О топологии наборов гиперплоскостей и многомерных вычетах Московченко Галина Александровна

О числе k-мерных граней конфигурации гиперплоскостей в Rn

Рассмотрим грани размерностей А: = 1,... ,п — 1, образованные пересечением гиперплоскостей семейства (1.1). Будем предполагать, что гиперплоскости семейства Е пересекаются нормально. В этом случае -мерное ребро определяется набором а = {«і,... ,а„_ } Є {1,... ,тп}, для которого Еа = Есп П П ЕПп_к ф 0. Обозначим через А множество таких наборов, через Е/Еа = {Ej П Еа ф 0, j Є {1,...,[«]... , га} — семейство (А; — 1)-мерных ребер, лежащих в А;-мерном ребре Еа. Напомним, что через fn{E) мы обозначим число fc-мерных граней многогранника, на которые К" разбивается семейством Е (иными словами / (i? ) — число к-мерных граней конфигурации Е ) Теорема 1.3. Если гиперплоскости Ei,... ,Em семейства Е пересекаются нормально, то Доказательство. Так как семейство Е нормально, то семейство (А- — 1)-мерных плоскостей Е/Еа также нормально в Ar-мерной плоскости Еа. Тогда по формуле (1.8), примененной к разбиению А мерной плоскости Еа семейством (к — 1) где Bj(E/Ea) — число j-мерных ребер семейства Е/Еа, равное числу j-мерных ребер семейства Е, лежащих в Еа. Поскольку различные Ea, a б А, не имеют общих , -мерных граней, то общее число Аг-мерных граней разбиения R" гиперплоскостями семейства Е равно Из условия нормальности семейства Е следует, что каждое j-мерное ребро этого семейства является пересечением ровно п — j гиперплоскостей из Е, а следовательно, принадлежи! каждому из fc-мерных ребер, образованных этими n—j гиперплоскостями, т.е. принадлежит одновременно (Zk) — (k-J) fc-мерным ребрам семейства Е. Таким образом, каждое j-мерное ребро се мейства Е в формуле (1.18) учитывается ( 3) Разі и (1-18) превращается в (1.17). В случае общего положения для f„(E) = / (m) из (1-18) и (1-17) получаются две эквивалентные формулы. Следствие 1.3. Если гиперплоскости семейства Е находятся в общем положении, то Доказательство. Первая часть формулы (1.19) получается из формулы (1.18), так как в случае общего положения Вторая часть формулы (1.19) получается из (1.17), поскольку в случае об щего положения Bj(E) = (,.-). Можно непосредственно доказать тождест венность первой и второй частей формулы (1.19). D Теорема 1.4. Если семейство гиперплоскостей Е регулярно и нормально, то Доказательство. Как и в Теореме 3, достаточно сосчитать числа ограниченных и неограниченных граней разбиения Е, лежащих в каждом -мерном ребре Еа, а Л, т.е. числа gk(E/Ea) и Ь, {Е/Еа) по формулам (1.13), (1.14), а затем просуммировать по всем а Є А. Заметим, что Теорема 2 применима к семейству Е/Еа, поскольку из регулярности Е следует регулярность Е/Еа в Еа. Получим к Учитывая, что в случае нормального пересечения каждое j—мерное ребро принадлежит ровно ( j[,) = (1!ZJ) ребрам размерности А; и, следовательно, в формулах (1.22), (1.23) оно сосчитано ( Z3) Раз причем с одним и тем же знаком, формулы (1.22), (1.23) можно переписать в виде (1.20), (1.21). Следствие 1.4.

