Содержание к диссертации
Введение
I. Отображения одной переменной конечной Л-вариации ... 24
1. Вещественные функции конечной Л-вариации .... 24
2. Метрические полугруппы и конусы отображений . . 29
3. Произведение отображений конечной Л-вариации . . 41
4. Липшицевы операторы суперпозиции 44
II. Функции двух переменных конечной полной Л-вариации . 58
5. Определения и основные свойства 58
6. Банахова алгебра ABV(I^) функций двух переменных конечной полной Л-вариации 62
7. Липшицевы операторы суперпозиции в ABV(^) ... 73
8. Метрическая полугруппа ЛВУ(/^,М) 85
9. Липшицевы операторы суперпозиции. Достаточное условие 93
Литература 106
- Вещественные функции конечной Л-вариации
- Метрические полугруппы и конусы отображений
- Банахова алгебра ABV(I^) функций двух переменных конечной полной Л-вариации
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена решению актуальных задач, связянных с характеризацией однозначных, многозначных и абстрактных нелинейных операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной обобщенной вариации.
Исследованию операторов суперпозиции посвящена обширная литература1-3. Одной из центральных проблем является описание действия оператора суперпозиции между различными функциональными пространствами посредством генератора, порождающего этот оператор.
Действие оператора суперпозиции в большинстве классических функциональных пространств таких, как пространства измеримых, непрерывных функций и отображений, пространства Лебега, Гельдера, полностью описано1'2'4; тем не менее, он недостаточно хорошо изучен на пространствах функций конечной (обобщенной) вариации. В этом смысле более подробно исследованы липшицевы операторы суперпозиции: хотя условие Липшица является довольно жестким, в определенных классах функций и отображений оно позволяет получать содержательные результаты2, применимые, в частности, к вопросу решения функциональных уравнений с нелинейным оператором суперпозиции типа Немыцкого в правой части, что дает возможность описать более общие классы операторов суперпозиции и связанных с ними функциональных уравнений5'6. Однозначные липшицевы операторы суперпозиции рассматривались в
1М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий. Выпуклые функции и пространства Орлина. М.: Физматгиз, 1958.
2J.Appell, P. P. Zabrejko. Nonlinear superposition operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990.
3V. V. Chistyakov. Selections of bounded variation. J. Appl. Anal. 10, № 1 (2004), 1-82.
4M. А. Красносельский. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.
5J. Matkowski. Functional equations and Nemytskii operators. Funkcial. Ekvac. 25, № 2 (1982), 127-132.
6J. Matkowski. Lipschitzian composition operators in some function spaces. Nonlinear Anal. 30, № 2 (1997), 719-726.
работах5-9. В случае многозначных операторов суперпозиции имеется ряд результатов10-13 в основном для операторов, принимающих значения на отображениях с компактными выпуклыми образами. Абстрактные операторы суперпозиции исследованы в работах14-16. В настоящей работе дано полное описание абстрактных липшицевых операторов суперпозиции на пространствах отображений конечной обобщенной вариации по Уотерману одной и двух вещественных переменных в предположении, что эти операторы принимают значения в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах.
Цель работы. Целью диссертации является развитие теории отображений одной и двух вещественных переменных конечной обобщенной вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах, включающей, в частности, случай многозначных отображений, и исчерпывающее описание нелинейных липшицевых операторов суперпозиции типа Немыцкого, действующих на пространствах таких отображений.
7J. Matkowski, J. Mis. On a characterization of Lipschitzian operators of substitution in the space BV(a,b). Math. Nachr. 117 (1984), 155-159.
8V. V. Chistyakov. Lipschitzian superposition operators between spaces of functions of bounded generalized variation with weight. J. Appl. Anal. 6,№ 2 (2000), 173-186.
9V. V. Chistyakov. Mappings of generalized variation and composition operators, Dynamical systems. J. Math. Set. 110,№ 2 (2002), 2455-2466.
10A. Smajdor, W. Smajdor. Jensen equation and Nemytskii operator for set-valued functions. Rad. Mat. 5 (1989), 311-320.
11G. Zawadzka. On Lipschitzian operators of substitution in the space of set-valued functions of bounded variation. Rad. Mat. 6 (1990), 279-293.
12W. Smajdor. Note on Jensen and Pexider functional equations. Demonstratio Math. 32, № 2 (1999), 363-376.
13V. V. Chistyakov. Generalized variation of mappings with applications to composition operators and multifunctions. Positivity. 5, № 4 (2001), 323-358.
14B. В. Чистяков. Метрические полугруппы и конусы отображений конечной вариации нескольких переменных и многозначные операторы суперпозиции. Доклады АН. 393, № 6 (2003), 757-761.
15В. В. Чистяков. Абстрактные операторы суперпозиции на отображениях ограниченной вариации двух вещественных переменных. 1,11 . Сиб. матем. журн. 46, № 3 (2005), 698-717, 46, № 4 (2005), 942-957.
