Некоторые особые случаи краевой задачи Гильберта Хасанова Энже Назиповна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Краевая задача Гильберта с двусторонним разного степенного порядка завихрением на бесконечности 22

1.1. Устранение счетного множества точек разрыва коэффициентов краевого условия 22

1.2. Однородная задача с единственной точкой разрыва второго рода на бесконечности 27

1.3. Однородная задача с бесконечным числом точек разрыва 31

1.4. Неоднородная краевая задача 47

1.5. Общее решение неоднородной задачи 52

Глава 2. Конформные отображения, реализуемые обобщенным интегралом Кристоффеля-Шварца 54

2.1. Построение конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область в случае двустороннего завихрения на бесконечности логарифмического порядка степени + и

2.2. Замкнутость образа границы конформного отображения 58

2.3. Исследование однолистности конформного отображения при + = - = 1 63

2.4. Исследование однолистности конформного отображения при 0 - 1 и 0 + 1 68

2.5. Условия существования однолистных отображений 75

Заключение 81

Список литературы

• Однородная задача с единственной точкой разрыва второго рода на бесконечности
• Общее решение неоднородной задачи
• Замкнутость образа границы конформного отображения
• Исследование однолистности конформного отображения при 0 - 1 и 0 + 1

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Классическая краевая задача Гильберта в плоскости комплексного переменного z = х+гу состоит в отыскании аналитической в верхней полуплоскости D функции F(z) по граничному условию

a(t)ffiF(t) — b(t)^sF(t) = c(t), t Є L,

где a(t), b(t) — это вещественнозначные функции вещественной оси L, которые удовлетворяют условию a²(t) + b²(t) ^ 0. Для решения этой задачи Ф.Г. Гахов создал метод регуляризующего множителя, который наряду с методом Н.И. Мусхелишвили, является основным инструментом решения задачи Гильберта.

Важную роль в исследовании существования решений играет индекс задачи к, который определяется, как индекс функции G(t) = a(t)—ib(t). В терминах индекса к, можно описать картину разрешимости краевой задачи Гильберта.

Развитие теории краевых задач проходило при ослаблении ограничений на контур и коэффициенты краевого условия. Результаты в этом направлении получали Ф.Д. Гахов, Э.И. Зверович, Г.С. Литвинчук, Н.И. Мусхелишвили, Ю.В. Обносов, В.С. Рогожин, Р.Б. Салимов, Ю.И. Черский, Л.И. Чибрикова. В случаях, когда можно было подсчитать индекс задачи, авторы получали классическую картину разрешимости. Интересным оказался вопрос исследования задач, для случая, когда вычислить индекс не удается.

Результаты по решению краевых задач с бесконечным индексом появились в начале 60-х годов XX века. Развитие теории краевых задач с бесконечным индексом началось с исследований Н.В. Говорова и развивалось работами А.Г. Алехно, Ф.Н. Гарифьянова, Б.А. Каца, И.В. Островского, В.Н. Монахова и Е.В. Семенко, И.Е. Сандрыгайло, М.Э. Толочко, П.Г. Юрова.

Впервые краевую задачу Гильберта с бесконечным индексом степенного порядка меньше единицы для полуплоскости с непрерывными на произ-

вольном конечном интервале вещественной оси коэффициентами рассмотрел И.Е. Сандрыгайло , П.Ю. Алекна изучил задачу Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка. Решения этих задач были получены методом Н.И. Мусхелишвили. Исследование краевых задач с многосторонним завихрением на бесконечности получено в работе .

Для случая бесконечного индекса степенного типа Р.Б. Салимовым и П.Л. Шабалиным разработана модификация метода Ф.Д. Гахова, которая основана на аналитическом выделении в явном виде особенностей краевого условия. Более прозрачная формула общего решения, которую получили Р.Б. Салимов и П.Л. Шабалин, позволила выделить случай единственности решения, в упомянутой работе И.Е. Сандрыгайло об этом не было сказано. Дальнейшее развитие метода регуляризующего множителя, допустило использовать этот подход при исследовании разрешимости задачи Гильберта со степенной особенностью индекса на бесконечности и счетным множеством точек разрыва первого рода у коэффициентов краевого условия .

Асимптотические формулы П.Г. Юрова позволили использовать этот метод и для решения задачи с логарифмическими особенностями индекса , . Однако, краевая задача Гильберта с бесконечным индексом для полуплос-¹ Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости. – Изв.

АН БССР. Сер. физ.-мат. н. – 1974. – № 6. – C. 16-23.

² Алекна П.Ю. Краевая задача Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка для

полуплоскости. – Лит. матем. сб. – 1977. – № 1. – C. 5-12.

