Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Двухпараметрические Т-системы функций 20
1. Определение и свойства двухпараметрических Т-систем функций на фиксированном промежутке 20
2. Некоторые обобщения понятий и утверждений из 1 39
3. Функции сг(-), & () и их свойства 51
Глава 2. Линейные нестационарные управляемые системы 60
4. Линейная нестационарная управляемая система. Определения и обозначения 60
5. Оптимальное программное управление и структура множества управляемости линейной докритической системы 82
6. Примеры 93
Список литературы 105
- Некоторые обобщения понятий и утверждений из 1
- Функции сг(-), & () и их свойства
- Линейная нестационарная управляемая система. Определения и обозначения
- Оптимальное программное управление и структура множества управляемости линейной докритической системы
Введение к работе
Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона (или константах Джексона) между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности в пространствах Lp, 1 < р < оо, является важной экстремальной задачей теории приближений. Она привлекала внимание многих математиков. Наиболее изучен случай пространства L2. Точные неравенства Джексона установлены и в пространствах Lp, 1 < р < 2. Точные неравенства Джексона в пространствах Lp при р > 2 отсутствуют.
Первое точное неравенство Джексона в пространстве L2 на торе Т = (—тг, тг] было доказано Н. И. Черных. Точные неравенства Джексона в L2 были доказаны для многомерного тора Td (В. А. Юдин, В. Ю. Попов), евклидова пространства Rd (И. И. Ибрагимов и Ф. Г. Насибов, В. Ю. Попов, А. Г. Бабенко, А. В. Московский), гиперболоида Hd (В. Ю. Попов, Д. В. Горбачев и М. С. Пискорж), евклидовой сферы S^"1 (В. В. Арестов и В. Ю. Попов, В. Ю. Попов, А. Г. Бабенко), проективных пространств (А. Г. Бабенко).
Точные неравенства Джексона в L2 с к-м и более общими модулями непрерывности были доказаны Н. И. Черных, А. Г. Бабенко, А. И. Козко и А. В. Рождественским, С.Н. Васильевым, В.С. Бала-ганским и другими.
Первое точное неравенство Джексона в Lp, 1 < р< 2, на торе Т также было доказано Н. И. Черных. Точные неравенства Джексона в Lp, 1 < р < 2, были доказаны для тора Td (В. И. Иванов), евклидова пространства Rd (О. Л. Виноградов, А. В. Московский), тора Т с периодическим весом Якоби (Д. В. Чертова).
В пространствах Lp, 1 < р < 2, трудным является как получение оценки сверху, так и доказательство ее точности. Дополнительные сложности в получении нижних оценок появляются, если на многообразии нет группового сдвига. Нижние оценки в пространствах Lp, 1<р<2, получены в работах В. И. Бердышева для тора Т, В. И. Иванова для произвольной компактной абелевой группы, В. И. Иванова и Ю. Лю для тора Т с периодическим весом Якоби, В. И. Иванова и Д. В. Чертовой для прямой со степенным весом.
Последние 25 лет в работах Ч. Данкля, М. Реслер, Х. Триме-ша, Ю. Шу и других математиков активно развивается гармони-
ческий анализ в пространствах Lp на евклидовом пространстве M,d и евклидовой сфере S^"1 с обобщенным степенным весом Данкля. Он нашел широкое применение в уравнениях математической физики, теории вероятностей, теории функций и теории приближений. Гармонический анализ Данкля базируется на использовании дифференциально-разностных операторов и интегрального преобразования Данкля, оператора сплетения Данкля, который позволяет из ядра преобразования Фурье получить ядро преобразования Данкля.
Прямые и обратные теоремы теории приближений в Lp на сфере S^"1 с весом Данкля доказаны Ю. Шу. Близкие результаты получены С. С. Платоновым.
Семейство функций в банаховом пространстве называется фундаментальным, если его конечные линейные комбинации образуют в нем плотное множество. Еще в 1933 году Н. Винер доказал, что система сдвигов одной функции фундаментальна в L(R) тогда и только тогда, когда преобразование Фурье этой функции отлично от нуля во всех точках. Для семейства функций {д((х,-)): х Є d_1}, где д фиксированная функция одной переменной, (,) — скалярное произведение в Rd, С. Сун и Э.У. Чейни и В. А. Менегатто нашли условия фундаментальности в C(Sd"1) и ^(S^1), 1 < р < ос, соответственно. Они состоят в отличии от нуля всех коэффициентов Фурье-Гегенбауэра функции д.
Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство точных неравенств Джексона и критериев фундаментальности образов оператора сплетения Данкля в пространствах Lp на евклидовой сфере с весом Данкля.
Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа Данкля, теории вероятностей, теории матриц.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы в исследованиях по гармоническому анализу Данкля и неравенствам Джексона в пространствах с весом Данкля.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2013, 2014), Международном научном молодежном форуме «Ломоносов - 2014» в
г. Москве (2014), молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2014» в г. Казани (2014), Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» в г. Екатеринбурге (2015), Международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казани (2015), Международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — V» в г. Ростове-на-Дону (2015), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В. И. Иванова в ТулГУ (2013-2015).
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 5 статьях [1-5], из которых 4 статьи [1-4] опубликованы в журналах, включенных в перечень ВАК, и одна статья [5] опубликована в журнале, включенном в международную базу цитирования Scopus. Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [6-13].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Главы разбиты на параграфы, которые делятся на разделы. Нумерация формул, утверждений и замечаний идет по главам и параграфам. Общий объем диссертации составляет 134 страницы. Библиография содержит 98 наименований.
Некоторые обобщения понятий и утверждений из 1
На протяжении настоящего параграфа предполагаются фиксированными промежуток / и двухпараметрическое семейство определенных на промежутке / непрерывных функций { : / — М " , где n, г — фиксированные натуральные числа. Под промежутком мы будем понимать связное подмножество вещественных чисел с непустой внутренностью (то есть не вырождающееся в точку).
Определение 1.1. Будем говорить, что двухпараметрическое семейство непрерывных функций {Я )К-і " п образует двухпараметрическую Т-систему (или короче ТА-систему) на промежутке /, если для любого ненулевого вектора с = (сі,...,сп) Є Ш.п общее количество геометрически различных (то есть без учета кратностей) нулей на / всех линейных комбинаций J(t; с) = Ci{(t) + ... + cn Jn(t)} j = 1,... , г не больше п — 1.
Определение 1.1 обобщает известное определение Т-системы для одно-параметрического семейства непрерывных функций {«()}= і ([15, с. 50]) (последнее получается из определения 1.1 при г = 1). Примеры семейств функций, образующих ТА-систему при г 1, приведены в конце этого параграфа. В дальнейшем для краткости будем использовать обозначение ( ; с) = сій W + + СпСШ), где с = (сі,..., сп) є R».
Таким образом, допустимая на промежутке / система точек — это множество точек, принадлежащих промежутку / и явно разделенных на г групп попарно различных точек. При этом не исключается случай, когда некоторые группы (возможно, все) могут быть пустыми. Общее количество точек в системе г мы будем обозначать символом \т\ = п\ + ... + пг.
Следующие утверждения для ТА-систем аналогичны соответствующим утверждениям для Т-систем ([15, с. 51-54]).
Утверждение 1.2. Если семейство функций {st( )}j-i " n образует ТА-систему на промежутке I, то для любой заданной допустимой на промежутке I системы точек г = {т/} " , где г = п — 1, суще ствует такой ненулевой вектор с Є что каждая линейная комбина ция функций t;J(t; с) (j = 1,..., г) имеет нули в точках rf,... ,т . и не имеет других нулей на промежутке. Этот вектор с определяется с точностью до постоянного множителя, то есть с= кс} к ф О, где
Утверждение 1.3. Если семейство функций {st( )}j-i " n образует ТА-систему на промежутке I, то для любой заданной допустимой на промежутке I системы точек т = {ri}i-i " n. ) г е \т\ = п- существует и при том единственный такой вектор с Є Мп, что каждая линейная комбинация функций J(t]c) (j = 1,...,г) принимает в точках rf,..., т3п. наперед заданные значения [,..., ?.. Вектор с определяется равенством с = S_1(T) , где матрица (т) определена равенством (1.1), а вектор = (Й,..., ,...,,..., J єМП Доказательства утверждений 1.1-1.3 полностью аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для однопараметрических Т-си-стем ([15, с. 51-53]), поэтому мы их не приводим.
Изолированный нуль непрерывной функции (), лежащий во внутрен ности промежутка /, называется узлом ([15, с. 53]), если при переходе через этот нуль функция (t) меняет знак, и пучностью ([15, с. 53]), если эта функция знака не меняет. В случае если нулем функции (t) является граничная точка промежутка /, принадлежащая этому промежутку, то такой нуль считается узлом.
