Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Наилучшее приближение периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве L и значение поперечников некоторых классов функций 66
1.1. Обозначения и определения. Постановка задач 69
1.2. Неравенства содержащие наилучшие приближения и характеристики гладкости Qm из L 75
1.3. Приближение некоторых классов свёрток 80
1.4. Точные значения n-поперечников некоторых классов периодических функций, задаваемых модулем непрерывности 0,т((р; і) 85
1.5. Неравенства Джексона - Стечкина для усреднённой характеристики гладкости Лто на классах функций 4а), «еК+ 98
1.6. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и характеристиками гладкости Am(f;t) в пространстве L i ПО
1.7. Точные значения n-поперечников классов функций WpM(JC; Ф)
Глава II. Среднеквадратическое приближение функций рядами Фурье - Бесселя и значения поперечников некоторых функциональных классов 120
2.1. Точные верхние грани наилучших приближений суммами Фурье - Бесселя в пространстве L2([0, l],xdx) 123
2.2. Основной результат и некоторые следствия 129
2.3. Оценка величины наилучших приближений посредством /С функционала Петре 133
2.4. Точные значения n-поперечников некоторых классов функций 139
2.5. Значения n-поперечников классов функций, задаваемых посредством /С-функционала 143
Глава III. Некоторые экстремальные задачи приближения функций на всей оси целыми функциями 145
3.1. О наилучших приближениях целыми функциями в пространстве (К) 147
3.2. Неравенства Джексона - Стечкина в пространстве Ь2(Ш) 149
3.3. Точные значения средних -поперечников классов целых функций экспоненциального типа из (М) 162
3.4. Верхние грани оценки остатка преобразования Фурье на некоторых классах функций в Ь2(Ш) 174
Глава IV. Оптимальные квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода 186
4.1. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволиней ных интегралов первого рода на некоторых классах функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности 188
4.2. Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволиней ных интегралов первого рода на классах функций wik\)C,Q), WQ](K,Q) И кривых 9tg(L) 204
Заключение 218
Список литературы
- Приближение некоторых классов свёрток
- Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и характеристиками гладкости Am(f;t) в пространстве L i
- Оценка величины наилучших приближений посредством /С функционала Петре
- Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволиней ных интегралов первого рода на классах функций wik\)C,Q), WQ](K,Q) И кривых 9tg(L)
Введение к работе
Актуальность темы. Теория приближения функций, основы которой были заложены в классических трудах П.Л.Чебышева и К.Вейерштрасса о наилучшем равномерном приближении функций алгебраическими и тригонометрическими полиномами, и сегодня является одной из наиболее интенсивно развивающихся областей математики. В начале двадцатого века теория приближения функций стремительно развивалась и сформировалась в отдельную ветвь математического анализа. Фундаментальные результаты, связанные с изучением скорости убывания величины наилучших приближений функций в зависимости от ее структурных свойств, были получены в работах А.Лебега, Ш.Ж.Валле-Пуссена, Д.Джексона и С.Н.Бернштейна. В дальнейшем своем развитии теория приближения прошла три этапа: от наилучшего приближения индивидуальных функций на первом этапе до наилучшего приближения классов функций во втором этапе и, наконец, выбора экстремальных приближающихся подпространств на третьем этапе. Этот последний этап связан с именем А.Н.Колмогорова1, который в 1936 г. ввел в теорию приближений понятие поперечника множества, известного теперь как поперечник по Колмогорову. Отыскание точного значения колмогоровского поперечника связано с указанием наилучшего приближающегося подпространства заданной размерности - это подпространство, которое реализует поперечник по Колмогорову. Кроме поперечника Колмогорова, в теории приближений используется ряд других поперечников: Бернштейна, Гельфанда, линейный, проекционный и ряда других.
Нахождение точных значений вышеперечисленных величин связано с решением экстремальных задач вариационного содержания и в большинстве случаев является задачами на экстремум: требуется найти точную верхнюю грань погрешности приближения заданным методом на фиксированном классе функций или указать для этого класса наилучший метод приближения.
Цели и задачи исследования. В работе решается ряд конкретных экстремальных задач, связанных с:
наилучшим приближением периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве L2 := L2[0,27r] и отысканием точных констант в неравенстве Джексона - Стечкина (глава I);
вычислением точных значений n-поперечников классов функций, задаваемых усредненными с весом значениями обобщенных модулей непре-рывности т-го порядка, определяемых оператором Стеклова (глава I);
iKolmogoroff A.N. Uber die besste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen // Ann. of Math., 1936, v.37, pp.107-110.
