Содержание к диссертации
Введение
1 Решение некоторых двумерных сингулярных интегральных уравненийвзамкнутом виде 21
1.1 Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения 21
1.1.1 Нетеровы операторы и основные их свойства 21
1.1.2 Алгебра операторов и алгебра символов
1.2 Формула обращения для одного класса двумерных сингулярных интегральных операторов 27
1.3 Явное решение одного класса четырехкомпонентных двумерных сингулярных интегральных уравнений
1.3.1 Интегральное уравнение с операторами S и B 36
1.3.2 Интегральное уравнение с операторами Sm и Bm 45
1.4 Явное решение некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений на плоскости 48
1.4.1 Интегральное уравнение с операторами SE и SE на плоскости 48
1.4.2 Интегральное уравнение с операторами SmE и SEm на плоскости 53
Решение двумерных интегральных уравнений с ядрами Бергмана и уравнения с матричными коэффициентами в замкну том виде 55
2.1 Явное решение двумерных интегральных уравнений с ядрами Бергмана 55
2.2 О формулах обращения для систем двумерных сингулярных интегральных уравнений 65
Заключение 71
Литература
- Алгебра операторов и алгебра символов
- Явное решение одного класса четырехкомпонентных двумерных сингулярных интегральных уравнений
- Явное решение двумерных интегральных уравнений с ядрами Бергмана
- О формулах обращения для систем двумерных сингулярных интегральных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что наиболее мощным методом доказательства существования решений основных задач математической физики является метод сингулярных интегральных уравнений.
Рассматриваемые в работе двумерные сингулярные интегральные уравнения относятся к классическим сингулярным операторам Михлина -Кальдерона - Зигмунда, для которых ранее методом сведения к краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений (А.Джураев1, В.С.Виноградов2), или же методом факторизации символической матрицы и построением алгебры, порождённой этими операторами (И.Б.Симоненко3, Р.В.Дудучава4, И.И.Комяк5, Н.Л.Василевский6, Г.Джангибеков , К.Х.Бойматов и Г.Джангибеков8) найдены условия нётеровости в функциональных пространствах L(D)(1 < p < оо) и получены формулы для подсчёта индекса. Важным этапом в развитии исследований этих сингулярных интегральных уравнений является вопрос построения регуляризаторов сингулярных операторов и построение явных формул для решения сингулярных уравнений.
Цель работы
1. Получить в явном виде двусторонние ограниченные регуляризаторы
для некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов с
чётной характеристикой и операторов Бергмана по ограниченной области, а
также по всей плоскости.
2. Построить в лебеговых пространствах с весом явное решение
рассматриваемых классов сингулярных интегральных уравнений с
постоянными коэффициентами в замкнутом виде.
Метод исследования. При обосновании полученных в диссертации
^.Джураев. Метод сингулярных интегральных уравнений.М. Наука,1987 г. 415 с.
2В.С.Виноградов. О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения//ДАН СССР.1978.-т.241.№2,-с.272-274.
3И.Б.Симоненко. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений.I.П.//Изв.АН СССР,сер.матем.1965, т.29,№3,4.с.567-580, с 757-782.
4R.Duduchava. On multidimensional singular integral operators.I.II.// J.of operator theory.1984.v.11,p.41-76,199-214.
5И.И.Комяк. Общее решение одного двумерного сингулярного интегрального уравнения//Докл.АН БСССР.-1977,т.21,№2,с.1074-1077.
6Н.Л. Василевский. Об алгебре, порождённой двумерными интегральными операторами с ядром Бергмана и кусочно-непрерывными коэффициентами//ДАН , №5.с. 1041-1044.
7 Г.Джангибеков. Нётеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов//Известия ВУЗов матем.1991,№1, с. 19-28
8К.Х.Бойматов и Г. Джангибеков. Об одном сингулярном интегральном операторе // Успехи математических наук, 1988, т. 43, выпуск (261), с. 171-172.
результатов используются методы комплексного анализа, методы функционального анализа, включая теорию банаховых алгебр, метод факторизации операторов.
Научная новизна исследований
-
Построены двусторонние ограниченные регуляризаторы для че-тырёхкомпонентного сингулярного интегрального оператора по ограниченной области, а также по всей плоскости, и в случае постоянных коэффициентов в замкнутом виде найдено явное решение уравнение с такими операторами.
