Введение к работе
т:;,,;і і '
Актуальность темы. Многие стационарное задачи механики сплошных сред приводятся к построению конформных отображений заданных областей на области с частично неизвестной / свободно.! / границей. Классическими примерами таких задач являются струйные и волновые задачи гидродинамики, задачи безнапорной фильтрации жидкости в пористых средах [1] , fzj , /~3j.
В диссертации изучаются неоднолистные конформные отображения, у которых образ > фиксированной области 3?с ? лежит на римановой поверхности нулевого рода / «Э неоднолистная область /.
Мотод моделирования течений нидкости со сложной топологией путем распространения их на многолистнне римановы поверхности широко применяется в теории плоских задач ги,!фодинамики. Примером является стругая схема Эфроса L 2 J , когда след за телом заменяется струей, выходящей на ва эрой лист римановой поверхности. Дія описания сложных пространственных течений жидкости в рамках плоских задач гидродинамики часто осуществляется моделирование дополнительных потоков -яидкоста / как правило с малым расходоы /, создаваемых струйными и воздухоза-борными устройствами летательных аппаратов, помещением каждого из этих потоков на свой лист римановой поверхности [л] . Такой подход может быть применен и к моделированию СЛИ"НИЯ или разветвления нескольких потоков жидкости с произвольным расходом, особенно фильтрационных потоков в пористей среде. При этом граница области фильтрации в таких схемах течения, вообще говоря, не является жордановой кривой, т.е. область фильртадии неоднолистна.
Математическим проблемам гидродинамики,' приводящимся к построению конформных отобралелнй со свободной границей, посвящено большое количество работ советских и зарубеяных ученых, обзор которых и библиографию можно найти в монографиях Бирк-гофа К,, Сарантонелло Э. [I] , Лаврентьева М А. /5 J , Монахова В.Н. [2] , Гуревича И.И. [6] , ПолубариновоЙ-Кочи-ной П.Я. [ 3] и других, В указанных монографиях излагаются,
в частности, «лаесичвежив результаты Лаврентьева М.А. и
Лере Ж., посвященные деказательству математической керрек?
ности задачи обтекания заданного препятствия-потенциальным потоком идеальной неежимаемай жидкости с отрывом струй}- фунда- ментальные результаты Іллубариновой-КочиноЙ П.Я. по исследованию разрешимости задачи фильтрации жидкости в земляной нлотннз со свободной границей метод-ни аналитической теории-обыкновенных дифференциальных'уравнений} общие теоремы еущеетвевания решений плоских струйных и волновых задач гидродинамики-н задач безнапорной фильтрации жидкости в пористых-средах, доказаннь» Монаховым В.Н., когда у соответствующих конформных отображении допуск~ется наличие конечного тгисла особых точек внутри области течения и на-ее границе 7 вихри, источники и т.д. /.
Во всех этих -математических исследованиях краевых задач со свободной границей для аналитических функций предполагалось, чт< заданные участки 'границы области определения искомой Функции являются жордановнга кривыми.
Таким образом, изучение неоднолистных конформных отображений со свободной, границей гвлпется актуальной научной проблемой.
Целью работе является -доказательство разрешимости осноекых краевых задач со свободной границей для аналитических .функций к; римановых тюворхностях нулевого рода / в неоднолистных областях /.
Научная новизна. Большей класс плоских задач гидродинамики со сьободными границами может быть описан следующим образом: " области . с границей 'ЭФ =/^ f', состоящей из заданной кривой / с уравнением /ґх,у)* & и искомой / свободной / границы -/7 , отыскивается аналитическая функция
wf&^ytl у, , і є S / комплексный потенциал течения /. При этом граничные условия для wcfi , і Є. L U Г определяют известные образы - y*(L) и Л" * мґ/7) кривых ^ и f и задают дополнительно значения некоторого геометрического параметра Т искомой кривой /* в точках
Г" і Z :?cw) , we Г" . Например, Г* & і - Л. , * л - натуральнім параметр т.д. Конформным отображением w= t*>(f) ,«?:/"-» я*
верхней полуплоскости f г J»»t >0 на известную область
ЗУ с границей OSb* sj'і//7' исходная задача приводится в следующей нелинейной задаче для определения аналитичвеквй функции = Zen » / s / "* а
где S -/''<-/,) е/3~; -о), Г *#'*
Например, в классической задаче обтекания'заданнвй дуги— потенциальным потоком несжимаемой жидкости сотрявом струй по схеме Кирхгофа - 'ЪЗЬ* : і Ц> = *> > f * о} на ЛсОЗ*
задано / ^"/'^-Сопі^, и, следовательно, определяется зависимость вида /I/ для 2"г 5 і
t S -- J?;1 ICOtldt +S. t t*r.