наилучшим полиномиальным приближением функций частными суммами Фурье - Бесселя в пространстве L2 ( [0, l],xdx ) (глава II);
вычислением точных значений n-поперечников классов функций, задаваемых специальными модулями непрерывности т-го порядка, определяемыми дифференциальным оператором Бесселя (глава II);
приближением функций, суммируемых с квадратом на всей оси, целыми функциями экспоненциального типа (глава III);
вычислением точных значений средних ^-поперечников некоторых классов функций, определяемых модулями непрерывности т-го порядка, в пространстве L2(R), Ж = (-ос, +оо) (глава III);
вычислением верхней грани оценки остатка преобразования Фурье на классах функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности т-го порядка, в пространстве ^(М) (глава III);
отысканием оптимальных квадратурных формул приближенного интегрирования криволинейных интегралов для некоторых классов функций и кривых (глава IV).
Методы исследования. При решении указанных задач в первой главе в качестве аппарата приближения используются тригонометрические полиномы; во второй главе обобщенные полиномы; в третьей главе применяются целые функции экспоненциального типа. В четвертой главе при нахождении оптимальных квадратурных формул в смысле С.М.Никольского для приближенного вычисления криволинейных интегралов привлечены тонкие факты функционального анализа вариационного содержания. При доказательстве оптимальности полученных квадратурных формул используется метод Н.П.Корнейчука оценки остатка квадратурных формул на множестве функций, для которых квадратурная сумма обращается в нуль.
Научная новизна исследований. Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:
найдены точные неравенства Джексона - Стечкина, связывающие величины наилучшего полиномиального приближения периодических функций с обобщенным модулем непрерывности т-го порядка в метрике L2[0,2tt], определяемым оператором Стеклова;
вычислены точные значения n-поперечников классов периодических функций, задаваемых усредненными с весом значениями обобщенных модулей непрерывности т-го порядка в пространстве L2[0,27r];
найдено точное неравенство Джексона - Стечкина между величиной наилучшего приближения функции частными суммами Фурье - Бесселя и специальными модулями непрерывности т-го порядка, определяемыми дифференциальным оператором Бесселя второго порядка;
вычислены точные значения n-поперечников некоторых классов функций, задаваемых специальными модулями непрерывности m-го порядка;
найдено точное неравенство Джексона - Стечкина, связывающее величины среднеквадратического приближения функций, целыми функциями экспоненциального типа с усредненным весом обобщенным модулем непрерывности тп-го порядка;
вычислены точные значения средних ^-поперечников классов функций, определяемые модулями непрерывности в iv2(K);
вычислены верхние грани оценки остатка преобразования Фурье на классах функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности т-го порядка, в пространстве ^(К);
найдены оптимальные квадратурные формулы в смысле С.М.Никольского приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности;
найдены оптимальные квадратурные формулы в смысле С.М.Никольского приближенного вычисления криволинейных интегралов для классов функций, у которых норма градиента в Lp, 1 < р < оо ограничена.
Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы получены с помощью строгих математических доказательств.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Развитые в ней методы и полученные результаты могут применяться в других экстремальных задачах теории приближений, теории функций многих переменных, оптимизации вычислений многомерных интегралов. Главы диссертации в отдельности могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов высших учебных заведений, обучающихся по специальности математики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на:
семинарах отдела теории функций и функционального анализа Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан под руководством академика АН РТ М.Ш.Шабозова (Душанбе, 2008-2016 г.);
международной конференции „Современные проблемы анализа и преподавания математики”, посвященной 105-летию академика С.М.Никольского (Москва, 17-19 мая 2010 г.);
международной научной конференции „Современные проблемы математики и ее приложения” (Душанбе, 28-30 июня 2011 г.);
международной научной конференции „Современные проблемы математического анализа и теории функций” (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.);
4-й международной конференции ”Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования”, посвященной 90-летию члена-корреспондента РАН Л.Д.Кудрявцева (Москва, 25-29 марта 2013 г.);
международной научной конференции ”Современные проблемы математики и ее преподавания”, посвященной 20-летию Конституции Республики Таджикистан (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.);
международной научной конференции ”Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения -V” (Ростов-на-Дону, 26 апреля – 1 мая 2015 г.);
IX международной научно-практической конференции ”Теоретические и прикладные аспекты современной науки” (Белгород, 31 марта 2015 г.);
международной конференции ”Функциональные пространства и теория приближения функций”, посвященной 110-летию со дня рождения академика С.М.Никольского (Москва, 25-29 мая 2015 г.);
XII международной Казанской летней Школы-Конференции ”Теория функций, ее приложения и смежные вопросы” (Казань, 27 июня по 4 июля 2015 г.);
м е ж д у н а р о д н о й летней математической Школы-Конференции С.Б.Стечкина по теории функций (Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа 2016 г.);
международной Школы-Конференции ”Соболевские чтения” (Новосибирск, 18-22 декабря 2016 г).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 печатных работах автора. Из них 20 статьей опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК Российской Федерации, а 10 статьей в трудах международных конференций. Из совместных с М.Ш.Шабозовым [8,9,11,12] работ на защиту выносятся лишь результаты, полученные лично автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, че-тырех глав, списка цитированной литературы из 164 наименований, занимает 236 страниц машинописного текста и набрана на LATEX. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
Приближение некоторых классов свёрток
В задачах электродинамики, небесной механики и современной прикладной математики, чаще всего используются ряды Фурье по ортогональным системам специальных функций [14,42,44]. При этом требуется выяснить условия разложения функций в ряды Фурье по указанным специальным функциям, образующим на заданном отрезке полную ортогональную систему. Не менее важным является изучение оценки скорости сходимости указанных разложений в ряды Фурье по специальным функциям. В качестве примера укажем на работу В.А.Абилова и Ф.В.Абиловой [1], где изучаются вопросы приближения функций частными суммами Фурье - Бесселя, доказаны прямые и обратные теоремы, получены оптимальные по порядку величины наилучшего приближения.
Одной из основных задач теории приближения функций является экстремальная задача отыскания точных констант в неравенствах Джексона -Стечкина. Отметим, что точные константы в неравенствах Джексона - Стеч-кина найдены в редких случаях [64, 105]. В случае полиномиального приближения в среднем непериодических функций с заданным весом указанная задача изучалась в работах [17,31,75,143]. В [56,109] для наилучших прибли жений по ортогональной системе функций Бесселя доказаны точные неравенства Джексона - Стечкина. Отметим работу В.И.Иванова, Д.В.Чертова и Лю Юнпин [56], в которой в пространстве L2,v := L2 ( [-l,l]; \x\2v+ldx ) на отрезке [—1,1] со степенным весом ж2г/+1, v -1/2 определяются полная ортогональная система, величина наилучшего приближения по этой системе, оператор обобщенного сдвига, обобщенной модуль непрерывности и доказывается точное неравенство Джексона - Стечкина.
В этой главе нами доказано точное неравенство типа Джексона - Стеч кина на множестве Щ (Т ), связывающее величину En_i(f)2 - наилучшего приближении функции / частичными суммами порядка п - 1 ряда Фурье Бесселя, с усреднением с положительным весом обобщенного модуля непре рывности т-го порядка Qm (Vr f, t), где V := — Л - дифференци альный оператор Бесселя второго порядка первого рода индекса v. Конструк ция обобщенного модуля непрерывности т-го порядка Qm (Vrf, і) основана на использовании конкретного оператора сдвига.
В классической теории приближения функций центральную роль играют операторы сдвига f{x) — f(x + h). Так, например, к числу операторов сдвига на бесконечно малом отрезке можно отнести оператор дифференцирования. Преобразование Фурье представляет собой разложение по собственным функциям оператора сдвига. В общем, в задачах приближения оператор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые играют важную роль при доказательстве прямых и обратных теорем.
Построенные по операторам сдвига обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения связей между гладкостными свойствами функции и наилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Некоторые результаты о решениях экстремальных задач теории приближении функций в пространстве L2 с использованием обобщенных модулей непрерывности и гладкости изложены в работах А.Г.Бабенко [19], С.Н.Васильева [41], А.И.Козко и А.В.Рождественского [62], Н.А.Барабошкиной [21], М.К.Потапова [89, 90], В.А.Абилова и Ф.В.Абиловой [1, 2], В.А.Абилова, Ф.В.Абиловой и М.К.Керимова [5], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [123], С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [36] и многих других.