Если гиперплоскости семейства Е находятся в общем положении, то Формула (1.24) и первая часть формулы (1.25) получаются из формул (1.22), (1.23), вторая часть (1.25) — из (1.21). Замечание 1.2. Впервые формула для f(m) была получена в [22] в следующей форме: которая следует из второй части формулы (1.19) после замены і = п — j. Формула (1.15) также содержится в [22], [28]. Формула для 7 (га) доказана в [22], [28] в следующей форме Очевидно, числа компонент fn(E), дп(Е), hn(E), а также числа граней fn(E), дп(Е), h„(E), разбиения пространства Шп гиперплоскостями принимают максимальное значение при заданном т в случае общего положения. Докажем это. Теорема 1.5. При произвольном расположении гиперплоскостей семейства (1.1) имеют место следующие оценки: 2m. Эти оценки являются точными, поскольку они достигаются в случае общего положения. Доказательство. Доказательство каждого из этих неравенств, как и теорем 1, 2, снова проведем двойной индукцией по п и т. Для п — 1 согласно (1.4) неравенства (1.26)-(1.28) превращаются в равенства. Предположим эти неравенства справедливыми в размерностях 1,... ,п — 1 для любого т и докажем их в размерности п для любого т. Для т = 1 согласно равенствам (1.3) и формулам (1.8), (1.13), (1.15) неравенства (1.26)-(1.28) оказываются равенствами. Предположим, что эти неравенства справедливы для n, т, и докажем их для п, т + 1. 1. Согласно (1.5), предположениям индукции и формуле (1.11) 2. Аналогично из равенства (1.6), предположений индукции и формулы (1.15) следует, что 3. Точно так же из предположений индукции для размерностей 1,... ,п — 1 и любого га, а также для га 1 в размерности п с помощью формул (1.7), (1.16) и (1.28) получаем в размерности п и для га + 1 неравенство Теорема 1.6. Для fn{E), 9п{Е), h (E) при произвольном расположении гиперплоскостей семейства Е также имеют место оценки: где fn(rn), gn(m)j Kiim) выражаются формулами (1.19), (1-24), (1.25). Доказательство. Теорема б вытекает из первых частей формул (1.18), (1.22), (1.23) и Теоремы 5, примененной к fk(E/Ea), gk(E/Ea), hk(E/Ea).

Конфигурации с правильными кратными точками

Как и прежде, под конфигурацией гиперплоскостей в n-мерном вещественном пространстве R" мы понимаем конечное семейство Е = {Е\,... ,Ет} гиперплоскостей вместе с их всевозможными пересечениями — fc-ребрами (/ -мерными плоскостями) и всевозможными fc-гранями, к = 0,1,... , п. Напомним, что fn(E), дп{Е), hn(E) —числа всех, ограниченных, неограниченных компонент связности множества R" \ Е; соответственно, f„(E). дп(Е), Нкг(Е) — числа всех, ограниченных, неограниченных fc-граней конфигурации Е, к = 0,1,... ,7,,. Очевидно, ft(E) = /„(); д]\{Е) = дп{Е); h»(E) = hn{E); В настоящем параграфе выводятся формулы для fk(E), дк{Е), hkn{E) в случае, когда конфигурация Е имеет лишь "правильные" кратные точки пересечения. Нульмерное ребро конфигурации Е назовем правильной кратной точкой пересечения, если через нее проходит .s ті гиперплоскостей, причем пересечение любых п из них, есть нульмерное ребро (точка). Отсюда следует, что любое А;-мерное ребро Е, 0 к п, проходящее через эту точку, является пересечением ровно п — к гиперплоскостей. При s — п правильная кратная точка пересечения является простой (кратности 1, см. ниже, замечание 1.4). Теорема 1.8. Если конфигурация Е имеет лишь правильные кратные точки пересечения, и через любое k-мерное ребро, к 0, проходит ровно n — к гиперплоскостей, то число всех областей этой конфигурации выражается формулой где kj — число гиперплоскостей, проходящих через j-ю точку пересечения. Если, кроме того, семейство Е регулярно, то число ограниченных областей конфигурации Е, выражается формулой Замечание 1.3. В случае нормального пересечения формулы (1.43), (1.44) переходят в (1.39), (1.40), поскольку в этом случае kj = nu ( Г/) = 1 Замечание 1.4. Число (k7(Zi) можно считать кратностью j-й точки пересечения (по аналогии с кратностью прямых, см. [7], задача 3.48). Мы приведем два доказательства этой теоремы. Первое из них основано на варьировании конфигурации, приводящем к простым точкам. А второе доказательство использует понятия функции Мебиуса и интегральное представление для биномиальных коэффициентов. Первое доказательство.Мы будем опираться на результаты

