Нелинейные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для мер Манита Оксана Анатольевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Разрешимость нелинейных уравнений 7

1.1 Существование решения 10

1.1.1 Доказательство основной теоремы 13

1.1.2 Примеры 24

1.1.3 Отсутствие глобального решения 26

1.2 Единственность решений 28

1.2.1 Матрица диффузии невырожденная 30

1.2.2 Матрица диффузии может вырождаться 36

1.3 Оценки расстояний Канторовича между решениями 45

2 Разрешимость линейных уравнений с потенциалом на областях 55

2.1 Существование решений 58

2.2 Единственность решения 65

2.3 Примеры 69

3 Уравнения в гильбертовом пространстве 73

3.1 Разрешимость нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве 73

3.1.1 Единственность вероятностного решения 75

3.1.2 Существование вероятностного решения 84

Заключение 88

Список обозначений 89

Литература 91

• Отсутствие глобального решения
• Матрица диффузии может вырождаться
• Единственность решения
• Единственность вероятностного решения

Введение к работе

Актуальность темы. Тематика диссертационной работы находится на стыке функционального анализа и теории меры с теорией уравнений с частными производными и теорией диффузионных процессов и посвящена применениям конструкций, связанных с метриками и топологиями на пространствах мер и с теоремами о неподвижных точек в таких пространствах, к качественному анализу уравнений Фоккера - Планка - Колмогорова (далее ФПК) относительно конечных мер. Уравнения ФПК, т. е. параболические уравнения для вероятностных мер вида (с суммированием по повторяющимся индексам)

дфг = d_x._x.(a^v(х,t,/і)/it) ~ 9_Хі(Ь^г(х,t,/і)//*), /iq = и (1)

являются одними из самых часто используемых уравнений в теории случайных процессов и статистической механике и физике. В частности, они появляются в теории среднего поля и смежных вопросах. Традиционно матрица (а⁴) называется матрицей диффузии и предполагается симметричной и неотрицательно определенной, векторное поле Ъ = (Ь^г) называется сносом. Подобные уравнения относительно плотностей мер появились уже в начале XX века в работах А. Фоккера¹, М. Планка² и А.Н. Колмогорова³. В последующие десятилетия исследования подобных задач продолжили многие другие видные ученые, в том числе М. Смолу-ховский, С. Чэпмен, И.Г. Петровский, У. Феллер, Дж. Нэш, Ю. Мозер, Л. Хёрмандер, О.А. Ладыженская, О.А. Олейник, А. Фридман. Нелинейные уравнения такого вида впервые введены А.А. Власовым⁴. Исследованиями линейных и нелинейных уравнений ФПК и близкими проблемами занимаются многие известные российские исследователи, назовем лишь Н.Н. Ураль-цеву, В.А. Солонникова, Е.В. Радкевича, Н.В. Крылова, Я.И. Белопольскую, А.Ю. Веретенни-кова, Ю.Е. Гликлиха, В.Н. Денисова, А.И. Назарова, А.А. Арсеньева, А.К. Гущина, В.В. Жи-кова, А.В. Фурсикова, В.В. Козлова, СВ. Шапошникова. Подробную библиографию можно найти в недавней книге Богачева, Крылова, Рёкнера, Шапошникова⁵.

Уравнения ФПК описывают эволюцию начальной меры и под действием потока, задаваемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений или системой стохастических дифференциальных уравнений и обобщают сразу несколько важных для приложений классов уравнений: транспортное уравнение⁶'⁷, уравнение Власова (уравнения движения в самосогласованном силовом поле⁸'⁹ и его обобщения¹⁰'¹¹), линейное уравнение Фоккера - Планка (обратное уравнение Колмогорова для распределений марковского процесса) и задача Коши

¹Fokker A. Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld. Ann. Phys., 1914, v. 348, №5, p. 810–820.

Planck M. Uber einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quantentheorie. Sitzungberichte

der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1917, S. 324–341.

³Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи мат. наук, 1938, т. V, с. 5–41.

⁴Власов А. А. О вибрационных свойствах электронного газа. ЖЭТФ, 1938, т. 8, №3, с. 291.

⁵Богачев В.И., Крылов Н.В., Рёкнер М., Шапошников С.В. Уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова. М. – Ижевск, 2013.

⁶Ambrosio L. Transport equation and Cauchy problem for non-smooth vector fields. Lecture Notes in Math., 2008, v. 1927, p. 2–41.

⁷Maniglia S. Probabilistic representation and uniqueness results for measure-valued solutions of transport equation. J. Math. Pures Appl., 2007, v. 87. p. 601–626.

⁸Козлов В.В. Обобщенное кинетическое уравнение Власова. Успехи мат. наук, 2008, т. 63, №4, с. 93—130.

⁹Добрушин Р.Л. Уравнения Власова. Функц. анал. и его прил., 1979, т. 13, № 2. С. 48–58. ¹⁰Carrillo J.A., McCann R.J., Villani C. Kinetic equilibration rates for granular media and related equations: entropy, dissipation and mass transportation estimates. Rev. Math. Iberoamericana, 2003, v. 19, p. 971–1018.