³ Алехно А.Г., Севрук А.Б. Веснiк Магiлёскага дзяржанага нiверсiтэта iмя А.А. Куляшова. Серыя
B. Прыродазначыя навукi: матэматыка, фiзiка, бiялогiя. – 2012. – № 2 (40). – С. 22-35.

⁴ Салимов Р. Б., Шабалин П. Л. О разрешимости однородной задачи Гильберта со счетным множе
ством точек разрыва коэффициентов и двусторонним завихрением на бесконечности порядка меньше 1/2. –

Уфимский математический журнал. – 2013. – Т. 5. – №2 – с. 82-93.

⁵ П.Г. Юров Асимптотические оценки целых функций, заданных каноническими произведениями. –

Труды Тбилисского математического института. – 1971. – №10:6. – с. 641-648.

⁶ Салимов Р. Б., Шабалин П. Л. О разрешимости однородной задачи Гильберта с разрывами коэффи
циентов и двусторонним завихрением на бесконечности логарифмического порядка. – Изв. вузов. Матем.-
2016. - №1. - с.36 -48.

⁷ Karabasheva, E. N., Shabalin P. L. Univalence of mappings from half-plane to a polygonal domains with

infnite sets of vertices.– Lobachevskii Journal of Mathematics - 2015. - № 36(2) - С. 144 - 153.

кости не исследована полностью. В частности, не были изучены задача с двусторонним разного степенного порядка завихрением на бесконечности и задача со счетным множеством точек разрыва первого рода и двусторонним разного степенного порядка завихрением на бесконечности. В первой главе диссертации автором приводится решение и анализ разрешимости задачи в перечисленных выше случаях ограничений на коэффициенты краевого условия.

Известно, что решение краевой задачи Гильберта может быть использовано для построения структурной формулы Кристоффеля-Шварца. Можно рассматривать задачу Кристоффеля-Шварца, считая прообразы вершин и углы при неизвестных вершинах заданными. Впервые задачу об отображении полуплоскости на многоугольник с заданными углами при неизвестных вершинах рассмотрел М.А. Лаврентьев .

На пути применения решения краевой задачи Гильберта для построения конформного отображения верхней полуплоскости на полигональные области в случае бесконечного числа вершин, были рассмотрены задачи с различными особенностями коэффициентов , , .

Для задач этого типа корректен вопрос, всегда ли среди таких отображений есть однолистные? Ответом на этот вопрос, который поставил Каплан , послужила работа Ф.Г. Авхадиева, Л.А. Аксентьева, Г.Г. Бильченко , в которой исследовалась задача об отображении полуплоскости на многоугольник

⁸ Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. – М.: Наука. –
1966. – 736 с.

⁹ Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Обратная задача М.А. Лаврентьева об отображении полуплоскости

на многоугольник в случае бесконечного числа вершин. – Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика.

Механика. Информатика. – 2010. – № 10. – С. 23-31.

¹⁰ Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Одно обобщение формулы Шварца-Кристоффеля– Сиб. журн. ин-
дустр. матем. – 2010. – Т. 13. – № 4. – C. 109-117.

¹¹ Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Отображение полуплоскости на многоугольник с бесконечным числом
вершин – Изв. вузов. Математика.и– 2009. – № 10. – C. 76-80.

¹² W. Kaplan Convexity and the Shwarz-Cristophel mapping – Michigan Math. J. – 1993. – Vol. 40. – №
2. – P. 217-227.

¹³ Ф.Г. Авхадиев, Л.A. Аксентьев, Г.Г. Бильченко Классы однолистных и многолистных интегралов

Кристоффеля-Шварца и их приложения – Изв. вузов. Матем. - 1997. - № 3. - C. 64–67.

с заданными углами при неизвестных вершинах для конечного числа вершин многоугольника. Важно отметить, что однолистность конформных отображений на полигональные области со счетным множеством вершин впервые была рассмотрена в упомянутой работе Э.Н. Карабашевой и П.Л. Шабалина.

Цели и задачи диссертационной работы

Цель диссертационной работы заключается в развитии теории краевой задачи Гильберта для аналитических функций с сильными особенностями коэффициентов; разработке подходов к построению структурных формул конформного отображения на некоторые полигональные области, используя решение задачи Гильберта в случае логарифмического завихрения коэффициентов на бесконечности; исследовании однолистности построенных конформных отображений. В связи с перечисленными целями настоящей диссертации можно выделить следующие задачи:

Построить формулы общего решения для краевой задачи Гильберта в случае, когда aigG(t) имеет разрыв второго рода на оо, приводящий к двустороннему степенному разного порядка завихрению на бесконечности.