16V. V. Chistyakov. Lipschitzian Nemytskii operators in the cones of mappings of bounded Winer (^-variation. Folia Math. 11, № 1 (2004), 1-24.
Общие методы исследования. В работе используются различные методы теории функций вещественных переменных, теории метрических пространств и теории нелинейных операторов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором. Перечислим их.
Введены и изучены пространства Уотермана отображений конечной обобщенной Л-вариации одной переменной со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах. Пространства таких отображений обладают свойством типа банаховости алгебры.
Определено понятие метрической полугруппы отображений конечной обобщенной Л-вариации и изучены свойства таких полугрупп. На этих метрических полугруппах охарактеризованы нелинейные липшице-вы операторы суперпозиции типа Немыцкого.
Дано обобщение понятия двойной вариации по Уотерману-Дьячен-ко и введено понятие полной Л-вариации для отображений двух вещественных переменных со значениями в метрических полугруппах. Пространство таких отображений снабжено структурой метрической полугруппы. Показано, что пространство вещественнозначных функций двух переменных конечной полной вариации образует банахову алгебру.
Дано исчерпывающее описание операторов суперпозиции Немыцкого, действующих из банаховой алгебры вещественнозначных функций конечной обобщенной вариации в себя. Для метрических полугрупп отображений конечной обобщенной вариации со значениями в произвольной метрической полугруппе установлено достаточное условие липшицевости оператора суперпозиции типа Немыцкого, действующего из одной такой метрической полугруппы в другую.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в различных разделах функционального анализа, теории функций и теории операторов. Методы исследования и развитая в диссертации техника могут быть использованы в дальнейшем в теории нелинейных, в том чис-
ле многозначных, операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 6-ой Казанской международной летней школе-конференции "Теория функций, ее прилож. и смежн. вопросы"(Казань, 2003), на 13-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2006).
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [1]-[4], указанных в конце автореферата. Личным вкладом автора в опубликованную совместно с научным руководителем В. В. Чистяковым работу [1] являются формулировки и доказательства теорем. В. В. Чистякову принадлежат постановка задачи и общее руководство.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации составляет 109 страниц, набранные в макропакете ЕТ^Х в формате машинописного текста. Библиография включает 47 наименований.
Вещественные функции конечной Л-вариации
Всюду ниже используются стандартные обозначения для числовых множеств N, Z, К и R+ соответственно натуральных (без нуля), целых, вещественных и неотрицательных чисел.
Пусть последовательность действительных чисел, удовлетворяющая условию Уотермана:
Последовательность Л, удовлетворяющую (1.1), назовем последовательностью Уотермана. Функция / : / = [а, Ь] —» К называется функцией конечной А-вариации на I (в смысле Уотермана [41], [42]), что зьшисы-вается в виде / Є ABV, если следующее выражение
называемое А-вариацией f на отрезке I, конечно; здесь супремум берется по всем т Є N и всем неупорядоченным наборам неналегающих отрезков При условии, что Aj = 1 для всех г Є N и наборы отрезков таковы, что получаем определение вариации V (f) функции / на отрезке 7 по Жордану, хорошо известное в классическом анализе. Пространство всех функций конечной на 7 жордановой вариации обозначается через BV.
Пространство ABV совпадает с пространством BV функций обычной жордановой конечной вариации на 7 тогда и только тогда, когда Л является ограниченной последовательностью. Если же supieN Aj = оо, тогда BV является собственным подмножеством ABV.
Известно ([42, раздел 3]), что ABV является банаховам пространством относительно нормы
Более того, в [32, теорема 4] (см. также [44, формула (19)]) показано, что ABV является нормированной банаховой алгеброй.
Через Ш1 обозначим множество всех функций, действующих из 7 в R. Для заданной функции двух переменных оператором суперпозиции (оператором подстановки Немыцкого) называется оператор определенный для всех /:І- МихЄ/ правилом:
Функция h называется генератором, оператора Н.
Пусть В(1) С Ж1 — банахово функциональное пространство с нормой . Нас будет интересовать описание тех функций h, для которых соответствующий оператор суперпозиции Н действует из пространства В(І) в себя и является липшицевым, в том смысле, что существует число /І 0 такое, что ЦЯ/1-Я/2КИІ/1-/2ІІ Для всех Л,/2ЄВ(/). (1.5)
Матковский [33] доказал, что если В(7) = Lip(7) — пространство лип-шицевых функций на 7 с обычной липшицевой нормой, то условие (1.5) эквивалентно существованию двух функций ho,h\ Є Lip(7) таких, что h(x,u) — ho(x) + h\(x)u для всех х Є 7 и и Є R. Матковский и Мищ показали, что если В(7) = BV и выполняется условие (1.5), то существуют две функции ho,h\ Є BV, непрерывные слева на (а, Ь], такие, что
h (x,u) = ho(x) + hi(x)u, (х,и) Є (a, b] х R,
где h (x,u) — lim z-o/i(y, w) — левая регуляризация функции h по первой переменной для каждого фиксированного и Є R.