Теорема 1.1. Пусть семейство непрерывных функций { ( )}j-i п образует ТА-систему на промежутке /, с Є W1 — произвольный ненулевой вектор, к — общее количество пучностей на I всех линейных комбинаций t;J(t;c)} j = 1,... , г, a I — их общее количество узлов на I. Тогда 2k + l n-l.
Доказательство. Пусть с Є W1 — произвольный ненулевой вектор. Если к = 0, то утверждение теоремы непосредственно следует из определения ТА-системы функций. Пусть к 0. Обозначим inf / т[ .. . т{. sup/ (j = l,...,r) — нули линейной комбинации ?(; с ), расположенные внутри промежутка /. Произвольным образом выберем точки $! Є (г/_І5г/) (і = l,...,rij + 1, j = 1,..., r; rj = inf/, r3n.+l = sup І). Положим МНІЄ С1)! 0, г = 1,...,п,- + 1, j = l,...,r; fi = min min д? 0. По условию теоремы семейство функций {;?()}._, " образует ТА-си-стему на промежутке /, поэтому к-\-1 п — 1. Согласно утверждению 1.3 существует такой ненулевой вектор с2 Є Мп, что каждая линейная комбинация J(t; с ) (j = 1,... , г) принимает значение +/і в пучностях линейной комбинации ? (; с1), в окрестности которых ?(, с1) 0, и значение —/і в пучностях линейной комбинации ?(; с ), в окрестности которых (t] с1) О, и кроме того обращается в нуль во всех узлах линейной комбинации i(t; с1).
Выберем теперь положительное р так, чтобы р max max IР ($J;: с2) І д. Положим с3 = с1 + рс2. Вектор с3 ненулевой, так как ( ( с3)! = \р\ + рС1($\] С2)\ р\ — р 0. Нетрудно убедиться, что общее число нулей всех линейных комбинаций J(t] с ), j = 1,... ,г не меньше 2к + /. Действительно, если точка т Є I является узлом некоторой линейной комбинации J{t)C ), то она является нулем (вообще говоря, не обязательно узлом) и линейной комбинации (t;c3), а если точка т- Є int / является пучностью линейной комбинации ?(; с ), в окрестности которой, например, i(t; с1) 0, то
Для удобства использования введенных выше понятий мы определим также отображения д: Шп \ {0} — { — 1,1}г и i : Шп \ {0} — Zr+ (смысл знака минус в верхнем индексе для обозначения отображения i станет понятен позже в 2), сопоставляющие ненулевому вектору с Є Шп соответственно вектор знаков 5 Є { —1,1}г и вектор индексов і Є Ъг+ семейства линейных комбинаций \,J(t) с)} . ,. Заметим, что для любых с Є Шп\ {0}, к 0, / ф 0 имеют место соотношения д(кс) = 6(c), i (1с) = i-(с).
Функции сг(-), & () и их свойства
Возможность выбора таких последовательностей обеспечивается условиями леммы. По следствию 1.2 (с учетом замечания 1.1) для каждого натурального к существует такой вектор с Є Sn l} что каждая линейная комбинация (t;ck) (j = 1,...,г) имеет нули только в точках г-(к), і = 1,...,і , которые обязательно будут являться узлами в силу следствия 1.1, не имеет других нулей на интервале / и при этом д(с ) = 5 . В силу компактности сферы Sn из последовательности {с } =1 можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы снова обозначим {ск} =1, lim ск = с Є Sn l. Очевидно, что
Теперь, пользуясь равенством (2.1) и условиями 1)-4), легко установить, что д(с) = 5 и каждая линейная комбинация J(t; с) (j = 1,... , г) имеет пучности в точках т[,... , т3п., узлы в точках т-у ,... , т 3, и не имеет других узлов на интервале /. Лемма 2.3 доказана.