-
Построены двусторонние ограниченные регуляризаторы для четыр-ёхкомпонентного интегрального оператора с ядрами Бергмана, и в случае постоянных коэффициентов в замкнутом виде найдено явное решение уравнения с такими операторами.
-
Для системы сингулярных интегральных операторов по ограниченной области а лебеговых пространствах с весом построены ограниченные регуляризаторы, и в случае постоянных матриц-коэффициентов найден обратный оператор.
Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть применены при исследовании различных краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Международной научной конференции, посвященной 80-летию академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 07-08 декабря 2012г.), на Международной научной конференции, посвященной 85-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 17-18 июля 2013г.), на Международной научной конференции, посвященной 20-летию Конституции РТ (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.), а также на семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТНУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8]. В совместных работах [1,2,6] научному руководителю Г. Джангибекову принадлежат постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 60 наименований и занимает 79 страниц
Алгебра операторов и алгебра символов
Множество КегА всех решений уравнения Ах = 0 (1.1.1) называется множеством нулей или ядром оператора А. Множество КегА является подпространством пространства X. Размерность подпространства КегА, т.е. число линейно независимых решений уравнения (1.1.1), будем обозначать через аА = dimKerA. Через КегА обозначим подпространства нулей оператора А , т.е. множество всех решений уравнения А х = 0 (1.1.2) называется ядром оператора А и, наконец, (ЗА = а А = КегА . Числа а А, /ЗА называются дефектными числами оператора А. Если хотя бы одно из чисел аА и (ЗА - конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается через IndA, ША = аА-/3А. (1.1.3) Очевидно, IndA конечен тогда и только тогда, когда обе размерности аА и (ЗА - конечны. Для того, чтобы уравнение Ах = у, у ЄХ, (1.1.4) имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы свободный член у был ортогонален к КегА (иначе говоря, чтобы элемент у аннулировался любым функционалом и Є КегА ). Действительно, если уравнение (1.1.4) имеет решение х, а и Є КегА , то (у, и) = (Ах, и) = (х, А и) = (х, 0) = 0; где здесь круглыми скобками обозначено значение функционала на соответствующем элементе. Если упомянутое выше условие ортогональности достаточно для разрешимости уравнения (1.1.3), то говорят, что оператор А нормально разрешим. Таким образом можно дать следующее:
Определение 1.1.4. Оператор А называется нормально разрешимым в смысле Хаусдорфа, если неоднородное уравнение (1.14) разрешимо тогда и только тогда, когда ее правая часть у ортогональна всем решениям сопряженного однородного уравнения (1.1.2).
Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того, чтобы оператор был нормально разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой. Определение 1.1.5. Оператор А называется нетеровым в X, если он нормально разрешим и числа СНА-, РА конечны. Определение 1.1.6. Индексом IndA нетерова оператора А называется целое число IndA = OLA РА Следующее определение из всего множества нётеровых операторов выделяет подмножество фредгольмовых операторов: Определение 1.1.7. Нетеров оператор, индекс которого равен нулю, называется фредгольмовым. Свойство 1.1.1. (теорема о композиции). Если А и В нётеровы операторы в X, то их композиция АВ также нётерова в X, причем IndAB = IndA+IndB. Свойство 1.1.2. Если А нётеров в X то и А нётеров в X , причём IndA =-IndA. Свойство 1.1.3. (возмущение вполне непрерывным оператором). Если А нётеров, а Т вполне непрерывен в X, то А + Т также нётеров в X, причём Ind(A + Т) = IndA. Свойство 1.1.4. (возмущение малым по норме оператором). Если А нётеров в X, то существует такое є = є (А), что для всех операторов В таких, что \\В\\ є, оператор А + В нётеров в X и Ind(A + B) = IndA. Свойство 1.1.5. Для того, чтобы оператор А был нётеровым, необходимо и достаточно, чтобы у него существовали левый и правый регуляри-заторы. Определение 1.1.8. Нётеровы операторы А и В называются гомотопными, если существует семейство нётеровых операторов A(t), t Є [0,1], которое равномерно непрерывно по норме на сегменте [0,1] : по любому заданному є 0 можно найти такое 5 = 5(e) 0, что если \ti 2\ 6, то А( і)-А( 2) є, uA(0) = A, A(1) = B. Свойство 1.1.6. Если операторы А и В гомотопны, то IndA = IndB. 1.1.2 Алгебра операторов и алгебра символов Пусть М - некоторая алгебра ограниченных операторов действующих из банахового пространстве X в X, т.е. если АЪА2 є М, то А1- А2еМ и АгА2еМ. Пусть Я - алгебра всех скалярных или матричных непрерывных комплексных функций, зависящих от переменной точки t некоторого конечномерного пространства, т.е. если 7i(), o 2{t) Є Л/", то (Ji{t) + a2(t) GJV и 7І( ) 72( ) Є Я
Пусть между элементами алгебры М и Я установлено голоморфное соответствие, так что каждому оператору А Є Л4 приведена в соответствие одна и только одна функция aA(t) Є Я и каждой функции из Я соответствует хотя бы один оператор из Л4, причем сумме или произведению операторов соответствует сумма или произведение функций: А1+АМ = W + АЖ VMM = AAt)A2{t) В этом случае функция CJA{Z) называется символом оператора А. Таким образом, символ осуществляет гомоморфизм операторной алгебры М в функциональную алгебру Я.
Ниже будем предполагать, что в алгебре Л4 существует оператор, символ которого нигде в нуль не обращается. Также предположим, что алгебра Л4 содержит тождественный оператор и все вполне непрерывные операторы действующие в X. Эти допущения эквивалентны тому, что символ тождественного оператора есть функция, тождественно равная единице (единичной матрице) и символ оператора тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда этот оператор вполне непрерывен.
При вышесказанных допущениях имеет место (см.[2] гл.6,п.4 ) Теорема 1.1.1. Оператор А допускает двустороннюю регуляризацию оператором из той же алгебры тогда и только тогда, когда символ оператора А не вырождается.
Явное решение одного класса четырехкомпонентных двумерных сингулярных интегральных уравнений
Рассмотрим следующее интегральное уравнение: {Af){z) = = a(z)f(z) + b(z)f(z) - (/ ]2 dsc - -2 2 dsc+ v{z) S(z) + Biz, QfiQdsc + Biz, QfiQds, = giz), zeD} к к D D B(zX)f(()dsc + B(z,Of(Odsc = g(z), к (1.3.1) где a(z),b(z),c(z),d(z),v(z),6(z) -заданные в замкнутом области D = D Г комплекснозначные непрерывные функции. Комплекснозначные непрерывные функции g(z) и f(z) соответственно задаются и ищутся в пространстве LPe_2_(D); р Ly2/p(D) = {f(z) : \zf-2/pf(z) = F(z) Є V(D), \\f\\Lft_2/p = l№J, (1 p oo, 0 /3 2), Введя операторы (Sf)(z) = -- И j dSL (Kf)(z) = /и, D (Sf)(z) = (KSKf)(z\ (Bf)(z) = - ffB(z,0f(Odsc, 7Г D (Bf)(z) = (KBKf)(z), dsQ - элемент площади, D - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г, первый интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, второй интеграл имеет особенность лишь на границе Г, понимается в смысле Лебега и обычно называется оператором Бергмана, запишем уравнение (1.3.1) в операторном виде: А = al + ЪК + cS + dSK + vB + 5ВК = д (1.3.2)
Известно [54],[8], что операторы типа (1.3.2) играют важную роль в теории обобщенных аналитических функций, а также тесно связаны с краевыми задачами для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. При различных дополнительных предположениях относительно коэффициентов оператор А изучался ранее в работах А.Джураева [8], Н.Н.Комяка [22], К.Х.Бойматова и Г.Джангибекова [44] и Г.Джангибекова [42].
В частности, из работы [42] для оператора А следует, что нетеровые операторы А разделяются на два гомотопических класса, которые эффективно описываются через коэффициенты оператора А, т.е. необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для подсчета индекса оператора А в лебеговых пространствах L _2/p(L ), (1 р оо,0 /3 2) получены в эффективном виде.