¹¹Carrillo J.A., Difrancesco M., Figalli A., Laurent T., Slepcev D. Global-in-time weak measure solutions and finite-time aggregation for non-local interaction equations. Duke Math. J., 2011, v. 156, № 2, p. 229–271.

для распределений решения уравнения МакКина – Власова^12,13, т.е. стохастического дифференциального уравнения для нелинейных марковских процессов. Заметим, что в естественных и важных примерах коэффициенты в уравнениях ФПК негладкие или неограниченные.

В последние десятилетия значительное внимание уделяется исследованию уравнений со сносом, являющимся сверткой меры с градиентом выпуклой функции. Выявляются все новые связи этих уравнений с различными областями математики, а также изучается внутренняя структура этих уравнений (например, представление уравнения через градиентный поток¹⁴ и связи с теорией больших уклонений¹⁵).

В случае негладких и вырожденных коэффициентов более продуктивным оказывается изучение уравнений ФПК относительно мер, а не их плотностей (которых может и не быть). В частности, в ряде моделей, описываемых нелинейными уравнениями типа Власова, плотность решения исчезает в конечный момент времени¹¹. Кроме того, подход к уравнениям ФПК как к уравнениям относительно мер позволяет анализировать уравнения в бесконечномерных пространствах и распространять на них конечномерные результаты. Во всех этих ситуациях основную роль играют топологии и метрики на пространствах вероятностных мер типа метрики Канторовича^16,17, что весьма характерно и для данной работы.

Несмотря на обширную литературу, посвященную данной тематике, практически нет общих результатов существования и единственности в случае нелипшицевых и быстро растущих коэффициентов. Стоит отметить работу¹⁸, в которой для уравнения с коэффициентами общего вида установлено существование глобального решения уравнения с помощью изучения соответствующей мартингальной задачи. В работах^10,19 нелинейные транспортные уравнения с коэффициентами типа сверток также исследуются в пространстве мер с подходящей метрикой Канторовича, причем решения уравнения рассматриваются как геодезические. Однако такой подход сильно использует специфический вид коэффициентов.

В первой главе диссертации изучается разрешимость нелинейных уравнений ФПК относительно мер в конечномерных пространствах без использования конкретной структуры коэффициентов. Тем не менее полученные результаты покрывают многие типичные примеры. Главное отличие полученных в диссертации результатов от известных ранее состоит в том, что не накладывается явных ограничений на рост коэффициентов уравнения, а предполагается только существование функции Ляпунова. Также получены оценки времени существования решений. Важным достижением является то, что рассмотрен сложный случай вырождающейся матрицы диффузии и для него получены достаточные условия существования и единственности решений.

¹²McKean H.P. Propagation of chaos for a class of non-linear parabolic equations. Lecture Series in Differential Equations, Catholic Univ. 1967, session 7, p. 177–194.

McKean H.P. A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1966, v. 56, p. 1907–1911.

¹³Veretennikov A.Yu. On ergodic measures for McKean–Vlasov stochastic equations. In: “Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2004”, 2006, p. 471–486.

¹⁴Jordan R., Kinderlehrer D., Otto F. The variational formulation of the Fokker–Planck equation. SIAM J. Math. Anal, 1999, v. 29, p. 1–17.

¹⁵Adams S., Dirr N., Peletier M.A., Zimmer J. Large deviations and gradient flows. Phil. Trans. Royal Society A., 2013, v. 371, 20120341.

¹⁶Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 2. М. – Ижевск, 2006.

¹⁷Богачев В.И., Колесников А.В. Задача Монжа – Канторовича: достижения, связи и перспективы. Успехи мат. наук, 2012, т. 67, №5, с. 3–110.

¹⁸Funaki T. A certain class of diffusion processes associated with nonlinear parabolic equations. Z. Wahr. theor. verw. Geb., 1984, B. 67, № 3, S. 331–348.

¹⁹Lorenz T. Mutational analysis: a joint framework for Cauchy problems in and beyond vector spaces. Lecture Notes in Math., v. 1996, Springer-Verlag, Berlin, 2010.

Традиционно уравнения ФПК рассматриваются для вероятностных мер, заданных на всем пространстве. Однако для приложений часто полезно решать уравнения для мер, заданных на открытых множествах. Это позволяет, в частности, сводить вопросы разрешимости уравнений с сингулярными коэффициентами к уравнениям относительно мер на меньшем множестве, но с более регулярными коэффициентами. В этой связи стоит отметить работу²⁰, в которой исследуются диффузионные процессы на областях.

Во второй главе диссертации изучается разрешимость линейных уравнений ФПК с потенциальным слагаемым на открытых множествах в конечномерном пространстве. Получены достаточные условия существования и единственности решений подобных уравнений, а также условия, при которых решение оказывается вероятностным. Полученные условия и результаты покрывают большое число конкретных примеров из ряда смежных областей математики.