Продолжаем доказательство леммы 2.2. Для заданного в условии леммы вектора i Є I зафиксируем произвольную допустимую на интервале /
Если окажется, что каждая линейная комбинация J (t]C ) (j = 1,... , г) не имеет на интервале / пучностей, отличных от точек г/,... ,т ., то вектор с1— искомый. В противном случае обозначим nh (j = 1,... , г) — количество всех пучностей (включая точки г/,... ,т .) соответствующей линейной комбинации t;J(t]C ) на интервале /. Для каждого j = 1,.. . ,г произвольным образом выберем на интервале / точки т .+1,... , тпі, отличные от всех нулей линейной комбинации (t]Cl) на интервале /. Добавив выбранные точки к системе точек т, сформируем систему точек г = \Tj /_і і и составим пару систем точек т ,т ,т Вектор с1 ненулевой и мы имеем i+(c1) = і1 = (2п\ + п ъ ..., 2п1 + О, (с1) = 5 Є A+(V).
По лемме 2.1 существуют векторы і 1 Є 3, s(i 1) = ті — 1 и 5 1 Є Л (і/1) такие, что і1 і 1 и = 6 при тех j Є {1,... ,г}, при которых ij = і 1. Выполнены все условия леммы 2.3 для векторов (5, і и сформированной выше допустимой пары систем точек т . Согласно этой лемме существует такой ненулевой вектор с2, что а) д(с2) = 5; б) каждая линейная комбинация J (t; с ) (j = 1,... , г) имеет пучности в точках г/,.. . , т\, узлы в точках т ,.. . , т 3, и не имеет других узлов на интервале /.
Если какая-нибудь линейная комбинация (t]C2) имеет на интервале / пучности, отличные от точек ff,... ,7 1, то аналогично может быть по пз строен ненулевой вектор с и так далее до тех пор, пока не будет построен ненулевой вектор с , для которого будет выполнено i+(c ) = i+(c ). Процесс построения векторов с: , с: ,... обязательно закончится через конечное число шагов, так как полный расширенный индекс в ряду векторов с1, с2,... строго возрастает, но он не может быть больше п — 1:
Итак, мы построили конечный ряд ненулевых векторов с: ,... , с, обладающих свойствами: пз 1) д(сг) = 5 при всех і = 1,. .. , к; 2) при каждом і = 1,.. . , к и каждом j = 1,. .. , г линейная комбинация (t]d) имеет узлы в точках т ,... , тJ, и не имеет других узлов на интервале /; 3) при каждом і = 1,... ,к — 1 и каждом j = 1,.. . ,г линейная комбинация (; с ) имеет пучности в точках т\ .. . , т"\_х (щ = rij) и не имеет пучностей в точках т\_х ,... , т\; 4) при каждом j = 1,...,г линейная комбинация ?(; с ) имеет пучности в точках Tj7,. lTJk_1 и не имеет других пучностей на интервале /.
Далее, из 3)-4) и неравенства (2.2) следует, что точка т Є int / является пучностью некоторой линейной комбинации {t\ с) тогда и только тогда, когда она является пучностью каждой линейной комбинации {t\ с ), і = 1,... , к. Теперь из 3)-4) легко получить утверждение пункта г).
Лемма доказана. Теорема 2.1. Пусть выполнено условие 1.1. Тогда для любых векторов і = (ii,... ,ir) Є 3, 6 Є Л+(і) и любой допустимой на интервале І пары систем точек т = т, т , гое г = г/ \. , , г = \т \. , ,, такой, v п У J i=l,...,rij I J«=l,...,n- 7 nmo 2nj +n - = ij при каждом j = 1,..., г, существует такой ненулевой вектор с, что 1) 5(c) = 8; 2) каждая линейная комбинация J(t;c) (j = 1,...,г) имеет пучности в точках г(,..., т ., узлы в точках r[J,... ,r J, и не имеет других нулей на интервале I. Доказательство. По условию теоремы 8 Є Л+(і), поэто му по лемме 2.1 существуют векторы і Є 3, 5 Є Л (і/), удовлетворяющие условиям 1)-3) леммы 1.3. Теперь применяем лемму 2.2, поскольку ее усло вия такие же как у леммы 1.3.
Теорема 2.2. Пусть выполнено условие 1.1, і Є З, 8 Є {—1,1}г — произвольные векторы. Для того чтобы 8 Є Л+(і), необходимо и достаточно, чтобы существовали векторы і Є 3 и 5 Є Л-(і ), удовлетворяющие условиям: 1) s(i ) = п - і; 2) і і ; 3) 5j = 6j при тех j Є {1,..., г}, при которых ij = х у Доказательство. Необходимость составляет утверждение ранее доказанной леммы 2.1, а достаточность следует из леммы 2.2. Теорема 2.3. Л (і) = Л+(і) для любого і Є X Доказательство. Возьмем произвольное і Є X Для любого 8 Є {—1,1}г рассмотрим утверждения: 1) 8 Є Л"(і); 2) существуют такие векторы і Є 3, 8 Є Л (і/), что і і , s(i ) = п — 1 и j = 8j при тех j Є {1,... ,г}, при которых ij = i j] 3) 8є Л+(і). Согласно теоремам 1.3 и 2.2 имеем 1) Ф 2), 2) Ф 3) соответственно, откуда и следует утверждение теоремы. Учитывая утверждение доказанной теоремы 2.3, мы не будем в дальнейшем указывать верхний индекс у отображения Л: I — {-1,1}г, положим Л = Л- = Л+.
