Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение функций в L2[0, 27г], структурные свойства которых характеризуются т-модулями гладкости 23
1.1. Описание различных модификаций модуля непрерывности. т модули гладкости 23
1.2. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и т-модуль гладкости функций из L2 34
1.3. Общая экстремальная задача для т-модулей гладкости т-го порядка в L2 39
Глава II. Значения n-поперечников классов функций, определяемых т-модулями гладкости 51
2.1. Необходимые определения и обозначения 51
2.2. Точные значения n-поперечников класса Wq(тт; К) 55
2.3. Точные значения n-поперечников класса Wq \Т\] ip, h) и некоторые следствия из полученных результатов 59
2.4. Точные значения n-поперечников класса Wq [т\] Ф) 65
Заключение 74
Список литературы
- Неравенства, содержащие наилучшие приближения и т-модуль гладкости функций из L2
- Общая экстремальная задача для т-модулей гладкости т-го порядка в L2
- Точные значения n-поперечников класса Wq(тт; К)
- Точные значения n-поперечников класса Wq \Т\] ip, h) и некоторые следствия из полученных результатов
Введение к работе
Актуальность темы. Теория приближения функций представляет собой весьма обширную ветвь математического анализа, занимающуюся проблемами приближенного представления функций линейными суммами конечного числа более простых функций, так чтобы возникающая при этом погрешность была наименьшей. Особое внимание в этой теории уделяется решению экстремальных задач, в которых требуется определить точную верхнюю грань погрешности приближения на заданном классе функций или указать для этого класса наилучший метод приближения фиксированной размерности. Существенные результаты при решении сформулированных экстремальных задач теории аппроксимации были получены А.Лебегом, Ш.Ж.Валле-Пуссеном, Д.Джексоном, С.Н.Бернштейном, А.Зигмундом в начале двадцатого века и А.Н.Колмогоровым, Ж.Фаваром, Н.Ахиезером, М.Г.Крейном, Б.Надем, С.М.Никольским, С.Б.Стечкиным, В.К.Дзядыком, Н.П.Корнейчуком, В.М.Тихомировым в середине двадцатого века.
Одной из центральных экстремальных задач теории приближений является задача о точных константах в неравенствах типа Джексона-Стечкина. Под неравенствами типа Джексона-Стечкина в рассматриваемом нормированном пространстве понимают неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством оценивается через некоторую характеристику ее гладкости. Следует отметить, что точные константы в неравенстве Джексона-Стечкина в различных нормированных пространствах найдены в работах Н.П.Корнейчука1, Н.И.Черных2, Л.В.Тайкова3, А.А.Лигуна4, В.И.Иванова5,
В.И.Иванова и О.И.Смирнова6, В.Ю.Попова7, В.В.Арестова8, В.А.Юдина9,
1Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д.Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // ДАН СССР. 1962. Т.145, №3. С.514-516.
2Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Матем. заметки. 1967. Т.2, №5. С.513-522.
3Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 // Матем. заметки. 1976. Т.20, №3. С.433-438.
4Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L2 // Мат. заметки. 1988. Т.43, №6. С.757-769.
5Иванов В.И. Точные L2-неравенства Джексона – Черных – Юдина в теории приближений // Изв. Тульского госуниверситета. Естественные науки. 2012. №3. С.19-28.
6Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. – Тула: ТулГУ, 1995, 192 с.
7Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. №6. С.65-73.
8Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенство Джексона на сфере в L2 // Известия вузов. 1995, №8. С.13-20.
9Юдин В.А. К теоремам Джексона в L2 // Матем. заметки. 1987. Т.41, №1. С.43-47.
С.Б.Вакарчука10'11'12, М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова13'14 и других.
В диссертационной работе установлены окончательные оценки наилучших приближений периодических функций тригонометрическими полиномами посредством т-модулей гладкости произвольного порядка и даны их приложения в задаче отыскания точных значений n-поперечников некоторых функциональных классов.
Цель и задачи исследования. Цель работы состоит в нахождении точных верхних граней наилучших приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на классах непрерывно-дифференцируемых функций, определяемых т-модулями гладкости, и отыскании точных значений различных n-поперечников на указанных классах функций.