Теорем 1.1 и 1.2, согласно которым в случае нормального пересечения где Вь{Е) — число -мерных ребер конфигурации Е, ВП(Е) = 1 (п-мерным ребром считается все пространство К"), ВП \(Е) — га; если, кроме того, семейство Е регулярно, т.е. имеет по крайней мере одно нульмерное ребро, то В случае общего положения, когда любые п — к гиперплоскостей пересекаются по «-мерной плоскости и через любую «-мерную плоскость проходит ровно п — к гиперплоскостей, формулы (1.39), 1.40) принимают вид: поскольку в этом случае BdE) = ( ). \п — «/ Малым ,-изменением свободных членов ЬІ в уравнениях (1-37) (малым параллельным сдвигом гиперплоскостей Ег) можно добиться, чтобы j-ая кратная точка пересечения распалась на простые точки, а конфигурация Е стала нормальной. При этом j-ая кратная точка, в которой пересекаются к3 п гиперплоскостей, распадется на ( ) простых точек, причем число ребер размерности А- 0 не изменится. Тогда числа всех и ограниченных областей конфигурации Еє можно вычислить по формулам (1.39), (1.40). В окрестности j-ой точки пересечения появятся новые бесконечно малые многогранники, образованные к3 "пошевеленными" гиперплоскостями. Число их можно вычислить по формуле (1.41) при т = kj : gn(kj) = ( 71) Вне окрестностей указанных точек вид конфигурации, а слсдоваїельно, число областей не меняется. Таким образом, число областей "пошевеленной" конфигурации Е выражается формулой При е3 -» 0 исчезают I ) бесконечно малых областей (многогран ников). Отсюда следует, что число областей исходной конфигурации равно Точно таким же рассуждением из (1.40) получается формула (1.44). Второе Доказательство. Используем формулу вычисления числа частей пространства Ш.п через функцию Мебиуса [28] При условии, что через любое А;-ребро v Є Lk{E), к 0, проходит ровно п — к гиперплоскостей, получаем для таких v Если dim ж = п — 2, то по нашему условию

Следовательно, Из формул (1.43), (1.44) и (1.38) вытекает Следствие 1.7. Если семейство Е удовлетворяет условиям теоремы 1 и регулярно, то число неограниченных областей конфигурации Е выражается формулой т.е. не зависит от е-шевеления. Аналогично, опираясь на формулы (1.17), (1.20), (1.24) , получаем следующие формулы для числа р-граней конфигурации Е в случае правильных кратных точек пересечения. Теорема 1.9. В условиях теоремы 1.9 имеют место формулы: Напомним, что через L(E) мы обозначаем совокупность всех ребер семейства гиперплоскостей Е = {Еи. ..,,„}. Здесь нам будет удобно упорядочить L(E) по прямому включению, а не по обратному, как в предыдущем параграфе. Функция Мебиуса /І : L(E) —» Z определяется по закону: u(R") = 1 и Таким образом, для вычисления значения /J,(U) формально требуется вычисление значений ц по всем v, содержащим и. Здесь мы докажем, что на самом деле /.i(u) можно вычислить лишь по значениям на ребрах, размерность которых на единицу больше размерности и. Эталонной является ситуация, когда dim и = 0 (т.е. и — это точка). Теорема 1.10. Предположим что все гиперплоскости семейства {Ei,..., Em} в W1 или Сп проходят через начало координат 0. Тогда где суммирование проводится по всем 1-ребрам из L(E), не лежащим в Ет. Доказательство. Мы воспользуемся известной формулой Орлика и Соломона [24] о том, что где через LQ обозначено множество всех 0-ребер из L(E), а Нп (С \ (J Е}) — это n-мерная группа гомологии с компактными носителями и целочисленными коэффициентами. В нашем случае L0 СОСТОИТ из единственной точки О, поэтому С другой стороны, по результату из монографии А.К. Циха [17] где [Jj] = 7г (Ej), 7г : С" — ОР-1 — каноническая проекция. Теперь дополнение к набору гиперплоскостей в проективном пространстве представим в виде соответствующего дополнения в евклидовом пространстве: образом, Вторично пользуясь результатом Орлика и Соломона, получаем где [ ] = {[ i]c.-i ,..., [-Em-i]lc»-i} — конфигурация, суженная на С"-1 = CF"-1 \ [Ет]. Теперь осталось заметить, что 0-ребра из L0([E ]) соответствуют 1-ребрам семейства Е , причем отношения частичной упо рядоченности на L(E ) и L([E ]) изоморфны. Теорема доказана.