Уравнения для мер и естественные вопросы существования, единственности и качественных свойств решений имеют смысл не только для мер, заданных на конечномерных, но и на бесконечномерных пространствах. Связь со случайными процессами и переходными вероятностями решений стохастических уравнений с частными производными здесь особенно важна, поскольку в бесконечномерном случае теряются многие физические аналогии и описания (например, уравнение среднего поля теряет наглядную физическую интерпретацию). Тем не менее, несмотря на растущий в последние годы интерес к стохастическим уравнениям с частными производными, изучению бесконечномерных уравнений для мер пока было уделено значительно меньше внимания. Обзор современного состояния исследований дан в работе²¹ и книге⁵. Однако практически не было известно результатов, касающихся существования и единственности вероятностных решений для нелинейных уравнений ФПК в гильбертовых пространствах. В статье²² рассмотрен вопрос существования решений для нелинейных уравнений переноса при ограничениях на рост коэффициентов на бесконечности.

В третьей главе диссертации получены достаточные условия существования и единственности вероятностных решений для нелинейных уравнений ФПК для мер в гильбертовых пространствах. Эти результаты обобщают известные результаты для уравнений общего вида.

Цель работы. Разработать основанные на конструкциях теории меры функционально-аналитические методы исследования задачи Коши для уравнений ФПК относительно мер. Исследовать существование и единственность решений нелинейных уравнений ФПК общего вида с неограниченными коэффициентами для вероятностных мер в конечномерных пространствах, изучить свойства решений и получить оценки расстояний между различными решениями. Изучить разрешимость линейных уравнений ФПК с потенциальным слагаемым на открытых множествах в конечномерном пространстве и указать условия, при которых решение оказывается вероятностным. Получить достаточные условия существования и единственности решений уравнений ФПК для вероятностных мер в гильбертовом пространстве.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем. Разработан функционально-аналитический подход к исследованию нелинейных уравнений ФПК общего вида для мер, включающий новые условия слабой компактности некоторых классов вероятностных мер, на основе которого

²⁰Gyongy I., Krylov N.V. Existence of strong solutions for Ito ’s stochastic equations via approximations. Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 105, p. 143–158

²¹Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M., Shaposhnikov S.V. An analytic approach to infinite-dimensional continuity and Fokker–Planck–Kolmogorov equations. Annali Scuola Norm. Pisa, 2015, v. 14, p. 983–1023.

²²Bogachev V.I.,Da Prato G., Rockner M., Shaposhnikov S.V. Nonlinear evolution equations for measures on infinite dimensional spaces. In: “Stochastic Partial Differential Equations and Applications”. Quaderni di Matematica, 2010, v. 25. p. 51–64.

1. Найдены достаточные условия существования локальных решений нелинейных уравнений ФПК относительно мер с неограниченными коэффициентами; получены оценки времени существования решений в рассматриваемых классах мер.

2. Получены достаточные условия единственности вероятностного решения нелинейного уравнения ФПК с неограниченными коэффициентами в случаях невырожденной матрицы диффузии и возможно вырождающейся матрицы диффузии. Получены оценки в метрике Канторовича между решениями нелинейных уравнений ФПК с различными начальными данными.

3. Для линейных уравнений ФПК с потенциальным слагаемым для мер на открытых множествах получены достаточные условия существования и достаточные условия единственности субвероятностного решения; найдены условия, при которых это решение вероятностное.

4. Изучена разрешимость задач Коши для нелинейных уравнений ФПК в гильбертовых пространствах, соответствующих нелинейным стохастическим уравнениям с частными производными; получены достаточные условия существования вероятностного решения; исследована единственность вероятностного решения для строго положительных диффузионных операторов и для возможно вырождающихся диффузионных операторов. Получены оценки расстояния Канторовича и расстояния полной вариации между решениями нелинейных уравнений с различными начальными данными.

Методы исследования. В работе используются методы теории меры, особенно слабые топологии на пространствах мер и метрики типа Канторовича, методы функционального анализа, уравнений в частных производных и теории вероятностей, а также ряд оригинальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах бесконечномерного анализа, теории меры, уравнений с частными производными, теории вероятностей и стохастического анализа. Результаты и методы работы будут востребованы в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Институте проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН, Санкт-Петербургском государственном университете, Новосибирском государственном университете, Дальневосточном федеральном университете, Техническом университете им. Н.Э. Баумана, Высшей школе экономики.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богаче-ва, Н.А. Толмачева, С.В. Шапошникова (2012–2015 г.) в МГУ им. М.В. Ломоносова, международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (2012–2014 г.), научно-исследовательском семинаре «Динамические системы и статистическая физика» под руководством Б.М. Гуревича, В.И. Оселедца, С.А. Пирогова (2013 г.) в МГУ им. М.В. Ломоносова, на научно-исследовательском семинаре «Probability, stochastic modelling and financial mathematics seminar» в университете Лидса (Великобритания, 2014 г.), международной конференции «Microscopic descriptions and mean-field equations in physics and social sciences» в университете Бата (Великобритания, 2014 г.), международной конференции «Спектральная теория и дифференциальные уравнения», посвященной 100-летию Б.М. Левитана (Москва, 2014 г.), британско-японской школе по стохастическому анализу в университете Уорика (Великобритания, 2014 г.), научно-исследовательском семинаре по бесконечномерному стохастическому анализу в университете Билефельда (Германия, 2014 г.), научно-исследовательском семинаре им. В.И. Смирнова по математической физике в ПОМИ (Санкт-Петербург, 2015 г.), научно-исследовательском семинаре «Бесконечномерный анализ и математическая физика» под руководством О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзе в МГУ им. М.В. Ломоносова (2015 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, в том числе в 5 работах [1 - 5], опубликованных в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и списка литературы из 80 наименований. Общий объем диссертации 96 страниц.