Основные методы исследования. В диссертации используются современные методы теории приближения оптимизационного содержания и методы решения экстремальных задач теории функций. Неоднократно используется известная теорема Тихомирова об оценке снизу п-поперечников.
Научная новизна исследований. В диссертации получены следующие основные результаты:
Найдены точные неравенства типа Джексона - Стечкина между величинами наилучших среднеквадратичных приближений периодических дифференцируемых функций и т-модулями непрерывности высших порядков г-ых производных функций.
Найдены точные верхние грани наилучших полиномиальных приближений некоторых классов периодических дифференцируемых функций, задаваемых т-модулями непрерывности т-го порядка.
Вычислены точные значения различных n-поперечников на классах функций, задаваемых усредненными с весом значениями т-модулей непрерывности высших порядков производных.
10Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L2 // Матем. заметки. 2005. Т.78, №5. С.792-796.
11Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Матем. заметки. 2006. Т.80, №1. С.11-19.
12Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона – Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Матем. заметки. 2012. Т.92, №4. С.497-514.
13Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т.90, №5. С.764-775.
14Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций в L2 // Сибир. матем. журнал, 2011, т.52, №6, с.1414-1427.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Развитые в ней методы и полученные результаты могут применяться при решении других задач теории приближения, в вопросах кодирования и восстановления функций. Главы диссертации в отдельности могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальности математика.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на:
семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан под руководством академика АН РТ М.Ш.Шабозова (Душанбе, 2012-2016 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы математического анализа и теории функций” (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы математики и ее преподавания”, посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.);
международной научной конференции, посвященной 80-летию член-корреспондента АН Республики Таджикистан, доктора физико-математических наук, профессора Стаценко Владислава Яковлевича
Современные проблемы функционального анализа и дифференциаль-”
ных уравнений” (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы математики и ее приложений” (Душанбе, 3-4 июня 2016 г.);
международной летней математической Школе-Конференции С.Б. Стеч-кина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016 г.)
Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 8 работах [1–8]. Из них 4 статьи опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК Российской Федерации, а 4 статьи в трудах международных конференций. Из совместной с научным консультантом М.Ш.Шабозовым работы [2] на защиту выносятся лишь результаты, полученные лично автором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 75 наименований, занимает 82
Неравенства, содержащие наилучшие приближения и т-модуль гладкости функций из L2
С величинами (0.0.28) - (0.0.30) связана задача отыскания значения п-поперечников для различных классов функций ШТ. Напомним определения n-поперечников, значения которых для конкретных классов 9JT вычислим в этой главе. n-поперечником в смысле А.Н.Колмогорова [28] класса функций 9JT в пространстве L2 называют величину GL(9JT, LO) = inf Е(?