Порождение группы Нп(Сп\Е) разделяющими циклами

Теория циклов, разделяющих гиперповерхности (дивизоры) возникла в связи с исследованием конструкций многомерных логарифмических вычетов [1, 17]. Введем соответствующие понятия. Пусть X — комплексное аналитическое многообразие комплексной размерности п : dime X = п, и Е\,... ,Ет, гп п — аналитические подмножества в нем чистой коразмерности 1, т. е. гиперповерхности. Обозначим E = ElU---UEm. Возьмем произвольное разбиение множества {1,...,га} на п непустых непересекающихся подмножеств: J — (Ji,...,J„) и рассмотрим соответствующую систему п дивизоров S — (-Si,..., Sn), где Sk — U Ej. Пусть a — изолированная точка пересечения Zj = S\ П П Sn и пусть if Є 0(Ua) функция, определяющая дивизор Sj в окрестности Ua точки а : Рассмотрим цикл ориентацию которого определим условием п Очевидно, что Га;,/ Є Z„(X\ \J Sj) = Zn(X\E), т. е. Га j — цикл с носителем 3 = 1 вне объединения Е семейства гиперповерхностей Ei,... ,Ет. Определение 2.1. [20] Подгруппа группы Hn(X \ Е), порожденная циклами вида (2.1) длн всевозможных разбиений J и изолированных точек а Є Si П П 5„ называется разделяющей и обозначается Я (Х \ Е). Таким образом, класс [Г] Є Нп(Х \ Е) цикла Г принадлежит этой подгруппе, если в X \ Е имеет место гомология Очевидно, если [Г] Є Н (Х \ Е), то согласно формуле Стокса интеграл от мероморфной дифференциальной 7?,-формы по n-мерному циклу в Х\Е выражается через локальные вычеты где resa)5cj = (2пі) п и — локальный вычет формы и в точке а отно сительно системы дивизоров S (его также называют вычетом Гротендика). С целью поиска топологического условия принадлежности класса цикла Г подгруппе Н (Х \ Т) было введено следующее определение [20] (более подробно историческую справку см. в [17]). Определение 2.2. Будем говорить, что нетривиальный в X \ Е цикл Г разделяет гиперповерхности Е\,... ,Ет, та п, если для любого набора п — 1 индексов {j\,..., j„_i} С {1,..., га}. Замечание 2.1. Если Еь ... , Еш — набор гиперплоскостей в С", то по Теореме 2.1 группы ЯП(С" \Е}] U... UEJn_x) заведомо тривиальны, поэтому (2.4) выполняется в этом случае автоматически. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы проверить представление (2.2) для любого п-цикла ГвС\,и ...UEm. Предложение 2.1. Если класс [Г] Є Н (Х\Е), т. е. цикл Г представ ляется в виде (2.2), то он разделяет гиперповерхности Ег,..., Etn, т.е. для него выполняются условия (2.4). Подгруппу группы Нп(Х \ Е), порожденную циклами, удовлетворяющими условию (2.4), обозначим Нп(Х \ Е). Заметим, что Сорани, Мар і инелли, Каччиополи (см. [1]) называли цикл Г разделяющим в том случае, если он принадлежит разделяющей подгруппе Я (Х \ Е).

В дальнейшем, следуя [17], мы будем называть разделяющими циклы из более широкой группы Нп(Х \ Е). В общем случае для произвольного комплексного аналитического многообразия X условия (2.4) не являются достаточными для (2.2): пусть X = С2 \ {0},Е3 = {z Є X : Zj = 0},j = 1,2, и Г= {z : \zx\ = \z2\ = 1} — 2-цикл в X \ (Ei U E2). Ясно, что цикл Г разделяет гиперповерхности Ег и Е2, поскольку Г = ±дси\ где с 1 = {z : \Zl\ 1, \z2\ = 1} С X \ Е2, cS 1) = {z : \z\\ — 1, \z2\ 1} С X \ E\. В то же время Г не представляется в виде (2.1), так как Е\ П Е2 = 0. Нужно наложить дополнительные ограничения на X. По-видимому, условия (2.4) становятся необходимыми и достаточными, если X — многообразие Штейна. Гипотеза. [9] ЕСЛИ X — многообразие Штейна (в частности, если X — область голоморфности в С" ), то имеет место равенство Для m = п в самой общей ситуации это показал А.К.Цих, при этом доказательство существенно опиралось на точную последовательность Май-ера - Виеториса, связывающая гомологии объединения двух пространств с гомологиями каждого из них и их пересечения. Теорема А. (А.К.Цих, [16, 17], см. также [15]). Пусть X — многообразие Штейна, комплексной размерности п и Е\,... ,ЕП — произвольная система гиперповерхностей (дивизоров) в X. Для того, чтобы n-мерный цикл Г в 1\Е представлялся в виде суммы (2.2) локальных циклов необходимо и достаточно, чтобы он разделял гиперповерхности Е\,... , Еп, то есть удовлетворял условиям (2.4). А.П.Южаковым [20] была поставлена и обоснована задача обобщить Теорему А.К.Циха на случай, когда число дивизоров больше размерности многообразия (тп п), в частности, им была доказана Теорема В. (А.П.Южаков, [20]). Условия (2.4) необходимы и достаточны для того, чтобы [Г] Є Н (Х \ Е), в каждом из следующих случаев: а) X — Ua — достаточно малая штейнова окрестность (область го ломорфности) точки а Є С" и Eai П П Ean — а для любого набора a = {аь.. . ,an} Є {1,... ,m}; б) X — многообразие Штейна и Eai П П Ean = Za дискретно для любого набора a = {аь ... , an] С {1,... , га} и Za П Zp = 0 при а ф /3. Теорема С. [20] Пусть Е3 = {z Є Ua : f3(z) = 0},/, Є 0{Ua), І = 1,...,m, удовлетворяют условиям а) Теоремы В. Тогда для любого упорядоченного набора a = {«ь ..., an\ С {1,... , га} при достаточно малых є 0, 5/є 0 циклы принадлежат одному и тому же классу гомологии разделяющей подгруппы Щ{Х\Е)СНП(Х\Е). Замечание. Теорема С остается верной(см. [20]), если взять Г„,„. = {г Є