Исследовать задачу Гильберта в случае, когда aigG(t) имеет разрыв второго рода на оо. Получить необходимые и достаточные условия, при которых задача имеет решения.

Построить формулы общего решения для краевой задачи Гильберта в случае, когда &rgG(t) имеет разрыв второго рода на оо, приводящий к двустороннему разного порядка степенному завихрению на бесконечности, и когда &rgG(t) испытывает конечный скачок в бесконечном числе точек контура L.

Исследовать краевую задачу Гильберта в случае, когда aigG(t) имеет разрыв второго рода на оо, и когда aigG(t) испытывает конечный скачок в бесконечном числе точек контура L. Получить необходимые и достаточные условия, при которых задача имеет решения.

Построить формулу конформного отображения полуплоскости ^sz > О на полигональную область с бесконечным числом вершин и вращением каса-

тельной в окрестности вида (()).

- Установить существование однолистных отображений среди построенных. Выяснить условия, без которых однолистных отображений среди построенных и заданных структурной формулой не будет, и условия, при соблюдении которых будут существовать однолистные отображения.

Научная новизна

Представленные в настоящей диссертации результаты обобщают классические задачи теории функций комплексного переменного на нерассмотренные ранее случаи. Впервые решена неоднородная задача Гильберта с двусторонним разного порядка завихрением на бесконечности, сформулированы и доказаны теоремы, описывающие картину разрешимости однородной и неоднородной задач в данной формулировке. Впервые получена формула конформного отображения, обобщающая формулу Кристоффеля-Шварца на случай счетного множества вершин и бесконечного, при обходе границы области, вращения касательной логарифмического типа (()). Выявлены условия, при которых среди построенных отображений будут существовать однолистные.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные выводы и обобщения краевой задачи Гильберта, а также формулы Кристоффеля-Шварца могут быть полезны при изучении задач с еще не рассмотренными особенностями, в частности при решении краевых задач теории аналитических функций с новым характером поведения индекса. А условия однолистности конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область, рассмотренные во второй главе, могут иметь приложения и использоваться другими научными коллективами. На основе результатов данной диссертации можно развивать теорию краевой задачи Гильберта и конформных отображений на полигональные области.

Методология и методы исследования

В работе автор использовал методы теории краевых задач аналитических

функций, теории потенциала, целых функций, геометрической теории функций комплексной переменной.

Положения, выносимые на защиту

1. Решена и исследована разрешимость краевой задачи Гильберта в случае, когда arg () имеет разрыв второго рода на , который приводит к двустороннему степенному разного порядка завихрению на бесконечности.

2. Решена и исследована разрешимость краевой задачи Гильберта в случае, когда arg () имеет разрыв второго рода на , который приводит к двустороннему степенному разного порядка завихрению на бесконечности, и когда arg() испытывает конечный скачок в бесконечном числе точек контура .

3. Построена формула, обобщающая интеграл Кристоффеля-Шварца, для отображения полуплоскости > 0 на полигональную область с бесконечным числом вершин и вращением касательной на вида (()).

4. Установлено существование однолистных отображений среди построенных.

Степень достоверности и апробация результатов Все результаты диссертации обоснованы строгими математическими доказательствами и представлены автором на следующих конференциях:

5. Летняя школа-конференция «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», г. Казань, 2013, 2015.

6. Молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения», г. Казань, 2013, 2014, 2015.

7. XXII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», г. Новороссийск, 2014.

8. Международная научная конференция «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций», г. Казань, 2014.

9. Зарубежная конференция «4-th Najman Conference on Spectral Problems for operators and matrices», Opatija, Croatia, 2015.

10. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, г. Ка-

зань, 2016.

7. Уфимская математическая конференция с международным участием. г. Уфа, 2016.

По мере получения результаты диссертации подробно докладывались на семинаре ГТФКП под руководством Л.А. Аксентьева.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в пятнадцати печатных изданиях [1]-[15]. Работы [1]-[3] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора. Публикации [1],[4] по теме диссертации выполнены совместно с научным руководителем соискателя. В работе [1] научному руководителю принадлежит постановка задачи и лемма 2, соискателю принадлежат результаты по лемме 1 и теоремам 1, 2. В работе [4] научному руководителю принадлежит постановка задачи. Основные результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично.

Структура и объем диссертации

Однородная задача с единственной точкой разрыва второго рода на бесконечности

В данном параграфе рассмотрим решение краевой задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва, которое уже известно, однако понадобится в дальнейших параграфах настоящей диссертации для построения решения нерассмотренной особой задачи Гильберта с двусторонним разного степенного порядка завихрением на бесконечности и счетным множеством точек разрыва коэффициентов.