ІЇІ, „)гп: Сп С Lo k (0.0.31) где нижняя грань берётся по всем подпространствам заданной размерности п из пространства L2. Если исходить из наилучшего линейного приближения (9Л,„)г„, то величину 5п(9Л, Lo) = inf (9Л, Cn)rjn : Сп С Lo (0.0.32) называют линейным n-поперечником класса 9JT в пространстве L2. Аналогичным образом, взяв за основу величину (0.0.30), вводят в рассмотрение проекционный п-поперечник 7г„(ШТ, Lo) = inf (9JT,„)r„ : Сп С Lo\. (0.0.33) U \ , у 1 UJ у U 2 UJ Существуют ещё две величины, известные в теории приближений под названиями п-поперечник по Гельфанду и п-поперечник по Бернштейну. Пусть S - единичный шар в пространстве L2, то есть S = {х Є L2, ж2 1}. Величину in(9JT, L i) = inf inf 9JT П Cn С eS : є 0 : n С L2 k (0.0.34) где внешний инфимум берётся по всем подпространствам Сп коразмерности п, называют n-поперечником по Гельфанду, а величину Ьп(9Л; L i) = sup sup eS П Cn+\ С 9JT : є 0 : п+і С L2 f (0.0.35) называют n-поперечником по Бернштейну. Хорошо известно, что в гильбертовом пространстве L2 между величинами (0.0.31) - (0.0.35) выполняются следующие соотношения [38,53]: Ьп(дЛ; L2) dn($Jl; L2) dn(?0l] LQ) = 5п(УЛ] L i) = 7гп(9Л; L ). (0.0.36) Исходя из полученных в первой главе результатов, связанных с характеристикой гладкости тт(/; 1,м) /, определим следующие классы функций. Через Wq (rm;h) обозначим класс функций / Є L2 , для которых при любых г, т Є N, h Є М+\{0} и 1/г g 2 выполняется неравенство h If ( л — TJn{Jy ] l,t)2 2 dt 1. /г о Символом Wq (ті; ір, /і), где 1/r g 2, г Є N, обозначим класс функций / Є L2 , для которых при любом h Є М+\{0} и произвольной неотрицательной суммируемой на отрезке (0, h] функции ср выполняется ограничение h 1 f Q ( л — Ті(/ , 1, MJ2 2 ip\U)du 1. /г о Через Wq (гі;Ф) обозначим множество функций / Є L2 , для которых при любых г Є N, 1/r g 2, /І Є [0, 2-7г] выполняется условие /і /г О где Ф(/г) - неотрицательная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Основным результатом второго параграфа второй главы является следующее утверждение. Теорема 2.2.1. Пусть г, т Є N, h Є М+\{0} и 1/r q 2. Тогда при любых п Є N имеют место равенства Л2п\У п \Tm i h) i L/2j = A2n—l("a \Гт] її)] L/2j = E[\V \Тт і " )? 2n—IJL2 = f nh \ _1/? = 2-m/2rTr+1/ / - / (rlJ m (t)) eft , (0.0.37) \ h і где Ап(-) - любой из п-поперечников bn(-), in(-), rfn(-), „,() или 7ГП(-). Следствие 2.2.1. При выполнении условий теоремы 2.2.1 справедливы равенства /Л9ГЇ ( VF ( 7 1 h) J-JO ) —— /л9 п 1 ( Vr ( 7 1 h) J-JO ) —— -C/ ( Vr ( 7 1 /Z ) ї-УОгі 1 ) T —— I nh /о \ llq = 2-1/2n-r+1/q - / ( 1 - — ] rft . (0.0.38) \ "- t J В частности, при q = 2 имеем А2п(И/2 (ті; /г); L2) = A2n-i(W2 (гь ); - 2) = Ж 2 (гь )? 2«.-I)L2 = (7 \ 1/2 2{nh — Si{nh)) nti 777 0 n ъ- (0.0.39) 2{nh — bi{nh)) Отметим, что равенства (0.0.39) в определенном смысле являются обобщением одного результата Л.В.Тайкова [46] о наилучшем полиномиальном приближении периодических функций, принадлежащих пространству L2[0,27r], структурные свойства которых характеризуются усредненными значениями модулей непрерывности первого порядка их производных f(r Є L i.
В третьем параграфе второй главы вычислены точные значения всех перечисленных выше n-поперечников классов функций, определяемых усредненными значениями т-модуля гладкости и произвольной неотрицательной не эквивалентной нулю весовой функции. Из полученных общих результатов выведены некоторые следствия для конкретных весовых функций, а также вычислены точные верхние грани модулей абсолютных значений коэффициентов Фурье на указанных классах функций.
Общая экстремальная задача для т-модулей гладкости т-го порядка в L2
В этом пункте излагаем необходимые определения и обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Пусть 9JT С L2 - некоторый класс функций и пусть Сп С L2 - некоторое подпространство заданной размерности п. Величину Е(?ІЇІ, Cn)rjn = sup E(f; Сп)г„: f Є 9JT = = sup inf / — g\\2 : g Є Cn\ : / Є 9JT (2.1.1) называют наилучшим приближением класса 9JT подпространством п заданной размерности п. Величина (2.1.1) характеризует отклонение класса 9JT от подпространства Сп в метрике пространства L2.
