Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Операторно сопряженное пространство к пространству интегрируем вектор-функций 11
1. Пространство интегрируемых векторных функций 12
2. Свойства векторного интеграла 23
3. Операторно сопряженное пространство 41
4. Теорема Радона-Никодима 54
ГЛАВА II. Дисперсное интегрирование по экстенсиональной мере 68
1. Представление ограниченных операторов дисперсными интегралами 69
2. Приложения к теории субдифференциалов 83
Литература 97
- Пространство интегрируемых векторных функций
- Операторно сопряженное пространство
- Представление ограниченных операторов дисперсными интегралами
- Приложения к теории субдифференциалов
Введение к работе
Теория упорядоченных векторных пространств была создана в середине 30-х годов математиками ленинградской школы во главе с Л.В.Канторовичем. Характерной чертой развития этого направления являются тесные и плодотворные связи с другими разделами анализа. Наличие естественных порядков в классических объектах анализа привело к активному взаимодействию теории упорядоченных векторных пространств с различными разделами математики. В результате появились новые теоретические конструкции и многочисленные приложения к теории операторов, выпуклому анализу, теории экстремальных задач и т.д. Соответствующие обзоры имеются в работах [2,6,8,9,25,27,28, 49,54,58,59,62-64,66,67] .
Одной из классических, традиционных задач функционального анализа является задача отыскания общего вида различных классов линейных операторов и функционалов, причем для последних ее решение в классических пространствах есть интегральное представление в той или иной форме. Для аналитического представления линейных операторов "скалярных" интегралов в принципе недостаточно. Еще в тридцатых годах появились векторные конструкции интеграла в банаховых пространствах в работах Бохнера [7l] , Данфорда [75] , Петтиса [89,9б] и др. В настоящее время банахова теория векторного интегрирования достаточно развита и хорошо освещена в монографической литературе [20,70,72,74,91] . Задачи аналитического представления линейных операторов и векторного интегрирования занимают важное место и в теории упорядоченных векторных прост-
ранств. В последние годы появилось большое число работ, посвященных этим вопросам. Отметим лишь те из них, которые идейно наиболее близки данной работе [3-7,12,35-37,42,65, 83,84,93-98] . Основные обзоры даны в [9,27,85] . Одновременно появились такие объекты упорядоченного анализа, которые не поддаются описанию в рамках банаховой теории двойственности, и в то же время для них имеет место естественная операторная двойственность.
Б начале семидесятых годов Г.П.Акиловым была высказана идея построения теории векторной двойственности на основе пространств Канторовича. Варианты векторной двойственности уже возникали неявно при решении различных аналитических задач [3,59,85] . Одним из первых объектов векторной двойственности были пространства с разложимой векторной нормой, введенные Л.В.Канторовичем в 1939 г. [78І , (см. также 26 ) Он же изучал вопрос разрешимости операторных уравнений в таких пространствах. В последние годы стимулом для развития аппарата векторной двойственности явились попытки распространить на случай многоцелевых экстремальных задач методов линейного и выпуклого программирования. Аналитические средства для такой теории возникли, в частности, с изучением сублинейных операторов и операторно выпуклых множеств. Важную роль здесь сыграли работы В.Л.Левина [59-62] , А.Г.Кус-раева 32-35, 41-43] , С.С.Кутателадзе [52-56] и А.М.Рубино-ва .[66,- 67] и др. (см. также [45-50, 58] . Общая теория двойственности пространств Банаха-Канторовича сформировалась в работах А.Г.Кусраева [34-37, 42] . Стоит отметить широкое использование метода булевозначных моделей [24] в большинстве перечисленных работ. На возможность применения
этого метода в упорядоченном анализе (впервые) явно указал Е.И.Гордон в работе [їв"] , где установлена связь между расширенными К-пространствами и вещественными числами в буле-возначных моделях теории множеств. В дальнейшем булевознач-ные модели были положены в основу нового реализационного метода в функциональном анализе [19, 36-38, 57, 88, 92 J . В частности, в [36, 37] получены булевозначные реализации различных объектов векторной двойственности. Указанным методом решены проблемы внутренней характеризации и описания экстремальной структуры опорных множеств [48, 49] .