Пусть L — вещественная ось в плоскости комплексного переменного Z = x + iy, D — верхняя полуплоскость Im z 0. Задача заключается в определении регулярной в области D функции F(z) по граничному условию a(t) HeF(t) — b(t) Im F(t) = c(t), t Є L, (1.1) в котором a(t), b(t) — заданные на L вещественнозначные функции, непрерывные всюду, кроме точек разрыва первого рода tj, j = ±1, ±2, Кроме этого, для функций a(t), b(t) выполняется условие a2(t) + b2(t) 0 во всех точках непрерывности коэффициентов, 0 t\ k tk+i , lim tk = oo, к—7 oo 0 t-i t-k t-k-, lim t-k = -oo. к—7 oo Введем функцию G(t) = a(t) — ib(t), которую можно записать в виде G{t) = \G(t)\ew yt, где v{t) = aig[a(t) — ib{t)\. В силу того, что G{t)F(t) = (a(t) + ib{t) )( Re F(t) + і Im F(t)}= a(t) Re F(t) — b(t) Im F(t) + ia(t) Im F(t) + ib(t) Re F(t), разделяя вещественную и мнимую часть, получим выражение краевого условия (1.1) в форме He[e w" F(t)} = 0, (1.2) где v{t) = aig[a(t) — ib(t)]— ветвь, выбранная на каждом из интервалов непрерывности коэффициентов так, чтобы число 5j = v{tj + 0) — v{tj — 0) удовлетворяло условию 0 5j 27Г, j = ±1, ±2,

Такую краевую задачу будем называть однородной краевой задачей Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов или задачей Гильберта в случае, когда аргумент функции G(t) испытывает конечный скачек в бесконечном числе точек контура. Избавимся от особенностей краевого условия и приведем задачу со счетным множеством точек разрыва к классической задаче Гильберта, как сделали Салимов Р.Б. и Шабалин П.Л. в работе [53]. Пусть cp(t) = v{t) — (3(t)7r, где (3(t) — целочисленная функция, принимающая значения /3 , f3-k в интервалах (tk,tk+i) и (t-k,t-k-i), к = 1, оо, соответственно и значение /Зо = 0 в интервале (t-i,ti). Число f3k выберем так, чтобы 0 (p{tk + 0) — cp(tk — 0) 7Г, значение f3-k выберем так, чтобы 0 (f(t-k + 0) — (f(t-k — 0) 7Г. Обозначим cpitj + 0) — cpitj — 0) K,J = , j = ±1, ±2, , 7Г тогда имеем 0 Kk 1, 0 K-k 1, к = 1, оо. Примем, что точки разрыва удовлетворяют условиям 00 _, 00 _, Е 1 —V 1 — ОО, ОО. (1.3) tk —t-k к=1 к=1 Введем функции P+(z) = I I I 1 ) , P-\z) = I I I 1 I , (1.4) где под arg(l — z/t,-) понимаем однозначную ветвь, обращающуюся в нуль при z = 0 и непрерывную в плоскости z, разрезанной по части вещественной оси, соединяющей точки t = tj, t = +оо при j 0 и соединяющей точки = — оо, t = tj при j 0. Вычислим значения для arg P+(t) и arg P-(t) (см. [53], с.110) axgP+(t) = У arg(l — t/tj)Kj = У K,J arg(l — t/tj) = Kj arg((t,- — t)/tj), i=i i=i i=i 00 00 argP_() = У arg(l — t/t-j)K j = У K-j arg(l — t/t-j) = 3=1 3=1 = У K-j arg((_j — t)/t-j). з=і Таким образом, справедливы формулы к ґ к - 2 кзж tk t tk+u 2 к- 7г г-к і f l-k arg P+(t) = 7 =1 P (t) = { 7 =1 0, t ti, 0, t t-\. (1.5) Будем искать решение F(z) задачи в классе функций, для которых F(z)P+(z)P-(z) = F\{z) является ограниченной в D функцией. Таким образом, задача сводится к уже рассмотренной в [50]. После того, как функция F\{z) будет найдена, можно будет определить решение задачи (1.2), по формуле F(z) = Fi(z)/P+(z)P-(z). В точке tj решение задачи, обращается в бесконечность порядка Kj. Фиксируем ветвь к, = 0, к = 0. Рассмотрим поведение решения задачи на луче z = гегв, г 0, в = const, 0 в 7Г, г — оо. Таким же образом, как в [52], (см. также [53], с. 112) введем считающие функции rfr, 0, t Ф —t-k, к = 1, oo. Из формул (1.4), (1.7), (1.8) следует, что функции exp{I+(z)}\ и exp{i_(z)} обращаются в нуль порядка Kk и K-k в точках tk и _& соответственно, где к = 1, оо. Справедлива лемма из [53]