Мы дали определение ТА-системы функций на произвольном невырожденном промежутке /, но до сих пор рассматривали их свойства только на интервале. Было бы интересно проверить, какие из этих свойств сохраняют силу на произвольном промежутке. Но прежде необходимо уточнить определение 1.3 и пояснить как мы будем понимать координату 5J вектора знаков 5 в случае, если левый конец замкнутого слева промежутка / является нулем соответствующей линейной комбинации J(t;c).
Определение 2.3. Пусть с Є Шп — произвольный ненулевой вектор, невырожденный промежуток / замкнут слева, to — левый конец промежутка /. Вектором знаков семейства линейных комбинаций №(t]c)\ . , мы будем называть вектор 5 = (5\,... ,5Г) Є {-1,1}г, координаты которого определяются следующим образом:
Теорема 1.1 была доказана для произвольного промежутка /. Утверждения леммы 1.1 и следствия 1.2 легко переносятся на случай произвольного промежутка /, а утверждения леммы 1.3, теоремы 1.3 и утверждения 1.4 в случае произвольного промежутка / могут оказаться неверными даже для случая г = 1, что иллюстрируют примеры ниже.
Пример 2.1. Рассмотрим систему, состоящую из двух функций i() = sin, (t) = cost. Любая нетривиальная линейная комбинация этих функ ций имеет вид (; с) = С\ sint + С і cost = Vcf + c?2 sin(t + ф), где ф — некоторая константа. При любом ненулевом векторе с Є Ж функция (; с) имеет ровно один узел на любом полуинтервале 1а = [а, а + 7г), где а — произвольная вещественная константа, и по определению 1.1 эта система функций образует ТА-систему на любом полуинтервале 1а. Между тем не существует ни одного ненулевого вектора с, при котором линейная комбинация (; с) не имела бы ни одного нуля на полуинтервале 1а, то есть А7а(0) = 0.
Пример 2.2. Рассмотрим семейство функций { (t)}. , из примера 1.1. Там мы установили, что оно образует ТА-систему на любом интервале (а, а + 7г/2), а Є Ш. Это семейство функций образует ТА-систему также на любом полуинтервале 1а = [а, а + тг/2). Однако не существует ни одного ненулевого вектора с, при котором обе линейные комбинации (;с), (; с) не имели бы ни одного нуля на полуинтервале 1а.
Линейная нестационарная управляемая система. Определения и обозначения
Таким образом, множество Mf(to, 9) состоит из всевозможных кусочно-постоянных функций и(-), тождественно равных нулю вне промежутка [to, to + тп) С [to, to + 9); каждая координатная функция Uj(-) на промежутке [to, to+Tn) принимает значения +1 или —1 и имеет ровно xij переключений, a Sj Є { — 1,1} — значение функции Uj(-) в правой окрестности точки to- Множества Mf(to,9) введены нами как множества гипотетических управлений, поэтому нам не важны значения функций управления в точках переключения, но для определенности мы определили их так, чтобы они были непрерывными справа.
Каждое множество M(to, 9) является связным многообразием без края, имеющим размерность Пі + ... + пг + 1. В качестве атласа этого многообразия удобно взять атлас, состоящий из единственной карты которая определяет взаимно однозначное соответствие между пространством M(to,6) и пространством их локальных координат An(#), а также задает топологию на пространстве M(to, в), совпадающую, очевидно, с топологией, порожденной на этом пространстве метрикой (4.30) (см. ниже). Вектор т = (т/,.. . ,т ,.. . ,т[,. .. ,т ) и величина тп, соответствующие функции и(-) = u(to,Ti,f,Tn,5), будем называть соответственно вектором переключений и временем действия для управления и(-). Заметим, что согласно нашим определениям все многообразия Mf(to, 9) содержат функции только с положительным временем действия, поэтому для однообразия обозначим М% = {()()} — множество, состоящее из единственного всюду равного нулю управления, которое является оптимальным для вырожденной задачи (4.1)-(4.2) при XQ = 0. В дальнейшем будем считать, что время действия управления О(-) равно нулю, а множество М% можно считать многообразием нулевой размерности.