Настоящая работа посвящена изучению некоторых оператор-но двойственных пар, связанных с векторным интегрированием. При этом одним из основных вопросов является описание опера-торно двойственного пространства. Следует отметить, что такое описание приводит к результатам об аналитическом представлении линейных операторов. Переходя к краткому обзору содержания работы, приведем прежде всего необходимые определения.
Действительное векторное пространство называется векторной решеткой, если Е является частично упорядоченным множеством, в котором для любых двух элементов лл у Е существует их супремум XVij и инфимум хли , причем линейные операторы и порядок согласованы:
(1) для всех У,у,Є Е из х^ U следует X+l l[*E.
(2) если Х>0 и число 'Х>0 , то UX>0 .
Векторная решетка Е называется К -пространством, ес
ли любое ограниченное сверху множество в Е имеет супремум.
Отображение р: X —* + , где Х-векторное пространство, а Е - К, -пространство, называется векторной
нормой, если оно обладает свойствами, аналогичными свойствам скалярной нормы, т.е.. для любых -Х.,уеХ
р(Х) « О тогда и только тогда, когда х=0
рСах) ~\aipCx) для <хе 1R
3) рСя+д) pteJ + pCfj
Если векторная норма р удовлетворяет условию
4) если pCxJ^Qi + cii для некоторых 6 X » #4 і
Qze Е , то существуют такие хіл х.Ає-Х , что Х^+Хг =
а и jD^t)« Яі (i~4l). то она называется разложимой.
Если для векторной нормы р выполняется условие
5) из \х \< |(j| следует р(х) <. р(%)
то будем называть ее монотонной.
Векторная решетка (векторное пространство) X , наделенное разложимой монотонной нормой р , принимающей значения в некотором К -пространстве, называется К -нормированной решеткой ( К -нормированным пространством).
Пусть F - фундамент К. -пространства Б . Оператор #: F—* Е называется ортоморфизмом, если он допускает мультипликативное представление:
Х=Лг. : х—> Х (хеЕ)
где ив IUC - максимальное расширение К -пространства Е . Для всякого ортоморфизма 31 существует наибольший фундамент 2)^ (Л) , на который он продолжается. Если
%^Жа , ТО
Множество всех ортоморфизмов обозначается ОьЬк С Е);
Всякий ортоморфизм является порядково непрерывным оператором ( [77] ).
Введем понятие ограниченного оператора в К. -нормированных пространствах.
Пусть (X, р), (Y ^3 " К-нормированные пространства посредством К -пространства . Линейный оператор
U' X ~~* Y называется ограниченным, если существует та
кой ортоморфизм Chth (Е) . ЧТО
Среди таких ортоморфизмов существует наименьший [50І , который обозначим l(U) . Пусть оС (X, Y/ - множество всех ограниченных операторов из X в Y . Это тоже R, -нормированное пространство с нормой 7- , причем
выполняется нормативное неравенство:
Оператор U называют изометрией, если
q.(Ux) = p(x).
Если Л - некоторое К -пространство, |xf - модуль элемент ХеХ» то пара(Х, \-\) есть Я -нормированная решетка, в которой само Л является нормирующим пространством.
Пусть л -&-нормированное пространство посредством \ -пространстваЕ, Пространство
называется операторно сопряженным ( р -сопряженным) к пространству (X, ь) .
Работа состоит из введения и двух глав. В первой главе вводится понятие интегрируемой векторной функции, заданной на измеримом пространстве (Т, Z,, [х) с б" -конечной мерой р-и принимающей значения в \L -пространстве. Определяется векторный интеграл. Приведенная конструкция интеграла не предполагает ни наличия нормы в К- -пространстве образов, ни так называемой регулярности [її] (свойства диагональнойипо-следовательности) и может быть реализована для любого \L -пространства. С векторным интегралом естестввнным образом связывается К -нормированная решетка интегрируемых векторных функций. В работе описано операторно сопряженное пространство к ней в случае, когда она обладает свойством порядковой полноты. В этой главе доказан также аналог теоремы Радона-Никодима для векторных мер, при некоторых дополнительных предположениях относительно базы К. -пространства образов.
Во второй главе изучается пространство ограниченных функций t(0i, Е) со значениями в К.-пространстве Е и определенных на некотором множестве 0V , на котором не предполагается никакой измеримой структуры. Изучение таких пространств связано с задачей описания опорного множества сублинейного оператора. Пространство ( ((Л> В) тоже оказывается И -нормированной решеткой, если в качестве векторной нормы взять поточечный супремум модуля функции. Здесь
необходимо дать некоторые определения.