Лемма 1. Пусть выполнены условия 1.6, 5 — заданное малое положительное число, z = гегв, тогда справедливы следующие асимптотические оценки Если краевое условие (1.2) домножить на модули функций Р+() и Р_(), то его можно будет записать в виде He[e lipi" F(t)P+(t)P-(t)} = 0, (1.11) где (fi(t) = v{t) — f3(t) 7Г + arg P+(t) + argP_(), (1.12) функции argP+(), arg P-(t) определяются формулами (1.5). Если переобозначить искомую функцию F(z) и ввести новую F\{z) = F(z)P+(z)P-(z), можно записать краевое условие задачи Гильберта для функции F\{z) (1.11) , как Re[e lipi Fi(t)] = 0.

При этом, из формул (1.5), (1.12) следует, что функция (fi(t) непрерывна во всех конечных точках действительной оси L. Избавившись таким образом от особенности в бесконечном числе точек, в которых аргумент G(t) испытывает конечный скачек, можно придти к краевому условию классической задачи Гильберта с непрерывными коэффициентами для функции F\{z).

Общее решение неоднородной задачи

/1 7-І 1 7-Проделывая такие же операции для оценивания функции /-(С), в результате имеем /-() 7Г/41]. Функции Ра{-С), Ра{() - голоморфные в окрестности бесконечности, возникли в нашей работе в ходе применения формул Юрова к рядам 1пР-(), 1пР+(). Так как Ра{С) голоморфная, то ее можно представить в виде сходящегося ряда 21 а-2 а - 1 Z + 3 С с2 с Pa\Q = a -\ h -2 + -3 + ..., , (11 (1-2 (l r0(-C) = a -\ H— H + ..., v v. -c C2 -с3 Но нас интересуют оценки производных этих функций, поэтому продифференцировав их, имеем 2 22 3 ( С2 С3 С4 a1 2а2 За3 Р а{-(,) = —-2 -\—-— + .... В силу голоморфности этих функций и в виду того, что они удовлетворяют условиям леммы Шварца [40], выводим справедливые ограничения Р а{-(,) Q/TJ , PaiC) Q/1! для некоторого Q 0. Таким образом, устанавливаем оценку дляІ Л\\ ґ-1 I Ж ҐЛ I (In Р-{С) - шг+(() С/г]-\ 1 r-Q/T]} г] 2г] которую запишем в виде /і т- і т- л\\ 2С + 2Q + 7г + 2Д-7Г2 С1 (In Р-{С) - mr+(() :=—. (2.31) 2г] г] Оценка при 7г/1п 1 - е. Для получения оценки Д1п1+а(-0 1пР-(() - ІП P+ (С) = І7гАІПа( - С) + І-(С) + Ра\- С) J - 1 + a ЬІ7ГАІП С - i+(Q - "а (С) j 1 + а в условиях 7г/1п 1-е, рассмотрим функции (1па ) , (\па+ ) , (In +а(—С)) , (1па(—()У и запишем оценки для них (1пР_() — 1пР+() ) max{Ci, СгІ/ту, для любого из случаев 7г/1п 1 — є или 7г/1п 1 — є. Чтобы создать условия для применения Леммы 1 к функции (2.9), рассмотрим те же последовательности точек tk, t-k вещественной оси, удовлетворяющие условиям (2.1), (2.2), обозначив через А малое положительное число. Теперь рассмотрим последовательности чисел XKk-, Ак_/;, учитывая которые по формуле (2.9) построим функцию (2.1) Функция zx(() будет отображать верхнюю полуплоскость на некоторую полигональную область с заданными углами а 7г, й- , к = 1, оо, Й& = 1 — А/ , й_/; = Ак_/; + 1, при неизвестных вершинах А} , A_k. При этом имеем +,А(С) = I I 1 і Р-,\{() = I I 1 5 следовательно, Р_;А() — Р+;д() = А[1пР_() — 1пР+()], и с учетом (2.31) m л / , г, / /, л 2Р + 2Q + тг + A2(a+1)/27Ta-1 (1п,г_ д(П — m/ + д(С)) А 7) 2?7 Находим z UC) 1 — (T]Q — T]Q) , , —— -\ = (1пР_л(С)) (lnР+ А(С)) Z\\Q С Полагая теперь (3 = Щ — щ, заключаем, что при достаточно малых Л функция zx(() будет удовлетворять достаточному условию однолистности, которое приведено в Лемме 1. Подытоживая полученный результат, запишем Теорема 14. Для каждых двух последовательностей точек t-k и tk, удовлетворяющих условию и (2.2) с 0 а 1, существует бесконечно много последовательностей чисел (i-k, и oik, к = 1, оо; для которых при А /3tg(/37r/4) max{Ci,C2}; где /3 = T]Q — T]Q, отображение (2.9) будет однолистным.