Другим примером задачи со свободной границей, приводящейся к /I/, является задача фильтрации жидкости в земляной плотине / 7 /, в которой из условия постоянства давления на свободной границе, имеем
откуда находится зависимость вида /I/} '
г = х. -' = Met) ', te гг.
Более общим примером задачи типа /I/ является изучаемая в. диссертации / 2 - 5 / смешанная краевая задача со свободной границей для аналитической функции *іСі)-*-і <р » i*Sb .
Здесь на ^ . задается соотношение <-7^СР> р)* > , определяющее кривую /* , а на искомой дуге /* известная
функция
і. вторая задает параметрическое уравнение /70 и однвЕромен-: ко с помощью тоздеетва &сжу г С0() , і «г-гг опре^
ДеЛЯвТ С00ТН0Ш8НИ8 /I,' ДЛЯ 2" z'OL^&e 2 .
Остановимся несколько более подробно на применяемом в диссертации методе и зледован*я общей задачи /I/ путем аппронсиш
цик заданной кривей А полигонами /-3 с вэрвшнешы в
точках ij* G , it*3.t*%-i и концами й , г„ , воєг-хс, .ящем к работам ВаГ штейна А, по прямому доказательству теоремы Риыана для отображения ^ногоугсиьнкхови применении ате-го метода в стрі ъых задачах / библиография в [Z J /.Разрешимость задачи /I/ для одаолистшх кривых ^ установ—. лона в [ 2 J прадлсЕвннхаі тау катодо-ч кенэчнекернеЗ- дшіраит» сиыацни. Согласно этомуЕетоду"хрлгеируетеи-занумерованная .д ... положительном ііаправлийіа..обходана А последовательность
точен -k.g ь » ' *-" 1*>'" -»" хмпвчгащая; и. концы J . Через
эти точки проводится ПОЛИГОН f^- 0 /% се ЗВеНЬЯУП./2 < создан, лщими точки * и *+t ' , внутренними углами при
вершинах е/и** и-углами ' .Де 2Г нахпена звена /чр ч ... оси О'-е . Тогда єадача IIf /угя ^ s/^ примет вид
гДе і*. - прообразы вершин Jfe поли она /—"* , h - -дТ" »
їІСІп^іиС-ььЛіїі . Проебпазы tt и /„ концов ^ н », полигона /-^ фиксируются. Еели остальные 2 известны, то решение 2f$) задачи /2/ выписывается явно и
л /г —* Su f где О Я включает в себя полигон
Р///0/ звенья /О' которого нараллельны /$ /. Искомые параметры ^л , * * j5Ti , которым соответствует
, определяются из системы уравнений
ik
'Д9 I f-i.1 - длжы звеньев /J /2,/-..
Шорвно смешанная, краевая-задача во св"їоднвй границей,. .-sooTESTCTBj'K'ar з^ача /I/ о условиями впда /2/, была постав-гена и решена Монаховым В.Н. / библиография- з /"^7 /, где !'и выделен класс ношротзденкж полигонов /^**' (//%? » котвг. ;ым соответствуют решения &/s . f--Sin-i еистэкн /3/, удоа-твтворяэкцкз неравенстван
Априорные оцгнкя У4/-для'решений'сявгез урасиекЕЙ:/3/ .&шг
остановлены Мснаховкн-В.ії. аналогічно вцввлзи' ЕаИигатвйиа А....е.
юмощьп асишітотдчзского ?18тэда, тз тсоїоро:т-точная ЗЛЗИ02Г.К?СЬ.
шстоянной S от гескетрии-пэдигепа' /-2 -и езэ.шсв функции
hif'i) в III не прослеяяваяйиь. ....
Для доказательства, рїзргшиностл ягдачи /І/,, 'Сй^зтстаущей
:<иінрогдснно?лу полигону /--*' , /.'знахознм -П.Н, .крнманялысь _даа..
;етода. Ійтод.непрерывности Еаигагеэаиа Д , для прж-гетгшя кета-..
