Некоторые двумерные сингулярные интегральные операторы с чётными характеристиками Чоршанбиева Майрам Чоршанбиевна

Нётеровы операторы и основные их свойства

В этом пункте приводятся основные понятия и факты теории нётеровых операторов в банаховых пространствах, которыми мы будем пользоваться в работе. Доказательства всех приводимых здесь утверждений можно найти например в монографии [36].

Пусть X - банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, действующий в X, А - сопряжённый к нему оператор, действующий в сопряжённом пространстве X . Множество КегА всех решений уравнения Ах = 0 (1.1) называется множеством нулей или ядром оператора А. Множество КегА является подпространством пространства X. Размерность подпространства КегА, т.е. число линейно независимых решений уравнения (1.1), будем обозначать через ал = dim КегА. Через КегА обозначим подпространства нулей оператора А , т.е. множество всех решений уравнения А х = 0 (1.2) называется ядром оператора А и, наконец, (ЗА = СЧА = КегА . Числа СЇАІІ А называются дефектными числами оператора А. Если хотя бы одно из чисел cvA и (ЗА - конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается через IndA,

IndA = CVA — (ЗА Очевидно, IndA конечен тогда, и только тогда, когда обе размерности CVA и (ЗА - конечны. Определение 1.2. Оператор А называется нормально разрешимым в смысле Хаусдорфа, если неоднородное уравнение Ах = у разрешимо тогда, и только тогда, когда её правая часть у ортогональна всем решениям сопряжённого однородного уравнения (1.2).

Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того, чтобы оператор был нормально разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой.

Определение 1.3. Оператор А называется нётеровым в X, если он нормально разрешим и числа СНА-, РА конечны. Определение 1.4. Индексом IndA нётерова оператора А называется целым число IndA = OLA РА Следующее определение из всего множества нётеровых операторов выделяет подмножество фредгольмовых операторов: Определение 1.5. Нётеров оператор, индекс которого равен нулю, называется фредгольмовым. Свойство 1.1. (теорема о композиции). Если А и В нётеровы операторы в X, то их композиция АВ также нётерова в X, причём IndAB = IndA+IndB. Свойство 1.2. Если А нётеров в X, то и А нётеров в X , причём IndA :=—IndA. Свойство 1.3. (возмущение вполне непрерывным оператором). Если А нётеров, а Т вполне непрерывен в X, то А + Т также нётеров в X, причём Ind(A + Т) = IndA. Свойство 1.4. (возмущение малым по норме оператором). Если А нё теров в X, то существует такое є = є (А), что для всех операторов В таких, что \\В\\ , оператор А + В нётеров в X и Ind(A + В) = IndA. Говорят, что оператор А допускает левую (правую) регуляризацию, если существует линейный ограниченный оператор R такой, что произведение RA (AR) является оператором Фредгольма. Оператор R в этом случае называется левым (правым) регуляризатором оператора А. Свойство 1.5. Для того, чтобы оператор А был нётеровым, необходимо и достаточно, чтобы у него существовали левый и правый регуляризаторы.

Определение 1.6. Нётеровы операторы А и В называются гомотопными, если существует семейство нётеровых операторов A(t), t Є [0,1], которое равномерно непрерывно по норме на сегменте [0,1] по любому заданному є 0 можно найти такое 5 = 6(є) 0, что, если \ti — 2І , то А(і) — Л( 2) є, и А(0) = А, А(1) = В.