Рассмотрим функцию z(Q: которая задана формулой (2.9), где 2о — произвольная положительная постоянная, T]Q71, TJQTI — углы, образованные с действительной осью звеньями с началом в точке AQ (считаем, что 0 TJQTI 2-7Г, 0 T]Q71 — T]Q71 7г/2), и которая осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости на внутренность полигональной области с углами а 7г, а_;7г, к = 1,оо, при вершинах У! , A_k, причем заданные последовательности чисел Kk = 1 — OLk-, K-k = а-к — 1 и точек tk, t-k двух монотонных последователь-ностей на вещественной оси, соответствующих неизвестным вершинам этого многоугольника, удовлетворяют условиям (2.2) и 1п+( ) ln" ! С? 1п-( ) ln" ! С (2.32) с положительными постоянными , а, С. Пока считаем только, что а 0

Введем класс отображений верхней полуплоскости на Dz полигональную область с фиксированными последовательностями точек {tk}kLn {t-k}kLii УДвлетворяющими условию (2.2), параметрами Kk, К-к,к = 1,оо плотность распределения которых удовлетворяет условиям (2.32) и структурной формулой (2.9). Исследуем вопрос о существовании однолистных отображений в данном классе.

Для того, чтобы в классе отображений (2.2), (2.9), (2.32) существовали однолистные необходимо и достаточно, что бы выполнялось неравенство 0 а 1. Доказательство. Нам понадобится необходимое условие однолистности регулярной в верхней полуплоскости Е+ функции f(() в виде неравенства з , —, ( Є Е , ( = + if], (2.33) Г] по по которое получается ([1], c.75) из неравенства Бибербаха ([18], c.52) заменой переменной и достаточное условие однолистности (2.18), полученное в [96]. Как и в третьем параграфе второй главы введем аналитические в Im z О P+(Q, Р_(), и из формулы (2.9) с учетом введенных обозначений получим (2.21). Для функций 1пР+(), 1пР_() были доказаны формулы под номерами (2.11), (2.12). Далее снова применим формулы, которые получил в работе [69] П.Г. Юров г (г — () а + 1 2тгі а + 1 2-7Г R R 2-7Г оо +00 lna г і(2тті)а /ln\ (2тгі)а ( dr = Ba+i — — т{т — () dr + Р(у\() Однозначные ветви функций In z, lna z выбраны так, чтобы выполнялись неравенства In г 0, \п г 0 на верхнем берегу разреза, проведенного по вещественной полуоси от точки г = 1 до бесконечно удаленной точки, Pa(z) — голоморфна при \(\ R,

Замкнутость образа границы конформного отображения

Доказательство достаточности. Сначала рассмотрим случай, когда тг/1пС1 — 1- Теперь оцениваем каждое слагаемое по модулю правой части равенства (2.34), имея в виду полученные в четвертом параграфе второй главы оценки I/-, -И \/ (СК 4-1)1 111 СІ" (СК + 1)тТа м :а (In + () —— , ( = re , 1 г г і / ч/, а а а а а (ІП П = Г2 = ,_ —. r In а r lnr + ш]1 а г 1 а г sin6 1 -1 а г] Здесь, как уже было сказано, Ра{() функция, которая голоморфна в окрестности бесконечности. Можно утверждать, что і (С) голоморфна при \(\ 1 и обращается в нуль при ( = оо. Применим лемму Шварца для функции, пересаженной в круг, и обратной заменой переменной получим оценку -Р (С)1 Q/1! с некоторой постоянной Q 0. Для Г, (() запишем а (ІП.Г_() — ІП P+(Q) = h Ьа(С) + - -(С) -4-І С) + "аЛ — С) Pa\()i где S a(Q— аналитическая функция, исчезающая на бесконечности и ограниченная на окружности \(\ = е71. По лемме Шварца имеем с некоторой положительной постоянной С1 0. Осталось получить оценку для главной части формулы

Рассмотрим те же последовательности точек {&}, {t-k} вещественной оси, удовлетворяющие условиям (2.2), обозначим через Л малое положительное число и рассмотрим последовательности чисел {А/ ,} {Aft-/;}, по которым по формуле (2.9) построим функцию

При этом имеем п () = Ап!_(), w+() = Ап ( ). Таким образом, последовательности чисел А/т , \K-k, очевидно удовлетворяют условиям (2.32) c Ад = А А. Функция zx(() будет отображать верхнюю полуплоскость на некоторую полигональную область с заданными углами а 7г, й- , к = 1, оо, а = 1 — А/ , 6i-k = Хк-к + 1, при неизвестных вершинах Aki A_k. При этом имеем

Полагая теперь [5 = T]Q — T]Q и учтя достаточное условие однолистности (2.18) заключаем, что при достаточно малых Л функция z\(Q будет осуществлять однолистное отображение.