Если обозначить через A{L2)Cn) множество всех непрерывных операторов А : L2 — Сп, действующих из L2 в произвольно заданное подпространство Сп С L2 размерности п, то возникает следующая задача: найти величину (9Я, Сп)т„ = inf sup f — Af : f є 9JT : А є v4(Lo, L„) (2.1.2) и указать оператор А С „4(L2,n), реализующий точную нижнюю грань в (2.1.2): (9Я,Сп)т„ = sup f — A f : fG9JT. Задачу (2.1.2) можно рассматривать в более узком смысле: нижнюю грань искать не по всему множеству A{L2)Cn) непрерывных операторов A:L2 — Сп, а только по некоторому классу таких операторов, которые определяются тем или иным способом задания. В частности, можно выделить в A{Li2)Cn) некоторый класс линейных непрерывных операторов А: L2 — Сп и рассматривать величину (9Л, Cn)rjn = inf sup f — Af : f є 9JT : Л С A(Lo,Cn) \. (2.1.3) Если в выделенном классе существует оператор А : L2 — Сп, для которого достигается внешняя нижняя грань в (2.1.3), то такой оператор определяет наилучший линейный метод приближения в задаче (2.1.3), то есть (9Л, Сп)и = sup f — A f : f є 9JT k Если же в A(L2,Cn) выделить класс AL{L2)CV) операторов А линейного проектирования на подпространство Сп, то есть таких, что Af = f при условии / Є Сп, то принято рассматривать величину (9JT, Сп)т,п = inf sup f — Af : f є 9JT : Л С A (L2,Cn)\. (2.1.4) С величинами (2.1.1) - (2.1.4) связана задача отыскания значения ряда n-поперечников для различных классов функций ШТ.
Напомним определения n-поперечников, значения которых для конкретных классов 9JT вычислим в этой главе. п-поперечником в смысле А.Н.Колмогорова [28] класса функций 9JT в пространстве L2 называют величину GL(9JT, LO) = inf ЕІ ЇІ, Сп)г„: Cn (Z Lo, (2.1.5) где нижняя грань берётся по всем подпространствам заданной размерности п из пространства L2. Если исходить из наилучшего линейного приближения (9Я, „)г„, то величину 5п(9Л, Lo) = inf (9Л, JCALп: Сп С Lo (2.1.6) называют линейным п-поперечником класса 9JT в пространстве L2. Аналогичным образом, взяв за основу величину (2.1.4), вводят в рассмотрение проекционный п-поперечник 7г„(ШТ, Lo) = inf (9JT,„)r„: / „cLok (2.1.7) V і it j и 2 it Существуют ещё две величины, известные в теории приближений под названиями n-поперечник по Гельфанду и n-поперечник по Бернштейну. Пусть S - единичный шар в пространстве L2, то есть S = {х Є L2, ж2 1}. Величину in(9JT, L i) = inf inf 9JT П Cn С eS : є 0 : n С L i , (2.1.8) где внешний инфимум берётся по всем подпространствам Сп коразмерности п, называют п-поперечником по Гельфанду, а величину Ьп(9Л; L i) = sup sup eS П n+i С 9JT : є 0 : n+i С L2 (2.1.9) называют п-поперечником по Бернштейну. Очевидно, что между величинами (2.1.5) - (2.1.9) в пространстве L2 выполняются соотношения [38,53]: Ьп(дЛ; L2) dn($Jl; L2) dn(?0l] LQ) = 5п(УЛ] L i) = 7гп(9Л; Li). (2.1.10) Первое неравенство bn($Jl; L2) in(9JT;L2) в (2.1.10) можно найти в монографии A.Pinkus [38, с.19], а все остальные — в монографии В.М.Тихомирова [53, с.239]. Используя характеристику гладкости тт(/; и) и исходя из полученных в первой главе результатов, определим следующие классы функций. Через Wq (rm;h), где 1/r q 2 некоторое фиксированное число, обозначим класс функций / Є L2 , для которых выполняется неравенство h If 1 \ — T!L(J{ ] l,t)22 dt 1. h 0 Здесь r, m Є N, /iG M+\{0}. Пусть (/9 — неотрицательная суммируемая на отрезке [0, h] и не эквивалентная нулю функция. Символом Wq (ті; (/?,/г), 1/r g 2; г G N, /1 G М+\{0}, обозначим класс функций / Є L2 , для которых выполняется ограничение h 1 [ я л — Ті(/ , 1, и)2 2 (рЫ)аи 1. /г о Через Wq (ті; Ф), где г Є N, 1/г 2, обозначим множество функций / Є L; , для которых при любом h Є М+\{0} выполняется условие h 1 / „ с-, — ГЇ (/ ; 1,и)22du Фч(п). /г о Здесь Ф — определенная на множестве [0, оо) возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.