Свойство 1.6. Если операторы А и В гомотопны, то IndA = IndB. Пусть Г - простая замкнутая кривая, разбивающая комплексную плоскость переменной z на две области-внутреннюю D+(3 0) и внешнюю (бесконечную) D (3 сю). На Г задана непрерывная невырожденная матрица-функция G(t) размера п х п. Определение 1.7. Говорят, что неособенная матрица-функция G(t) размера п х п допускает левую стандартную факторизацию на Г, если справедливо следующее представление для G(t) : G(t) = G+{t)B{t)G {t))t Є Г, 18

Локальная нётеровость операторов

Таким образом, в полученных для матриц Q 2{t) и Q 2(l/t) представлениях соответственно (2.15) и (2.16) первые множители аналитически про-должимы вне единичного круга, а вторые внутри, причём их определители нигде в нуль не обращаются, т.е. матрицы Q 2{t) и Q 2(l/t) имеют нулевые частные индексы. Следовательно оператор Ач нётеров, т.е. достаточность граничного условия (2.8): a(t)c(t) 0,V G Г доказана.

Необходимость условия a(t)c(t) Ф 0,Vt Є Г доказывается от противного с помощью локального метода (см.[42]).

Пусть Ао - оператор нётера в La 0/ (V), и в то же время существует точка то Є Г такая, что имеет место одно из равенств а(то) = 0 или с(то) = 0.

Случай 1. Пусть а (то) = 0 и А2 нётеров. Очевидно, оператор Аъ локального типа. Поскольку А\ нётеров, то он локально нётеров в каждой точке z Є D. В точке то Є Г оператор А\ локально эквивалентен оператору АТо = S + q2(ro)SmK, Представим этот оператор в виде AZo = S(I + q2(To)Sm-iK), где второй сомножитель локально обратимый оператор (см.[24]), а первый сомножитель локально не нётеров, поэтому оператор AZo не является локально нётеровым оператором. Полученное противоречие показывает, что если а(то) = 0, то оператор А і не может быть нётеровым оператором в D (D).

Случай 2. Пусть с(то) = 0, го Є Г. Тогда оператор А і локально эквивалентен локально ненётеровому оператору (см.[28]) AZo = Яі{то)І + S, т.е. необходимость с(т) ф 0, г Є Г для нётеровости А і доказан. Теперь осталось доказать формулу для подсчёта индекса оператора Ач. Непосредственными вычислениями убеждаемся, что оператор Ач с точностью до вполне непрерывного оператора можно представить в виде 1 о— о — — — A i = гхЦ — Щ2\ Dm_i)\q\l + (1 — 2 )Ь — qiq20m-iK 1(1 + g2 bm-i M 1 — д2І (2.18) Поскольку для всех z Є D, gi(z) + 2( ) 1? то из результатов работ [25],[46] следует, что операторы / — д2І2-Вто_і, / + q2Sm-\K обратимы в i/(D), а средний оператор q\I + (1 — l l2) — q\q2Sm-\K имеет вид исходного оператора Ач c пониженной на единицу характеристикой m — 1. Продолжая указанный процесс факторизации оператора, по индукции получим то, что индекс среднего оператора из (2.17) равен к = 2Indrq i q2 = 2mlndra{t) + 2Indrc(t). b) Пусть теперь выполнено условие (2.9) теоремы 2.1. Тогда представим оператор А в виде А = c(z)A , где Аз = Qi{z)I + Q2S + SmK, (2.19) qi(z) = a(z)/c(z), q2(z) = b(z)/c(z), причём для всех z Є D новые коэффициенты удовлетворяют неравенству gi(z) + 2( )1 1- Символ оператора As имеет вид _ qi(z) + q2{z)(T/ (j {a/a)m GA3(Z, a /a) = {a / (j)m qi(z) + q2(z)a/a По данному символу построим матрицы q\ + Ц$ tm l/tm qi + cfe/t [0.1+ q2 -/t l/tm \ tm q{ + q t Аналогично пункту а) показывается, что матрицы Г 3(), Г 3() имеют нулевые частные индексы. Например, для матрицы Q,A3{t) в случае #i() #2()? Г имеет место следующее представление: QA2(t) = Ф ( )[Ф+( )] і (2.20) где ( q\ + Ц$ t /ф , . F+(t) ( tm \д2_, , ( — ) г \ q\ q i) \- ( ) — г \ q\ q i) q_\ q\ + q2t q\Jrq2 q\ 1 0 qi+q2ttm qi F (t) F &\ причём в представлении (2.20) для матриц Q,A2(t) функция [Ф+()]_1 аналитически продолжима внутри единичного круга, а функция Ф () вне единичного круга и их определители нигде в нуль не обращаются. Следовательно, оператор А% нётеров. Ф ( ) = I 1 /1 (qt)\m F {—q\lqo