Таким образом, доказано, что при а 1 среди функций (2.2), (2.32), (2.9) однолистных нет. А при условии, что 0 а 1 и выполнены ограничения (2.2), (2.32) существует бесконечно много последовательностей чисел {«_/;}, {otk}, к = 1, оо, для которых отображение (2.9) будет однолистным. Заключение

В настоящей научной работе проведено исследование краевой задачи Гильберта в новых случаях с сильными особенностями коэффициентов краевого условия. Построена формула, обобщающая интеграл Кристоффеля — Шварца на случай счетного количества вершин и неограниченного вращения касательной порядка lna(), t — оо, при обходе границы области. Для построения соответствующей формулы конформного отображения были адаптированы результаты частного решения однородной задачи Гильберта с двусторонним логарифмическим завихрением на бесконечности, когда аргумент G(t) испытывает конечный скачек в бесконечном количестве точек контура. Впервые проведено исследование однолистности таких конформных отображений.

Выделим следующие результаты диссертации.

1. Получена формула решения краевой задачи Гильберта, когда функции a(t),b(t) имеют разрыв второго рода, приводящий к двустороннему разного порядка степенному завихрению на бесконечности, для полуплоскости.

2. Построена формула общего решения краевой задачи Гильберта в случае, когда аргумент G(t) испытывает конечный скачек в бесконечном количестве точек контура, и функции a(t), b(t) имеют единственную точку разрыва второго рода.

3. Изучена картина разрешимости краевой задачи Гильберта, когда функции a(t), b(t) имеют разрыв второго рода, приводящий к двустороннему разного порядка степенному завихрению на бесконечности, и аргумент G(t) испытывает конечный скачек в бесконечном количестве точек контура.

4. Построена структурная формула конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область со счетным множеством вершин и неограниченным вращением касательной при обходе границы области логарифмического порядка lnK+(/;), t — оо и lnK (/;), t — —оо.

5. Исследованы геометрические свойства построенных отображений. Изу чена замкнутость контура и однолистность конформного отображения. Впервые найдены и реализованы подходы к исследованию однолистности отображений. Доказано существование однолистных отображений среди построенных, сформулированы необходимые и достаточные условия однолистности. Основные цели и задачи диссертации выполнены полностью.

Исследование однолистности конформного отображения при 0 - 1 и 0 + 1

Доказательство основано на построении примеров целых функций порядка ф __, удовлетворяющих условию (1.22) и неравенствам (1.30), (1.31). Поскольку по определению Д+ 0, А_ 0, то в рассматриваемом случае А+ COS(+) + А_ 0, А+ + А_ соя(+) 0. Поэтому целая функция (1.33) будет удовлетворять условиям (1.30), (1.31) при любых До, о, если ее порядок ф0 = о __, а в случае о = + величины До, о должны удовлетворять неравенствам ! Ао2cos((o — ))) А+ COS(O) + Д_, Ao2cos(oo) А+ + А_ COS(O), бесконечное множество решений которой очевидно. Теорема 9. Пусть тах{+,_} +, + = _, 1/2 + 1. Тогда a) если [Д__ COS(+) + А_][Д+ + А_ COS(+)] 0, то задача (1.19) имеет в классе решения, в виде формулы (1.32), в которой Ф() — целая функция порядка +, удовлетворяющая условию (1.22) и неравенствам (1.30), (1.31); b) если Д+ COS(+) + А_ = 0 или Д+ + А_ COS(+) = 0, то задача (1.19) имеет в классе решения, в виде формулы (1.32), в которой Ф() — целая функция порядка ф +, удовлетворяющая условию (1.22) и неравенствам (1.30), (1.31); c) если A+COS(+) + А_ 0, Д+ + Д_ COS(+) 0, то задача (1.19) имеет в классе решения, в виде формулы (1.32), в которой Ф() — целая функция порядка рф к+, удовлетворяющая условию (1.22) и при р$ = к+ еще и неравенствам (1.30); (1.31).

