О голоморфном продолжении через острие клина необщего положения Юрьева, Евгения Викторовна

Диссертация, - 480 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Юрьева, Евгения Викторовна. О голоморфном продолжении через острие клина необщего положения : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.01 / Юрьева Евгения Викторовна; [Место защиты: Сиб. федер. ун-т].- Красноярск, 2013.- 61 с.: ил. РГБ ОД, 61 13-1/880

Введение к работе

Актуальность темы

Богатство проблематики голоморфного продолжения в многомерном комплексном анализе обнаружилось в 1906 году благодаря феномену Гартогса¹ «принудительного» голоморфного продолжения: оказывается, функция голоморфная в окрестности границы компакта автоматически продолжается на сам компакт как голоморфная функция²'³; в частности, голоморфная функция п ^ 2 переменных не может иметь изолированных особых точек, -- особенности таких функций обязаны выходить на границу области или простираться в бесконечность. Позднее обнаружилось, что стирание компактных особенностей для голоморфных функций трактуется свойством подходящей выпуклости областей голоморфности. Комплексный анализ породил наиболее абстрактные обобщения понятия выпуклости, такие, как голоморфная выпуклость, псевдовыпуклость, логарифмическая выпуклость. Понятие устранения особенностей стали рассматривать для пучков⁴ и комплексных структур⁵.

Наряду с теоремой Гартогса, одним из важных примеров «принудительного» продолжения для голоморфных функций многих переменных является теорема, которая была получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 году⁶, в связи с обоснованием дисперсионных соотношений в квантовой теории поля. Она утверждает следующее: если функция f(z) голоморфна

¹ Hartogs F. Einige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel bei Functionen mehre der
Veranderlichen// Sitz. Ber. Math. Phys. Kl. Akad. Munch. 1906, 36, P. 223-242.

² Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 2 Функции нескольких переменных.-
М.: Наука, 1985.

³ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных.-М.: Наука, 1964.

⁴ Grauert Н., Remmert R. Extension of Analytic Objects// Encyclopedia of Mathematical Science,
Springer-Vertag, Berlin-Heidelberg, 1994, P. 351-360.

⁵ Чирка E. M. Голоморфные движения и униформизация голоморфных семейств римановых
поверхностей//УМН, 2012, Т. 67:6(408), С. 125-202.

⁶ Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсиооных соотноше
ний - М.: Физматгиз, 1958.

в трубчатой области Т = Ш^п + гГ С С^п_; основанием которой служит двусторонний световой конус

Т:уІ>уІ + ---+у²_п,

и непрерывна в ее замыкании 7, то она голоморфно продолжается в С^п.

Острие конуса Г, лежащего в мнимом подпространстве пространства С^п - - это точка у = О, соответственно, вещественное подпространство MJ¹ = W¹ -\- іО выступает в качестве острия области (клина) Т.

Н. Н. Боголюбовым также была получена локальная версия этого утверждения, т. е. для ситуации, когда функция f(z) голоморфна лишь в некоторой ограниченной части трубчатой области Т. Кроме того, им была приведена теорема в случае совпадения значений функции f(z) на острие в смысле обобщенных функций, т. е. при условии, когда существует предел

lim / f(x + iy) ер Є Ъ{Ж^п).

2/^0, уЄГ J

В дальнейшем теорема Н. Н. Боголюбова была другими методами передоказана в работе Г. Дж. Бремермана, Р. Оме и Дж. Г. Тейлора⁷, где она была названа «edge of the wedge» теоремой, и с тех пор эта теорема и ее различные обобщения и модификации стали называться теоремами «об острие клина». К настоящему времени известно свыше десятка доказательств теоремы «об острие клина»; подробное описание развития этой темы можно найти в статье В. С. Владимирова, В. В. Жаринова, А. Г. Сергеева ⁸.

Одно из наиболее значимых обобщений теоремы Н. Н. Боголюбова было получено в статье С. И. Пинчука⁹, где вместо указанной трубчатой области над световым конусом рассматривался клин с острием на

⁷ Bremermann Н. J., Oehme R., Taylor J. G. A proof of dispersion relations in quantized field
theories// Phys. Rev. 1958, V. 109, P. 2178-2190.

⁸ Владимиров В. С, Жаринов В. В., Сергеев А. Г. Теорема «об острие клина» Боголюбова, ее
развитие и применение//УМН 1994, Т.49:5(299), С. 47-60.

