Некоторые вопросы спектральной теорииоператора дирака с конечнозоннымпотенциалом Маматов, Абдугани Эрмаматович

Введение к работе

Актуальность темы. В последнее время возрос интерес к оператору Дирака с конечнозонным потенциалом. Изучение оператора Дирака с копочнозоннш потенциалом предотанляет интерес . пэ только часто математический, по и в силу ого приложений к нелинейному уравнению Шродингера ill, = -U + 2IUI² U . уравнению віп - Gordon Ц_хХ + Juii/^O а другим нелинейным уравнениям математической физики. Подробному изложении связей оператора Дирака^-с нелинейными уравнениями математической физики посвящены монографии В.Е.Захарова, С.В.Манакоза, СП.Новикова, Л.П.Плтаевского (1980), Я.Д.Фаддеова, Л.А.Тахта-дяяиа (1986), М.Абловпца, Х.Сягура (1987). -

Обратная задача Штурма-Ллувилля исследовалась в работах' В.А.Амбарпумяна, Г.Борга, Ы.Ш.Блоха, М;Г.Гясымова, Г.Ш.Гуоей--лова, И.М.Гельфэнда, М.Г.Крвйяа, И.Кея, Б.М.Левжтана, Н.Левии--свна, В.Э.Хчпцв, В.А.Марченко, X.Мозеса, Л.Н.Нлжпяка, Ф.С.Рофе-Бекотова, Б.А.Садовничого, А.Н.Тихонова, Л.Д.Фаддввва, Фаы Лей By, Л.Л.Чудове а других.

Прямая а обратная задача для уравпенія Штурма-Лиувалля " -яа воей осі в случаа коночиозояных д бесконочяозониых потенциалов изучена в работах Н.И.Ахиезера,-Б'.А;Дубровияв, С.П.Новикова, "А.Р.Итса, В.Б.Матвеева, В.А.Марченко, И.В.Островского,

Е.Трубовпгц8, ГДохттада и других. - - ------

- Вваннм этапом в теории обратных задач явилось перенесение
методов, разработанных ддї уравнения Штурма-Ллувилля на систе
мы уравнений Дпрака. -- *

Обратная задача -на полупряной для системы Дирака- по спек
тральной функции изучена в-работе МЛЧГасымова-Б.М.Левитана,
а на всей прямой по спектральной матрице-функции - в работе
С.Г.Велпева. - ---

В работе А.БДасанова-М.З.Замонова изучена обратная зада
ча на всей прямой для системы Дирака в случав непериодических
кояечнозонных потенциалов. - - - у

Обратная задача на полупрямой в случае конечяозогных потенциалов при общем граничном условии в нулевой точке для' ' уравнения Штурма-Лиувилля изучена в работа Б.М.Левитана-А.В.Савина, а для системы Дирака исследована в первой глава настоящей диссертации.

Прямая и обратная задачи теории рассеяния для уравнения Штурма-Лиувилля изучены в работах Я.Д.Фадцеэва,П.Д8Й(|та-Е.Трубовица. В самосопряженном случае прямая и обратная задачи рассеяния для'системи Дирака были решена в работах И.С.Фролова, Фам Лой By.

Ф.С.Ро$е-Бекегов, Н.Е.Фирсова получили равномерную оценку для функции Коши невозмущенного оператора Хилла. Эха оценка позволила упомянутым Еыше авторам развить прямую, а впоследствии Н.Е.Фирсовой - и обратнуа задачу дія возмущенного оператора Хилла.

В связи с решением задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) в классе потенциалов с конечнозонным поведением при' X -* ± ею прямая и обратная задачи теории рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора Штурма-Лиувилля рассматривались в работе Р₀Ф.Бикбаена-Р,А".Шарипова.

В работе Б.М.Левитана-А.Б.Хасаяова получена равномерная оценка для' функции Коши для конечнозонного оператора Штурма-Лиувилля.'Эта оценка была использована А.Б.Хасановым при решении прямой и обратной задач теории рассеяния возмущенного конечнозонного-оператора Штурма-^иувилля.

Прямая и обратная задачи теории рассеяния для возмущен-' ного конечнозонного оператора Дирака, в связи с исследованием асимптотики решения нелинейного уравнения Шредингеря и модифицированного КдФ, изучена в работах Р.Ф.Бикбаева, В.М. Котдярова-Е.Я.Хруслоьа.

В настоящей диссертации, во второй главе получена равномерная оценка матрицы-функции Коши и изучена прямая задача теории рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора Дирака на всей прямой.

Цель работы. Изучение на полупрямой оператора Дирака с
конечнозонным потенциалом при общем граничном условии в ну
левой точке и решение прямой задачи'теории рассеяния возму
щенного конечнозонного оператора Дирака. ' '

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертационной работе получены следую- .

щие результаты; " "'"

I. Решается обратная задача на полупрямой для оператора Дирака с конечнозонным потенциалом при общем граничном условии в нулевой точке.

~ 5 -

1. Получены системч рволюционных уравнений для спектральных параметров.

2. Выводится формула следов для спектральных параметров.

3. Получена равномерная оценка матрицы-функции Коши для коиечнозоиного оператора Дирака.

4. Построено решение Поста и определены коэффициенты рассеяния. ........

5. Доказана теорема разложения по собственным функциям возмущенного конєчнозонного оператора Дирака.

Мотоды исследования. Работа основана на применении методов спектральной теории дифференциальных операторов, теории функций комплексного переменного и теории дифференциальных

уравнений.

Практическая и теоретическая ценность: ' Работа носит то-
ретический характер. Результаты п метода могут быть полезны в
исследованиях по спектральной теории дифференциальных опера
торов и в математической физике. -

Агі_рдбация_ работа. Результаты диссертации докладывались
но Международной научной конференции "Выроадающиеся уравнения
и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г.), Всесоюзной
школе молодых ученых "Функциональные метода в прикладной ма
тематике и математической физике" (г.Ташкент, 1988 г.), кон
ференциях профессорско-преподавательского состава Гулистан- "
ского государственного университета (г.Гулистан, 1990-93 гг.),
семинаре по обратным задачам и семинаре по спектральной теории
линейных операторов на механико-математическом факультете МГУ,
семинаре по функциональным методам в математической физика на
математическом'факультете ТашГУ. - -

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях, список которых.приводится в конце'автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная' работа изложена на 102 страницах и состоит из "ведения, двух глав и списка литературы из 52 наименований.