Отсутствие глобального решения

Доказательство теоремы 1.1 разбито на несколько этапов. 1. Используя теорему Шаудера о неподвижной точки и линейную теорию параболических уравнений для мер, мы доказываем теорему 1.1 в случае невырожденной и достаточно гладкой матрицы А. 2. Применяя метод исчезающей вязкости, доказываем теорему 1.1 в случае вырожденной и достаточно гладкой матрицы А. 3. Отказываемся от гладкости матрицы А. Основная причина такого поэтапного отказа от гладкости А состоит в том, что для применения теоремы Шаудера требуется единственность решения линейного уравнения, а для этого в свою очередь приходится требовать от матрицы А дополнительную регулярность.

Сначала рассмотрим случай невырожденной главной части уравнения (1.1), а именно предполагаем, что вместо условия (НЗ) выполняется более сильное предположение (НЗ ) выполнено условие (НЗ) и для всяких г Є (0,го), функции а Є С([0,то]), замкнутого шара U С Rd и а Є МТ а существует такое число Л = Л( т, U) 0, что для всех х,у Є U, t Є [0, г] имеем detA(x,t,a) /Ои справедливо неравенство \A(x,t,a)-A(y,t,a)\ Х\х - у\. Кроме того, предполагается, что для всякой меры а Є Мт а существуют такие числа С\ и С 2, что \л/А(х,1,о-)ЧУ(х)\ d + C2V(x). Глава 1. Разрешимость нелинейных уравнений Невырожденность позволяет применять линейную теорию при широких локальных предположениях относительно коэффициентов и, что особенно важно, гарантирует существование и единственность решения задачи Коши для линейного уравнения. Пусть о Є MT a. Рассмотрим задачу Коши для линейного уравнения: дфі = dliXj(a4(x,t,a)/it) - dXi(b\x,t,a)/it), /i0 = v. В [29, Теорема 3.1] доказано, что условия (НІ), (Н2) и (НЗ ) влекут существование решения /і, заданного вероятностными мерами (/xt)te[0;T]. Отметим также, что теорему существования для линейного уравнения можно извлечь из разрешимости соответствующей мартингальной задачи (см. [74]). Как доказано в [72, Теорема 2.3] (см. также [34]), выполнение условий (HI), (Н2) и (НЗ ) влечет единственность вероятностного решения.

Таким образом, корректно определено отображение Q: MT a н M(M.d х [0,г]): Q() = X dtXt = 9liXj(a4(x,t,a)xt) - dxi(bl(x,t,a)xt), Хо = v. Ясно, что мера /і является решением задачи Коши (1.1) тогда и только тогда, когда /і является неподвижной точкой отображения Q. Поэтому естественно доказывать существование решения с помощью теоремы Шаудера.

Отметим, что единственность решения линейного уравнения используется не только для корректного определения отображения Q, но и в доказательстве непрерывности отображения Q.

Для применения теоремы Шаудера надо построить выпуклый компакт в пространстве M(№.d х [0, г]), который отображением Q переводится в себя. Таким компактом для подходящих г и а является множество NT a, в которое входят в точности те меры ц є Мт а, заданные вероятностными мерами (fj,t)telo,r], для которых при всех р Є C(Rd) и t, s Є [0, г] выполняется неравенство

Лемма 1.1. Из любой последовательности мер fin = (/х)ІЄ[0)Г] из NT a можно выбрать такую подпоследовательность {цщ}, что {цщ} слабо сходится к ц Є NT a и { tl} слабо сходится к fit для всех t Є [0,т].

Доказательство. Заметим, что в силу определения NT a и неравенства Чебышева множество {/х} равномерно плотно для любого t. Пусть Т = {і,І2,---} счетное всюду плотное множество в [0, г]. Так как для любого j из /хj по теореме Прохорова можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность, то, применяя диагональный метод, можно заключить, что существует подпоследовательность /іl, слабо

Выбирая s достаточно близким к t, первое слагаемое можно сделать меньшим є/2 для всякого наперед заданного є 0. Так как последовательность {р1} сходится, то она фундаментальна, следовательно, найдется такой номер N, что для всяких р,к N второе слагаемое меньше є/2. Тем самым доказано, что для всякой функции ір є C(№.d) последовательность интегралов / р(х) dp1 фундаментальна.