Пусть %) - некоторый фиксированный фундамент в /и -максимальном расширении К -пространства Е ( [і, II, 26J) Если множество
тоже является фундаментом, то будем называть его сопряженным к К -пространству Е относительно Ю . Если D~тЕ, то будем пользоваться термином "сопряженный фундамент".
Пусть с$ - полная булева алгебра проекторов К. -пространства 5 ([і, II, 26J ). Обозначим
тогда $ - тоже полная булева алгебра с поточечными операциями. Экстенсиональной мерой на <& назовем функцию U: $г —* со свойствами
I. Если Яг± f ftz Є Ї&01 9 Jt± ct^i , то
для всех
В работе описано операторно сопряженное пространство к /С -нормированной решетке 1(01) У) . Оказывается, оно изоморфно пространству всех экстенсиональных мер. Приведены приложения полученных результатов к задачам теории субдифференциалов, в частности, получена теорема об интегральном представлении элементов субдифференциала канонического оператора.
Результаты работы докладывались в Новосибирском государственном университете, Институте математики 00 АН СССР,
на ІУ и УП Школах по теории операторов в функциональных пространствах в Минске в 1978 г. и 1982 г., на научно-технической конференции Читинского политехнического института. Основные результаты работы опубликованы в [13-17] .
Пространство интегрируемых векторных функций
Теория упорядоченных векторных пространств была создана в середине 30-х годов математиками ленинградской школы во главе с Л.В.Канторовичем. Характерной чертой развития этого направления являются тесные и плодотворные связи с другими разделами анализа. Наличие естественных порядков в классических объектах анализа привело к активному взаимодействию теории упорядоченных векторных пространств с различными разделами математики. В результате появились новые теоретические конструкции и многочисленные приложения к теории операторов, выпуклому анализу, теории экстремальных задач и т.д. Соответствующие обзоры имеются в работах [2,6,8,9,25,27,28, 49,54,58,59,62-64,66,67] .
Одной из классических, традиционных задач функционального анализа является задача отыскания общего вида различных классов линейных операторов и функционалов, причем для последних ее решение в классических пространствах есть интегральное представление в той или иной форме. Для аналитического представления линейных операторов "скалярных" интегралов в принципе недостаточно. Еще в тридцатых годах появились векторные конструкции интеграла в банаховых пространствах в работах Бохнера [7l] , Данфорда [75] , Петтиса [89,9б] и др. В настоящее время банахова теория векторного интегрирования достаточно развита и хорошо освещена в монографической литературе [20,70,72,74,91] . Задачи аналитического представления линейных операторов и векторного интегрирования занимают важное место и в теории упорядоченных векторных пространств. В последние годы появилось большое число работ, посвященных этим вопросам. Отметим лишь те из них, которые идейно наиболее близки данной работе [3-7,12,35-37,42,65, 83,84,93-98] . Основные обзоры даны в [9,27,85] . Одновременно появились такие объекты упорядоченного анализа, которые не поддаются описанию в рамках банаховой теории двойственности, и в то же время для них имеет место естественная операторная двойственность.
Б начале семидесятых годов Г.П.Акиловым была высказана идея построения теории векторной двойственности на основе пространств Канторовича. Варианты векторной двойственности уже возникали неявно при решении различных аналитических задач [3,59,85] . Одним из первых объектов векторной двойственности были пространства с разложимой векторной нормой, введенные Л.В.Канторовичем в 1939 г. [78І , (см. также 26 ) Он же изучал вопрос разрешимости операторных уравнений в таких пространствах. В последние годы стимулом для развития аппарата векторной двойственности явились попытки распространить на случай многоцелевых экстремальных задач методов линейного и выпуклого программирования. Аналитические средства для такой теории возникли, в частности, с изучением сублинейных операторов и операторно выпуклых множеств. Важную роль здесь сыграли работы В.Л.Левина [59-62] , А.Г.Кус-раева 32-35, 41-43] , С.С.Кутателадзе [52-56] и А.М.Рубино-ва .[66,- 67] и др. (см. также [45-50, 58] . Общая теория двойственности пространств Банаха-Канторовича сформировалась в работах А.Г.Кусраева [34-37, 42] . Стоит отметить широкое использование метода булевозначных моделей [24] в большинстве перечисленных работ. На возможность применения этого метода в упорядоченном анализе (впервые) явно указал Е.И.Гордон в работе [їв"] , где установлена связь между расширенными К-пространствами и вещественными числами в буле-возначных моделях теории множеств. В дальнейшем булевознач-ные модели были положены в основу нового реализационного метода в функциональном анализе [19, 36-38, 57, 88, 92 J . В частности, в [36, 37] получены булевозначные реализации различных объектов векторной двойственности. Указанным методом решены проблемы внутренней характеризации и описания экстремальной структуры опорных множеств [48, 49] .