Необходимость условия а(то) ф 0, то Є Г следует из представления локально эквивалентного в точке TQ оператора АТо : АТо = S(q2(ro)I + SK). Вычислим теперь индекс оператора А%. Рассмотрим семейство нётеровых операторов Мт = qi(z)I + rq2(z)S + SmK, непрерывно по норме зависящих от параметра г Є [0,1]. Поскольку MQ = qi(z)I+SmK, Mi = A3, то в силу результатов работы [46] индекс оператора А равен к = 2гаІп(іта{т). с) Пусть наконец выполнено условие (2.9) теоремы 2.1.. Тогда оператор А представим в виде А\ = I + qi(z)S + q2{z)Sm, где qi(z) = b(z)/a(z),q2(z) = c(z)/a(z), причём коэффициенты оператора A\ для всех z Є D удовлетворяют условию #i (z) + 2( ) 1- В силу этого, поскольку tS,mL2(D) = 1? то норма оператора q\{z)S + q2{z)Sm в пространстве L2(D) будет меньше единицы, поэтому оператор А\ обратим в L2(D). Если выполнено условие нётеровости в Lp(D) при р 2, то обратимость оператора А\ вытекает из того, что Lp(D) С L,2(D) и индекс оператора А\ равен нулю. Если же 1 р 2, то аналогичные рассуждения применимы к сопряжённому оператору, которое следует рассматривать в Lq(D),2 q 00. Утверждение относительно весового пространства Lri 0/ (D)l р 00 следует из вложения пространства Lpa 0/ в Lqi,

Случай, когда детерминант матрицы-символа оператора A по ложительный

В полученных для матрицы QA(() представлениях (3.17), (3.18) первые множители аналитически продолжимы вне единичного круга, а вторые внутри, причем их определители нигде в нуль не обращаются, то есть матрицы (С) имеют нулевые частные индексы. Следовательно оператор А нетеров, то есть достаточность граничного условия (3.11) доказана. Необходимость условия (3.11) доказывается от противного с помощью локального метода (см. [42]). 3.3 Случай, когда детерминант матрицы-символа оператора А отрицательный

Здесь будем считать, что detG (z,t) 0, т.е. выполнено неравенство: \a(z) + c(z)t\ \b(z) + d{z)tm\) Ind(b + dtm) = m, t=i то есть l&l \d\, и двучлен b + dtm внутри единичного круга имеет т b нулей t m = —.В этом случае оператор А перепишем в виде: d А = (І2І + С[2К + C2S + SmK, a b с где (22 = , Q2 = , С2 = —. d d d По символу данного оператора построим матрицу l\{t) . Для матрицы l\{t) построим задачу Римана для аналитических в единичном круге \t\ = 1 функций (Фі(), 2(C)): &\{t) = {(І2 + С2 )Ф" + (q2 + tm) &2 , (3.19)

В первом равенстве системы (3.19) слева стоит аналитически продолжи-мая вне единичного круга функция, а справа аналитически продолжимая внутри единичного круга функция. По теореме Лиувилля, эта функция равна постоянной, то есть Ф] (С) = с1- Тогда , С\ (І2 + C2t , ( Q2 +tm Q2 + tm + Далее имеем F (t) Ф2 (t) — C\{CL2 + (І2 + t t F q2 + tm «f, где левая часть аналитически продолжимая вне единичного круга, а правая часть внутри единичного круга с т-полюсами в точках qjm: г i{cp-\-2j7r) Qjm = л/\Я2\є , І = 1?2, , т., (р = arg(—q2).