В различных задачах теории приближения функций большую роль играют /С-функционалы. Изучение связи между обобщенными модулями гладкости и /С-функционалами является одной из основных задач теории приближения функций. Для различных обобщенных модулей гладкости такие задачи изучались, например, в работах J.Lofstrom, J.Peetre [76,83], Z.Ditzian, V.Totik [47], Feng Dai [102], Е.С.Белкина, С.С.Платонов [23], С.С.Платонов [86]. Однако в перечисленных публикациях не имеется точных результатов.
В завершающем пятом параграфе второй главы получены некоторые точные результаты посредством /С-функционалов r-ых производных функций и для классов функций, определенных при помощи /С-функционалов и усредненных с положительным весом обобщенных модулей непрерывности Qm(T rf,t) в L2, а также вычислены точные значения различных п-поперечников.
Переходим к изложению основных результатов второй главы работы. В первом параграфе второй главы приводятся нужные для дальнейшего определения, известные факты и вычисляются точные верхние грани наилучших приближений суммами Фурье - Бесселя в пространстве L2([0, l],xdx). Пусть Jv(х) функция Бесселя первого рода индекса z/, а А1 А2,..., Ап,... — занумерованные в порядке возрастания положительные корни уравнения Jv{x) = 0. Функции Jv{x) являются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля [44, с.345]
Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и характеристиками гладкости Am(f;t) в пространстве L i
Экстремальная задача отыскания наилучшей для заданного класса функций квадратурной формулы и получение точной оценки ее остатка является одной из наиболее актуальных задач вычислительной математики. Наиболее важные результаты, полученные по экстремальным задачам теории квадратур до конца восьмидесятых годов прошлого столетия, подытожены Н.П.Корнейчуком в дополнении к монографии С.М.Никольского [81] „Квадратурные формулы”, последнее издание которой вышло в 1988 году. В дополнении отмечается, что по экстремальным задачам теории квадратур получен ряд существенных окончательных результатов для соболевских классов и классов функций, задаваемых модулями непрерывности (Н.П.Корнейчук [65,66], А.А.Женсыкбаев [50,51], А.А.Лигун [72], Б.Д.Боянов [25], К.И.Осколков [82], В.Ф.Бабенко [20] и другие). В то же время в указанном дополнении отмечается, что до настоящего времени немало задач для многомерных случаев еще не решено. Это замечание, в частности, касается отыскания оптимальных квадратурных формул для криволинейных интегралов. Для указанных интегралов задача отыскания наилучших квадратурных формул находится на стадии разработки. Можно лишь указать на полученные недавно результаты С.Б.Вакарчука [26], М.Ш.Шабозова и Ф.М.Мирпоччоева [118], М.Ш.Шабозова [113].
В этой главе рассматривается экстремальная задача отыскания оптимальных (наилучших) квадратурных формул в смысле С.М.Никольского для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций многих переменных и кривых, задаваемых модулями непрерывности, и на классах дифференцируемых функций, у которых нормы первого и второго градиента ограничены по норме в пространстве Lp (1 р ос) вдоль кривой, по которой вычисляется криволинейный интеграл. Во всех рассматриваемых классах указан явный вид оптимальных узлов и коэффициентов квадратурной формулы и вычислены точные оценки погрешности. Как правило, решение сформулированной задачи зависит от расположения узлов. Для квадратурных формул с произвольным расположением узлов на отрезке [О, L] (L длина кривой) и фиксированных крайних узлов (квадратурных формул типа Маркова) дается полное решение экстремальной задачи для указанных классов функций и кривых.