Многое из вышесказанного про многообразие М"(to, 9) относится также к многообразию M (to,9) кроме того, что оно является связным многообразием с краем, а в качестве его атласа удобно взять атлас, состоящий из той же карты (4.29), но определенной на более широком множестве Ап(9).
Край многообразия M (to,9) обозначим символом dM (to,9). Множество dM (to,9) является связным многообразием без края, имеющим раз мерность Пі + .. . + nr. Единственная карта составляет атлас этого многообразия. Для любой точки to Є (А, В) и любого неотрицательного в определим множество M(to,9) следующим образом: M(to,0) = М , а для положительных в множество M(to,0) определяется равенством Определим также множество M(to) = (J M(to,0), которое мы превратим в метрическое пространство, введя на нем метрику для произвольных элементов it , и Є M(to). Все функции, содержащиеся в множестве M(to), являются финитными, поэтому интеграл в равенстве (4.30) всегда существует и конечен, а бесконечный верхний предел интегрирования выбран здесь только для упрощения обозначений. Отметим, что множества M(to,0), M(to) определены только в точках докритично-сти системы (4.1), потому что только в этих точках определено отображение Ato.
В лемме 4.1 сформулировано основное свойство множества M(to,0). Утверждение этой леммы будет существенно использоваться в 5 при решении задачи (4.1)-(4.2).
Лемма 4.1. Пусть система (4.1) докритическая в точке to. Тогда при любом 0 0 cr(to) верны следующие утверждения: 1) любое управление и{) Є M(to,0) удовлетворяет принципу максимума (4.4) на отрезке [to, о + $] ($ — время действия управления и(-)); 2) для любого допустимого управления и(-) Є Ы, удовлетворяющего принципу максимума (4.4) на некотором невырожденном промежутке [to, to+#] Q [ о, to+9], существует такое управление и {) Є 9M"(to,#) С M{to,9), что u(t) = u (t) при почти всех t Є [to, to + #].
Доказательство. Пусть м(-) Є M{to,9) — произвольное управление, имеющее время действия д. Докажем, что оно удовлетворяет принципу максимума (4.4) на отрезке [to, to + $]. Для управления 0(-) Є М% это очевидно, пусть й(-) Є M(to,9) \ М%. Существуют такие векторы п Є 3 и Є Ліо(п), что й(-) Є M"(to,#).
Обозначим т = {т{,... , т ,... , т[,... , тг) — вектор переключений функции м(-). По построению множества M{to, 9) для $ имеет место неравенство 0 i) # cr(to) (напоминаем, что предполагается й ф 0), поэтому семейство функций {?()} " , определенных равенством (4.7), образует ТА-систему на непустом интервале / = {to, to + #). Далее, 6 Є Ліо(п) и система точек г = {to + т/}является допустимой на интервале /, следовательно по теореме 1.2 существует такой ненулевой вектор с Є Мп, что д{с) = 5 и каждая линейная комбинация J{t;c) {j = 1,... , г) имеет узлы в точках to + rf,. .. , to + ті. и не имеет других узлов на интервале /. где ip\{t),... , ipn{t) — фиксированная ранее система векторов (4.6). Так как вектор с ненулевой, то решение i[)(t) сопряженной системы (4.5) нетривиально. Подставляя (4.31) в принцип максимума (4.4) и учитывая обозначения (4.7), получаем, что равенство имеет место при всех t Є (to, to + і)) кроме, может быть, конечного числа точек to + т/. Первое утверждение леммы доказано.