Точные значения n-поперечников класса Wq(тт; К)
Требуется показать, что функция (p(ji) 0 для любых значений 0 /І оо. Рассуждение проведем отдельно для каждого из трех случаев: I. 0 /І 7г; II. 7Г /І ; III. t /І оо. I. Пусть 0 /І 7Г. В этом случае, воспользовавшись неравенством sin t t б при 0 t 7Г, с учетом неравенства (2.4.10) запишем / ч „-и Л 7ia(a + l)fiq-a\ (РкР) М 1 т= (2.4.12) vQ(q + 1) Из неравенства (2.4.12) следует, что при /І — 0 + 0 функция /?(/І) принимает положительные значения.
Покажем, что функция ср является знакопостоянной на интервале (0,7г). Для этого, рассуждая от противного, полагаем, что на множестве (0,7г) существует некоторая точка, в которой ср меняет свой знак. Поскольку, как следует из формул (2.4.7) и (2.4.11), р(0) = р(тт) = 0, то в силу теоремы Ролля производная первого порядка / / а/2\ // of Sin/i\ \ р ш) = (о; + 1) /І —7Г 1 (2.4.13) і1 должна иметь на интервале (0,7г) не менее двух различных нулей. Столько же нулей и в тех же точках на (0,7г) будет иметь и функция і1 (fia q — 7T a q (fi — sin/І) ) := — (/?2(/-0- (2.4.14) /j, = - fi2a/q - 7r2a/q (fi - sin fi) := /j, /i Это же касается и только что введенной функции ср2. Поскольку (/22(0) = (тг) = 0, то производная первого порядка (р Ы) = (— + 1 ) м2«/« - 7г2а/ /(1 - cos /І) (2.4.15) должна иметь на множестве (0,7г) не менее трех различных нулей. Учитывая, что (/ (О) = 0, производная второго порядка ( Ы = ( + 1 ) — а1ч-1 - n2a/q sin fi (2.4.16) q q должна иметь на (0,7г) также не менее трех различных нулей. Так как 2а/ q — 1 0 в силу равенства а д/2, то (О) = 0. Это означает, что производная третьего порядка (Д"(м) =( + 1) ( _Л а1ч-1) - n2a/q cos fi (2.4.17) q q q будет иметь на (0,7г) не менее трех различных нулей. Учитывая неравенство а q, отмечаем, что a q l является монотонно убывающей выпуклой вниз положительной функцией, расположенной в первом квадранте. Исходя из вида функции ср и чисто геометрических соображений, заключаем, что она может иметь на (0,7г) не более двух различных нулей. Полученное противоречие доказывает справедливость неравенства (2.4.10) на интервале (0,7г).
Рассмотрим далее случай II, когда 7г /І t (4,49 t 4,51). Поскольку на данном множестве функция cos /І принимает отрицательные значения, то из формулы (2.4.17) получаем {ц) 0. Следовательно, на отрезке [7Г, ] вторая производная cp J, является возрастающей функцией. Поскольку в силу (2.4.16) /?2 (тг) 0, то и для любого значения /і Є [7Г, ] получаем р іц) 0. Отсюда следует, что также является возрастающей функцией на отрезке [7Г, ]. Учитывая, что а q/2, и используя соотношение (2.4.15), имеем if 2(7г) = (-fp — 1) 7T2a q 0. Поскольку в силу указанного (м) 0 для любого /І Є [7Г, ], то функция ср2 будет возрастающей на множестве [7Г, ]. Из формулы (2.4.14) получаем ( (тг) = 0. Следовательно, {Р2{ц) 0 для произвольного /І Є [7Г, ]. Указанное на основании (2.4.14) касается и функции ері. Учитывая вид р \ и соотношение (2.4.13), для любого 7Г /i t запишем неравенство (/? (/І) 0. Поскольку (р(тт) = 0 то очевидно, что p(jJ.) 0, где 7Г /І , а это означает справедливость неравенства (2.4.10) в случае II. Переходя к случаю III, когда t /І оо, запишем соотношение (2.4.11) в следующем виде: 1/ 4-\ //2 / / \ //2 (рЫ) = ца+ — тта(а + 1) I / (1 dt + (/І — t ) I 1 w t o Отсюда получаем 1 . (2.4.18) Путем непосредственных вычислений можно убедиться в том, что t /lT 1— sin(t )/t . Учитывая данное неравенство и соотношение а д/2, из (2.4.18) имеем lu a((t \a Л 8Іп Л9/2\ V? (с ) = (а + 