Рассматривается задача о приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и классов пространственных кривых, задаваемых модулями непрерывности. Пусть функция f(M) = f(xux2,...,xm) определена и интегрируема вдоль кривой ГсГи J(/,r):= f(M)dt= f(xux2,...,xm)dt. (0.0.54) г г
Предположим, что на кривой Г установлено положительное направление, так что положение точки М = M(xh ж2, , хт) на кривой может быть определено длиной дуги t = AM, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями
Xl = (t), х2 = (p2(t), ...,xm = (pm(t), (0 t L), (0.0.55) а функция f(xi,x2, ...,xm), заданная в точках кривой, сведётся к сложной функции / ( !( ), ip2(t),..., ipm(t)) от переменной t. Хорошо известно, что в этом случае интеграл (0.0.54) запишется в виде следующего определённого интеграла L J(/,T)= f f( pi(t),(p2(t),...,(pm(t))dt. (0.0.56) о Всякая квадратурная формула N J(f,r)&CN(f,r,P,T) := 2pkf (Mtk), P2(tk),---, Pm(tk) ) (0.0.57) k=i для приближённого вычисления интеграла (0.0.56) задаётся векторами коэффициентов Р = {pk}k=i и векторами узлов Т = {tk: 0 ti ... tN L}, где pi,P2, ,Рлг - произвольные действительные числа. При фиксированном N 1 через Л будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов (Р, Т), определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (0.0.57) (например, требование точности формулы (0.0.57) на многочленах заданной степени, положительность коэффициентов рЛ, фик-сированность крайних узлов и др.).
Погрешность квадратурной формулы (0.0.57) обозначим RN(f,T) := Рдг(/,Г,Р,Т) = J(f,T)-N(f,T,P,T) Если ffl — некоторый класс функций {f((pi(t),(p2(t), ,(/?то())}, определённых в точках кривой Г и интегрируемых как сложные функции параметра t на отрезке [0,L], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности, примем величину Рлг(ШТ, Г, Р,Т) = sup { RN{f,V,P,T) : / Є mi} . Пусть У1(Ь) - класс кривых Г, заданных параметрическими уравнениями (0.0.55), длина которых равна L. Наибольшую погрешность квадратурной формулы для всего класса функций Ж на классе кривых %L) обозначим Pw(mt,9t(L),P,T) = sup {pw(9JT, Г, Р,Т) : Г с %Ь)\. Для того чтобы получить оптимальную квадратурную формулу на классах функций Ж и кривых 9t(L), потребуем, чтобы формула (0.0.57) была точна для функции /( i( ), 2W,..., mW) = const, то есть чтобы выполнялось N равенство 2,Рк = L- Нижнюю грань к=1 SN( m,yi(L)) = MRN( m,yi(L),P,T): (Р,Т)сЛ, (0.0.58) по аналогии с определением из монографии [81], будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратурной формулы (0.0.57) на классах функций Ж и кривых У1(Ь). Если существует вектор (Р,Т) С Л, для которого ЄМ(Ж, КЩ) = RN(m, St(L), Р, Т), то этот вектор определяет наилучшую квадратурную формулу вида (0.0.57) в смысле С.М.Никольского [81] на классах функций Ж и кривых У1(Ь). Здесь исследуются квадратурные формулы (0.0.57) в двух случаях: а) с произвольными векторами коэффициентов Р = {рк\к=\ и произ вольными векторами узлов Т = {tk : 0 t\ t2 ... tN L}] б) с произвольными векторами коэффициентов Р = {pk}k=o и произ вольными векторами узлов, крайние узлы которых фиксированны Т = {tk : 0 = t0 ti t2... tN = L}. Обозначим через Н" := Нш[0,Ь] множество функций p(t) Є C[0,L], удовлетворяющих условию \ір(і )-ф")\ uj(\t "\), t ,t" Є [0,L], где со(5) - заданный модуль непрерывности, то есть непрерывная функция, удовлетворяющая соотношениям
Оценка величины наилучших приближений посредством /С функционала Петре
Известно, что многие задачи математической физики, сводящиеся к дифференциальным уравнениям с частными производными, записанные в цилиндрических и сферических координатах, применением метода разделения переменных, в частности, приводятся к дифференциальному уравнению Бесселя и к функциям Бесселя. На практике, особенно в задачах электродинамики, небесной механики и современной прикладной математики, чаще всего используются ряды Фурье по ортогональным системам специальных функций [14,42,44]. При этом требуется выяснить условия разложения функций в ряды Фурье по указанным специальным функциям, образующим на заданном отрезке полную ортогональную систему. Не менее важным является изучение оценки скорости сходимости указанных разложений в ряды Фурье по специальным функциям. В качестве примера укажем на работу В.А.Абилова и Ф.В.Абиловой [1], где изучаются вопросы приближения функций частными суммами Фурье – Бесселя, доказаны прямые и обратные теоремы, получены оптимальные по порядку величины наилучшего приближения.