Что касается явных формул для решения уравнения Af = д, то они получены лишь в простейших случаях Ь = с=ь = 5 = 0 ([7],[23], а также [41]). В этом разделе рассматривается вопрос нахождения регуляризаторов оператора А в явном виде и в случае постоянных коэффициентов нахождения решения уравнения Af = д с оператором из (1.3.2) в замкнутом виде. Из результатов [42] для оператора (1.3.2) следует: Теорема 1.3.1. Для нетеровости уравнение (1.3.1) в U (D), 1 р оо, 0 [5 2 необходимо и достаточно выполнение одного из следующих двух (исключающих друг друга) условий: I Ai( ) \X(z)\ + \fi(z)\ для VzeD (1.3.3) Ai( ) + i/i( )-Ai( )A( №W O при ШєГ, A2 W \(z) + n(z) для Vzefl, u2(t) + (32(t)(A2(t)-X2(t)52(t)) 0 при ШеТ При этом, если выполнено (1.3.3), то индекс оператора А (1.3.4) к = 2Ind{A1(t) + U1{t) - Л1йАМ 1W}, а если выполнено (1.3.4), то к = 2Ind{u2 + (32{t)A2{t) - \2{t)62{t) &( )}, где использованы следующие обозначения: А1 = а2-Ь2, Л2 = d2-c2, X = ac-bd, fi = ad-bc, v1 = av- Ь6, 61 = a6- Ьї , v2 = dv - c5} 52 = d5- cV} Q (Л--й )2-4Л2, если А ф о, 2A О, если Л = (Д2-Д1)2-4А2 q2 Гл2-л,+„8„лу 2А О, если Л = О А= м -, /з2 м А1 + Л1Л А2 + А2Л Здесь мы будем предполагать, что условия (1.3.3) или (1.3.4) из теоремы 1.3.1 выполнены. Следовательно оператор А имеет (правый и левый ) регуляризатор.
Докажем, что имеет место Теорема 1.3.2. Пусть выполнены условия (1.3.3), тогда оператор А имеет в If g(D) двусторонний регуляризатор вида I 1-Ш2\ 1 + Z/i оо х/+ S q?(S + (1.3.5) n=1 а если выполнено условие (1.3.4), R = j32l -SK - L 2J x 1 + $2v\ (1.3.6) — q1 n=1 где операторы 71 и T2 определяются по формулам (1.3.7) Т1 = (a + g1A&) / - (& + g1Aa) #, T2 = (d + g2/32c) / - (с + д2/Ы) AT и SUz), v {z) (j = 1,2) такие непрерывные в D функции, которые на Г имеют значения. _1-д1А(Л1+І71) , 2-g2(/32 + A2) А1 + І71 - g1 Ж 1 А2/32 + - Щ J2b2 ( ) ч л v1-q1P1h ч , v2-q2/32T2 11 ; Л1 2U л2 Доказательство. а) Пусть выполнены условия (1.3.3) из теоремы 1.3.1. Тогда ограниченный в If g{D) оператор Т1 имеет непрерывный обратный, p причем оператор А можно представить в виде Л = Т1"1А1Л1, где А1 = 1- q1fi1K + q1S + [51SK Далее, используя свойства композиции операторов [42] SS = I В, SB,BB непосредственными вычислениями, можно убедиться, что име ет место представление (1.3.9) А = Т{1 A(l-q1S + 5\ВК xh + P1SK + vfE\+V1 где V1- вполне непрерывный в LPe_2(D) оператор. Из результатов [42] следует, р что оператор / + f1SK + v\B из представления (1.3.9) имеет регуляризатор вида l + v\ R О / - (31SK + і-Щ2 i + Займемся оператором I - q1S + 5\ВК. Поскольку \q1\ 1, то предположив q1 т 0, покажем, что оператор S + В—К обратим в пространстве Vl2(D). р Действительно Ж) bds s + BlKf = (с + 1 JSm ICI 1 1С1 Во втором интеграле, сделав замену ( = 1 и введя новую функцию F(a) по формуле = SEF будем иметь /(а), если \а\ 1, F(a) = a29i(i)JW 1 12ЩТЩ, если сг 1 F(a) (s+B 1 Kf=--Jv ds а oo Как известно [54], при р 1 \q1\\\SE\\Lp 1 (\\SE\\L2 = 1) и обратным для оператора SE в Lp является оператор SE- Что касается пространства U]_2{D), то указанный факт следует из выполнения Lp 2(D) С Lq(D) при некотором q 1. Следовательно, поскольку \q1(z)\ l, гбДто уравнение А Sf-B f(z) = g(z) имеет единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений f(z) = g(z) + (q1S + 5\ВК)д + {q1S + 51ВК)2д + (1.3.10) Отсюда ясно, что оператор оо 1 I + У q?(S + —ВК)п q1 k=1 ч будет регуляризатором для оператора I-q1S + 5\BK Этим завершается доказательство того, что оператор R из (1.3.5) является регуляризатором исходного оператора А б) Пусть выполнено условие (1.3.4) теоремы 1.3.1. Тогда оператор Т2 из (1.3.7) имеет непрерывный обратный, причем оператор А можно представить в виде
Явное решение двумерных интегральных уравнений с ядрами Бергмана
Далее аналогично, как в пункте (а) устанавливается, что в случае выполнения условия (1.4.4). Оператор R из формулы (1.4.11) является двусторонним регуляризатором исходного оператора А. Пусть теперь в уравнении (1.4.1) вcе коэффициенты a,b,c,d, -постоянны. Тогда нетрудно убедиться, что при выполнении одного из условий (1.4.3) или (1.4.4) исходного уравнения (1.4.1) будет иметь в Lpp_2/p(E) 1 р оо,0 /3 2 единственное решение f(z) = (л- )и, где обратный оператор А 1 совпадает с регуляризатором R из (1.4.5), если выполнено условие (1.4.3) и совпадает с оператором R из (1.4.11), если выполнено условие (1.4.4). 1.4.2 Интегральное уравнение с операторами S и SEm на плоскости В этом пункте, полученные в начале раздела результаты, обобщаются в уравнении чЕ (Af)(z) = a(z)f(z) + b(z)f(z) + c(z)(S»f)(z) + d{z){Smf){z), (1.4.8) где E (-l)mm ff е 2ітв (-irm [[ e- Z (1.4.9) (Smf)(z) = [- // f(C)dsc, z є E, 7Г \Q — Z\L E комплекснозначные функции a(z),b(z),c(z),d(z) - непрерывны на Еъ Отметим, что нетеровость и индекс оператора А в пространствах Ьрр_2/р(Е) следует из результатов работы [31]. Принимая во внимание, что для оператора SE имеют место следующие равенства QE птЕ пЕаЁ Т от = о , ото = 1 , где / - единичный оператор, а так же, то что оператор aSE — S a - является вполне непрерывным оператором в пространствах LPo_2/ (Е) и, применяя к уравнению (1.4.8) схему пункта 1 настоящего раздела, убеждаемся, что имеют место
Теорема 1.4.4. Пусть выполнено условие (14.3), тогда оператор А из (1.4.8) имеет в Lpp_2/p{E)l р ос, О /3 2 двусторонний регуляри-затор вида R = 1 (і - /Зі S EK )(І + qiS%\ Д Гі, (1.4.10) а если выполнено условие (1.4.4), то fol SmEK (і + q2SEmq Д Т2, (1.4.11) где операторы S%qi, S и ТЪТ2 определяются по формулам R 1 - (-\)тт (\(-z\fm-l\f(()dsc тг [(( - z)m + (-l)m-lq(z)(( (Smqf)(Z) n [((-г)+(-1) (г)((-г)т]2 D пы_(-1)тат (ІС- ДО с 7Г [((-г) + (-1) ВД((-г)т]2 