Поэтому эта функция по теореме Лиувилля является аналитической на всей плоскости с m-полюсами в точках qjm (j = 1,2, ....т). Тогда Ci(d2 + f1) 1 2\ -. т С Г 2-\-j Ф —/= J-V Су, X г 2+7 2 (С) = 7 Ь С2 + / Z #2 + СШ (С) С Q2j Q2 + С Фі —— С2 + П ( I \ J Г ПІЛ VS/_і S 41] и далее , (Й2 + С2С) с1 а2 + C-2Q S C2+j Фо"(С) = іС2 Н 1 и_ Функция Ф (С) имеет в точках qjm (j = 1, 2, ...,m) полюса. Чтобы устранить их, представим т Q2 + С = Ц(С - m) и потребуем от свободных констант ci, C2+j (j = 1, 2, ...,m), чтобы они удовлетворяли m требованиям: c2+ji j = 1,2,3, , т. ci а2 + с2 ш nfem- m) F+(qjm) Теперь, предположив, что выполнены неравенства 0-2 + c2(ijm ф 0 на Г (j = 1, 2, ...,m) (3.20) найдем константы C2+j через сі F+{qjm)c1 . c2+j = 7 тт v ? = т \Qi2 г C-2qjm) 11 \Qjm Qkm) Заметим, что условия (3.20) можно записать в виде или же П Г\ Г !LA22L (Й2 + С2 m № е m ) 7 О, V Є Г, (a2(t))md(t) + ( —l)m(c2(/:))m&(/:) 7 0, Vt Є Г. (3.21) Таким образом, имеем о F+(g Ф (() = 0-2 F — (О по + С — (С) jm а2 + С2С ( 22 + С2(Цт) I I 7?га Q2 + С а2 + С2 F+() g2 + Cm F+() Ф+(С) = І. т Й2 + С2Ц V н— F+() т 2+j С Чіт Q2 + СШ +(С) С Qj и в этом случае, также при выполнении граничного условия (3.10) матрицы Q A (t) факторизуются с нулевыми частными индексами, то есть оператор А нетеров LP{D)) 1 р оо. Теперь остается доказать формулу для вычисления индекса (3.11).

Доказательство проведем по методу математической индукции по параметру т. Пусть в (1) т = 1, то есть оператор А из (3.12) имеет вид А = qi(z)I + bi(z)K + S + di(z)SK, тогда, как показано в работе [28], индекс оператора А равен к = 2Indr{bi(t) — d\{t)q\{t)) = 2Indr{b(t)c(t) — a(t)d(t)). Пусть теперь при т = п — 1 указанная формула для индекса оператора А справедлива, то есть имеет место к, = 2Іп(Іі-{Ьі{Ь)+{—1)п d\{t)qi (t)) = 2Ind,Y(b(t)cn (t)+(—l)n d(t)an (t)). Покажем, что тогда для оператора А справедлива формула (3.12). Представим оператор А в виде (3.22) А = qi(z)I + bi(z)K + S + d\(z)Sn-\ = = qi(z)I + bi(z)K + S(I + d\(z)Sn-\K). Поскольку c?i(z) Ф 1, то, как известно [28], оператор T\ = I — d\Sn-\K о о/ (-ЬМ, 1 ю оо,и р 2 обратим. Умножив обе части (3.22) справа на обратный оператор Т\ с точностью до вполне непрерывного оператора, получим: АТ\ = {q\I + Ъ\К){1 — d\Sn-\K) + S(I + d\Sn-\K){I — d\Sn-\K). Воспользовавшись формулой композиций операторов {Sn-\Sn-if){z) = f(z) — Bn_i(z, ()f(()ds + T, ICI i где n_i(z, () - керн-функция Бергмана порядка п—\ (см.[24]), а T - вполне непрерывный оператор, получим АТ\ = {q\I + Ъ\К){1 — d\Sn-\K) + S[(I — \d\\ ) + \d\\ Bn_{\ = = {q\I + b\K + S — qid\Sn-\K) — b\d\Sn-\K — \d\\ S(I — Bn_\). Оператор в первой скобке справа имеет вид оператора А с параметром п — 1 и, следовательно, по предположению индукции его индекс равен: % = 2Іп(іт(Ьі + (—l)n (l\(f\ d\) = 2Іп(іт(Ьі + (—l)n cftdi). Построив теперь семейство нетеровых операторов Т\ = {q\I + Ъ\К + S — qid\Sn-\K) — \d\{b\Sn-iK) — d\S{I — Dn_i), где 0 Л 1, мы сопоставим оператор АТ\ нетревому оператору А) = Q\I + Ь\К + S — q\d\Sn-\K с индексом к из (2.12). Формула для индекса доказана. б) Пусть теперь выполнено условие (3.11) теоремы 3.1. Тогда по схеме пункта а) доказывается, что матрицы-символы Єідіі) безусловно фактори-зуются с нулевыми частными индексами. В этом случае индекс оператора равен нулю, что доказывается с помощью гомотопии оператора.