Настоящая работа посвящена изучению некоторых оператор-но двойственных пар, связанных с векторным интегрированием. При этом одним из основных вопросов является описание опера-торно двойственного пространства. Следует отметить, что такое описание приводит к результатам об аналитическом представлении линейных операторов. Переходя к краткому обзору содержания работы, приведем прежде всего необходимые определения.
Действительное векторное пространство называется векторной решеткой, если Е является частично упорядоченным множеством, в котором для любых двух элементов лл у Е существует их супремум XVij и инфимум хли , причем линейные операторы и порядок согласованы: (1) для всех У,у,Є Е из х U следует X+l l[ E. (2) если Х 0 и число Х 0 , то UX 0 . Векторная решетка Е называется К -пространством, ес ли любое ограниченное сверху множество в Е имеет супремум.
Операторно сопряженное пространство
В этом параграфе определяется векторная норма в пространстве интегрируемых функций, которое оказывается К. -нормированной решеткой. Определяются пространства L ( В J ( р + ) интегрируемых со степенью р векторных функций. Доказано утверждение, являющееся аналогом теоремы Лебега об ограниченной сходимости интегрируемых вещественных функций. Установлен еще ряд "предельных" свойств интеграла. Доказано, в частности, что интеграл является порядково непрерывным оператором в пространстве L (frE) . Наконец, доказана теорема о полноте (в смысле векторной нормы) пространства L(u,E) . Согласно реализационной теореме Стоу-на-Огасавара, всякая булева алгебра изоморфна совокупности открыто-замкнутых множеств некоторого вполне несвязного ха-усдорфова компакта, причем, если булева алгебра полна, то этот компакт будет экстремально несвязным I, 10, II . Полную булеву алгебру проекторов И -пространства всюду в дальнейшем будем обозначать символом $ . Указанный изоморфизм можно установить таким образом, что для всякого зсє 6Ъ оператору V- і— Jtv (v-ьЕ) будет соответствовать оператор умножения на характернетическую функцию некоторого открыто-замкнутого множества в реализации fd -пространства
Е как фундамента в C CQ) . Нам будет удобно использовать одно и то же обозначение #Г Л для проекторов и для открыто-замкнутых подмножеств стоуновского компакта Q и для их характеристических функций, имея в виду указанный изоморфизм.
Нам потребуются некоторые определения. Говорят, что сеть (j Jrfgjg в /{.-нормированной (посредством К -пространства Е ) решетке (Х.}р) (4)- сходится (соответственно, ($г) - сходится) к элементу)лбХ , если сеть { sd - У- л J (о] сходится (соответственно, Зг)-сходится) к нулю в пространстве Е . Сеть {xd j называют (So) -фундаментальной (соответственно, (St) -фундаментальной), если сеть JJ - AI ДО)-СХОДИТСЯ-(соответственно, {&) -сходится) к нулю в X . Если всякая (So) -фундаментальная (соответственно, (8 г) -фундаментальная) сеть So - сходится (соответственно, (pi) -сходится) к некоторому элементу хвХ , то пространство (Xjp) называют (So) -полным (соответственно, (4ъ) -полным). Определение ( -сходимости и сходимости с регулятором ( (г) -сходимости) соответствует принятым в монографиях [II, 26 ] . К -нормированное (Х р) пространство (Х,р) будем называть дизъюнктно полным, если для любого полного семейства проекторов {} с $ и любого ограниченного семейства {і}сХ существует такой элемент У.еЛ , что Jt p (Z-Z ) - О. Нам пригодится также критерий So -полноты: ТЕОРЕМА ([51] ). Решеточно-нормированное пространство (Х,р) ( о)-полно тогда и только тогда, когда оно секвенциально (-6г) -полно и дизъюнктно полно. Определим отображение: р: равенством P(Z) = Jlxld т и покажем, что о является разложимой векторной нормой. Более того, справедливо ПРЕДЛОЖЕНИЕ I.2.I. Пространство ( (/и, Е),р) является Ц -нормированной решеткой (см. введение). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверим прежде всего, что отображение р действительно является векторной нормой. Равенство р(Х)= О означает, что для aeQo , ft? - дополнение к множеству первой категории в Q , т.е. ХЧ ") = 0 U, -почти всюду на Т , откуда следует, что Х=0 . Равенство pOfx)= dp(x) для d О немедленно следует из аналогичного свойства нормы в L (fO . To же можно сказать и о неравенстве треугольника. Докажем разложимость нормы. Пусть р(я) =v V } Vi УА, & . Так как tf v СС=ІЛ) , то существуют такие положительные ортоморфизмы «і, 01 г 1 в С (см. введение), что ЯГ; = Л .В реализации как фундамента в С СО. операторы а и dt являются операторами умножения на функции из CCQ) ( [I] ), будем обозначать эти функции теми же буквами. Пусть Х( = otLx (it i,JLJ . Тогда для сь & Qy
Представление ограниченных операторов дисперсными интегралами
Основная цель этой главы - дать аналитическое описание операторно сопряженного пространства к пространству 1С&1, Е) . Для этой цели строится интеграл по экстенсиональной мере, конструкцию которого основана на идее "дисперсного" интегрирования.
В случае R сопряженное пространство -і (Оі}й) состоит из таких функционалов -Р ((Х $) — ft , что для некоторой конечно аддитивной меры d , заданной на алгебре @((К) подмножеств множества Ol . При этом для построения интеграла осуществляется равномерное приближение ограниченных функций ступенчатыми функциями, причем "величина "ступеньки" равна значению функции в некоторой точке.
В рассматриваемой задаче в точности такой процесс не проходит, поскольку для равномерного приближения ограниченной векторной функции ее значений в точках недостаточно для построения соответствующей ступенчатой функции. Недостающие значения можно получить путем операции "перемешивания". Точнее, если JX L е ст =1 С02, В) и [ЛГ J - полное дизъюнктное семейство проекторов, то функция і — 2» ! $ ("О называется перемешиванием семейства {Jj J (относительно
Конструкция дисперсного интеграла представляет собой сочетание операции перемешивания с процессом суммирования. При описании сопряженного пространства с необходимоетью возникают экстенсиональные меры. Действительно, всякий оператор из t(M. E) является модульным гомоморфизмом, ! поэтому сужение его на есть экстенсиональная мера. Основной результат первого параграфа - теорема об изоморфизме операторно-сопряженного пространства к і (оі,Е) и пространства всех экстенсиональных мер. При этом для Л (Pi EJ справедливо представление: где в правой части стоит дисперсный" интеграл. Во втором параграфе содержатся приложения теоремы об изоморфизме к теории субдифференциалов. В частности, получена теорема об интегральном представлении элементов субдифференциала сублинейного оператора. I. Представление ограниченных операторов в Viol, В) дисперсными интегралами В этом параграфе получен основной результат данной главы - теорема об изоморфизме пространств ограниченных (относительно векторной нормы) линейных операторов в "CPi} Е) и экстенсиональных мер на %Qb . Показано, что с любой экстенсиональной мерой можно связать ограниченный линейный оператор, обладающий свойствами, аналогичными свойствам скалярного интеграла по конечно аддитивной мере. Такие операторы названы "дисперсными" интегралами. Оказывается, такими интегралами исчерпывается всё операторно сопряженное пространство к і (Ог, Е ). Всюду в этой главе 01 - произвольное множество, Е -некоторое # -пространство. Символом t (OltE) будем обозначать класс функций X: 0i -+ Е , для которых существует і %vup {\ли)\ -Ье- Ос і е . Очевидно, что (Olt Ю - векторное пространство относительно поточечных алгебраических операций. Более того, (Ol, В) - унитарный модуль над кольцом ОМ (Е) . Если в этом пространстве ввести поточечный порядок: то (Pi Е) будет /С -пространством. При этом точные верхние границы множеств любой мощности вычисляются поточечно: Определим отображение : l (OL, В ) — В равенством I ас = 1ир{ 