Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Наилучшее приближение периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве L2 53
1.1. Обозначения и определения. Основные факты 55
1.1.1. Наилучшее полиномиальное приближение в L2 55
1.1.2. Описание модулей непрерывности высших порядков 56
1.1.3. Неравенства Джексона - Стечкина 57
1.1.4. Определения и обозначения п-поперечников. Классы функций 62
1.2. Об одном общем неравенстве между наилучшими приближениями и усреднённым с положительным весом модулем непрерывности тп-го порядка в L2 67
1.3. Точные значения поперечников некоторых классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности ujm(f, t) в L2 80
1.4. Дальнейшие результаты о значении п-поперечников 94
1.5. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 и значение поперечников некоторых функциональных классов 99
Глава II. Точные значения средних -поперечников некото рых классов целых функций 112
2.1. Наилучшее приближение целыми функциями экспоненциаль ного типа 113
2.2. Точные значения средних -поперечников некоторых классов функций, определённых на всей оси 132
Глава III. Поперечники множеств аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения в пространстве Харди 159
3.1. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге
3.1.1. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в Яд, q 1 161
3.1.2. Описание классов аналитических функций в Hq 163
3.1.3. Определение тригонометрического п-поперечника 164
3.1.4. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Харди Hq 165
3.2. Наилучшие линейные методы приближения и точные значения поперечников классов в пространстве
НЯгР (1 q ос, 0 р 1) 167
3.3. Наилучшие линейные методы приближения и точные значения поперечников классов в пространстве
Hq,P (1 q оо, 0 р 1) 184
3.4. Некоторые обобщения результатов параграфа для классов функций, определяемых модулями непрерывности от производ ных по аргументу 199
Список литературы
- Неравенства Джексона - Стечкина
- Точные значения поперечников некоторых классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности ujm(f, t) в L2
- Точные значения средних -поперечников некоторых классов функций, определённых на всей оси
- Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Харди Hq
Введение к работе
Актуальность темы. К настоящему времени в решении экстремальных задач теории аппроксимации функций как в действительной, так и в комплексной области достигнут значительный прогресс. По этой проблематике, берущей свое начало от основополагающих работ П.Л.Чебышева, К.Ф.Вейерштрасса, С.Н.Бернштейна, А.Н.Колмогорова, написаны десятки монографий (см., например, монографии И.П.Натансона, В.Л.Гончарова, Н.ИАхиезера, А.Ф.Тимана, С.М.Никольского, Н.П.Корнейчука, В.К.Дзя-дык, С.Б.Стечкина и Ю.Н.Субботина, В.М.Тихомирова, А.И.Степанец, Ph.J.Davis, G.G.Lorentz, A.Pinkus и др.).
Особую роль сыграли пионерские работы А.Н.Колмогорова1, а также работы С.М.Никольского2, С.Б.Стечкина3 и Н.П.Корнейчука4, связанные с решением экстремальных задач, когда требуется найти точную верхнюю грань погрешности приближения на заданном классе функций и указать для этого класса наилучший аппарат приближения фиксированной размерности. Усилиями многих математиков, и в первую очередь учеников и последователей Колмогорова, Никольского и Стечкина, такие экстремальные задачи для наиболее употребляемых классов функций решены. Тем не менее, решения указанных задач найдены в небольшом количестве случаев для действительных классов функций. Что же касается решения экстремальных задач для наилучших приближений классов целых функций или классов аналитических функций, то здесь точные результаты известны в редких случаях. Поэтому естественно, что в последнее время все больше внимания многих специалистов, работающих в области теории аппроксимации, обращено на экстремальные задачи приближения целых функций и аналитических в круге функций.
Цели и задачи исследования.
Основной целью работы является решение ряда конкретных экстремальных задач, связанных с:
наилучшим приближением 2тг-периодических функций в пространстве
L2[0,27r] и нахождением точных значений различных п-поперечников
некоторых классов функций;
iКоlmоgоrоff A.N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann. of Math., 1936. V.37. P.107-110.
