Введение к работе
Лхтуальность таки. Изучение сходимости рациональных приближений функции ( в особенности, аппроксимаций Паде и наилучших рациональных Чебытегзских приближений ) является одним из центральных направлений в теории приближении функции. Свойство схо-.' дикости рациональных аппроксимаций к аппроксимируемой функции лежит в основе многих приложений рациональных приближений к различным вопросам анализа, теории аналитических функций, математической физики.Решение открытых вопросов в этом направлении является актуальной научной задачей,- важной как для развития теории, так и в связи с приложениями.
Определяющее влияние на тему диссертации оказали работы Адамара [ J н Островского [2 ], в которых изучаются свойства сверхсходимости ряда Тейлора аналитической функции. Как известно, ряд Тейлора равномерно сходится к аналитической, в начале координат, функции внутри (и только внутри) своего круга сходимости. Но в случае, когда ряд Тейлора имеет лахунарнуп структуру, как показали Адакар и Островский, он обладает свойством сверхсходимости, что позволяет, в частности (в случае лакун Островского), сделать вывод об однозначности функции в своей естественной Вейерштрассовой области существования .
- г -
Аппроксимации Паде, которые впервые были изучены Паде [2.(,,It и Якоби [J.1], являются естественный обобщением ряда Тейлора. Ряд результатов о сходимости различных последовательностей таблицы Паде были получены Монтессу де Боллора [13], Поммеренке[1#], На-толлом [М,23, Буслаевым П.,4), Вавиловым [5-7], Рахмановым [it, 17], Суетиным [ll-го], и , особенно. Гончаром [3-15 ].
Наряду с аппроксимациями Паде, в диссертации рассматривается и другой важный способ приближения рациональными функциями - наилучшие рациональные приближения, впервые рассмотренные Че-бьшевым [ 2 і ] .
Цель работы - изучение вопросов сверхсходимости различных последовательностей таблицы аппроксимаций Паде, ~ многоточечных аппроксимаций Паде, обобщенных аппроксимаций Паде, наилучших Чебышевских рациональных приближений, в случае, когда оти последовательности обладают лакунарними структурами; одновременно будут получены некоторые условия для однозначности аналитического и мероморфного продолжения функции.
Научная новизна, теоретячесхая и практическая ценность. Все результаты диссертации являотся новыми. Основные результаты следующие:
-
Аналоги теорем Островского и Адамара для m-ой строки таблицы Паде с лакунами соответствующих типов.
-
Аналог теоремы Островского для произвольной лучевой последовательности таблицы Паде, который устанавливает существова-
кие такой ее подпоследовательности, которая сходится по щ-мере внутри полной естественной меронорфной вейерштрассовой области существования данного элемента.
-
Теоремы для лучевых последовательностей таблицы многоточечных аппроксимаций Паде и строк таблицы обобщенных аппроксимаций Паде, которые обладают лакунами Островского.
-
Теоремы для строк таблиц многоточечных и обобщенных аппроксимаций Паде с лакунами Адамара.
-
Теоремы для строк таблицы Чебышева с лакунами различных типов.
. 6. Теорема для лучевых последовательностей таблицы Чебышева, которые-обладают лакунами Островсхого.
Результаты диссертации имеют теоретический характер и мо
гут найти применение в исследованиях по вопросам приближения,
аналитической функции рациональными функциями и аналитического
продолжения функций. " '
Апробация работы. Основные полученные результаты диссертации обсуждались на специальных семинарах в ИГУ им. М.В.Ломоносова .и Математического института им. В.А.Стеклова.
Публнкапта Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [10], [31], [S1], [%%}.
Структура и обьаи диссертация. Диссертация изложена на 90 страницах и состоит из введения и грех глав. Библиография - 65 наименований.