Из-за равномерной плотности мер р1 для всякого є 0 найдется такой шар U, что /il(Rd\U) є для всякого /. Пусть / - непрерывная ограниченная функция и Последнее слагаемое можно сделать сколь угодно малым, устремляя р и к в бесконечность. Таким образом доказано, что последовательность {р1} слабо фундаментальна для всякого t Є [0, т] и тем самым слабо сходится для всякого t Є [0, т] к некоторой мере /if Следовательно, для всякой непрерывной и ограниченной функции / отображение t ь- / f dpt измеримо по Борелю на [0,т] как предел измеримых функций. Рассмотрим класс Ф всех ограниченных борелевских функций р на M.d, для которых отображение н / ip dpt измеримо по Борелю на [0,т]. Множество Ф содержит алгебру всех непрерывных ограниченных функций на M.d и замкнуто относительно равномерных и монотонных пределов. По теореме о монотонных классах (см. [2, Теорема 2.19.9]) множество Ф содержит все ограниченные борелевские функции на M.d. В частности, отображение t ь- Pt(B) измеримо по Борелю на [0,т] для всякого боре-левского множества В. Пусть р — мера, заданная семейством мер (pt)te[o,r} Покажем, что {рщ} слабо сходится к р. Пусть h - непрерывная и ограниченная функция [0, г]. По доказанному выше для каждого фиксированного t имеем h(x,t)dpt Глава 1. Разрешимость нелинейных уравнений Так как функция h ограничена, а мерь, л- вероятностные, то интегралы J ft( . tW равномерно по t и щ ограничены. По теореме Лебега получаем

Матрица диффузии может вырождаться

Пусть функция срезки ір є С(Ш) такова, что 0 tp 1, tp(x) = 1 при \х\ 1 и р(х) = 0 при \х\ 2. Предположим, что для некоторого С 0 и всех на носителе ip выполняется (// (:г)2 + (//(ж)2 С р(х). Для каждого К 1 положим р к(х) = ip(U(x)/K). Возьмем М настолько большим, что (м(%) = 1 при \х\ 1К. Положим Вм = {х : \х\ (2М)1/2к}. Продлим функции Ьг(/і) на все пространство Kd+1 следующим образом: bl(fj,,x,t) = Ьг((і,х,Т) для t Т и bl(fj,,x,t) = Ьг((і,х,0) для 0. Аналогично продлим а4 . Очевидно условия (DH1)-(DH4) выполнены для новых Ьг и а4 . По лемме 1.4 и замечанию 1.4 существует последовательность Ьга є C(]R i+1), удовлетворяющая следующим условиям: (i) Hindoo \\bn - Ь(іі)\\ьі +(Т вмх[о,т]) = 0, (И) (6„(ж + у, і) - bn(x,t),y) в(х)\у\2 для всех (x,t) Є Бм х [0,Т] и у є Rd, где 0(ж) = (ж) + 1, (ш) для всех (x,t) Є Вм х [0,Т] имеет место (1.17) с в вместо 9 , Ъп вместо b(fi) и A(i) = Лм(ж) + 2 вместо Лм, (iv) для всех (ж,) Є Вм х [0,Т] a i.i S Ml i, ) ) (CQ-A(x))W(x), где Со = С + 3. Шаг II. Сопряженная задача. Пусть fn есть решение задачи Коши dtfn + (MavdXidXjfn + C,MblndxJn = 0, /nt=s = -0. По принципу максимума sup/n max l. По лемме 1.5 \Vxfn{x,t)\ Ciy/W(x) с константой Сі, не зависящей от x,t,s,n и К. Шаг III. Принцип Гольмгрена. Подставляя u = puKjn в тождество (1.3) для решений /і и а, получим ф(1ца= I puKjndv + / / [ Рк(Ки) - 6п, V/„ + 2{AV PK, V/„) + /n-k fc] ф сй, ipdaa= puKfndv+ / / [ (6( J) - 6ra, V/„ + 2(AV , V/„ + /„ІаД datcft. Здесь мы использовали, что (м(%) = 1 для х Є suppt/? и члены рик(,м дх$хз!п и pUx dXidx.jn сокращаются. Вычитая второе тождество из первого, получим о d{n8-a8) I I [puK\b( -bn\\Vfn\ + 2\AVpuK\\Vfn\ + \fn\\L uK\]diMdt+ [рик\Ъ(а) - 6raV/ra + 2AV V/ra + \!п\\Крик\] datdt. Заметим, что \b(cr) — bn\ \b(cr) — b(/i)\ + \b(/i) — bn\ и V/„ C\yW. Выражения AV /? , LM(/? и Lo- оцениваются аналогично доказательству теоремы 1.3. Используя (DH4) и устремляя сначала п — оо и затем X — оо, приходим к ipd(n8-a8) C1 J J \Ь(ц) - b(a)\VWdatdt. Глава 1. Разрешимость нелинейных уравнений Применяя (DH3) и переходя к супремуму по ф Є C(№.d), \\7ф(х)\ y W(x), получим ww( s,o-s) C\N I G(ww( t,o)) dt, N = sup / V dat. Jo t J По неравенству Гронуолла отсюда следует, что ww( s, &s) = 0 для s Є [0,Т]. П Замечание 1.7. При некоторых дополнителвных условиях можно получитв не просто утверждение о единственности решения задачи Копій (1.11), но и оценку расстояния между решениями с различивши началвнвіми условиями.

Предположим, что в условиях (DH2) и (DH4) теоремві 1.4 константві 8ц, См и /3(/і) можно ввібратв, не зависящими от /і, для всех мер из некоторого класса Мт а(У), где а Є С+([0,Т]). Напомним, что класс Мт,а(У) состоит из мер /і, заданных потоком вероятностнвіх мер /it таких, что V d/it a(t).

