рдг, измеряющей объемы n-мерных комплексных подмногообразий. Эта форма выражается при помощи указанного полинома Р{х) формулой l(ddclnP( 2,..., 2))n, а объем торического многообразия — формулой Vol(XE)= [ и. (0.5) Точное значение объема дает Теорема 3. VOI(XE) = 7rnVol(A).
Фактически, в полярной системе координат дифференциальная форма в (0.5) может быть легко проинтегрирована по угловым координатам, что приводит к формуле Vol(A) = [ щ ЕУн+n det\Aj)caJo... caj.n o+"+ ti...tnP{t)»+l dti... dtn, (0.6) где сумма берется по всем возрастающим последовательностям индексов 0 jo • • • jn Ny а Aj — матрица из векторов (1, ctj0),..., (1, aJn). Таким образом, Теорема 3 дает новое доказательство формулы М. Пас-саре (0.6), вычисляющей объем многогранника при помощи интеграла от рациональной формы по положительному ортанту М" [34].
Кроме этого, в диссертации найден ряд применений полученных новых ядер в теории интегральных представлений голоморфных функций и теории локальных вычетов.
Обозначим через Up примыкающий к циклу A -1 (/9) специальный полиэдр Рейнхардта в Cd, задаваемый системой неравенств «ulCil2 н- —і- «ldlCrfl2 ръ (0.7) «rllCll2 + Н «rd02 РТУ и через Dp — подобласть в нем, которая описывается системой неравенств ICnl2 + - + KiJ2 «/W по всем примитивным наборам / веера Е; здесь h{p) — линейные формы, задающие грани конуса Кэлера многообразия Хт,- В этих обозначениях дифференциальная форма г/, связанная с торическим многообразием ХЕ, выступает ядром интегрального представления для голоморфных функций:
Теорема 2. Пусть f Є 0(UP) П C{UP), где Up — полная область Рейнхардта с остовом 7 = 1л 1{р), р Є К-%- Тогда для произвольной точки z Є Dp с Up верно интегральное представление Теорема 3 позволяет переформулировать Теорему 2 в следующем виде:
Теорема 2 . Пусть f Є 0(UP) П C{Uр), где Up — полная область Рейнхардта с остовом 7 = (J. l(p), р Є К-. Тогда для произвольной точки z Є Dp С Up верно интегральное представление Отметим, что задача о ядрах для атомарных наборов также рассматривалась в статье А.А. Кытманова [8]. Приведенная в [8] конструкция формы объема основана на других идеях и реализована при дополнительных ограничениях на веер, таких как примитивность и выпуклость.
В разделе 2.3, как следствие Теоремы 1, получена версия формулы логарифмического вычета — интегральная формула для суммы значений голоморфной функции в нулях голоморфного отображения. Эта версия обобщает известные ранее формулы Каччиопполи-Мартинелли-Сорани и Южакова-Руса (см. [2]).
Зафиксируем в Rn веер Е, удовлетворяющий условиям Теоремы 1. Пусть в области G пространства Cd переменных задано голоморфное отображение /: G — Cd. Будем предполагать, что / имеет конечный тип над полиэдром С/р, определенном формулой (0.7), то есть что полиэдр Wp = /-1(t//,) относительно компактен в G. Согласно (0.7) этот полиэдр задается системой неравенств аіі/і(ОІ2 + -" + аіДШІ2 Рь агі/і(С)2 + • • • + ard\fd(C)\2 Pr, v причем мы предполагаем, что р взято из конуса Кэлера KY. многообразия Х%. Обозначим через Г = /-1(/х_1(р)) остов этого полиэдра. В указанных условиях множество нулей Е системы /() = 0 в Wp конечно, и справедлива Теорема 4. Для любой функции (р Є G(WP) верна формула
В алгебраической геометрии валеную роль играет понятие локального вычета (вычета Гротендика), являющееся непосредственным обобщением вычета Копій мероморфной функции одного комплексного переменного. Известно несколько интегральных реализаций локального вычета ([37], [4], [12]). В работе [13] был предложен рецепт интегральной реализации, связанной с произвольным воспроизводящим ядром. Следуя этому рецепту, мы с помощью Теоремы 1 и Предложения 2.1 получаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть r](w) — ядро для атомарного набора Z(E) в С . Тогда в обозначении I/J(W) = r}{w)/dw локальный вычет, ассоциированный с регулярной последовательностью f = (/і,..., fd) в точке а Є Cd, реализуется интегралом гев/(Л)= J Л(СЖ/(0) Л h Є Оа, f-4-r) где 7 = /х_1(р), причем р выбрано достаточно близким к нулю в конусе Кэлера К%.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [41] - [44]. По материалам диссертации делались доклады — на между народной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, 5-10 августа 2002);
— -14-ародной школе-конференции "Геометрический анализ и его применения" (Волгоград, 24 - 30 мая 2004);
— на школе-семинаре по многомерному комплексному анализу для молодых математиков (Киото, Япония, 15 - 19 ноября 2004) ч. — на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском государственном университете (Красноярск, 2003 - 2005), — на семинаре по многомерному комплексному анализу в г. Стокгольме (Швеция, 2004).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе. Автор признателен профессору Стокгольмского университета Ми-каэлю Пассаре, а также постоянным участникам городского научного семинара по многомерному комплексному анализу при КрасГУ за многократные полезные обсуждения и замечания о результатах диссертации.
