Новые метрические характеристики неспрямляемых кривых и их приложения в теории краевых задач для аналитических функций Кац Давид Борисович

Задача о скачке на замкнутой неспрямляемой кривой

Другой недостаток связан с тем, что обе характеристики - показатель Гёльдера и размерность Минковского - носят глобальный характер, а во многих случаях необходимы локальные условия разрешимости. Кроме того, эти характеристики не учитывают присущую неспрямляе-мым кривым локальную асимметрию. Речь идет о следующем явлении. Пусть В (є) есть круговая є—окрестность точки t Є Г в С, а В+(є) и В (є) - части, на которые эту окрестность разбивает кривая Г. Если кривая гладкая в точке t, то эти части симметричны относительно касательной, проведенной к Г в точке t с точностью до бесконечно малых высокого порядка относительно є. Так, если В (є) есть образ В (є) при такой симметрии, то площадь множества В+(є)АВ (є) при є — 0 убывает быстрее, чем є2, то есть быстрее, чем площадь В (є). Уже в угловой точке кусочно-гладкой кривой невозможно построить ось симметрии с таким свойством. Если же кривая Г неспрямляемая, то полуокрестности её точки t могут обладать совершенно различными метрическими свойствами. Это значит, что и предельные значения функции в точках неспрямляемых кривых с разных сторон обладают разными свойствами, и это должно учитываться при решении краевых задач.

Далее, из сказанного выше ясно, что проблема решения краевой задачи Римана на неспрямляемых кривых естественным образом вызывает интерес к обобщениям контурного интеграла J f(z)dz на случай, когда г кривая Г неспрямляема. Такие обобщения имеют и самостоятельный интерес.

Вероятно, одной из первых публикаций на эту тему была заметка [31]. В ней был предложен следующий подход. Пусть заданная на замкнутой кривой Г функция / имеет продолжение F в ограниченную этой кривой область D+. Тогда по формуле Стокса Г f f F 7— + j(t)dt = — —dzaz, (St ) D+ OZ г и если кривая Г неспрямляема, то правая часть этого равенства может служить определением левой. В дальнейшем этот подход был усовершенствован и использован для представления решений задачи о скачке на неспрямляемых кривых в виде (обобщенных) интегралов типа Коши; см., напр., [32, 33].

Существует и другие подходы к обобщению интеграла на неспрямля-емые контура. Так, Дж. Харрисон и её соавторы делают это в работах [34]-[36] на основе аппроксимации неспрямляемого контура ломаными. Если в окрестности Г задана функция /, то мы можем аппроксимировать Г ломаными Гга и определить обобщенный контурный интеграл от формы / dz как предел обычных контурных интегралов lim J / dz. В работе [36] этот п— ООр подход, во многом связанный с идеями Хасслера Уитни [37], привел к построению довольно обширной теории интегрирования по чейнлетам - объектам, являющимся пределами цепей из многоугольников и многогранников в специально построенной топологии. В число чейнлетов входят и неспрямляемые кривые. Другой подход основан на аппроксимации интегрируемой функции. Если Г - неспрямляемая дуга, а / - заданная на ней непрерывная функция, то / можно равномерно аппроксимировать алгебраическими многочленами или иными голоморфными в окрестности Г функциями; их интегалы по Г имеют естественные значения, определяемые формулой Ньютона-Лейбница, и обобщенный интеграл J f dz можно определить г как предел этих естественных значений. Такое определение изучено в статьях [38, 39]. Наконец, имеются работы, в которых этот интеграл определяется как интеграл Стильтьеса [40]. Во всех этих работах возникают условия интегрируемости, связывающие гёльдеров показатель интегрируемой функции с верхней размерностью Минковского контура интегрирования. В тех из них, в которых обобщенный итеграл используется для решения задачи о скачке и задачи Римана, возникает и условие ( ).