Пуств вероятностнвіе мерві v\ и i/2 на Ша таковві, что V Є Ll(v\ + //2). Пуств yW - вві-пуклая функция. Предположим, что nl(dxdi) = n\(dx) dt и fj,2(dxdt) = ( (dx) dt - решения задачи Коши (1.11) из класса Мт а(У), соответствующие началвнвім условиям V\ и i/2. Пуств ввшолняются условия (DH1)-(DH4) теоремві 1.4. Тогда, в обозначениях предвідущей теоремві и при условии выпуклости \]W последователвноств fn оказві-вается сходящейся; это следует из леммві 1.5 и теоремві Арцела-Асколи, т.к. семейство {fn(x,s)} компактно в sup- норме на BR Х [0,Т]. Стандартнвій диагоналвнвій метод позволяет ввіделитв подпоследователвноств решений (для упрощения обозначений это сама последователвноств /га), которая сходится к функции f(x,t) равномерно на всех компактах в Ша х [0,Т]. Посколвку yW ввшукла, значит, достигает максимума в одном из концов отрезка, с различными сносами и начальными данными. Подобные оценки позволяют предложить альтернативый подход к изучению разрешимости и устойчивости решений нелинейных уравнений ФПК. Схожий метод установления однозначной размешимо-сти через оценки расстояний между решениями линейных уравнений использован в [35].

При выводе оценок между решениями уравнений с различными монотонными сносами частично используются идеи работы [67], однако они напрямую не применимы в этом случае. Обобщение на случай различных сносов удается осуществить для расстояний Канторовича с ограниченной функцией стоимости. Более того, удается рассмотреть уравнения с коэффициентами, зависящими от времени. Отметим, что условие монотонности сноса не очень ограничительно, поскольку в большинстве физических примеров снос является градиентом выпуклой функции, т.е. монотонным. В конце данного раздела показаны возможные применения оценок для линейных уравнений к изучению качественных свойств нелинейных уравнений. Однако заметим, что в свете растущего интереса к численному моделированию физических процессов, в частности описываемых уравнениями ФПК, оценки для уравнений с различными сносами представляют и самостоятельный интерес.

Единственность решения

В этой главе изучается задача Коши для уравнения ФПК дфі = dXidXj (avfj,t) - дХі (6 t) + c/j,t, l it\t=o = v (2.1) для неотрицателвных мер, заданнвіх на открвітом множестве (далее назвіваемом об-ластвю) D С №.d; граничное условие не накладвшается. Как и выше, подразумевается суммирование по повторящимся индексам.

Подобнвіе уравнения для переходнвіх вероятностей марковских процессов были вперввіе полученві А.Н. Колмогоровым в его знаменитой работе [12]. В той же работе поставлен вопрос о существовании и единственности вероятностнвіх решений в случае с = 0. В классических работах [25,48,74,75,78] рассматриваются аналогичные уравнения с гладкими коэффициентами, имеющими не более, чем линейный рост на бесконечности.

Уравнения с интегрируемыми и Соболевскими коэффициентами в классах ограни-ченнвіх борелевских мер интенсивно изучалисв в последние десятилетия. Вариационный подход к задаче (2.1) в случае единичной диффузии, градиентного сноса и с = 0 рассмотрен в [23,53]. Существование и единственноств решений, задаваемвгх семейством вероятностных мер, при с = 0, неввірожденной диффузии и Соболевском сносе установленві в [4,29,34,37]. В работах [19,38,58] изучаются уравнения с ввірожденной диффузией. В частности, разрешимоств задачи Коши для уравнения с вырожденной Соболевской диффузией А в классе плотностей при некоторых ограничениях на рост коэффициентов низших порядков доказана в [58]. Связв L1- и Ь-единственности полугрупп, теорем типа Лиувилля и единственности Ь1-решений задачи Коши для уравнения ФПК изучается в [56,79]. В статве [44] установлено существование, единственноств и поведение неотрицателвнвгх решений уравнения (2.1) с Ъ = с = 0 на Kd+1. Неотрицателвнвіе решения дивергентнвгх уравнений рассмотреть в [52,69].

Уравнения ФПК тесно связанві с диффузионнвіми процессами (см. [12,74]). Хорошо известно, что переходные вероятности диффузионнвіх процессов удовлетворяют этим уравнениям; более того, в случае глобалвно ограниченных коэффициентов решения уравнений ФПК могут бвітв представлены как переходные вероятности (см. [45]). Однако, если коэффициенты неограниченнвіе или негладкие, может существоватв Глава 2. Разрешимость линейных уравнений с потенциалом на областях 56 неединственный соответствующий диффузионный процесс, и он может взрываться. Более того, в этом случае задача Коши (2.1) может иметь несколько решений даже если соответствующий диффузионный процесс единственен (см. [34]). Отметим, что диффузионные процессы в произвольных областях изучались в [50], где, в частности, доказано существование и единственность диффузионного процесса в D = (—1,1) с генератором Lu(x) = 2_1l — \х\\ v! {x) + (tg(—7пг/2) + sgnx)u {x).