Данная глава посвящена получению точных оценок скорости сходимости рядов Фурье по системе функций Бесселя для некоторых классов функций в гильбертовом пространстве L2 := L2[(0,1), xdx] суммируемых с квадратом функций f : (0,1) R с весом x.
Одной из основных задач теории приближения функций является экстремальная задача отыскания точных констант в неравенствах типа Джексона – Стечкина. Так называются неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции заданным конечномерным подпространством в рассматриваемом нормированном пространстве оценивается через модуль непрерывности самой функции или некоторой ее производной. Отметим, что точные константы в неравенствах Джексона - Стечкина найдены в редких случаях [64, 105]. В случае полиномиального приближения в среднем непериодических функций с заданным весом указанная задача изучалась в работах [17,31,75,143]. В [56,109] для наилучших приближений по ортогональной системе функций Бесселя доказаны точные неравенства Джексона - Стечкина. Отметим работу В.И.Иванова, Д.В.Чертова и Лю Юнпин [56], в которой в пространстве Lv := L2 ( [-l, 1], \x\2v+1dx ) на отрезке [—1,1] со степенным весом ж2г/+1, v —1/2 определяются полная ортогональная система, величина наилучшего приближения по этой системе, оператор обобщенного сдвига, обобщенной модуль непрерывности и доказывается точное неравенство Джексона - Стечкина.
В этой главе нами доказано точное неравенство типа Джексона - Стеч кина на множестве Щ (Т ), связывающее величину En_i(f)2 - наилучшего приближении функции / частичными суммами порядка п - 1 ряда Фурье Бесселя, с усреднением с положительным весом обобщенного модуля непре рывности т-го порядка Qm (Vr f, t), где V := — Л - дифференци альный оператор Бесселя второго порядка первого рода индекса v. Конструк ция обобщенного модуля непрерывности т-го порядка Qm (Vrf, і) основана на использовании конкретного оператора сдвига.
В классической теории приближения функций центральную роль играют операторы сдвига f(x) — f(x + h). Так, например, к числу операторов сдвига на бесконечно малом отрезке можно отнести оператор дифференцирования. Преобразование Фурье представляет собой разложение по собственным функциям оператора сдвига. В общем, в задачах приближения оператор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые играют важную роль при доказательстве прямых и обратных теорем теории приближения.
Построенные по операторам сдвига обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения связей между гладкостными свойствами функции и наилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Некоторые результаты о решениях экстремальных задач теории приближении функций в пространстве L2 с использованием обобщенных модулей непрерывности и гладкости изложены в работах А.Г.Бабенко [19], С.Н.Васильева [41], А.И.Козко и А.В.Рождественского [62], Н.А.Барабошкиной [21], М.К.Потапова [89, 90], В.А.Абилова и Ф.В.Абиловой [1, 2], В.А.Абилова, Ф.В.Абиловой и М.К.Керимова [5], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [123], С.Б.Вакарчука и В.И.Забутной [36] и многих других.
В различных задачах теории приближения функций большую роль играют /С-функционалы. Изучение связи между обобщенными модулями гладкости и /С-функционалами является одной из основных задач теории приближения функций. Для различных обобщенных модулей гладкости такие задачи изучались, например, в работах J.Lofstrom, J.Peetre [76], Z.Ditzian, V.Totik [47], Feng Dai [102], С.С.Платонов [86]. Однако в перечисленных публикациях не имеется точных результатов.
В последнем параграфе данной главы получены некоторые точные результаты посредством /С-функционалов r-ых производных функций и для классов функций, определенных при помощи /С-функционалов и усредненных с положительным весом обобщенных модулей непрерывности m( rf,t) в L2, вычислены точные значения различных п-поперечников.