Вывод формулы для вычисления индекса оператора

Докажем формулу для вычисления индекса (5.8). Доказательство проведём по методу математической индукции по параметру т п. Пусть в (5.1) т = п, то есть оператор А имеет вид А = qi(z)I + bi(z)K + Sm + di(z)SmK, тогда, как показано в работе [46], индекс оператора А равен к = 2mlndr{bi(t) — d\{t)q\{t)) = 2mlndr{b(t)c(t) — a(t)d(t)). Пусть теперь при т = v указанная формула для индекса оператора А справедлива, то есть имеет место к, = 2IndY(bi(t) + {—\)nv di{t)q\{t)) = 2IndT(bn(t)cu(t) + {—\)nv di{t)a\{t)). Покажем, что тогда для оператора А из ( ) А = qi(z)I + b\(z)K + Sn + d\{z)Sn+vK) справедлива формула (5.8). Представим оператор А в виде А = qi(z)I + b\(z)K + Sn + d\{z)Sn+vK = (5.17) = qi(z)I + b\(z)K + (/ + d\(z)SvK)Sn. Поскольку c?i(z) Ф 1, то, как известно, оператор V2 = I — d\SvK о о/ (-Ь ), l o oo,U p z обратим. Умножив обе части (5.17) справа на обратимый оператор У, с точностью до вполне непрерывного оператора, получим: AV2 = (I — d\SvK){qiI + Ъ\К) + (/ — d\SvK){I + d\SvK)Sn. Воспользовавшись формулой композиций операторов SVSV = I — Bv + Т, где Bv - обобщённый оператор Бергмана порядка v [48], а T вполне непрерывный оператор, получим AV2 = (qil + Ъ\К + Sn — q\d\SyK) — b\d\Sy — \d\\ (I — Bv)Sn. Оператор в первой скобке справа имеет вид оператора А с параметром v и, следовательно, по предположению индукции его индекс равен: к, = 2IndY(bi + (—l)n n+v q+v d) = = 2Indr(cn+1/ + (-1)п{п+1/)ап+1/Щ. Построив теперь семейство нётеровых операторов V\ = {q\I + Ъ\К + Sn — q\d\SyK) — \d\{b\Sy + d\{I — Bv))Sn, где 0 A 1, мы сопоставим оператору AV\ нётеревый оператор AQ = Ц\ї + Ь\К + Sn — q \d\SyK с индексом к из (5.8). Формула для индекса доказана. б). Пусть теперь выполнено условие (5.6) теоремы. Тогда по схеме пункта а) доказывается,что матрицы-символы lA(t) безусловно факторизуются с нулевыми частными индексами. В этом случае оператор А обратим.