Тем не менее, несмотря на обширную литературу, нельзя сказать, что дан полный ответ на вопрос Колмогорова. Например, до сих пор неизвестно, единственно ли вероятностное решение задачи (2.1) для уравнения с единичной диффузией и гладким сносом в размерности d = 1 и d = 2. В размерности d 3 подобные примеры неединственности существуют (см. [34]).

В данной главе рассматриваются следующие вопросы: (I) Существование решений при очень слабых локальных условиях на коэффи циенты. Для произвольного открытого множества D (не обязательно ограниченного, например, можно взять D = M.d) и произвольной вероятностной меры v в D на [0,Т] строится семейство субвероятностных мер /it на D таких, что d/i = d/it dt есть решение задачи (2.1) и неравенство fh(D) v{D) + f [ с(х, s) fjL8(dx) ds (2.2) JO J D выполнено t Є (0,T). (II) Условия, при которых в неравенстве (2.2) достигается равенство. Если с = 0, это означает сохранение полной меры пространства /it(D) = 1. Оказывается, что естественным (с вероятностной точки зрения) достаточным условием является суще ствование функции Ляпунова. (III) Единственно ли решение задачи Коши (2.1) в классе мер, заданных семей ствами субвероятностных мер с условием (2.2)? Рассмотрим простой пример: D = (0,1) и dt/i = дхх/і. Очевидно, что решений несколько (т.к. нет граничных условий). Но если заменить (0,1) на все пространство, то, как доказано в [78], неотрицательное решение единственно без дополнительных предположений о поведении /і на бесконечности. Значит, если нет граничных условий на 3D х [0,Т], то единственность зависит от D и L. Возникает вопрос: какова эта зависимость? Оказывается, ответ может быть сформулирован в терминах функции Ляпунова. Точнее, если коэффициенты оператора гладкие и существует функция Ляпунова, то задача Коши имеет единственное решение.

Раздел 1 посвящен существованию решения, в разделе 2 приведены результаты о единственности решений. Эти результаты содержатся в работах [16]. Раздел 3 содержит примеры использования и применений полученных результатов. Перейдем к определениям и точным утверждениям. Зафиксируем Т 0. Пусть D - произвольное открытое множество в M.d. Предположим, что вместе с областью D задана последовательность таких расширяющихся открытых множеств Dk, что для каждого к замыкание Dk множества Dk лежит в Глава 2. Разрешимость линейных уравнений с потенциалом на областях 57 Dk+i и Ufcli Dk = D. Например, если D = M.d, то можно взять в качестве D\. центрированные шары радиуса к. Будем говорить, что локально конечная борелевская мера /л на полосе D х (0,Т) задана семейством борелевских мер (fit)te(o,T), если для каждого борелевского мно-жества В С D отображение t ь- /it (В) измеримо и имеет место равенство udfi= I I u(x,t) fit(dx) dt Dx(0,T) JO JD для каждой функции u Є C(D x (0,T)). Последнее равенство очевидно распространяется на все фукции вида fu, где и - как выше, а / /л-интегрируема на каждом компакте вДх (0,Т). Положим Lp = avdXidXj p + ЬгдХір + ap, где al\ Ьг, с - борелевские функции на D х [0,Т] и А = (а4) есть симметричная неотрицательно определенная матрица, т.е. atj = aj\ (A(x,t)y,y) 0 для всех (x,t) Є D х [0,Т] и всех у є Rd. Далее эта матрица называется матрицей диффузии. Отображение Ъ называется коэффициентом сноса, а с потенциалом.

Пусть v - вероятностная мера на D. Будем говорить, что мера ц = (fj,t)te(o,T) является решением задачи Коши (2.1), если al\ Ъг и с принадлежат Ll(Dk х J, \/i\) для каждого множества D и каж;дого интервала J С (0,Т), и для каждой функции р Є C(D) выполнено

В данной главе всегда будем считать, что с 0. Это предположение может быть ослаблено до предположения с Со с некоторой константой с. Чтобы свести этот случай к с0 = 0, достаточно рассмотреть меры e Cotu,t вместо /j,t.

Мы будем изучать существование и единственность решений в классе M.v мер /і, заданных семействами неотрицательных мер (/it)o t T таких, что /і есть решение задачи Коши (2.1), с Є Ll(D х (0,Т),//) и для п.в. t Є (0,Т) выполнено (2.2).

Единственность вероятностного решения

В данной главе исследуется разрешимость задачи Копій для нелинейного уравнения ФПК для вероятностных мер на сепарабельном гильбертовом пространстве Н: дфь = д2е (a%3(n,x,t)nt) -dei(bl(/i,x,t)/it), Цо = , (3.1) где v - борелевская вероятностная мера на Н. Как и в предыдущих главах, везде предполагается суммирование по повторяющимся индексам. В типичных примерах коэффициент сноса в уравнениях (3.1) имеет следующую структуру: bl(fi,x,t) = — ХІХІ + ФІ(/І,Х, t), alj(fj,,x,t) = ft 5г\ где 6 - дельта-символ Кронекера. Эта структура соответствует уравнению Колмогорова для нелинейных стохастических уравнений с частными производными (SPDE) dXt = y/2dwt + (AXt + $(n,Xt,t) jdt, где Л - некоторый самосопряженный отрицательный оператор с собственным орто-нормированным базисом {е.,}, j Є N и собственными значениями { — A.,}; wt - вине-ровский процесс в Н вида wt = Yl jLi \/WjCteji гДе {(і} 3 есть независимые одномерные стандартные винеровские процессы, а ряд сходится в среднеквадратичном. Для простоты мы считаем, что собственный базисы Аи wt совпадают. Это предположение облегчает доказательство с технической точки зрения, но его можно опустить. Аналогично конечномерному случаю, переходные плотности решений SPDE удовлетворяют соответствующему уравнению ФПК [40, 14.2.2].