В данной диссертационной работе вводится и исследуется новое семейство метрических характеристик неспрямляемых кривых, названных автором показателями Марцинкевича. Название связано с тем, что, насколько известно, Й. Марцинкевич первым предложил использовать интегралы по дополнениям множеств в качестве их метрических характеристик (см. [41]); интегралы сходного вида используются в нашем определении. Далее показатели Марцинкевича применяются для решения краевой задачи Римана и подобных ей краевых задач на неспрямляемых кривых, а также при построении и изучении обобщенных интегралов по неспрямляемым контурам. Это позволяет улучшить ранее известные результаты в этих областях, включая критерий ( ). При этом показа тели Марцинкевича сравнительно легко вычисляются или оцениваются, а также позволяют придать критериям разрешимости рассматриваемых задач локальный характер. Кроме того, эти характеристики позволяют учесть свойство локальной асимметрии неспрямляемых кривых при решении краевых задач.

В современных работах по анализу на множествах сложной природы (фракталах, неспрямляемых кривых, пористых множествах и т.п.) используется довольно много различных метрических размерностей и коразмерностей. В данной работе часто применяются уже упоминавшаяся размерность Минковского и хорошо известная размерность Хаусдорфа. Приведем их определения для метрических пространств довольно общего вида, следуя работе [42].

Пусть X есть метрическое пространство с метрикой d, обладающее свойством удвоения (doubling metric space). Это значит, что каждый его шар радиуса г 0 можно покрыть не более чем N шарами радиуса г/2, где N = N(X) Є N не зависит ни от г, ни от центра исходного шара. Будем обозначать В(х, г) шар радиуса г с центром х Є X. Тогда Л—мерный г—контент Минковского компактного множества Е С X определяется равенством { п \ пг : Е С І І В{хк,т),Хк Є Е , к=\ а верхняя размерность Минковского - равенством dm(.E ) = inf{A 0 : limsup ЛЛr (Е) = 0}. Эта величина известна также, как верхняя метрическая размерность [43], размерность Колмогорова, box-counting dimension, клеточная размерность и др. Два последних названия связаны с тем, что в евклидовом пространстве Шп эту размерность можно определить так. Разобъём Шп на неналегающие кубы (клетки) со стороной г и обозначим J\Tr(E) число клеток, имеющих непустое пересечение с Е. Тогда

Интеграл по замкнутому неспрямляемому контуру

Ясно, что локальные свойства кривой в ее внутренних точках не зависят от замкнутости. Соответственно, мы без труда можем определить аналоги внутренних и внешних показателей Марцинкевича во внутренних точках разомкнутых дуг.

Пусть Г есть простая жорданова дуга с началом в точке t\ и концом І2. Положим Г" := Г \ {1,2} Определение 8 Пусть t Є Г . Зафиксируем маленький положительный радиус г такой, что Г делит диск B(t,r) на левую и правую компоненту В+ и В . Левыми и правыми локальными показателями Марцинкевича дуги Г (для меры ц) в точке t будем называть т+(Г; ; ц) := т(Г;;/х+) иm (T;t; ц) := т(Г; ;//"), где ц+ и \i есть ограничения меры ц на компоненты В+ и В соответственно. Положим т (Г; ; ц) := тах(т+(Г; t; ц), т (Г; ;//)).

Прежде, чем двигаться дальше, приведём несколько примеров вычисления показателей Марцинкевича неспрямляемых дуг. Пример 5 Возьмем замкнутую кривую Т\, построенную в примере 1, удалим из неё горизонтальный отрезок [—і, 1-і], и обозначим получен ную дугу F\. Будем считать, что она обходится от точки —г к точке 1-і. Эта дуга локально спрямляема во всех ее точках, за исключением начала координат. Поэтому m±(Fi;) = 1 при t Є F\ \ {0}, а также m(/ri;—г) = m(Fi; 1 — г) = 1. Из приведенных в примере 1 вычислений следует, что m+(Fi; 0) = 1 тзттт и m (Fi; 0) = STT . Пример 6 Теперь удалим из дуги F \ вертикальные отрезки [—і, 0] и [1,1 — г], и обозначим полученную дугу F2. Она начинается в точке 0 и заканчивется в точке 1. Очевидно, m±(F2]t) = 1 при t Є F 2, и in(F2; 1) = 1. В точке 0 простые оценки интегралов по прямоугольникам pnj и перемежающим их прямоугольникам дают m(F2;0) = аГ[.