Никольский СМ. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1946. Т.10. С.295-332.
3Стечкин СБ. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1956. Т.20. С.643-648.
4Корнейчук Н.П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1971. Т.35. С.93-124.
наилучшим приближением функций, суммируемых с квадратом на всей вещественной оси, целыми функциями экспоненциального типа и вычислением точных значений средних ^-поперечников функциональных классов;
отысканием наилучших линейных методов приближения классов аналитических в единичном круге функций и значений n-поперечников классов функций, принадлежащих пространству Харди.
Методы исследования. В диссертационной работе применяются современные методы теории функций и функционального анализа оптимизационного содержания и методы решения экстремальных задач теории приближения функций. При решении экстремальных задач в качестве аппарата приближения используются тригонометрические полиномы, целые функции и комплексные алгебраические полиномы.
Научная новизна исследований. Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:
найдены точные значения различных n-поперечников некоторых классов функций, задаваемых усредненным с весом модулем непрерывности г-ых производных функций.
установлены неулучшаемые неравенства Джексона - Стечкина, связывающие наилучшие приближения суммируемых с квадратом на всей оси функции посредством целых функций экспоненциального типа с обобщенным модулем непрерывности т-го (т Є N) порядка и вычислены точные значения средних ^-поперечников некоторых функциональных классов.
решена задача о построение наилучших линейных методов приближения некоторых классов аналитических в единичном круге функций и вычислены точные значения n-поперечников указанных классов функций, принадлежащих пространству Харди.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Развитые в ней методы и полученные результаты могут применяться в других задачах теории приближений, в вопросах кодирования и восстановления функций. Главы диссертации в отдельности могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям математики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на:
семинаре отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан под руководством академика АН РТ М.Ш.Шабозова (Душанбе, 2008-2015 гг.);
международной конференции ”Современные проблемы анализа и преподавания математики”, посвященной 105-летию а к а д е м и к а С.М.Никольского (Москва, 17-19 мая 2010 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы математики и ее приложения” (Душанбе, 28-30 июня 2011 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы математического анализа и теории функций” (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений” (Душанбе, 17-18 июня 2013);
четвертой международной конференции ”Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования”, посвященной 90-летию члена-корреспондента РАН, академика Европейской Академии наук, профессора Л.Д.Кудрявцева (Москва, 25-29 марта 2013 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы математики и ее преподавания”, посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений” (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г.);
международной конференции ”Функциональные пространства и теория приближения функций”, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского (Москва, 25-29 мая 2015 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 печатных работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Из них 23 статьей опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК России, а 8 статьей в трудах международных конференций. Из совместных с М.Ш.Шабозовым работ [9,10,12,13,21] на защиту выносятся лишь результаты, полученные лично автором. В некоторых случаях для целостности изложения приводятся также совместные с М.Ш.Шабозовым результаты, что во всех таких случаях специально оговорено.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка цитированной литературы из 200 наименований, занимает 229
Неравенства Джексона - Стечкина
Отметим, что при соответствующих значениях параметров р и 7 частные результаты, перечисленные в работах [35,158,169], вытекают из (0.0.15).
В 1910 году А.Лебегом [83] было введено понятие модуля непрерывности ш для функций f еС\С = С(0, 2тг]. Там же для указанной характеристики были получены оценки коэффициентов Фурье. В дальнейшем вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций в разное время рассматривались А.В.Ефимовым [61], А.Ф.Тиманом [129], Н.П.Корнейчуком [78], В.И.Бердышевым [20], С.Милорадовичем [92,93], С.А.Теляковским [127,128], А.И.Степанцом [108], С.Б.Вакарчуком [29, 34, 35, 38, 41], М.Ш.Шабозовым [158-164] и многими другими математиками. Задача подобного рода для класса функций WPI гп] sin7 jt также представляет определенный интерес. Например, теорема 1.3.1 обеспечивает возможность вычисления указанных верхних граней на рассматриваемом классе функций. Условимся, всюду в дальнейшем, что если УХ - некоторый класс функций, заданных и определенных на [0,27г], то положим n(9t) = sup { \an(f)\ : / Є П\ = sup { \bn(f)\ : / Є 9t} , где an(f) и &„(/) суть косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции f(x).