Наилучшие квадратурные формулы вычисления криволиней ных интегралов первого рода на классах функций wik\)C,Q), WQ](K,Q) И кривых 9tg(L)
Экстремальная задача отыскания наилучшей для заданного класса функций квадратурной формулы и получение точной оценки ее остатка является одной из наиболее актуальных задач вычислительной математики. Наиболее важные результаты, полученные по экстремальным задачам теории квадратур до конца восьмидесятых годов прошлого столетия, подытожены Н.П.Корнейчуком в дополнении к монографии С.М.Никольского [81]
Квадратурные формулы”, последнее издание которой вышло в 1988 году. ”
В дополнении отмечается, что по экстремальным задачам теории квадратур получен ряд существенных окончательных результатов для соболевских классов и классов функций, задаваемых модулями непрерывности (Н.П.Корнейчук [65,66], А.А.Женсыкбаев [50,51], А.А.Лигун [72], Б.Д.Боянов [25], К.И.Осколков [82], В.Ф.Бабенко [20] и другие). В то же время в указанном дополнении отмечается, что до настоящего времени немало задач для многомерных случаев еще не решено. Это замечание, в частности, касается отыскания оптимальных квадратурных формул для криволинейных интегралов. Для указанных интегралов задача отыскания наилучших квадратурных формул находится на стадии разработки. Можно лишь указать на полученные недавно результаты С.Б.Вакарчука [26], М.Ш.Шабозова и Ф.М.Мирпоччоева [118], М.Ш.Шабозова [113].
В этой главе рассматривается экстремальная задача отыскания оптимальных (наилучших) квадратурных формул в смысле С.М.Никольского для приближенного вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах функций многих переменных и кривых, задаваемых модулями непрерывности, и на классах дифференцируемых функций, у которых нормы первого и второго градиента ограничены по норме пространства Lp (1 p ) вдоль кривой, по которой вычисляется криволинейный ин 186 теграл. Во всех рассматриваемых классах указан явный вид оптимальных узлов и коэффициентов квадратурной формулы и вычислены точные оценки погрешности. Как правило, решение сформулированной задачи зависит от расположения узлов. Для квадратурных формул с произвольным расположением узлов на отрезке [0,L] (L – длина кривой) и фиксированных крайних узлов (квадратурных формул типа Маркова) дается полное решение экстремальной задачи для указанных классов функций и кривых.
Результаты, приведенные в этой главе, опубликованы в работах [135– 138, 140, 145], а также тезисах докладов 4-й международной конференции, посвященной 90-летию члена-корр. РАН Л.Д.Кудрявцева [155, Москва, 25-29 марта 2013].
В этом параграфе рассматривается задача о приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и классов пространственных кривых, задаваемых модулями непрерывности. Пусть функция f(M) = f(xux2,...,xm) определена и интегрируема вдоль кривой сГи J(/,):= [ f(M)dt= ff(xhx2,...,xm)dt. (4.1.1) г г Предположим, что на кривой установлено положительное направление, так что положение точки М = M(xh ж2, хт) на кривой может быть определено длиной дуги t = AM, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая параметрически выразится уравнениями
Тл = (t), х2 = (p2(t), ...,xm = (pm(t), (0 t L), (4.1.2) а функция /(жьж2, ,жт), заданная в точках кривой, сведётся к сложной функции f(ipi(t), w(t),..., ipm(t)) от переменной t. Хорошо известно, что в этом случае интеграл (4.1.1) запишется в виде следующего определённого интеграла J(/,)= [ f( fii(t), p2(t),..., Pm(t))dt. (4.1.3) о Всякая квадратурная формула N J(f,)&CN(f,,P,T) := 2pkf (Mtk), P2(tk),---, Pm(tk) ) (4.1.4) k=i для приближённого вычисления интеграла (4.1.3) задаётся векторами коэффициентов Р = {рк\к=\ и векторами узлов Т = {tk: 0 h ... tN L}, 188 где pi,P2, PN - произвольные действительные числа. При фиксированном N 1 через Л будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов (Р,Т), определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (4.1.4) (например, требование точности формулы (4.1.4) на многочленах заданной степени, положительность коэффициентов рк, фикси-рованность крайних узлов и др.).
Погрешность квадратурной формулы (4.1.4) обозначим RN(f,V,P,T) = J(f,V)-CN(f,V,P,T) Если 9JT - некоторый класс функций {f((pi(t), ( 2( )5 ty? ())}? определённых в точках кривой Г и интегрируемых как сложные функции параметра t на отрезке [О, L], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности, примем величину Длг(9Л, Г, Р,Т) = sup { RN{f,V,P,T) : f Є mi} . Пусть У1(Ь) - класс кривых Г, заданных параметрическими уравнениями (4.1.2), длина которых равна L. Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4.1.4) всего класса функций Ж на классе кривых У1(Ь) обозначим RN(9Jl,4l(L),P,T) = 8іір{Ялг(тТ,Г,Р,Т) : Г с %Ь)\.