Доказательство. Пусть выполнено условие а) теоремы10. Ограничения (1.30), (1.31) здесь примут вид неравенств для t 7г(А+ COS(7TK,+) + A_)t + v tp v+tp COS(TTP+) ; ; H , sm{7iK,+) sm{7ip ) sin(7rp+) (1.44) и для t 7Г\t\K+(A+ + A_ cos(7TK,+)) v \t\p COS(TTP ) v+ \t\p Фш 6 exp 1 — . sm{7iK,+) sm{7ip ) sm{7ip+) (1.45) Подробно рассмотрим случай A+ COS(TTK+) + A_ 0. Предположим, что существует целая функция Ф( ) порядка р$ к+, удовлетворяющая условиям (1.44), (1.45). В силу неравенства (1.44) при t 0 имеем 1пФ() к _п Г In С 7г(А і COS(TTK+) + А_) v tp к+ и+ COS(TTP+) «+ РФ 1 ZА __ П tp tK+ sin(7TK+) sin(7rp_) sm(7rp+)tK+ p Переходя в этом неравенстве к пределу по t — +оо, заключаем, что индикатор роста /іф(0) = — оо. К такому же выводу о величине Нф(тт) приходим, если допустить существование целой функции порядка р$ к+, удовлетворяющей условию (1.45), если А+ + А_ COS(TTK+) 0. Итак, доказали, что если при выполнении условий а) теоремы порядок целой У функции функции Ф( ) РФ к+ то либо индикатор /іф(0), либо Нф(тт) должен обратиться в —оо, что невозможно (см. [30], с.259). Следовательно, возможно лишь равенство р$ = к+. Осталось доказать существование целых функций порядка к+, удовлетворяющих условию (1.22) и неравенствам (1.44), (1.45). Пусть, например, А+ + А_ соя(ттк+) 0, А+ COS(TTK+) + А_ 0. Фо( ) в виде (1.33) возьмем ко = к+. Тогда условия (1.44), (1.45) для этой функции будут выполнены, если параметры во, Ао будут удовлетворять системе неравенств 2Aocos((#o — тг)к+) А+ COS(TTK+) + А_, 2Aocos( o +) Д+ + A- COS(TTK+). Равенства в этой системе получатся при Л Л / 1 А+ + А_ cos{7iK,+ ) 1 9 9 с о = — arcctg ;— , Ао = — А і + А і + 2А_А+ cos(7rK+). к,+ А_ sin(7TK+) 2 Изменяя теперь только Ао, можно получить бесконечно много примеров целых функций с нужными свойствами.

Аналогично разбирается симметричный случай. Построение примеров целых функций в случае Ь) теоремы проводится так. Пусть, например, А+ + А_ COS(TTK+) = 0, тогда будет выполнено неравенство A+COS(TTK+) + А_ 0 и функция Фо( ) в виде (1.33) с Ко = к + будет удовлетворять условиям (1.44), (1.45), если будут выполнены неравенства 2Aocos((#o — тг)к+) А+ COS(TTK+) + А_, Ао COS(#OK+) 0. Последнее неравенство системы будет выполнено, если взять во = тт. Теперь первое неравенство системы можно удовлетворить выбором Ао. Итак, функция Фо( ) будет удовлетворять неравенствам (1.44), (1.45), если в формуле (1.33) положить А+ COS(TTK+) + А Ко = К,+ } во = 7Г, Ао . 2 Аналогично рассматривается случай A+COS(TTK+) + А_ = 0. Доказательство условия с) проводится стандартно. Теорема 10. Пусть к+ тах{р+,р_, к,-}. Тогда a) если к+ 1/2, то задача (1.19) имеет в классе В решения, задаваемые формулой (1.32), в которой Ф( ) — произвольная целая функция порядка рф +, удовлетворяющая условию (1.22) и, если $ = +, то еще и неравенствам (1.30), (1.31); b) если 1/2 + 1, то задача (1.19) имеет в классе решения, задаваемые формулой (1.32), в которой Ф() — произвольная целая функция порядка +, удовлетворяющая условию (1.22) и неравенствам (1.30), (1.31).

Для доказательства утверждения ) учтем, что COS(+) О, А+ 0. Предположив существование целых функций порядка $ +, в силу неравенств (1.30), (1.31) выводим, что либо величина ф(0), либо ф() должна обратиться в — оо, что невозможно. Доказательство существования целых функций порядка + с нужными свойствами стандартно, как и доказательство утверждения ).

Решение неоднородной краевой задачи Гильберта с двусторонним разного степенного порядка завихрением на бесконечности в случае, когда аргумент функции () имеет конечный скачек в счетном множестве точек контура может быть получено только в случае существования решения соответствующей однородной краевой задачи, и записано как сумма общего решения однородной и частного решения неоднородной. Общее решение неоднородной задачи выпишем, принимая во внимание теоремы из пункта 1.3, которые описывают картину разрешимости соответствующей однородной задачи.