В четвертом параграфе первой главы рассматривается задача оптимизации неравенства Джексона - Стечкина с целью отыскания минимальной константы относительно всего множества приближающихся подпространств фиксированной размерности N. Отметим, что в случае первого модуля непрерывности в пространстве С(0, 27г] с равномерной нормой Н.П.Корнейчук [77] вычислил значение минимальной константы Джексона и показал, что задача о минимальной константе сводится к задаче вычисления n-поперечника по Колмогорову соответствующего класса функций. В случае пространства L2 аналогичная задача рассмотрена Н.А.Барабошкиной [16], где найденные ею нижние оценки для минимальных констант Джексона совпадают с известными оценками сверху, установленными Н.И.Черных [146,147], В.А.Юдиным [172] и С.Н.Васильевым [47].
Здесь мы будем искать минимальную константу относительно всего множества приближающих подпространств Зж С Ь2 фиксированной размерности N. Этим мы покажем, что полученные ранее результаты не могут быть улучшены за счет перехода к другим подпространствам той же размерности:
Основным результатом данного параграфа является Теорема 1.4.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.2. Тогда при всех т,п Є N и 0 h тг/п справедливы равенства где Sk{-) любой из перечисленных выше к-поперечников.
В завершающем пятом параграфе первой главы приводятся результаты, обобщающих результаты параграфов 1.2 - 1.4 на случай дробного производного в смысле Вейля. Следует отметить, что ряд экстремальных задач теории аппроксимации, связанный с понятием дробной производной Вейля в пространствах Lp, 1 р ос, ранее рассматривался в работе А.И.Козко [74] и для классов функций с усредненным значением модуля непрерывности т-го порядка, принадлежащих пространству L2, в работах М.Г.Есмаганбетова [62], М.Ш.Шабозова и С.Д.Темурбековой [165].
В последнее время часто используются различные модификации классического модуля непрерывности m-го (т Є N) порядка (0.0.2). Результаты, полученные в пятом параграфе, связаны с понятием модуля непрерывности дробного порядка. Это понятие было введено почти одновременно в 1977 году в работах P.L.Butzer, H.Dyckhoff, E.Goerlich, R.L.Stens [24] и R.Tabersky [119]. Следуя обозначениям [24,119], определим разности дробного порядка [3 ((З Є R+) функции f(x) в точке х (xeR) с шагом h(heR) равенством
Основные свойства модуля непрерывности (0.0.19) изучены в работах [24, 119, 134]. В частности, модуль непрерывности (0.0.19) функции / Є Lp, 1 р оо обладает следующими свойствами:
В этом параграфе приводим обобщение и развитие некоторых результатов работ [160,165] на случай модуля непрерывности произвольного дробного порядка [5 0 для классов дифференцируемых в смысле Вейля функций в пространстве L2. Доказываются некоторые точные неравенства между наилучшими приближениями периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций тригонометрическими многочленами и усредненным с весом модулем непрерывности произвольного дробного порядка, вычислены точные значения различных n-поперечников некоторых классов функций, принадлежащих
Точные значения поперечников некоторых классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности ujm(f, t) в L2
При выполнении ряда ограничений относительно параметров r,q,h и мажорант Ф (і = 1,2,3) найдены точные значения вышеперечисленных средних поперечников классов Wq (f2m; Фі), Wq (f2m; Ф2) и Wq (Г2т; Фз) в гильбертовом пространстве (К) и указаны соответствующие экстремальные подпространства. Следуя работе С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [36], полагаем где через обозначена величина аргумента х Є (0, оо) функции sin ж/ж, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t есть наименьший из положительных корней уравнения х = tgrr. Простые вычисления показывают, что 4, 49 ,= 4, 51. В формулировке нижеследующих теорем через тгД-) обозначим любой из средних поперечников: бернштейновский &„(), колмогоровский d„(-) или линейный „().