T2 = (rf + g2/32c ) / - ( c + g2/32d ) #, а функции /3u/32,qi,q2 определены в разделе 3. Теорема 1.4.5. Пусть коэффициенты уравнения (1.4.8) постоянны, тогда при выполнении одного из условий (1.4.3) или (1.4.4) уравнение (1.4.8) имеет в пространствах Lpp_2/p(E), 1 р оо,0 /3 2 единственное решение f(z) = (л- )и, где если выполнено условие (1.4.3), и А-1 = уз /У - S EK + « , ДЇ- Т 1 ( -Е если выполнено (1.4.4). Глава 2 Решение двумерных интегральных уравнений с ядрами Бергмана и уравнения с матричными коэффициентами в замкнутом виде
В единичном круге D комплексной плоскости z = х + гу рассмотрим следующее интегральное уравнение (Af)(z) s аШ{г) + ЕМ jj ш +м jj i(c)g+ Ф) ff W)dsc q(z) ff W)dsc - (2.1.1) + - + / = q(z), z Є D, 7г (i-o2 7Г (i- c)2 в котором ф), ф), ф), ф), ф) - заданные в замкнутом круге D = D U Г комплекснозначные непрерывные функции. Комплекснозначные непрерыв ные функции g(z) и f(z) соответственно задаются и ищутся в пространстве LPp_2/p(D) = {f(z) : \zf-2/pf(z) = F(z) Є LP(D), /Ц 2/p{D) = \\F\\LP{D)}, где1 р оо,0 /3 2. Из результатов работы [32] следует, что для нетеровости оператора А в Lp _2/p(D) (1 р ос, О [5 2), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия a(z) + О, г Є D и Д( ) = (a(t)+c(t))(a(t)+d(t))-e(t)g(t) 0,ієГ. (2.1.2) В предлагаемой работе найден регуляризатор оператора Л, а в случае постоянных коэффициентов уравнение (2.1.1) решен в замкнутом виде. Для удобства введем операторы (Bf)(z) = - J - , (Bf)(z) = - J i„ TT (1-ZO2 TT (l-zQ2 D D Лемма 2.1.1. В пространстве Lpp_2/p{D) (1 p oc,0 /3 2), имеют место формулы (BBf)(z) = (Bf)(z), zeD, (2.1.3) (BBf)(z) = - ff f(0dso zeD, (2.1.4) 7Г Доказательство. Из равенства v JJK dz \ 7Г 1-zC D вытекает, что {BBf){z) 4(1 [Г ІГГІЩ V dz\7Tl-z(7T(l- (a)2 Поскольку внешний интеграл имеет слабую особенность на границе круга Г : ( = 1, а внутренний имеет особенность порядка два только на окружности, то, поменяв порядок интегрирования, получим
О формулах обращения для систем двумерных сингулярных интегральных уравнений
В работе [45] доказана, что множество операторов вида А с добавлением вполне непрерывного оператора Т составляют в LPo_2/ алгебру и для нетеровости системы интегральных уравнений 2.2.1 в пространствах LPB-2(D) (1 V оо, 0 [5 2) необходимо и достаточно, чтобы мат p рицы М и а + с были неособенными, то есть detM(z) ф 0 для всех я Є и det{a{t) + c(t)) Ф 0 для всех Є Г, при этом, если указанные условия выполнены, М и а + с - постоянные матрицы и D = {z : \z\ 1}, то система в указанных пространствах имеет единственное решение.
В разделе 6 диссертации предполагается, что D = {z : \z\ 1} и М и а+с - постоянные матрицы. Ставится задача нахождения решения системы (2.2.1) в замкнутом виде. Отметим, что в скалярном случае формула обращения для (2.2.1) известна из [12],[23].