Для доказательства второго утверждения предположим, что допустимое управление й(-) Є Ы удовлетворяет принципу максимума (4.4) на некотором невырожденном промежутке [to, to + $] С [to, to + 9] для некоторого нетривиального решения ifj(t) сопряженной системы (4.5). Тогда существует такой ненулевой вектор с Є Шп, что для функции i[)(t) имеет место разложение (4.31). Подставляя (4.31) в принцип максимума (4.4) и учитывая обозначения (4.7), получаем, что равенство (4.32) имеет место при почти всех t Є [to, to + $]
Оптимальное программное управление и структура множества управляемости линейной докритической системы
Ее определитель A = (1 + t2){\ + arctg) - t(t + (1 + 2)arctg) = 1, поэтому эта система имеет только нулевое решение С\ = с2 = 0. Таким образом, при любом ненулевом с G I2 неравенство (6.12) будет строгим при любом і G М, следовательно функция t 1— g{t\ с) монотонно строго убывает на множестве К. и имеет на нем не более одного нуля, который обязательно будет простым (не кратным). Отсюда следует, что либо обе функции (;с), (; с) не имеют нулей на множестве К, либо ровно одна из них имеет единственный нуль на множестве К. (случай общего нуля этих функций невозможен в силу того, что функция g(t, с) не может иметь кратных нулей). По определению семейство функций (6.11) образует ТА-систему на множестве К. и cr(t) = +00 для всех t Є Ш.
Согласно утверждению 3.1 отображение Л , построенное для семейства (6.11), не зависит от t, то есть Л = Л: 3 — {- 1,1} Для нахожде-ния значений отображения Л(і) при каждом і Є 3 = {(0,0), (1,0), (0,1)} мы можем воспользоваться результатами первого параграфа, но проще их найти, используя специфику функций (6.11). Пусть при некотором нену 100 левом векторе сЄ R2 линейная комбинация l(t]c) имеет нуль, при переходе через который она меняет знак с плюса на минус. Тогда линейная комбинация (; с) не имеет нулей на множестве Мив силу (6.12) она всюду положительна. Отсюда получаем {(+1,+1)} Є Л(1,0) и по следствию 1.2 имеем Л(1,0) = {(+1, +1), (-1, -1)}. Аналогично находим множество Л(0,1) = {(+1,+1), ( —1, —1)}. Применяя теорему 1.3, находим множество Л(0, 0) = {(+1, +1), (+1, -1), (-1, +1), (-1, -1)}.
Теперь для любого момента времени to Є Ж. и любого в 0 положим где 3 = {(0, 0), (1, 0), (0,1)}, множество Л(і) при каждом значении аргумента і Є 3 найдено выше, а многообразия M {to,$) определены равенствами (6.3)-(6.5). Несмотря на внешнюю идентичность формул (6.6) и (6.13), множество (6.13), вообще говоря, отличается от множества (6.6), потому что отображение і н- Л(і), входящее в их правые части, зависит от исходной управляемой системы. По лемме 4.1 множество (6.13) обладает свойствами 1)-2) (стр.96), сформулированными в примере 6.1, с тем очевидным отличием, что принцип максимума (4.4) относится к задаче быстродействия, которую мы рассматриваем в этом примере.
Располагая векторы ifji(t), (t) построчно, составим фундаментальную матрицу Ф() сопряженной системы (4.5). Матрица Ф (t) является фундаментальной матрицей однородной системы (4.3). Теперь можно найти матрицу
Теперь для любого to Є Ш, любого положительного 9, каждой пары (п, 5), п Є З, (J Є Л(п) построим многообразия 7V"(0,#) = Fto(M"(0,#)), dN"(to,6) = Fto(dM"(to,6)). Так как система (6.7) не является стационарной, то ее множество управляемости D(to,9) и все построенные многообразия N"(to,9), dN"(to}9) зависят не только от 9, но и, вообще говоря, от начального момента времени to.
При любых фиксированных to Є Ш и в 0 все множества N {to,9), п Е 5, 5 Є Л(п) попарно не пересекаются, а их объединение согласно теореме 5.2 представляет собой выпуклое компактное множество управляемости D(to,9) системы (6.7) на отрезке [to, to + 9]: D(t0,e) = {0}U(U (J ЛЇ((о,в)). ЧпєЗ JeA(n) /
Множества dlSPg(to,9), n Є 3, Є Л(п) также попарно не пересекаются, а их объединение согласно теореме 5.2 представляет собой кусочно-гладкую границу множества управляемости dD(to,9) системы (6.7): dD(to,9) = {J (J дЩ(і0,Є). пєЗ JeA(n)
Для того чтобы получить параметрические представления многообразий N {to,9) в явном виде, запишем отображение (6.14) как функцию, зависящую от локальных координат (т,Т2) Є An(#) произвольного элемента u(-) = u(to,n,f,T2,6) Є M (to,9). Для простоты все вычисления проведем