Пример 7 Теперь мы рассмотрим известную кривую Вейерштрасса, то есть график Fw функции оо Wa{x) := У k na sin кпх, 0 х 2п, п=1 где к 1 - натуральное число и 0 а 1. Хорошо известно (см., напр., [59]), что эта функция не дифференцируема ни в одной точке и удовлетворяет (в том числе локально) условию Гёльдера с показателем а, причём это точное значение гёльдерового показателя. В работе [24] доказано, что размерность Минковского графика функции удовлетворяющей условию Гёльдера с показателем а не превосходит 2-а. Поэтому величины m (Fw , t), t Є F w, xn(Fw , 0) и m(Fw , 2n) не меньше а в силу теоремы 1.

Как уже отмечалось, у концевых точек t\ нет окрестностей, которые делились бы кривой Г на правую и левую компоненты. Поэтому свойства неспрямляемой дуги вблизи её концов придётся изучать отдельно. Кроме того, в тех же точках теряет смысл краевое условие задачи о скачке; его можно заменить каким-либо условием на рост искомой функции. Аналогичные затруднения возникают при построении квазирешений, интеграторов и интегрирований.

Мы последовательно преодолеем это препятствия, начиная с построения интеграторов (они же квазирешения). В дальнейшем возникают ситуации, когда вблизи концевой точки они ведут себя иначе, чем вблизи внутренней точки дуги. Поэтому здесь целесообразно использование переменного показателя интегрируемости.

Определение 9 Пусть Г - дуга нулевой площади, а p(t) 1 - заданная на ней действительная функция. Функция F(z) называется р—интегратором, если: - F непрерывна и дифференцируема в С \ Г и имеет компактный носитель; - F и её частные производные первого порядка интегрируемы в С, причем каждая точка і є Г имеет окрестность, в которой эти производные интегрируемы в степени pit); - F имеет предельные значения с обеих сторон F наТ , и они связаны соотношением F+[t) — F (t) = f(t),t Є Г . Если функция / имеет р-интегатор F, то мы называем распределение [{S) , , ,со [{S) , , ff 9Fu ,_ / at : C0 Э Co» і— - jijj clz = — dzclz Jr Jr c oz интегрированием по Стоксу. Данное определение отличается от использовавшегося ранее тем, что на концах дуги условие существования граничных значений заменяется интегрируемостью F и его производных.

При построении интеграторов нами будет использоваться понятие прикосновения. Мы будем говорить, что точка і Є Г обладает свойством S—прикосновения (R—прикосновения или L—прикосновения), если существует гладкая дуга (соответственно, спрямляемая дуга или отрезок прямой) с концом t, не имеющий других общих точек с Г. Множества точек дуги Г, обладающих свойствами S—прикосновения, R—прикосновения или L—прикосновения мы будем обозначать S(T), R(T) и L(T) соответственно. Очевидно, Ь(Т) С S(T) С R(T). В качестве примера рассмотрим логарифмическую спираль z = г exp(ilogr), 0 г 1. Её начальная точка 0 обладает свойством R—прикосновения, но не свойствами S—прикосновения или L—прикосновения , а все остальные её точки - всеми тремя этими свойствами. Для спирали бесконечной длины z = гехр(гг_1),0 г 1, точка 0 не обладает свойством R—прикосновения.

Лемма 6 Множество Ь{Т) всюду плотно на Г.