Однородные координаты торического многообразия
Напомним сначала конструкцию проективного пространства и основные факты проективной геометрии. Пример 1.1. Проективное пространство. Обычно, проективное пространство СРП определяется как множество комплексных прямых, проходящих через начало координат пространства Cn+1. Это же самое пространство может быть определено как множество классов точек пространства Cn+1 \ {0} относительно следующего отношения эквивалентности: х у если и только если у = (Латі,..., Ххп+\) для некоторого Л Є Т. Каждая точка х = (жі,..., rrn+i) 0 определяет, таким образом, элемент проективного пространства, а именно, (комплексную) прямую, проходящую через эту точку и начало координат. Эта прямая, являющаяся классом эквивалентности, содержит все точки, пропорциональные х, поэтому существенным для определения класса является только отношение координат, обычно обозначаемое набором из (п + 1) однородных координат (х\: ... : жп+і)- Не следует, однако, упускать из виду, что однородные координаты точки проективного пространства всегда могут быть интерпретированы как декартовы координаты одного из представителей соответствующего класса эквивалентности в Cn+1. Отметим, что подмножество проективного пространства, заданное условием {х Є Рп: Х{ 0}, гомеоморфно аффинному пространству С" благодаря отображению крытие Ы из (п+1) открытых множеств Ui = {ХІ ф 0}. Введение локальных координат в каждой из областей покрытия согласно (1.1) наделяет проективное пространство структурой комплексного многообразия, при этом функции перехода между картой Ui с координатами и и картой Uj (і j) с координатами v, заданные, например, следующим образом: являются аналитическими в Ui П Uj. Более того, они являются мономи-альными, что и позволяет применять как алгебраические, так и аналитические методы в задачах, связанных с использованием проективных пространств. Торические многообразия - это обобщение проективных пространств, сохраняющее мономиальность функций перехода (см. [5]). Существует несколько подходов к понятию торического многообразия и несколько определений, в работах [11, 32, 24], приводятся различные конструкции, но все они основаны на том факте, что все алгебраические свойства многообразия, благодаря мономиальности функций перехода, могут быть выражены комбинаторно. Таким комбинаторным объектом, связанным с торическим многообразием, является веер. Дадим необходимые определения. Пусть N — решетка, изоморфная Zn.