Теорема 2.2.1. Если для всех /І 0, 0 /г тг, m,f G N, 0 д 2 мажоранта Фі(м) удовлетворяет условию
При этом пара (L2(K),A 7r), где Л определяется из условия (F преобразование Фурье в L2(M), х - характеристическая функция ин тервала (-1лг,1лг)), будет экстремальной для среднего линейного попереч ника а пространство Д, является экстремаль ным для среднего поперечника по Колмогорову d W (Пт; Ф1)}Ь2(Щ Доказано, что среди степенных функций Ф (и) = ua q, возрастающих на положительной полуоси, существует та, для которой выполняется неравенство (0.0.27) при любых значениях /І 0, h Є (0, тг], т,г Є N, 0 q 2. (F - преобразование Фурье в L2(M), х - характеристическая функция интервала (-z/7r,z/7r)), будет экстремальной для среднего линейного поперечника 5v(w m(am- Ф!),ь2(м)), а пространство Д, является экстремальным для среднего поперечника по Колмогорову d W JQ Фі),Ь2(М)).
Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (0.0.28), не пусто. Условию (0.0.28) удовлетворяет, например, функция определяется из условия (F преобразование Фурье в Ь2(Щ, Х характеристическая функция ин тервала (-г/7Г,г/тг)), будет экстремальной для среднего линейного попереч ника а пространство Д, является экстремаль ным для среднего поперечника по Колмогорову d W (Пт; Ф2),Ь2(Щ). Мажорантная функция удовлетворяет условию (0.0.29). Очевидно, что mq/2 а mq, т Є N, где 0 q 2. Теорема 2.2.5. Если для всех ц
В этом параграфе также приведено одно общее утверждение для класса функций W9(r)(fim; ), зависящее от произвольной суммируемой не эквивалентной нулю на (0,тг] (0 h 7г) функции ф.
В завершение этого параграфа рассмотрим задачу отыскания точных значений верхних граней наилучших приближений Аа(/Г- )Ь2{Ш) (г Є N, s = О,1,..., г) на рассмотренных классах функций W r)(nm; Ф{) (і = 1, 2,3), определяемых заданными мажорантными функциями Ф (г = 1,2,3).
Третья глава диссертационной работы посвящена отысканию точных значений n-поперечников различных классов функций, аналитических в единичном круге, и построению наилучших линейных методов приближения в рассматриваемых классов.
К настоящему времени в задаче отыскания точных значений п-попереч-ников классов аналитических в круге функций в различных банаховых пространствах получен ряд окончательных результатов. Следует отметить, что первые результаты, связанные с вычислением точных значений колмогоров-ских n-поперечников в пространстве Харди Hq, 1 q , принадлежат В.М.Тихомирову [131] (случай q = ) и Л.В.Тайкову [121] (случай 1 q ). Работы В.М.Тихомирова и Л.В.Тайкова базируются на основополагающем результате К.И.Бабенко [14], в котором был получен линейный метод аппроксимации одного класса функций, аналитических в единичном круге функций, пригодный для оценок n-поперечников сверху и использованный позднее многими другими математиками. Развивая эту тематику, Л.В.Тайков [122, 124], Н.Айнуллоев и Л.В.Тайков [5] получили точные значения колмогоровских n-поперечников в метрике пространства Харди для некоторых классов аналитических в единичном круге функций, граничные значение которых представлены сверткой, либо усредненные модули непрерывности или гладкости их граничных значений мажорируются заданными функциями. Эти идеи стали очень плодотворными и в дальнейшем указанная тематика развивалась в работах М.З.Двейрина [56], М.З.Двейрина и И.В.Чебаненко [57], Ю.А.Фаркова [138, 139], С.Д.Фишера и М.И.Стесина [142], A.Pinkus [104], С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [37], С.Б.Вакарчука и М.Ш.Шабозова [39], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [150] и другими.