Эта лемма доказана в [25]; здесь мы приведем её доказательство для полноты. Оно основано на известном свойстве замкнутой выпуклой оболочки: граница выпуклой оболочки замкнутого плоского множества состоит из точек этого множества и из не принадлежащих ему точек прямых. Пусть tиt - две различные точки Г, а 7 - ограниченная этими точками часть Г. Пусть Л - граница выпуклой оболочки 7- Если она содержит хотя бы одну точку 7 кроме tut , то эта точка обладает свойством L—прикосновения. Предположение противного сразу приводит к противоречию. Значит, между любыми двумя точками Г лежит хотя бы одна точка множества L(T).

Очевидно, множества S(T) и R(T) тоже плотны в Г.

Мы рассмотрим сначала дуги, оба конца которых обладают одним из этих свойств прикосновения. В случае L и S—прикосновений это значит, что эти дуги не скручиваются в спирали на концах. Концы дуги Г с таким свойством можно соединить спрямляемой (в случае R—прикосновения) или даже гладкой (в случае S—прикосновения) дугой Л, не имеющей с Г других общих точек, кроме концов. Объединение Г U Л есть замкнутая кривая; будем считать, что её положительное направление совпадает с направлением Г. Без ограничения общности можно считать, что дуга Л сколь угодно гладкая во всех своих точках за возможным исключением концов. В дальнейшем мы называем дуги с таким свойством замыкаемыми. Этот класс кривых был введён в работе [34]; при исследовании задачи Римана он был впервые использован в [25]. При необходимости мы будем уточнять, идет речь о замыкаемости спрямляемой (R—замыкаемость) или гладкой (S—замыкаемость) дугой.

Кроме того, ниже используется один класс кривых, промежуточный между R—замыкаемыми и S—замыкаемыми. Пусть спрямляемая дуга Л обладает следующим свойством: суммарная длина её частей, лежащих в любом круге радиуса г не превосходит Сг, где положительная постоянная С не зависит ни от г, ни от центра круга. Это свойство имеет несколько названий: свойство Карлесона, регулярность по Аль-форсу, AD—регулярность и т.п. Мы будем называть R—замыкаемую дугу Г AD—замыкаемой, если замыкающую её дугу Л можно выбрать AD—регулярной.

Пусть на замыкаемой дуге Г определена функция / Є Hvoc(T), где, как и выше, функция v(t) отделена от нуля на Г, то есть v(t) v О при любом і є Г. Продолжим / на всю комплексную плоскость по Уитни и обозначим продолжение fw. Эта функция удовлетворяет в С условию Гёльдера с показателем и, а в точках множества С \ Г имеет частные прозводные всех порядков.

Однородная и неоднородная задачи Римана на неспрям-ляемых дугах

Рассмотрим задачу Римана для периодических функций. Это известная краевая задача, имеющая ряд приложений; см. [9], [12], [63]. Её теоретическое значение состоит в том, что это простейшая краевая задача для автоморфных функций, а приложения относятся в-основном к теории упругости. Обычно её решают на периодической решетке кусочно-гладких кривых. Здесь мы рассмотрим эту задачу на бесконечной периодической неспрямляемой кривой. По-видимому, это первое исследование краевой задачи Римана на бесконечной неспрямляемой кривой.

Пусть Г / 0. Множество А С С называется Т—периодическим, если А + Т = А, где А -\- Т := {z Є С : z — Т Є А}. Очевидно, любая Т—периодическая кривая Г представима в виде объединения всевозможных пТ—сдвигов любой своей дуги 7 с концами t\ и 2 = t\ + Т, то есть Г := I J { Є С : — пТ Є 7І- (3.1) Всюду ниже мы считаем, что кривая Г простая, а дуга 7 неспрямляема, имеет нулевую меру и направлена от t\ к 2. Этим определяется и направление кривой Г. Эта кривая замкнута в С и разделяет плоскость на области D+ и D лежащие слева и справа от Г соответственно.