1J7T — — 1 sin t (а + іИ= -d-- 0. (2.419) 7Г Поскольку, как следует из формулы (2.4.18), ср является монотонно возрастающей функцией, то с учетом соотношения (2.4.19) получаем (/? (/І) 0 для любого t /І оо. Поскольку, как отмечалось в случае II, (/? ( ) 0, то в силу выше изложенного имеем (pf(ji) 0, где /І Є [ ,оо). Это означает, что неравенство (2.4.10) справедливо и в данном случае. Теорема 2.4.1. доказана. Из доказанной теоремы вытекает Следствие 2.4.1. При выполнении условий теоремы 2.4.1 имеют место равенства Л2п-і( 2: (гь Ф); L2) = А2п(И/2 (ті; Ф); L i) = (г) 1 1 /7Г\ = hi ( кк 2 vb Ф); 2n-lJL2 = —7= 7 Ф ( — ) л/2(1 — Si(7r)/7r)1 2 пг п
В связи с утверждением теоремы 2.4.1, определенный интерес представляет изучение поведения величин En_Uf r s )rjr,, где s = 1,...,г — 1; г Є N\{1}, на классе функций Wq {т\\ Ф).
Теорема 2.4.2. Пусть q = 2, г Є N\{1}. Если функция Ф при любом h Є М+\{0} удовлетворяет условию
Сравнивая неравенства (2.4.21) и (2.4.22), получаем требуемые равенства (2.4.20), чем и завершаем доказательство теоремы 2.4.2. Заключение
Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:
Найдены точные неравенства типа Джексона - Стечкина между величинами наилучших среднеквадратичных приближений периодических дифференцируемых функций и т-модулями непрерывности высших порядков г-ых производных функций.
Найдены точные верхние грани наилучших полиномиальных приближений некоторых классов периодических дифференцируемых функций, задаваемых т-модулями непрерывности т-го порядка.
Вычислены точные значения различных n-поперечников на классах функций, задаваемых усредненными с весом значениями т-модулей непрерывности высших порядков производных.
Дальнейшее исследование темы диссертации может быть связано с оптимизацией точных констант в неравенстве Джексона-Стечкина для других модификаций модулей непрерывности с тем, чтобы иметь возможность выявить наименьшую константу Джексона-Стечкина среди различных неравенств указанного типа. Кроме того, это дает возможность выбора конкретной модификации модуля непрерывности при определении функциональных классов в задаче отыскания точных значений n-поперечников, исходя из содержательной сущности исследуемых задач.
Точные значения n-поперечников класса Wq \Т\] ip, h) и некоторые следствия из полученных результатов
В 1910 году Лебегом в терминах модулей непрерывности первого порядка х (/; 5) впервые были получены оценки скорости сходимости к нулю коэффициентов Фурье функции / Є С [0, 2тт]. Эти оценки уточняли известные результаты Римана о скорости сходимости к нулю коэффициентов Фурье при п — оо. В дальнейшем вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций в разное время рассматривались А.В.Ефимовым [21], А.Ф.Тиманом [51], Н.П.Корнейчуком [29,30], В.И.Бердышевым [7,8], С.Милорадовичем [35,36], С.А.Теляковским [49,50], А.И.Степанцом [44]. Все вышеперечисленные результаты подытожены в монографии А.И.Степанца [44]. Аналогичные вопросы для некоторых классов дифференцируемых функций рассмотрены С.Б.Вакарчуком [10,13,14,16,17], М.Ш.Шабозовым [58-63] и многими другими математиками. Если 9JT - некоторый класс функций, принадлежащий пространству L2, то требуется найти величину Уп(9Л) = sup an(/), \bn(f)\ : / Є 9JT 9JT где an(f) и bn(f) - косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции /. Для рассмотренных выше классов функций, по нашему мнению, эта задача также имеет определенный интерес. Из доказанной теоремы 2.3.1 в качестве следствия получаем следующее утверждение.