1-х Ml, ieOzJ Очевидно, что / / является монотонной разложимой век- ) торной нормой, пространство (t C E ), II) является таким образом, U. -нормированной решеткой (см. введение). /с -нормированную решетку X,S , где S - разложимая векторная норма, будем называть 6 И -решеткой (решеткой Банаха-Канторовича) , если она (4oj -полна относительно нормы і . Примерами пространств Банаха-Канторовича могут служить пространства Ll(ft,E)f 11(Ц Е) } Lp (р Е) (1+ р - + J рассмотренные в первой главе, а также произвольное Ц -пространство с модулем в качестве векторной нормы. Справедливо следующее предложение ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.I.I. t(0t,E) есть пространство Банаха-Канторовича . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если { } - ( oj-фундаментальная последовательность (гл. I, 2), то т.е. /J ot (О - Х(ь ("01"- О {htrOl) в К -пространстве В . В силу фо) -полноты (см. гл. I, 2) К -пространства (Е, I- I) для всякого -ЬьТ существует X(-h) = o-itHL ха (b)j причем X : Ol- E ограниченная функция, так как всякая о -фундаментальная последовательность р -ограничена, т.е. для некоторого элемента v-б
Приложения к теории субдифференциалов
Далее мы рассмотрим один из вариантов применения теоремы 2.1 к выпуклым экстремальным задачам. Приведенные ниже определения полностью соответствуют монографии [I] .
Пусть X - векторное пространство, Ї и J - некоторые /{-пространства, Cj- X—? 2 , F ; X —-» У - выпуклые операторы, li ={хеХ - CrOO -Oj . Упорядоченная napaCU., Р) называется векторной задачей оптимизации и символически записывается следующим образом: ОСІ U , F(x) - i«f 94 Определим оператор F : X — У Л соотношением Пусть to : Oi — X - тождественное вложение. Предположим, что / ICo F) ] = СЯ, У) и, кроме того, CD является внутренней точкой в {dom F) . Следующее утверждение представляет собой "интегральную форму" критерия обобщенного решения. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2.9. Множество 01 :Ц является обобщенным решением задачи (р) , в том и только том случае, когда существует такая экстенсиональная мера у- на - ( Ф -база К- -пространства У" ), что выполняются следующие условия: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства воспользуемся теоремой П.4.2 из [I] . Если 01 является обобщенным решением, то найдется положительный оператор d е LC Coi, У), У) такой, что ДоДде - Гу ( Jy - тождественный оператор в У ) Если е 0, у; , то Ifte [Щ], поэтому 1 1 f [m] = III то есть ole (01) У) . Для него существует такая эк- . стенсиональная мера \ie ЖЪ , что о(# - )J-dft ЇІ(СП,У) , поэтому из условия ОеЯ) ) следует что эквивалентно 3). Обратное утверждение непосредственно следует из теоремы П.4.2 из [I] . Предложение доказано. Выпуклый оператор Р Е — Y , действующий из векторного пространства в К -пространство У , называется регулярным, если существует сублинейный оператор р: Е— У и элементы ,. такие, что Цусть Ф " Е —» Yu(i - произвольное отображение. Для i) / ( УЗ положим УЄ В Оператор Ф называется преобразованием Юнга оператора Ф и является выпуклым для любого Ф . Б заключении рассмотрим одну задачу с вычислением преобразования Юнга для некоторых операторов. Рассмотрим пространство L (.Ц-, Е J t реализуемое на гиперстоуновом компакте О. . По теореме 1.4.3 (гл. I, 4) в этом случае является /1 -пространством, а интеграл в нем - оператор Магарам (теорема 1.2.9). Пусть (Т Zi, JA. ) - измеримое пространство, X - некоторое векторное пространство, Ф: X -» V(\ ,E) выпуклый регулярный оператор. Пусть Тогда для и=($ с ОвФ справедлива следующая теорема из [563: U (J) = Щ{К Р (&) : Я = ИВ , Ке ЭР } причем iwf в правой части достигается. В рассматриваемой ситуации К= Р у djjs , поэтому Л - jBidfi } где й : X— L (f ) _ линейный оператор. Таким образом, справедлива точная формула: для е LC , J Точность формулы означает, что ifcf в правой части достигается.