Отметим, что множество L(T) точек прямолинейного прикосновения к Т—периодической кривой Г тоже является Т—периодическим. Это относится и к множествам L+(T) и L (T), состоящим из точек этой кривой, к которым можно прикоснуться прямолинейным отрезком слева и справа соответственно, а также к множествам S(T), AD(T) и R(T), а также к соответствующим множествам одностороннего прикосновения. Т—периодическими на Г будут и функции т(Г; ), т+(Г; t) и т (Г; t). Пример 11 2тг-периодической является кривая Вейерштрасса F , то есть график функции оо Wa{x) := У k na sin кпх, — оо х +оо, га=1 где к 1 - натуральное число и 0 а 1. Как и в рассмотренном выше примере 7, величины m±(F ;t) иm(Fv ;i) не меньше показателя а при любом t Є F y . Ко всем точкам этой кривой можно прикоснуться слева (т.е., сверху) и справа (снизу) вертикальными отрезками. Пример 12 На основе примера 10 можно построить периодические кривые, у которых не все точки допускают прикосновение. Пусть, например, v есть дуга из примера 10. Присоединим к ней вертикальные отрезки [—2; — 2 — 2г], [1 — 2г; 1] и горизонтальный отрезок [—2 — 2г; 1 — 2г], и обозначим полученую дугу с началом в точке —2 и концом в точке 1 через в. Тогда кривая О := I J {t Є С : t — Зп Є в} является 3—периодической, а к ее точкам Зп, п Є Z, нельзя прикоснуться спрямляемой дугой ни с одной стороны. Очевидно, m±(G;t) = m(G; t) = 1 при t Є в \ 3Z, а при ап = п а, Ьп = п [3, 0 а, в 1, п Є Z _ (а-\-8 а-\-ВЛ , 1 m (в; Зтг) = max , , m(6;3n) = l (1 — m (f;0)). 1 + ojl+p к Аналогично можно построить периодическую кривую с периодическим подмножеством точек, не допускающим прикосновения с одной из сторон.

Отметим еще одно свойство периодических кривых. Вообще говоря, продолжение Уитни определено для компактных множеств, а бесконечная периодическая кривая не компактна. Но известная конструкция разложения Уитни [41] позволяет считать разложение Уитни дополнения С\Г Т—периодической кривой Г также Т—периодическим, т.е. содержащим вместе с каждым квадратом Q его сдвиг Q-\. Построенное по такому разложению продолжение Уитни Т—периодической функции также будет Т—периодическим. Итак, всякая заданная на Т—периодической кривой Т—периодическая функция имеет Т—периодическое продолжение на всю комплексную плоскость, обладающее всеми свойствами продолжения Уитни. Без ограничения общности можно считать, что носитель этого продолжения лежит в трубчатой окрестности этой кривой {z : dist(z; Г) є} для любого заданного є 0.

В этом параграфе мы решаем краевую задачу Римана на периодической кривой Г, предполагая, что искомая функция Ф(г) и заданные коэффициенты G(t), g(t) являются Т—периодическими.

Сначала мы построим интегратор для сужения Т—периодической функции / Є Hlvoc(T) на дугу 7. Показатель г () таже можно считать Т—периодическим. Дугу 7 выберем так, чтобы ее начало t\ обладало свойством L—прикосновения. Для конкретности будем считать, что это прикосновение слева. Тогда, очевидно, ее конец 2 = t\ + Т также будет обладать этим свойством. Иными словами, эту дугу можно выбрать L—замыкаемой, причем замыкающая дуга Л может быть выбрана полностью лежащей в D+, и направление Г совпадает с положительным направлением обхода замкнутой кривой А П 7.