О вычислении вычетов рациональных функций с гиперплоскими полюсами

В работах [18], [19], а также в книге [1, 19], подробно рассмотрена задача вычисления n-кратных интегралов вида где f(z) = P(z)/Q(z) — рациональная функция n комплексных переменных z = ( 1,... ,2„) Є С", знаменатель которой разлагается на линейные множители, 7 — n-мерный цикл (замкнутая n-мерная кусочно-гладкая ориентированная поверхность в С" \ Е, Е = {z Є Cn : Q(z) — 0}). Заметим, что к интегралам такого вида часто сводится вычисление комбинаторных сумм методом производящих функций (см. [1], [11, 23]). Согласно предполо п Рассмотрим комплексные гиперплоскости Ej = {z Є С" : L3(z) — 0}, j = 1,... ,m . Тогда особое множество Е — Е\ U ... U Ет. Как показано в [18], [1] (см. также Теорему 2.1 выше), вычисление интеграла (2.5) согласно интегральной теореме Коши — Пуанкаре сводится к вычислению локальных вычетов, т. е. интегралов вида где a = {«і,... ,ап} Є А — некоторый набор индексов из {1,... ,т}, для которого функции Lj(z), j Є а, линейно независимы, а следовательно, гиперплоскости Ej, j Є а, пересекаются в некоторой точке а Є С"; цикл где числа і/є2, єг/єз,. , є„_і/є„, „ — достаточно малы. Вычисление вычетов (2.6) в [19] производится путем предварительного разложения рациональной дроби P/Q на простейшие дроби, у каждой из которых в знаменателе ровно п различных множителей. В [1] указан способ разложения дроби P/Q в окрестности цикла ja-n в n-кратный ряд Лорана. И в том, и в другом случае получаются интегралы вида (2.6), где в знаменателе ровно п различных множителей, которые после замены: вычисляются с помощью кратной интегральной формулы Коши для производных. Можно было бы также попытаться применить к локальному вычету (2.8) формулу преобразования локального вычета (см. [17, 5]). Однако несмотря на универсальность этого метода, его конкретная реализация достаточно сложна.