Подмножество а С N g zM R" называется строго выпуклым рациональным полиэдральным конусом, если существует конечное число элементов Vi,..., vs решетки N (целочисленные образующие), порождающих сг, т.е. и конус а не содержит никакого линейного подпространства. Гранью конуса а называется его подмножество г, для которого некоторые а; в определении конуса с равны нулю, то, что т — грань а обозначается г а. Размерностью конуса называется размерность минимального подпространства Жп, его содержащего. Конус ст называется симплици-альным, если его одномерные образующие могут быть выбраны линейно независимыми. Определение 1.1. Веером в Ш.п называется непустая конечная совокупность Е строго выпуклых рациональных полиэдральных конусов в N 8 z Ш, удовлетворяющая следующим условиям: 1. Каждая грань любого из конусов а Є Е входит в совокупность . 2. Пересечение любых двух конусов из Е является гранью обоих. Веер часто называют также рациональным полиэдральным разбиением. Размерностью веера называется максимальная из размерностей составляющих его конусов. Веер называется симплициальным, если все его конусы симплициальны. В том случае, если носитель веера в Шп совпадает со всем пространством, веер называется полным. Каждый n-мерный веер Е определяет n-мерное торическое многообразие Х-. Предположим, что конусы веера порождены d минимальными целочисленными образующими v\,..., Vd Є N (их можно считать целочисленными векторами). Сопоставим каждому порождающему Vi переменную Q, и для каждого n-мерного конуса а Є Е рассмотрим моном Z(S) = {С Є Cd : Са- = 0 для всех n-мерных конусов а в Е}. (1.3) Очевидно, что множество Z{T ) состоит из координатных плоскостей, в общем случае, различных размерностей. В том случае, если симплициальный n-мерный веер является симплициальным и полным, существует эквивалентная конструкция множества Z(E), приведенная В. Батыревым [19]. Набор одномерных образующих V = {v,-1?..., Vik} называется примитивным, если все его компоненты не порождают конуса в , в отличие от любого их собственного подна-бора. Тогда множество Z(E) совпадает с объединением координатных где An-i(Xz) — группа Чжоу многообразия Х , то есть фактор-группа главных дивизоров на Хт, по подгруппе дивизоров рациональных функций. Согласно [28] и [24], группу Чжоу торического многообразия, связанного с веером Е, можно вычислить из точной последовательности где М Zn — двойственная решетка к N, а отображение г/ задано формулой и(т) = ((m, Vi),..., (га, vd)). Будучи фактор-группой группа Чжоу представляет собой прямую сумму свободной группы ранга г = d — п к конечной группы, порядок которой обозначим indE. Если хотя бы один из конусов веера Е примитивен, то есть его образующие порождают всю решетку, то Лп-і(Х ,) — % /v{M) — г через отображение где ki(x),..., kr(x) — линейные уравнения, описывающие n-мерное ядро отображения и, а группа G изоморфна тору Тг. В общем случае, группа G приобретает сомножитель конечного порядка indE.
Конструкция ядра и формулировка основной теоремы о ядрах
Основной целью диссертации является построение базисной формы для максимальномерной нетривиальной группы когомологий (де Рама) дополнения к атомарному набору Z(E) С Cd, являющегося исключительным множеством в представлении (1.9) некоторого компактного проективного многообразия. Поскольку эта группа однопорождена, то ответом будет замкнутая дифференциальная форма класса С (или вещественно-аналитическая) в Cd \ Z(Y1). Пусть — полный симплициальный веер в Rn с d целочисленными образующими одномерных конусов, а Х% = — связан ное с веером n-мерное компактное проективное торическое многообразие. Пусть также и () — форма объема, записанная в однородных координатах многообразия Х (см. раздел 1.1.4). Напомним (см. (1.2)), что для n-мерного конуса а Є через & мы обозначаем произведение всех координат вектора Cd за исключением тех, что соответствуют образующим конуса а. Обозначим также через det а определитель матрицы из образующих конуса а Є . С торическим многообразием Х% (или с веером в Шп с d одномерными образующими) мы свяжем следующую дифференциальную {d, п)-форму Пусть fi — моментное отображение (1.11), ассоциированное с действием GR на Cd \ (), а Къ — конус Кэлера многообразия Х%. Теорема 1. Дифференциальная форма (1-15) не зависит от выбора конуса а Є . Она регулярна в Cd\Z(E), замкнута и является ядром для набора Z(E) с Cd. Это ядро двойственно циклу 7 = М_1(р), Р Є К% в том смысле, что: ч Поясним примером смысл теоремы и схему доказательства. Пример 1.6. Ядро, ассоциированное с проективным пространством. Известно, что форма Бохнера-Мартинелли в Cn+1 и форма объема метрики Фубини-Штуди проективного пространства Рп связаны между собой соотношением (см. [4], [9]) при подходящем выборе знака формы объема UFS\ здесь она записана в локальных координатах проективного пространства. Проинтерпретируем этот факт следующим образом. Проективное пространство Рп может рассматриваться как бесконечно удаленная гиперплоскость S в представлении Рп+і в виде дизъюнктного объединения Cn+1 U Р„. Выберем локальные координаты z\,..., zn в Pn+i так, чтобы эта гиперплоскость задавалась уравнением {zn+\ = 0}, и ориентируем ее так, чтобы форма Нетрудно видеть, что в других координатных окрестностях, где S лежит в конечной части, форма г) выглядит точно так же, для этого достаточно перейти в любую другую из п окрестностей Uk при помощи замены переменных для к = 1,..., п. Гиперплоскость S является бесконечно удаленной в последней, (п + 2)-ой координатной окрестности пространства Pn+i, но так как форма г] определена в дополнении, она может быть записана в координатах и этой окрестности. Переходя к этим координатам при помощи замены переменных, полагая к = п + 1 в указанных формулах, получим (ICil2 + 16 12) 1