Задача Римана для двояко-периодических функций на системе неспрямляемых кривых

Р. Абреу-Блайя, Х. Бори-Рейес, Д. Пенья-Пенья и Ж.-М. Вилье [75] - [79] исследовали разрешимость аналогов краевой задачи Римана и ряд связанных с ней вопросов для таких функций. Так, в статье [78] доказано, что задача о скачке для /3—аналитических функций на неспрямляе-мом контуре Г разрешима, если граничные данные принадлежат классу Ни(Т), где показатель v удовлетворяет критерию ( ). Далее, в работе [79] разрешимость задачи Римана для /3—анвлитических функций на неспрямляемом контуре Г установлена в предположении, что контур является d-суммируемым при d 2ь . Понятие ( -суммируемости введено Дж. Харрисон и А. Нортоном [34]; контур Г называется d-суммируемым, если сходится интеграл Г„ N(T: x)xd ldx. Здесь N(T: х) есть наименьшее число кругов радиуса х, необходимых для покрытия Г. Извеcтно [34], что ( -суммируемость Г влечет неравенство dm Г d, а при dm Г d множество Г является d-суммируемым.

Здесь мы опишем разрешимость задачи Римана для /3—аналитических функций в терминах показателей Марцинкевича. Как и выше, полученные условия разрешимости улучшают полученные ранее. А.Б. Тунгатаров [73, 74] установил, что если функция / дифференцируема в области D с ляпуновской границей Г, то при z Є D 1 f f(()d( f3 f (f(()d( j(z) = : :7777 H : = h 2(1 — р)тгі ( — z\z/Qe 2(1 — р)тгі ((( — z\z/(\e) г г ч Ж 27гг(1 — р) D о JyQdQaQ + ( — z а при z Є C\D левая часть этого равенства равна нулю (аналог формулы Бореля-Помпейю). Далее, он исследовал интегральный оператор г? ц 1 [[ ip{Qddri 1 . ip Г-Ї 1 ip := — (1 — р)тт j. C С, — z где о = ГГ5, С, = q + гг]. В предположении, что функция ip дифференцируема в C \ Г, её носитель компактен и производные интегрируемы в C в некоторой степени q 2, для него верны следующие утверждения [73, 74]: - функция T ip непрерывна в C, исчезает в бесконечно удаленной точке и удовлетворяет условию \T \p(z) — Т р(()\ с \z\z\ — СІСІ Г (3.18) где— -\ 1, а с - не зависящая от z и С положительная постоянная; q р - оператор Т - правый обратный к дифференциальному оператору 77/З 77 п Z г\ 77/3 о -і о := о —р- о, то есть о 1 \р = р; при р Є L это рвенство понимается в смысле С.Л. Соболева, но в точках непрерывности ip оно верно и для обычных производных. Отсюда следует, что для всякой /3—аналитической в области D функции справедливо равенство 1 f f(()d( f3 f (f(()d( j{z) = : :77777 H— : = ,ZED, 2(1 — р)тгі ( — z\z/Qe 2(1 — р)тгі ( — z\z/(\e) г г а вне этой области левая часть равна нулю (аналог формулы Коши). Рассмотрим задачу о скачке для /3—аналитических функций, т.е. задачу об отыскании /3—аналитической в областях D+ = D, D- = С \ Г и непрерывной в их замыканиях функции Ф, удовлетворяющей краевому условию (1.2) и исчезающей в бесконечно удаленной точке. В работе [75] эта задача решена для кусочно-гладкой кривой. В этом случае решение дается формулой 1 f f(C)dC ft f C/(C) C ,n тл P(z) = : :jr -\ : = , Z Є С \ Г. 2(1 — р)тгі ( — z\z/Qe 2(1 — р)тгі ( — z\z/(\e) г г Задача о скачке для /3—аналитических функций на неспрямляемых кривых решена в работах [78], [79] методом регуляризации квазирешений. В работе [78] установлено, что она разрешима при условии ( ), а в работе [79] - при условии, что кривая d-суммируема при d 2ь . Здесь мы будем искать решение в виде (S) (S) і f f(C)dC ft f C/(C) C &o(z) = :jr -\ = . (3.19) 2(1 — p)7vi ( — z\z/Q 2(1 — p)7vi ((( — z\z/(\e) г г Пусть / Є Hlvoc(T) и выполнено условие (1.6). Если F - р—интегратор для / на Г, р 2, построенный в первой главе, то с помощью обычных преобразований мы получаем представление Фо(-г) := F(z) — Т д F(z), (3.20) а из свойств оператора Т немедленно следует, что эта /3—аналитическая функция удовлетворяет краевому условию (1.2) и исчезает в бесконечно удаленной точке.