зого, креме оценок /4/, трпбоЕздось усїанозлопй'? лскадьпей..<. _
ідипєївєкнссїн решений спс?е:.к ур.тангпттй /3/ /.отл;ічие..якгбиг
та сястеш от нуля з течках' сз"рлгрд!2П\ОСга-/{.-чїо гга.'.ляднт'ыю
?ополш'тельнне условия па гесме;рмз ' /~^ ; Сдлзао,-.п-резульгл-
'о применения катод,., нвпрє.глшзогя п ?з^дчз /І/ одіі.бр?ь-ї:г:і.с_
)аі.ірєїілкость!о устснаиигалссь и гло-Залъная ад^гетненкоеть es...
гешоЕгмЯ. . -. ..-... ... .
Второй'метод, предложенный Г-Ьнаховга В.Н. ---ызтод' коіїочнс-.... прной плпроксимзіг.ш, позволил ему установить сугіоствсаанивло. срайнзй мерз одного рззгения задачи /I/ для нзвьтзлгденыого паг:. гагона только на основе- априорных оценок і А}\ -З-ігем дрздольннм-.
ізроходом доказывалась разрешимость задачи /1/такзэ и для.
іроизвольной спрямляема:! дуги "^ . г /?-fXrlf) * 0 *
Основным напразлгииаи исследований этой-диссертации-явая-г
гтея отыскание инрокого класса полигонов /~^ , которим отез-
чают априорнче оцешся /4/ решений системы /3/.
Автором выделен такой класс полигонов /^-= (j /Э , лежащих на римановод поверхности нулевого рода, у которых, в частности, допускается внешнее самопересечение его звеньев /^ / простыв полиго"ы /. .«роме того, найдена явная зависимость
постоянной і C^//j в /4/ от геометрии /^ и свойств
функции Ші) в/1/.
Изучены качественные свойства решений задачи /I, 2/: наедена мажоранта свободной границы / 5 /, получена оценка модуля прямоугольника Я* / расхода / в задачах теории фильтрации со сводными границами / 7 А
Следует отметить, что в диссертации решается поетавленнаа. Монаховым В.Н. /[2J , стр. 150 / проблема'изучения смеша»--ной краевой задачи со свободней границе-', на риыановых поверх-н стях, имеющая и прикладной интерес.
В диссертации рассмотрен класс не кордановых кривых, обладающих некоторый свойством невырожденности изнутри многолистной области.
Ограничимся описанием етего класса не жерданевых кривых в том случав,^когда-они являются конечними разомкнуты-м полигонами /-* = О - е внутренними углами ^ Т -при вершинах
г-к. , к.*г,п-і- и концами #,,2,,.
Проведем rpm -, /? и ' / -, выходящие из г, , -г*, параллельно оси. &у с нулевым углом в бесконечности и обозначим через f^t Of? получе';лыЯ многоугольник, а через
«О* SbfCf*), вообще говоря, неоднолистную область, ограниченную 5 ^,.
Нами рассматриваются невырожденные полигоны 2 /о , /г/*4* /, для которых длина любой кривой ~/~>. с: sb^c^j с концами на /? и rj равномерно ограничена снизу:
/F>ij I *<>/. >а , /i -j і >,z сі/і =ёГ» )
Для полигоне . /-^ , обладаїицих указанными свойствами
простых полигонов / выполняются априорные оценки /4/.
Методика исследования разрешимости задач «снована на полу-— ении априорных оценок и применении теор?ч функционального нализа.
Апробация работ». Результаты работы докладывались на Все-, оюзной школе "Оптимальное управление, гииегркя и анализ"
г.Кемерово, 1966, 1968 гт. /, па УП Веееоэзяей виоле по наг. ественной теории диффереициальик:-уравяеняЯ'Гидрфданакинн- ....
г.Барнаул, 1969 г. /, -Ra наутаой зга?ф«р8тщ*'-пргле>давд29.гйй-. убанского госуниверситета / г.Краснодар, 1990, 19! гт. /, а семинаре по математическим медалях, сплошной среды в Институ-з гидродинамики им. Н.А.Лаврентьева СО АН СССР под руководство.; І.Н. Монахова.
Публикации. Материалы диссортацин опубликован" в работах fi-ynj.
Структура и объем работп. Дпссзртацяя состой? кз введения, еми параграфов и списка литератур,! на 38 нализновяьлй. Об.^йй ібгем диссертации 74 страницы малккописного теиста.