Особый интерес представляет построение наилучших линейных методов приближения (как ранее изученных, так и изучаемых новых классов аналитических функций) и связанные с этим задачи вычисления точных значений различных n-поперечников, в частности отыскания точных значений гель-фандовских и линейных n-поперечников. В этом направлении исследования уже получен ряд окончательных результатов в работах Л.В.Тайкова [120], J.T.Scheick [170], В.И.Белый [18], В.И.Белый и М.З.Двейрина [19], М.З.Двейрина [55], К.Ю.Осипенко [101, 102], С.Б.Вакарчука [26, 27, 30, 31], С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [37], С.Б.Вакарчука и М.Ш.Шабозова [39], в которых найдены наилучшие линейные методы приближения различных классов аналитических в круге функций. Тем не менее еще для многих классов аналитических функций даже в пространстве Hq, 1 q значения n-поперечников и наилучшие линейные методы приближения не найдены. Приведем необходимые определения и обозначения, используемые нами в дальнейшем. Пусть С - множество комплексных чисел, A{Up) - множество функций комплексного переменного f(z), аналитических в круге
Точные значения средних -поперечников некоторых классов функций, определённых на всей оси
Прежде чем привести полученные нами результаты в этом направлении, приведем нужные нам в дальнейшем определения и обозначения общего характера из работ Г.Г.Магарил-Ильяева [89,90].
Общеизвестно, что до недавнего времени подпространство BajP (0 и оо; 1 р оо) было в некотором смысле единственным аппаратом приближения в 1/р(К) и только лишь с конца прошлого века все чаще в качестве аппроксимирующего множества используются сплайны (см., например, [60,91,117,118]). Если рассматривать задачу приближения / Є LP(R), то целые функции и сплайны являются бесконечномерными образованиями и величины, характеризующие соответствующие приближения, выражаются в терминах, отражающих внутреннюю структуру аппарата аппроксимации, например: степень целой функции экспоненциального типа, плотность распределения узлов сплайна. Возникает естественный вопрос: как сравнивать между собой подобные способы приближения?
Введение Г.Г.Магарил-Ильяевым [89, 90] определения средней размерности, являющейся определенной модификацией соответствующего понятия, данного ранее В.М.Тихомировым [133], позволило определить асимптотические характеристики подпространств, подобные поперечникам, где роль размерности играет средняя размерность. В результате этого оказалось возможным сравнить аппроксимативные свойства подпространства Ва,Р, 1 р оо с аналогичными характеристиками иных подпространств из LP(R), 1 р ос той же размерности и решать в Lp(l), 1 р оо экстремальные задачи теории аппроксимации вариационного содержания.
Пусть MLp(R) = { рє Lp(R) : MILP(R) 1} - единичный шар в Lp(R); Lin(Lp(R)) является совокупностью всех линейных подпространств в Lp(R); наилучшее приближение множества Ж С LP(R) множеством 91 С Lp(R). Под 91т, Т 0 понимаем сужение множества 91 С -LP(R) на отрезок [-Т}Т}} а через Lmc(Lp(R)) обозначим совокупность таких подпространств J Є Lin(Lp(R)), для которых множество (J nMLp(R))T предкомпактно в Ьр([-Т}Т}) при любом Т 0. Если J Є Linc(Lp(R)) и Т, є 0, то существуют такие п Є Z+ и М Є Lmn(Lp([,T]), для которых
Подпространство, на котором достигается внешняя нижняя грань, называют экстремальным. Средним линейным -поперечником множества 9JT в Lp(R) называют величину 5„(9Л, LP(R)) = inf{sup{/ - Л/ІІ : / Є Щ : (X, Л)}, где нижняя грань берется по всем парам (X, Л) таким, что X есть нормированное пространство, непрерывно вложенное в Lp(R); Ш С X; Л : X — LP(R) является непрерывным линейным оператором, для которого МЛ Є Linc(Lp(R)) и dim(/mA,Lp(R)) г/. Пару (Х ,Л ), на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной. Величину называют средним -поперечником по Бернштейну множества 9JT в LP(R). Последнее условие, налагаемое на J при вычислении внешней точной верхней грани, означает, что рассматриваются только те пространства, для которых верен аналог теоремы В.М.Тихомирова о поперечнике шара [81, с.341]. В [89,90] доказывается, что указанному требованию удовлетворяет, например, пространство BajP, если а итг.