Пусть / - решение (2.2.1) из класса L\]_2_{D). Тогда применим к обеим частям равенства (2.2.1) оператор В и, учитывая свойства композиции операторов : В2 = В, BS = 0, получим aBf + cBf = Вд} то есть (а + c)Bf = Вд. Теперь предположим, что квадратная матрица а + с неособенная, то есть det(a + с)фО. Тогда получим Bf = (a + c)-1Bg. (2.2.2) Далее применим к обеим частям (2.2.1) оператор SK, где Kf = /, и учитывая, что SS = I-B и SB = О, получим af + bSf + cBf = g} bf + aSf - bBf = Sg. Используя равенство (2.2.2), имеем af + bSf = g - c(a + c Bg, (2.2.3) bf + aSf = Sg + b(a + c) lBg. Всюду далее будем предполагать, что матрица М неособенная, то есть detM ф 0. Тогда очевидно, что deta ф 0, либо detb ф 0, то есть либо матрица а, либо b являются неособыми матрицами. Случай 1. Пусть матрица а неособенная. Сведем матрицу М к диагональному виду. Так, как, (а Ь\ detM = det\_ \ ф 0, U а) то, умножив вторую строку на —ba l и сложив с первой строкой (см. [59] стр. 58-59), получим Гі ГЛГі і м (J detM = det b a = det(a - ba lb) det a = det(aa - ba Lba) ф 0, (2.2.4) ибо если матрица а - неособенная, то тогда матрица а — ba lb также неособенная, в противном случае detM = 0. Теперь, умножив второе равенство (2.2.3) слева на матрицу —Ьа 1, получим af + bSj = g- с(а + с Вд, -ba lbf - bSj = -ba lSg - ЪаГ1Ъ{а + c) lBg. Сложив два последних равенства, получим (а - ba lb)f = д- ba lSg - (с + ba lb){a + с) 1Вд. Поскольку из (2.2.4) следует, что матрица а-Ьа 1Ь неособенная, то тогда существует обратная матрица (а — ba lb) l. Применяя слева к последнему равенству эту матрицу, в итоге получим: / = (а - Ъа-1Ъ)-1[д - ba lSg - (с + ba lb){a + c) lBgl (2.2.5) SS = I - Б, SB = 0, В2 = В. Воспользуясь свойствами композиции операторов, непосредственными вычислениями убедимся, что функция / из (2.2.5) является решением системы (2.2.1). Итак, нами доказана
Теорема 2.2.1. Пусть а, М иа+с- неособые матрицы ид произвольная функция из пространства Lp 2_(D), (1 р ос, 0 [5 2). Тогда сингу-лярное интегральное уравнение (2.2.1) в указанных пространствах имеет единственное решение / = (а - ЪагЩ\9 ba lSg - (с + Ъа Ща + c)-lBg]. Случай 2. Пусть теперь матрица Ъ неособенная, тогда существует Ъ 1. В detM, умножив первую строку на —ab l и сложив со второй строкой, получим: ( а Ъ\ і а Ъ\ Ь a) \b-ab la 0] Отсюда следует что матрица b — ab la -неособенная то есть det(b - ab la) 0. Теперь, умножив первую строку (2.2.3) слева на матрицу —ab l, получим -ab laf - aSj = -ab lg + аЬ 1с{а + c)-lBg, If + aSf = Sg + b(a + c) lBg. Сложив эти равенства, имеем (b - ab la)f = -ab lg + Sg + (b + ab lc){a + c) lBg. Поскольку матрица b - ab la неособенная, то получим f = (b- ab-la)-l[-ab-lg + Sg + (b + аЬ 1с){а + c)-lBg]. (2.2.6) Нами доказана Теорема 2.2.2. Если матрицы b,a + c и М неособенные, то тогда сингулярное интегральное уравнение (2.2.1) имеет в пространствах Lp 2{D), p (1 р оо, 0 [5 2) единственное решение / = (6 - ab-la)-l[-ab-lg + Sg + (6 + ab-lc){a + c)-lBg]. Замечание 1. Если одновременно матрицы а и Ь неособенные, то есть deta ф 0}detb ф 0, то формулы (2.2.5) и (2.2.6) совпадают. В этом случае (а - Ьа-11)-1 = {Ь 1а - а"1 "1 и (Ь - аЬ 1а)-1 = -{Ь 1а - агЩ а, и тогда формулы (2.2.5) и (2.2.6) превращаются в формулу f = {Ъ 1а - а-1Ъ)-1[Ъ-1д - a lSg - {Ъ 1с + а-Щ{а + с)-1Вд]. (2.2.7) Замечание 2. Пусть \а\ ф О, 6 ф О и, кроме того, матрицы а и Ь перестановочны между собой, то есть аЪ = Ъа} то тогда очевидно, что а 1Ь = Ьа \ а также аЬ 1 = Ь 1а. Поэтому (0 — СЬ 0) —— \0 (CbQj — OOiQj —— (CbQj — 00) ОСЬ. Тогда формула (2.2.7) превращается в f=(aa- ЪЪ)-1[ад - bSg - (ас + Ы{а + с))-1Вд]. (2.2.8) Обобщение. Аналогичным образом можно найти явное решение системы двумерных сингулярных интегральных уравнений вида