Бесконечномерные уравнения ФПК изучены гораздо меньше, чем их конечномерные аналоги, хотя они тоже очень важны, особенно в свете растущего интереса к SPDE. Однако мало что известно о разрешимости задачи Коши (3.1) в общей постановке (линейный случай рассмотрен в [36], см. также библиографические ссылки в Глава 3. Уравнения в гильбертовом пространстве этой работе). Отметим работу [30], где доказано существование решений уравнений с нулевой матрицей диффузии А и некоторыми ограничениями на рост коэффициента сноса Ъ. Работа [24] посвящена градиентной структуре уравнений определенного вида.

В данной главе приводятся достаточные условия существования и единственности решений нелинейного уравнения (3.1) в пространстве вероятностных мер на сепара-бельном гильбертовом пространстве Н в довольно общей ситуации. Эти результаты оказываются сильнее указанных выше. Более того, ранее не было известно результатов о единственности вероятностного решения для нелинейных уравнений общего вида в бесконечномерных пространствах. Для доказательства единственности используются методы, близкие к методу Гольмгрена (см. [36,61,67]), но используемые в бесконечномерном случае для нелинейных уравнений.

Данная глава состоит из 2 разделов. Первый посвящен доказательству единственности вероятностного решения в двух принципиально различных ситуациях - диффузия может вырождаться и диффузия "цилиндрическая" (с бесконечным следом). Термин "цилиндрическая диффузия"указывает на то, что соответствующий вине-ровский процесс цилиндрический, в частности, принимает значения в более широком пространстве. Раздел 2 посвящен существованию локального и глобального решений задачи Коши для нелинейных уравнений. В конце этого раздела также приведена теорема существования и единственности вероятностных решений для уравнений определенного вида. Результаты этой главы содержатся в работе [62].

Перейдем к определениям. Пусть Н - вещественное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (,) (порождающим норму ) и пусть {е.,}, j є N - ортонормированный базис Н. Через Р обозначим оператор ортогонального проектирования пространства Н на HN = span{ei,... ,ем} — Rw. Для любого вектора с Є Н через см обозначим ортогональную проекцию с на Жм ,, т.е. см = Рмс Для данного х Є Н и a = («і,..., х,-,...), х,- 0, положим \\х\\2а := YlT=i aj(x ej)2 Введем класс пробных функций ТС (Н), состоящий в точности из функций вида ip(x) = (ро(хъ ...,xd), где ip0 Є C$(Rd) и Xj = {х, є,).

Пусть V\(H) и Т 2(Н) - множества вероятностных мер на Н с конечным первым и вторым моментом соответственно. Нам понадобятся следующие две метрики на пространстве мер. Полной вариацией конечной радоновской (возможно, знакопеременной) меры р на Н называется величина Метрика Канторовича W\ определяется на пространстве V\(H) равенством W a) :=sup{ Jf(x)(fi-a)(dx): feTC (H), V/ і}. (3.3) Обычно W\ определяется как супремум интегралов от Ыр1-функций; однако интеграл от Ыр1-функции по мере из V\(H) приближается интегралами от проекции этой функции, поэтому можно брать супремум по меньшему множеству функций -7гС (Я)ПЫр1.

Здесь мы считаем, что по определению atJ, Ьг Є Т Я х [0,To],du,) для всех z,j Є N, т.е. интеграл в правой части тождества корректно определен.

Иногда более удобным оказывается следующее эквивалентное определение: пусть пробная функция v зависит от конечного набора переменных х\,... ,Xk, равна нулю вне некоторого шара в Нк Rk и v Є C2 l(Rk х (0,To))f]C(Rk х [0,Т0)). Тогда для всех t Є [0, То] выполнено

Начнем с установления условий единственности вероятностного решения задачи Коши dt/it = Р3дцЦі - dj(V(x, t, fi)fit), fit\t=o = Vo (3.6) с постоянным диагональным диффузионным оператором А = diag(/3J) 1 с /З-7 0. Для каждого N Є N положим AN = diag(/3J) 1. В данном разделе будем считать, что снос имеет следующую структуру: Ьі(ц,х,і) = -ХіХі + Фі(ц,х,і), А; 0. (3.7) Глава 3. Уравнения в гильбертовом пространстве В этом разделе получены достаточные условия единственности вероятностного решения задачи (3.6) в двух принципиально различных случаях: диффузионный оператор А может вырождаться или он цилиндрический, т.е. /З-7 /Зо 0. Название второго случая соответствует цилиндрическому винеровскому процессу, т.е. процессу с единичным диффузионным оператором или с оператором, имеющим бесконечный след.