Таким образом, форма Бохнера-Мартинелли есть та же самая форма, что и ujps{z) Л -jr 1, только записанная в других локальных координатах проективного пространства Pn+i. Заметим, однако, что и ( -,..., 7 - ) есть форма объема записанная в однородных координатах " пространства Fn. Получилось это потому, что представление Pn = (Cn+ \ {0}) / можно трактовать как подклейку к Cn+1 гиперплоскости на бесконечности с образованием Pn+i. При этом однородные координаты точки из Рп оказываются обычными декартовыми координатами точки из Cn+1 из соответствующего класса эквивалентности, как уже упоминалось в Примере 1.1. Поскольку множество особенностей формы является атомарным набором, из этой связи между формами и теоремы Лере (см., например, [2]) следует, что форма Бохнера-Мартинелли является ядром. Действительно, форма объема в любой из координатных окрестностей S является формой-вычетом формы rj, поэтому интеграл от У] по трубке вокруг S не равен нулю, а сама трубка является двойственным циклом к 7]. В координатах трубка оказывается сферой, (остается только изменить ориентацию, поскольку при такой замене переменных она оказывается обратной, но это учитывается знаком "минус", полученным перед формой 7JBM-) Из примера видна схема доказательства сформулированной теоремы: нужно подклеить многообразие Х , к Cd на бесконечности и погрузить полученный объект в некоторое многообразие Х , затем показать, что форма 77(C) имеет (кратной) формой-вычетом форму объема и. Таким образом, теорема Циха-Ижера о подклеивании Х% к евклидову пространству Cd в виде остова бесконечности в Х , оказывается необходимым компонентом при реализации указанной схемы. Покажем вначале, что форма Г](), определенная в (1.15), не зависит от выбора конуса а Є Е. Действительно, (п, п)-форма объема и (С) в однородных координатах имеет вид
Форма объема проективного торического многообразия, индуцированная метрикой Фубини-Штуди
Форма объема и непосредственно участвует в определении ядра г], и в данном разделе мы приведем естественную конструкцию формы объема проективного торического многообразия, относительно которой его объем VOI(-XE) может быть точно вычислен. Пусть дан Д — n-мерный простой (в каждой вершине которого сходится ровно п ребер) целочисленный многогранник в Rn. Тогда существует компактное симплициальное торическое многообразие Х%, связанное с веером Е, двойственным к многограннику Д. Многообразие X-z, построенное таким образом, допускает замкнутое вложение в проективное пространство (первая теорема раздела 1.1.2). Модифицируем вложение (1.10) следующим образом. Обозначим элементы Д П Zn через «о, , &N и определим вложение тора /: Тп — Рдг формулой с неотрицательными параметрами caj такими, что многогранник Ньютона полинома Лорана совпадает с Д. Замыкание /(Тп) в Р# есть тогда образ многообразия Х- , который может иметь особенности, однако отметим, что ДТП) С f{X ) всегда гладко. На проективном пространстве Р# существует глобально определенная дифференциальная форма Фубини-Штуди, ассоциированная с метрикой Форма CJFS замкнута, таким образом пара (PAT, UJFS) является кэлеро-вым многообразием. Существенное преимущество кэлеровой геометрии заключается в том, что кэлерова форма измеряет объемы любых комплексных подмножеств многообразия. Более точно, если Л С Рдг комплексное подмножество чистой размерности /г, тогда объем А, в метрике, определенной кэлеровой формой, дается интегралом Форма ш положительна в торе Т С Х , наследуя это свойство от формы ups, н0 она может обращаться в нуль или быть не определенной (хотя и ограниченной в окрестности) в некоторых точках многообразия, однако это не изменяет значения интеграла Определение 2.1. Форму и = \f ( Fs) будем называть формой объема симплициалъного проективного торического многообразия X-z, ин-дуцированнной метрикой Фубини-Штуди. Следующая теорема дает точное значение объема многообразия. Доказательство. Очевидная замена переменных в интеграле дает Формула для значения последнего интеграла есть известный факт проективной геометрии, он связывает две величины различной природы — объем алгебраического множества и степень отображения [31]: Остается вычислить степень отображения /. По определению она равна числу точек пересечения /(Тп) и плоскости коразмерности п в общем положении. Пусть такая плоскость задана п однородными линейными уравнениями lj(), j — 1,..., п. Тогда степень отображения / равна чис , имеющих одинаковые много /(ТГ) лу решений системы уравнений lj() гранники Ньютона.