⁹ Пинчук СИ. Теорема Боголюбова об «острие клина» для порождающих многообразий// Ма-
тем. сб. 1974, T.94. С. 468-482.

вполне вещественном многообразии, ограниченный гладкими гиперповерхностями в общем положении. Условие общего положения автоматически накладывает ограничение, состоящее в том, что обе стороны клина

содержат полномерный конус вблизи точек острия.
Клин над световым конусом, рассмотренный в тео
реме Н. Н. Боголюбова, разумеется, является кли
ном общего положения, поскольку в него можно
Рис. 1 вписать такой клин (см. Рис. 1).
Проблема устранения особенностей аналитических множеств рассматривалась в работах Г. Александера, Дж. Беккера и Б. Шиффмана (формулировки, доказательства и обобщения приведены в книге Е. М. Чирки¹⁰). В этих работах изучался вопрос о продолжении аналитических множеств через вещественное подпространство Ш^п С С^п и тор Т^п С С^п. Замена Ш^п или Т^п на замкнутое подмножество Е комплексного многообразия X приводит к следующей задаче: пусть А С X \ Е - - аналитическое множество чистой размерности; при каких условиях на Е и А замыкание А множества А в X будет аналитическим подмножеством в X. Наиболее общее достижение в этом направлении, обобщающее результаты Б. Шиффмана¹¹ и К. Фунахаси¹², было получено в цитируемой выше книге Е. М. Чирки (Теорема из раздела 18.5).
Максимально приближенный к теореме Боголюбова результат о продолжении аналитических множеств через острие клина был получен в 1985 году в статье СИ. Пинчука¹³. Им был рассмотрен случай двустороннего клина общего положения.
В диссертационной работе под клином понимается объединение
К = D₊UMⁿUD__:
¹⁰ Чирка Е. М. Комплексные аналитические множества. - М.:Наука, 1985.
¹¹ Shiffman В. On the continuation of analytic sets// Math. Ann. 1970, V. 185 , 1-12.
¹² Funahashi K. On the extension of analytic sets// Proc. Japan Acad. 1978, V. 54, Ser. A., C. 24-26.
¹³ Пинчук С. И. Теорема об острие клина для аналитических множеств// Доклады АН СССР
1985, Т. 285. С. 563-566.
где D± С Cⁿ — области, замыкания которых пересекаются по п-мерному вполне вещественному многообразию М^п, называемому острием клина.

В случае, когда в К нельзя вписать клин с тем же острием М^п и образуемый областями D'± с кусочно-гладкими границами, К называется клином необщего положения (см. Рис. 2, где на схеме Рейнхарта изображен бикруговой клин с острием Т² - двумерным тором, а граница клина изображается касающимися кривыми). Рис. 2
Цель диссертации
Целью диссертационной работы является получение аналогов теорем Боголюбова-Пинчука об аналитическом продолжении через острие для клиньев необщего положения. При этом предполагается исследовать несколько задач о продолжении, включая непрерывную и обобщенную версии для функций, а также версию для аналитических множеств. Особое внимание предполагается уделить поликруговым клиньям необщего положения.
Методы исследования
В работе используются методы интегральных представлений голоморфных функций, в частности, представление Вей ля в аналитических полиэдрах. В обосновании аналитических продолжений большую роль играет как общая теория потоков на комплексных многообразиях, так и теория вычетных потоков. В задаче продолжения аналитических множеств широко используется фундаментальные факты теории аналитических множеств: теорема о локальном описании аналитических множеств, а также конструкция универсальных определяющих функций для них.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем:
получена непрерывная версия теоремы об аналитическом продолжении через острие n-кругового клина необщего положения;
доказана теорема об аналитическом продолжении аналитических множеств через острие клина необщего положения;
показано, что в некоторых случаях задача о продолжении функций в клине трансформируется в задачу о продолжении пучков на семействе голоморфных кривых, параметризованных вещественным аналитическим многообразием.
Практическая и теоретическая ценность
Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе и математической физике.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

Красноярских городских научных семинарах по комплексному анализу и алгебраической геометрии (2005-2013, СФУ);

Международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2005);

Международной научной конференции «Геометрия и анализ на комплексных многообразиях» (Красноярск, август 2007);

Летней школе-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых ученых России (Ярославль, май 2011);

Российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, август 2012).

Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы с исчерпывающей полнотой в 3 статьях и 1 тезисе. Все статьи опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.
Структура и объем работы