Далее, в работе [75] доказано следующее обобщение теоремы Е.П. Долженко.

Теорема E Если область D содержит множество Y, а функция Ф(-г) является /3 — аналитической в D\Y и удовлетворяет в D условию Гель-дера с показателем ц сЬхшГ — 1, то эта функция /3 — аналитическая в D.

Используем этот результат для доказательства единственности решения рассматриваемой задачи. Положим 4 i(z) := j(z) — T д ipj(z), j = 1, 2,... , n, где функции г/jj построены при доказательстве теоремы 2. Первое слагаемое в правой части этого равенства удовлетворяет в D+ и в D- условию Гельдера с показателем v(tj), а второе - условию (3.18) в С. Пусть fi(t) есть заданная на Г положительная функция, удовлетворяющая условию (3.21) а А есть конечная область, содержащая Г внутри себя. Входящая в условие (3.18) функция z\z\e имеет в А ограниченные частные производные первого порядка, то есть при z,( Є А мы имеем рІ Ґ- СІСП — c\z С1,С = С(Д). Значит, второе слагаемое удовлетворяет в А условию Гельдера с показателем - — 1. По условию (3.21)

Согласно лемме частные производные г/jj интегрируемы в степени q, и в силу свойства (3.18) образ этой функции T x\)j удовлетворяет условию Гельдера с показателем — 1 u(tj). Легко видеть, что в любом замкну-том множестве, не пересекающем носителя ipj, этот образ удовлетворяет этому условию с показателем, сколь угодно близким к единице. Следо п вательно, граничные значения решения фо = 2 Фі принадлежат классу 3 =1 Н1С(Г) для любого /i(t), удовлетворяющего правому неравенству условия (3.21). Пусть теперь ф - разность двух решений, удовлетворяющих условиям теоремы. Зафиксируем точку t Є ; у нее есть окрестность N в С такая что разность ф в N удовлетворяет условию Гельдера с показателем fi(t) dmh — 1. Поскольку в N \ она /3—аналитична, то она является /3—аналитической в N, а в силу произвольности точки t и во всей плоскости. Очевидно, ф(оо) = 0, и чтобы завершить доказательство единственности решения нам необходимо обобщение теоремы Лиувил-ля для /3—аналитических функций. Такое обобщение также доказано в работе [75].

Теорема F Всякая ограниченная и f3—аналитическая во всей комплексной плоскости функция является константой.

Отсюда немедленно следует

Теорема 31 Если / Є Hlvoc(), где v удовлетворяет условию (1-6), то задача о скачке для /5-аналитических функций разрешима, и одно из ее решений дается формулой (3.19). Если, кроме того, выполнено условие 3.21, то это единственное решение в классе И().

Как мы уже видели, условие (1.6) менее ограничительно, чем условие ( ). Из приведенных выше свойств d—суммируемых кривых следует, что оно улучшает и условие разрешимости в терминах суммируемости кривой.

В работе [77] получен еще один результат, обобщающий теорему Ли-увилля для /3—аналитических функций.

Теорема G Если /3 — аналитическая во всей комплексной плоскости функция (z) удовлетворяет оценке ( г) = o(zr); г 0, то (z) = P(z\zf), где Р - алгебраический многочлен степени не выше 1 — 1,1-наименъшее из целых чисел, удовлетворяющих неравенству 1(1+в) г, а в - то же, что и выше.

Используя эту теорему, нетрудно получить следующее описание картины разрешимости краевой задачи Римана для /3—аналитических функций на неспрямляемых кривых. Это задача об отыскании /3—аналитической в областях D+ и D- и непрерывной в их замыканиях функции , удовлетворяющей краевому условию (1.24) и исчезающей в бесконечно удаленной точке. Уже не раз применявшиеся здесь рассуждения приводят к следующему результату.