Эти результаты в дальнейшем были обобщены на различные пространства функций и отображений обобщенной конечной вариации одной вещественной переменной и двух вещественных неременных Известно ([42, раздел 3]), что ABV является банаховам пространством относительно нормы
Более того, в [32, теорема 4] (см. также [44, формула (19)]) показано, что ABV является нормированной банаховой алгеброй. Для функции / Є ABV в каждой точке х є I выполнено неравество:
В самом деле, по определению (
Любая функция / Є ABV имеет предел слева /(ж —0) = Нт -о f{y) в каждой точке х Є (a, b] и предел справа f(x + 0) = Ііт - +оДу) в каждой точке х Є [a, b), и множество точек разрыва / не более, чем счетно ( [42, теоремы 2,3]).
Для заданной функции / Є ABV определим ее левую регуляризацию / :/— R правилом:
Существование второго предела в (1.7) установлено в [44, лемма 3.1].
Обозначим через ABV множество всех тех / Є ABV, для которых f {x) = f(x) при х Є (а, 6].
В [44, теорема 2.1] для случая В(7) = ABV доказана приведенная ниже теорема 1.1, дающая необходимое и достаточное условия на генератор h оператора суперпозиции Н, при которых оператор действует из пространства ABV в себя и является липшицевым в смысле нормы этого пространства. Эта теорема утверждает, что оператор суперпозиции Н удовлетсворяет условию Липшица тогда и только тогда, когда левая регуляризация его генератора h линейно зависит от второго аргумента. При этом сам генератор h не обязан быть функцией, линейной по второму аргументу. Целью данной главы является обобщение результата теоремы 1.1 на случай отображений одной переменной со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах.
Метрические полугруппы и конусы отображений
Целью настоящего параграфа является описание лупшицевых операторов суперпозиции в пространствах Уотермана отображений конечной Л-вариации со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах. Основными результатами параграфа являются теоремы 4.1 и 4.7, дающие соответственно достаточное и необходимое условия относительно генератора h, при которых оператор суперпозиции Я, порожденный /г, удовлетворяет условию Липшица. Основная идея представления генератора оператора суперпозиции принадлежит Мат-ковскому [33], идея построения пробных функций, используемых в доказательстве теоремы 4.7 заимствована из работ Чистякова [17], [19], [22]. Пусть / = [о, 6] — фиксированный отрезок, (М, d) и (N, р) — метрические пространства. Обозначим через N1 множество всех отображений из / в N. Для заданного отображения двух переменных h : / х N —» М отображение Н : N1 М7, определенное для всех правилом называется (неавтономным) оператором суперпозиции (или оператором подстановки Немыцкого), а отображение h называется генератором (или порооїсдаюш/им отображением) оператора Я.
Следствием доказанной в параграфе 3 теоремы 3.1 является нижеследующая теорема 4.1, устанавливающая достаточное условие липшице-вости неавтономного оператора суперпозиции Теорема 4.1. Пусть (N, р, +) и (М, d, +) — две метрические полугруппы с нулями и пусть отображение h : / х N — М, определенное согласно правилу h(x,u) — ho(x) + h\(x)u, где / Є ABV(/, М) и h\ Є ABV(I,L(N,M)), является генератором оператора суперпозиции Я. Тогда Я удовлетворяет условию (4.5) и имеет место неравенство
Замечание 4.2. Если в рамках теоремы 4.1 положить N = М, где М — полная метрическая полугруппа с нулем то принцип сжимающих отображений Банаха гарантирует существование единственного отображения / Є ABV(/, М) такого, что для всех х Є I.
Для того, чтобы описать произвольный неавтономный Липшицев оператор суперпозиции, действующий из одного пространства ABV(/, М) в другое, нам потребуется понятие левой регуляризации отображения из ABV(I, М) и четыре вспомогательные леммы (леммы 4.3, 4.4, 4.5 и 4.6).
Если (М, d, +) — полная метрическая полугруппа, то для отображения / Є ABV(/, М) левой регуляризацией называется такое отображение
Существование этих пределов будет установлено ниже в леммах 4,4 и 4.5. Отображение / : I — М называется непрерывным слева на (а, Ь], если lim /(т/) = f(x) для всех ж Є (а, 6]. г/-»ж-о Обозначим через ABV (/, М) подпространство в ABV(/, М) тех отображений, которые непрерывны слева на (а, Ь].