По теореме Кушниренко [7] число решений системы п алгебраических уравнений с п неизвестными имеет в торе n!Vol(A) корней с учетом их кратностей. Здесь n!Vol(A) можно интерпретировать как нормированный таким образом объем Лебега многогранника А в Кп, чтобы объем стандартного n-мерного симплекса равнялся 1. Произведение двух экземпляров сферы Римана является торическим многообразием, связанным с двумерным полным веером Е на Рис. 3(a). Пусть Р{х) — многочлен Р(х\, Х2) = I+X1+X2+CLX1X2, с положительным коэффициентом а. Его многогранник Ньютона Np является квадратом в R2 (Рис. 3(b)) и, очевидно, двойственней вееру Е. Следуя изложенной конструкции, определим дифференциальную форму на Т2 С Pi х Pi как прообраз формы ojpS при отображении /: (zi, Z2) — (1: Z\\ Z2 . \faz\Z2) dz\ Л dz\ A dzi Л dz-i U = yf (uFs) = Объем Pi x Pi, определенный этой формой, равен 7г2. Отметим, что полученная форма не совпадает с произведением форм объема на обоих экземплярах Pi (это так, только в случае а = 1), хотя и дает ту лее величину. Фактически, в полярной системе координат дифференциальная форма в интегральном представлении объема торического многообразия (см. (1.14)) может быть легко проинтегрирована по угловым координатам. определитель из коэффициентов этой формы есть коэффициент перед полным дифференциалом dz\ Л dz\ Л Л dzn Л dzn в (п, п)-форме а;. Этот п х n-определитель равен произведению Чтобы убедится в этом, достаточно вычесть из всех строк первую, умноженную на первый элемент соответствующих строк, а затем воспользоваться разложением Лапласа по первому столбцу. Вынеся из определителя знаменатель в первом столбце, получим определитель, матрица которого равна произведению (п + 1) х (N + 1) и (N + 1) х (n + 1) матриц: )
Интегральная реализация вычета Гротендика
В алгебраической геометрии важную роль играет понятие локального вычета, являющееся непосредственным обобщением понятия вычета Копій мероморфной функции одного комплексного переменного. Локальный вычет ассоциируется с регулярной последовательностью ростков голоморфных функций /i,..., fd в локальном кольце Оа, а Є Cd. Регулярность последовательности ростков означает, что росток отображения имеет в точке а изолированный нуль. Вероятно, в работе [37] впервые была дана интегральная реализация локального вычета iesf(h) ростка голоморфной функции h() Є Оа, ассоциированного с /, в виде интеграла: контур интегрирования есть цикл ориентированный условием df\A- -A dfd 0, где Ua — окрестность точки а, не содержащая других нулей отображения /, а є достаточно мало. Локальный вычет, определенный таким образом, совпадает с известным символом вычета Гротендика Res hdz L/i fd\ Кроме интегральной реализации вычета Гротендика в виде (2.8), свя занной с ядром Коши, известна и другая — связанная с ядром Бохнера-Мартинелли [4]: В статье [13] была предложена конструкция интегральной реализации вычета Гротендика, связанной с произвольной "воспроизводящей парой". Дадим, следуя этой работе, необходимые определения. Обозначим через sing о; сингулярное множество формы и и предположим, что О Є sing и. Цикл Г в Cd\smgw назовем локальным в точке а, если в его классе гомологии есть представитель в сколь угодно малой окрестности точки а. Определение 2.2. Пару (UJ, Г), где и — замкнутая дифференциальная ферма вида и = ф(иі) A dw, ф — (0, г)-форма, а Г — локальный цикл в О Є sing и