В настоящем параграфе показывается, что после замены (2.7) интеграл (2.6) мо?кно вычислить непосредственно повторным интегрированием с помощью однократных вычетов, несмотря на наличие "лишних" множителей в знаменателе, которые обращаются в нуль в точке а. Сделаем замену (2.7) в интеграле (2.6), полагая а-[ = 1, ..., ап = п. Тогда тг-кратный интеграл можно заменить повторным интегралом: где J = ]f1 2"" .Miy — якобиан замены (2.7). В последнем внутреннем интеграле равенства (2.8) при е\ достаточно малом по сравнению с є2, з, , пЛ Здесь в знаменателе множитель b\ws22 порождается теми линейными функ п циями 2 djvwv , которые имеют вид a3\W\ + a,j2w2, ayi ф 0; aj2 7 0. Подставляя (2.9) в (2.8), получим (п — 1)-кратный интеграл того же вида, что и (2.8). Повторяя подобные вычисления последовательно (га — 1) раз, найдем значение интеграла (2.8), т.е. вычета Ra-ai используя лишь рациональные процедуры. Пример. Применим указанный метод к интегралу (2.10) P{z1,z2,z3)dz1 f\dz2 f\dz3 z\z2zz(zx + z2)(zi + z2 + z3) Обозначим Li(z) - zb L2(z) — z2, L3(z) — z3, L4(z) = zx + z2, L5(z) = z\ + z2 + z3. Комплексные плоскости E\,E2,Ez,EA,Ec, имеют единственную точку пересечения — начало координат (9(0,0,0). Но Теореме 2.1 подынтегральная форма в (2.10) имеет четыре независимых вычета, поскольку, как нетрудно убедиться, каноническая система семейства Е\,...,Еь состоит из наборов (135), (145), (235), (245). Вычислим вычет -Ro;i45 (для краткости письма опускаем знак точки О): [1] АЙЗЕНБЕРГ Л.А., ЮЖАКОВ А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. 368 с. [2] БАРНАБЕИ М., БРИНИ А., РОТА ДЖ.-К. Теория функций Мебиуса // УМН. 1986. Т. 41, №3. С. 113-157. [3] ВАРЧЕНКО А.Н. О числе граней конфигурации гиперплоскостей // ДАН СССР. 1989. Т. 38. С. 291-295. [4] ВАРЧЕНКО А.Н., ГЕЛЬФАНД И.М. О функциях Хееисайда конфигурации гиперплоскостей // Функцион. анализ и его прил. 1987. Т. 21, Вып. 4. С. 1-18. [5] ВАИЛЬЕВ В.А. Топология дополнений к дискриминантам.Москва: ФЛЗИС, 1997. 536 с. [6] ВАСИЛЬЕВ В.А., ГЕЛЬФАНД И.М., ЗЕЛЕВИНСКИЙ А.В. Общие гипергеометрические функции на комплексных грассманианах // Функцион. анализ и его прил. 1987. Т. 21, Вып. 1. С. 23-38. [7] ВАСИЛЬЕВ Н.В., ГУТЕНМАХЕР В.Л., РАББОТ Ж.М., Тоом А.Л. Заочные математические олимпиады. М.: Наука, 1987. [8] ГЕЛЬФАНД И.М., ЗЕЛЕВИНСКИЙ А.В. Алгебраические и комбинаторные аспекты общей теории гипергеометрических функций // Функцион. анализ и его прил. 1986. Т.20, Вып. 3. С. 17-34. [9] ГОЛОВИНА Л.И., Яглом И.М. Индукция в геометрии. М.: Физматгиз, 1961. [10] ГОРЕСКИ М., МАКФЕРСОН П. Стратифицированная теория Морса. М.: Мир, 1991. [11] ЕГОРЫЧЕВ Г.П. Интегральные представления и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977. 286 с. [12] ЗАХАРОВ А.В., ЮЖАКОВ А.П. Оценка числа частей разбиения пространства R" гиперплоскостями // Тезисы докл. Всерос. конф. "Алгоритмический анализ некорректных задач" Екатеринбург: УрГУ. 1998. С. 295-296. [13] ЛЕЙНАРТАС Е.К. Разложение рациональных функций многих переменных на простейшие дроби // Изв. вузов. Математика. 1978. №10(197). С. 47 51. [14] СТЕНЛИ Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990. 440 с. [15] Цих А.К. О циклах, разделяющих нули аналитических функций в С" // Сиб. мат. журн.1975. Т. 11. №16. С 1118-1121. [16] Цих А.К. Критерии представимости интеграла по циклу через вычеты Гротендика. Некоторые приложения // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. №5. С. 1083-1087. [17] Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, 1988. 241 с. [18] ЮЖАКОВ А.П. О вычетах функций многих комплексных переменных // Изв. вузов. Математика. 1964. №5. С. 149-181. [19] ЮЖАКОВ А.П. Вычисление вычетов мероморфной функции, знаменатель которой разлагается на линейные множители // Математические записки. Свердловск: УрГУ. 1967. Т. 5, №2. С. 116-124. [20] ЮЖАКОВ А.П. Разделяющая подгруппа и локальные вычеты // Сиб. мат. журн.1988. Т. 29. №6. С. 197-203.