Чтобы показать, что определение левой регуляризации введено корректно, т.е. что односторонние пределы отображения / на / существуют, определим следующее понятие. Для заданных п Є N и отображения f : I — М положим
где супремум берется но всем наборам отрезков {[аг,&г]}=1 С / таких, что а а\ Ь[ а Ьч ... ап Ьп Ь. Последовательность u(-,f,I) : N —» [0, со] называется модулем вариации отображения f на I (см. [7] для М = К, а также [24], [28, Section 11.3.7]).
Следующая лемма дает оценку модуля вариации отображения конечной Л-вариации на / (аналог [13], М = Ж,1 — [0,27г]).
Банахова алгебра ABV(I^) функций двух переменных конечной полной Л-вариации
В настоящей главе строится двумерный аналог теории оторажений конечной Л-вариации на отрезке, а именно, здесь основные результаты главы I обобщаются на случай отображений двух вещественных переменных, заданных на прямоугольнике в R2, конечной полной Л-вариации в смысле Уотермана-Дьяченко. Для облегчения восприятия материала и для выявления принципиальных отличий случая одной переменной от случая двух (многих) переменных, в ограничимся рассмотрением вещественнозначных функций на прямоугольнике. Основные результаты этой части данной главы отражены в теоремах 6.3, 7.4 и 7.1. Теорема 6.3 утверждает, что пространство функций конечной полной Л-вариации ЛВУ(/д) является нормированной банаховой алгеброй. Теоремы 7.4 и 7.1 описывают генератор неавтономного липшицева оператора суперпозиции, действующего из ЛВУ(/д) в себя. В 8-9 рассмотрен общий случай отображений двух переменных со значениями в метрической полугруппе. Центральные результаты представлены теоремами 9.1 и 9.3.
Определения и основные свойства условие Дьяченко [26]:
Для произвольного s Є [(12,62] определим функцию f(-,s) : [аі,Ьі] — Е по правилу: f(-,s)(t) = Для такой функции при s = a i (обычная) А-вариация на отрезке [ai,&i] определяется правилом: где супремум берется по всем т Є М, всем наборам отрезков таким, что и всем перестановкам a : Аналогичным образом определяется Л-вариация функции b2.
Отметим, что в главе I понятие Л-вариации отображения / на отрезке / определялась иначе, а именно, отрезки [а.;, ЬІ], і — 1,... , то, считались неупорядоченными, но элементы последовательности Л брались в порядке возрастания. Для случая функций двух переменных оказалось удобным считать отрезки упорядоченными, а числа Л — нет. В действительности эти два определения Л-вариации равносильны, поскольку при взятии супремума величины 1/(/) - f(oii)\/Xa(i), где отрезки [ai, А], і — 1,..., то, упорядочены, принимают все тс же значения, что и в случае неупорядоченных отрезков, за счет перестановки а. Необходимость смены определения возникла из техники доказательства теоремы 6.3.
Для функции двух переменных / Є R/a двойной А-вариацией (в смысле Уотермана-Дъяченко) (см. [26], [27]) на 1ьа называется выражение (5.3) где верхняя грань берется по всем парам (т,п) Є N2, всем наборам отрезков г = 1,... ,m, таким, что и всем наборам отрезков В дальнейшем для краткости этот набор условий будем называть вторым стандартним. Всюду ниже, если не оговорено противное, отрезки [а,;, /ЗІ] С азываемые стандартными, будем считать упорядоченными и неналегающими, не упоминая этого факта, а под Л понимать некоторую фиксированную последовательность Уотермана, удовлетворяющую условию (5.1).
Такие двойные вариации впервые были введены Витали (см. [11] для случая Х{ — 1 для всех і N), а двойные Л-варнации исследовались Уотерманом и Дьяченко в теории сходимости кратных рядов Фурье.
В работе [26] показано, что, в частности, каждая функция / Є ABV(i ) имеет предел справа-справа f(x\ + 0, Ж2 + 0) в каждой точке прямоугольника [ах, Ь\) х [аг, Ьг) (в том смысле, что \f{x\ + 0,х2 + 0) - ,/ (уьуг) — О при уі — жі + 0 и /2 - 2 + 0), предел слева-слева ,/ (жі — 0,х2 - 0) в каждой точке прямоугольника («і, Ьі] х (02,62], предел слева-справа j[x\ -0, 2 + 0) в каждой точке прямоугольника (ai, 61] х [02,62), и предел справа-слева f{x\ + 0,2 — 0) в каждой точке прямоугольника [oi,6i) х (02,62], и множество точек разрыва функции / не более, чем счетно.
Следует отметить, что эквивалентным образом пространство ABV(I ) ранее определялось в [26] как множество функций / Є М7", для которых конечны по отдельности все слагаемые в (5.4). Операции сложения + и умножения на число в ABV(J ) вводятся поточечно.
Основным свойством двойной Л-вариации 14л(, - является (секвенциальная) полунепрерывность снизу по первому аргументу: если иосле