размерности п + г, называется воспроизводящей, если для любого ростка s Є OQ Ядра (1.15), построенные в первой главе диссертации, вместе с соответствующими циклами, являются, очевидно, воспроизводящими парами. Таким образом, имеем непосредственное следствие Теоремы 1 и Предложения 2.1 настоящей диссертации и Теоремы 1 из [13]: Теорема 5. Пусть rj(w) — ядро для атомарного набора Z(S) в Cd. Тогда в обозначении ф{,ш) = rj(w)/dw локальный вычет, ассоциированный с регулярной последовательностью f = (/і,..., fd) в точке а Є Cd, реализуется интегралом
Пример 2.7. Рассмотрим воспроизводящее ядро, ассоциированное с торическим многообразием примера 1.3. Тогда, согласно Теореме 5, локальный вычет функции h Є Qa, ассоциированный с регулярной последовательностью / = (/ь h, /з): (С3, а) — (С3, 0), представляется интегралом Основные результаты диссертации состоят в следующем: — построены новые ядра в теории многомерных вычетов, имеющие сингулярности на наборах координатных плоскостей в Cd; — доказано, что построенные ядра обладают воспроизводящим свойством для голоморфных функций в специальных полиэдрах Рейнхардта; — приведен новый класс интегральных реализаций вычета Гротенди-ка. Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы в комплексном анализе, в алгебраической геометрии, а также в математической физике. Теорема. Пусть Т, — полный симплициальный веер вЖп с d целочисленными одномерными образующими и хотя бы одним примитивным конусом размерности п. Тогда существует d-мерное симплициальное компактное торическое многообразие Х , содержащее Cd, такое, что его остов бесконечности изоморфен Х%. Более того, для каждой точки С Є Cd \ Z(E) С Xj, замыкание в Х орбиты G С, пересекает остов бесконечности в единственной точке, соответствующей классу [C]G Доказательство. Для доказательства теоремы предъявим конструкцию веера Ё в Rd (и, таким образом, многообразия -Xg). Итак, пусть V\,..., Vd — одномерные образующие веера в Шп. Зафиксируем n-мерный конус этого веера, образующие которого порождают решетку Zn, и обозначим его образующие через е\,..., еп. Обозначим также г = d — п и рассмотрим в Zn Ф Zr следующие d + г несократимых целочисленных векторов: где e",..., e" обозначают канонический базис Zr, a 0 и 0" — нейтральные элементы Zn и Zr, соответственно. Эти d + г различных несократимых векторов мы примем за образующие одномерных конусов искомого d-мерного веера Е.
Опишем конструкцию d-мерных конусов этого веера. Для этого обозначим / := {1, ...,n}, J := {п + 1, ...,n + г}, и, зафиксировав произвольный n-мерный конус о Є Е, произведем следующие построения: в предположении, что конус а порожден векторами vrni,...,vmn (в таком случае будем писать a = (VM)) разобьем множество индексов М на разобьем (произвольным образом) дополнение J \ L на два непересекающихся подмножества Q и S и рассмотрим упорядоченное разбиение {Q, 5} множества J\L; построим d-мерный конус х = (ёк, &Ь, &Qi VSI VL). Определим Е как совокупность всевозможных cJ-мерных конусов а (которые можно получить в результате указанного трехшагового алгоритма) вместе со всеми их гранями. Предложение. Набор Е является полным симплициальним веером в Rd, причем если веер Е примитивный, то таковым будет и Е. Доказательство предложения. Отметим сначала, что и все d образующих конуса Ъ линейно независимы, поэтому каждый такой конус d-мерный и симплициальный.