Между вышеперечисленными экстремальными характеристиками множества 9JT в гильбертовом пространстве (М) выполняются неравенства [32,90] Всюду далее наилучшее приближение класса ШЇ С L2{R) подпространством Ва/2 в метрике L2(R) обозначим
Отметим, что точные значения и асимптотически точные значения средних поперечников для некоторых классов функций вычислены Г.Г.Магарил-Ильяевым [89,90], С.Б.Вакарчуком [32] и в работах [151,156].
Другое направление исследования теории приближения в L2(W.a) целыми функциями экспоненциального сферического типа развита в недавно опубликованных работах Д.В.Горбачева [50,51].
Рассматриваемые в данной работе классы функций определяются следующим образом. Пусть по-прежнему ф весовая функция на [0, h]. Через \ (П; ф), где т Є N, г Є Z+, 0 q 2, обозначим множество функций / Є L{2r)(R) при любом h Є (0,7г], удовлетворяющих условию ft о Пусть ФЇ() (г = 1,2,3) (t 0) - произвольные непрерывные возрастающие функции такие, что Фг(0) = 0. Символом W r)(nm; Ф:), где г Є Z+, m G N, 0 g 2, обозначим множество функций / Є L%\R), r-тые производные которых удовлетворяют условию Wm(fV;t)2dt\ Фі(/і) для любого h Є (0,тг]. Аналогичным образом для г Є Z+, m Є N, 0 g 2, 0 h 7г, через Wq(Qm] Ф2) определим класс функций / є Щ (Ж), г-тые производные которых удовлетворяют ограничению
Наконец, для любых m Є N, reZ+,0 g 2 и /І є М+ полагаем И г)(Пт;Ф3) = / Є 4Г)(М) : A jmi r\t)2dt Ф\{Ь) При выполнении ряда ограничений относительно параметров r,q,h и мажоранты Ф (і = 1,2,3) найдены точные значения вышеперечисленных средних поперечников классов Wq (f2m; Фі), Wq (f2m; Ф2) и Wq (Г2т; Фз) в гильбертовом пространстве (К) и указаны соответствующие экстремальные подпространства. Следуя работам [32,36,157], полагаем где через обозначена величина аргумента х Є (0, оо) функции sin ж/ж, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t есть наименьший из положительных корней уравнения х = tgz. Простые вычисления показывают, что 4, 49 4, 51. В формулировке нижеследующих теорем через тгД-) обозначим любой из средних поперечников: бернштейновский &„(), колмогоровский d„(-) или линейный „().
Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Харди Hq
Приступая к оценке второго слагаемого в правой части неравенства (3.3.22), в соответствии с принятыми соглашениями из [124, с.289], будем считать, что для некоторого т Є N функция / является полиномом некоторой степени т. Поскольку множество всех полиномов всюду плотно в пространстве Hq) то можно одновременно осуществить приближение функции и ее производной по аргументу в Hq) причем все осуществляемые математические операции будут корректными. При этом в силу равенства (3.3.17)
Докажем, что неравенство (3.3.28) на классе Wa Яд(Фі) является точным. В самом деле, при доказательстве теоремы 3.3.2 мы показали, что (п + 1)-мерная сфера полиномов (3.3.13) радиуса J Фх ( содержится внутри класса ЖІг)Я9(Фі). Рассмотрим экстремальную функцию то /о принадлежит сфере #„+1, а значит и классу Wa Д Фі), причем, как легко проверить, функция Ф удовлетворяет ограничению (3.3.1). Кроме того, для этой функции п_1)Г)Р(/о) = 0. Следовательно, имеет место равенство
Из неравенства (3.3.28), равенства (3.3.29) и соотношений (3.1.3) между n-поперечниками с учетом выполнения условия (3.3.1) для мажоранты Фі получаем Сопоставляя полученное неравенство с равенствами (3.3.2), получаем требуемые равенства (3.3.16). Этим мы доказали, что линейный метод является наилучшим линейным методом приближения функций класса W Hq i) в метрике пространства НЯгР (1 q ос, 0 р 1). Этим доказательство теоремы 3.3.3 завершается.
Приведенные теоремы допускают обобщение на классе функций И Яд(Ф2). Сформулируем полученные результаты в этом направлении.
Теорема 3.3.4 Пусть щг Є N, п г и мажоранта Ф2 при любом h Є R+ удовлетворяет ограничению
Доказательство теоремы 3.3.4 опускаем, поскольку оно повторяет схему доказательства теоремы 3.3.2. В продолжение этого параграфа, с целью вычисления точных значений гельфандовского и линейного п-поперечников класса И г Яд(Ф2) для произвольной функции f(z) = Е ckzk Є A(U), где 5п(-) - любой из перечисленных выше п-поперечников bn(-), dn(-), d (-), dn(-) либо Лп(-). При этом полиномиальный оператор (3.3.32) является наилучшим линейным методом приближения класса W Hq(2) в пространстве Hqjp.
Если мажорирующая функция 2 при любом /г Є М+ удовлетворяет условию (3.3.30), то неравенство (3.3.34) является точным в том смысле, что существует функция f\ Є W Hq(2), для которой (3.3.34) обращается в равенство.
Доказательство. В работе [38] доказано, что для произвольной функции / Є Щ (г Є N, 1 q оо) выполняется неравенство
Пользуясь тем, что для произвольного полинома рп Є В п имеет место обобщенное неравенство С.Н.Бернштейна [155, с.9] Учитывая определение класса W Hq{4 2), для любого h Є Ш+ в силу ограничения (3.3.30) для произвольного полинома рп Є +ь из (3.3.39) получаем ВД Последнее неравенство означает, что @ +1 С И Я Фз). Теперь заметим, что для нормы экстремальной функции (3.3.37) имеет место равенство
Равенство (3.3.40) означает, что линейный полиномиальный оператор (3.3.32) является наилучшим линейным методом приближения класса W Hq{V2) в пространстве Харди Нър (1 q Лемма 3.3.1 доказана.
Теперь из неравенства (3.3.34) и равенства (3.3.40) получаем оценку сверху для гельфандовского и линейного п-поперечников сопоставление которой с соотношениями (3.3.31) приводит к требуемым равенствам (3.3.33), чем и завершаем доказательство теоремы 3.3.5. 198
Некоторые обобщения результатов параграфа 3.2 для классов функций, определяемых модулями непрерывности от производных по аргументу Пусть Фі(ж) (х 0) - произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что Фі(0) = 0. Используя функцию Фі(ж) в качестве мажоранты, введем в рассмотрение следующий класс аналитических функций И7 НдуФ\] fl) = где h Є К+, г Є N, 1 q ос и /І Є М+ (/І 1) - произвольное фиксированное число. Очевидно, что при /і = 1 имеем ЖІг)Я9(Фі; 1) = ЖІг)Я9(Фі). Имеет место следующее утверждение.
Доказательство. Для доказательства в силу неравенств (3.1.3) достаточно построить наилучший линейный метод приближения функций класса Wa Нч(Ф\]р) в пространстве H(hfJ) чтобы оценить линейный п-поперечник сверху. В работе [30, с.669] доказано, что для произвольной функции f(z) Є