Замечание 1. Если в операторе (5.1) п т 1, то достаточно от оператора А перейти к оператору АК :

АК = Ы + аК + dSm + cSnK. 6 Исследование одного класса систем интегральных уравнений, содержащих двумерные сингулярные операторы и операторы Бергмана

Пусть D - конечная односвязная область комплексной плоскости z, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г; D = D\JT, B(z,Q обозначает керн-функцию Бергмана области D (см.[32],[66]), представимую в виде UJ (Z)UJ {С) B(z, Q = 7г(1 — UJ(Z)UJ(())2 где uj(z) - однолистное комформное отображение области D на единичный круг, штрих обозначает производную, а черта над функцией - комплексное сопряжение; В и В - интегральные операторы соответственно с ядрами B(z, ), B(z, () : (Bf)(z) = B(z,Qf(Qds , (Bf)(z) = B(z,Qf(Qds ; D D Рассмотрим систему уравнений N (Af)(z) =a(z)f(z) + У bm(z)(Smf)(z)+ ra=l (6.1) +c(z)(Bf)(z)+d(z)(Bf)(z) + 5(z)(Bf)(z) = g(z), z є D, где Sm - двумерный сингулярный интегральный оператор с чётной экспоненциальной характеристикой порядка т из (2.2), N - натуральное число, a(z), bm(z), c(z), d(z), 5(z) - непрерывные в D квадратные матрицы - функции порядка nj (z) и g(z) - соответственно искомая и известная вектор функции размерности п, принадлежащие IP(D), 1 р оо; действие матрицы на вектор понимается в смысле скалярного умножения строк матрицы на этот вектор.

При некоторых дополнительных требованиях гладкости коэффициентов система (6.1) включается в класс систем двумерных сингулярных интегральных уравнений в (см. [11]; так же см. [52]-[55]), где она редуцируется к краевым задачам для эллиптических систем дифференциальных уравнений.

Система (6.1) может быть отнесена также к общим многомерным сингулярным интегральным уравнениям, для которых в [21] даны необходимые и достаточные условия нётеровости в IP D) 1 р оо, содержащие требование равенства нулю частных индексов матрицы - символа в точках Г.

В [35] изучен случай, когда 6(z) = 0, где получены необходимые и достаточные условия нётеровости в 1Р(В),р 1 и найдена формула для подсчёта индекса.

Нашей целью является получение для системы (6.1) эффективных необходимых и достаточных условий нётеровости и нахождение формулы для вычисления индекса. Под индексом здесь понимается разность между числом линейно-независимых решений (над полем вещественных чисел) однородной системы в IP D) и числом линейно-независимых решений однородной сопряжённой (транспонированной) системы в пространстве IP (D), - + -т = 1. р р Прежде всего, использовав тождества В = I — SS + Т, В = I — SS + т, где / - тождественный, а Т - вполне непрерывные операторы, S = Si, преобразуем (6.1) к виду, не содержащему операторы В и В : N \Aj)\z) = ( a\z) + c\z) + a\z) )j\z) + o{z)j{z) + bm{z){bmj){z) — m=l — c(z)(SSf)(z) — d(z)(SSf)(z) — 6(z)(SSf)(z) + T = g(z), (6.2) Введя новые функции uji(z) = (Sf)(z), ui2{z) = (Sf)(z) и перейдя в (6.2) к комплексно-сопряжённым значениям, напишем эквивалентную систему уравнений: N (а + с + d)f + У bmSmf + Sf — CSUJI — SSuJi — dSu)2 +T = g, m=l N Sf + (a + с + (і)/ + bmSmf — SSui — CSUJI — dSUJ2 + T = g, m=l — Sf + x l = 0, (6.3) — Sf + 6 Ji = 0, — Sf + 6o 2 = 0, — Sf + 6 2 = 0. Так же, как в ([39] стр. 274) устанавливается, что система (6.3) будет нё-теровой тогда и только тогда, когда нётеровой является операторная мат