Поскольку в силу (2.4.16) /?2 (тг) 0, то и для любого значения /і Є [7Г, ] получаем р іц) 0. Отсюда следует, что также является возрастающей функцией на отрезке [7Г, ]. Учитывая, что а q/2, и используя соотношение (2.4.15), имеем if 2(7г) = (-fp — 1) 7T2a q 0. Поскольку в силу указанного (м) 0 для любого /І Є [7Г, ], то функция ср2 будет возрастающей на множестве [7Г, ]. Из формулы (2.4.14) получаем ( (тг) = 0. Следовательно, {Р2{ц) 0 для произвольного /І Є [7Г, ]. Указанное на основании (2.4.14) касается и функции ері. Учитывая вид р \ и соотношение (2.4.13), для любого 7Г /i t запишем неравенство (/? (/І) 0. Поскольку (р(тт) = 0 то очевидно, что p(jJ.) 0, где 7Г /І , а это означает справедливость неравенства (2.4.10) в случае II. Переходя к случаю III, когда t /І оо, запишем соотношение (2.4.11) в следующем виде: 1/ 4-\ //2 / / \ //2 (рЫ) = ца+ — тта(а + 1) I / (1 dt + (/І — t ) I 1 w t o Отсюда получаем 1 . (2.4.18) Путем непосредственных вычислений можно убедиться в том, что t /lT 1— sin(t )/t . Учитывая данное неравенство и соотношение а д/2, из (2.4.18) имеем lu a((t \a Л 8Іп Л9/2\ V? (с ) = (а + 1J7T — — 1 sin t (а + іИ= -d-- 0. (2.419) 7Г Поскольку, как следует из формулы (2.4.18), ср является монотонно возрастающей функцией, то с учетом соотношения (2.4.19) получаем (/? (/І) 0 для любого t /І оо. Поскольку, как отмечалось в случае II, (/? ( ) 0, то в силу выше изложенного имеем (pf(ji) 0, где /І Є [ ,оо). Это означает, что неравенство (2.4.10) справедливо и в данном случае. Теорема 2.4.1. доказана. Из доказанной теоремы вытекает Следствие 2.4.1. При выполнении условий теоремы 2.4.1 имеют место равенства Л2п-і( 2: (гь Ф); L2) = А2п(И/2 (ті; Ф); L i) = (г) 1 1 /7Г\ = hi ( кк 2 vb Ф); 2n-lJL2 = —7= 7 Ф ( — ) л/2(1 — Si(7r)/7r)1 2 пг п
В связи с утверждением теоремы 2.4.1, определенный интерес представляет изучение поведения величин En_Uf r s )rjr,, где s = 1,...,г — 1; г Є N\{1}, на классе функций Wq {т\\ Ф).
Теорема 2.4.2. Пусть q = 2, г Є N\{1}. Если функция Ф при любом h Є М+\{0} удовлетворяет условию
Сравнивая неравенства (2.4.21) и (2.4.22), получаем требуемые равенства (2.4.20), чем и завершаем доказательство теоремы 2.4.2. Заключение
Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:
Найдены точные неравенства типа Джексона - Стечкина между величинами наилучших среднеквадратичных приближений периодических дифференцируемых функций и т-модулями непрерывности высших порядков г-ых производных функций.
Найдены точные верхние грани наилучших полиномиальных приближений некоторых классов периодических дифференцируемых функций, задаваемых т-модулями непрерывности т-го порядка.
Вычислены точные значения различных n-поперечников на классах функций, задаваемых усредненными с весом значениями т-модулей непрерывности высших порядков производных.
Дальнейшее исследование темы диссертации может быть связано с оптимизацией точных констант в неравенстве Джексона-Стечкина для других модификаций модулей непрерывности с тем, чтобы иметь возможность выявить наименьшую константу Джексона-Стечкина среди различных неравенств указанного типа. Кроме того, это дает возможность выбора конкретной модификации модуля непрерывности при определении функциональных классов в задаче отыскания точных значений n-поперечников, исходя из содержательной сущности исследуемых задач.