Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых периодических функций в L2, задаваемых модулями непрерывности 19
1.1. Вспомогательные факты 19
1.1.1. Определения и обозначения 19
1.2. Обобщение одной теоремы Л.В.Тайкова 22
1.3. Наилучшее полиномиальное приближение функций из L2 посредством модулей непрерывности высших порядков 35
1.4. Верхние грани наилучших полиномиальных приближений
некоторых экстремальных характеристик в пространстве L2 42
Глава II. Точные значения поперечников некоторых классов функций, принадлежащих пространству L2 50
2.1. Определение поперечников 50
2.2. Точные значения n-поперечников классов функций W r\h) и И (Ф,/і) 53
2.3. Точные значения n-поперечников классов функций Тт \h) и Список литературы
- Определения и обозначения
- Наилучшее полиномиальное приближение функций из L2 посредством модулей непрерывности высших порядков
- Определение поперечников
- Точные значения n-поперечников классов функций W r\h) и И (Ф,/і)
Введение к работе
Актуальность темы. Теория приближения функций - одна из центральных ветвей математического анализа. Возникшая в результате развития математической науки и потребностей практики, эта теория продолжает интенсивно развиваться на протяжении многих десятилетий. В ней отражена одна из фундаментальных идей математики - приближение сложных объектов более простыми и более удобными. Эта идея является определяющей в вопросах связи математики с практикой, что стимулировало развитие теории приближения функций в прошлом и обеспечит интерес к ней в будущем.
Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам приближения периодических суммируемых с квадратом функций тригонометрическими полиномами в метрике пространства L2 := L2[0,27r] и вычислению точных значений различных n-поперечников классов функций из L2) задаваемых усредненными с весом модулями непрерывности г-й производной функции.
Цели и задачи исследования
Получить точные неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие наилучшие приближения дифференцируемых 2тг-периодических функций тригонометрическими полиномами и усредненными с весом обобщенными модулями непрерывности ш-го порядка в метрике пространства L2 [0, 2тг].
Вычислить точные значения различных n-поперечников классов функций, определяемых обобщенными модулями непрерывности высших порядков.
Методы исследования. В диссертационной работе применяются современные методы теории функций и функционального анализа оптимизационного содержания и методы решения экстремальных задач теории приближения функций.
Научная новизна исследований. Основные результаты диссертационной работы являются новыми и заключаются в следующем:
найдены точные неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие наилучшие приближения дифференцируемых 2тг-периодических функций тригонометрическими полиномами и усредненными с весом обобщенными модулями непрерывности т-го порядка в метрике пространства L2 [0, 2тг];
вычислены точные значения различных n-поперечников классов функций, определяемых обобщенными модулями непрерывности высших порядков.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений при исследовании экстремальных задач для отыскания точных констант в других функциональных пространствах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела теории функций Института математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан (Душанбе, 2010-2015 гг.), на семинарах кафедры математического анализа Хорогского государственного университета им. М.Назаршоева (Душанбе, 2010-2015 гг.), на международной конференции «Современные проблемы математического анализа и теории функций» (Душанбе, 29-30 июня 2012 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее преподавания» (Худжанд, 28-29 июня 2014 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Душанбе, 27-28 апреля 2015 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Из них 5 статьей опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК России, а 3 стати в трудах международных конференций. В совместных работах [3, 4] научному руководителю М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 40 наименований, занимает 73 страницы машинописного текста и набрана на LaTeX. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первая цифра совпадает с номером главы, вторая указывает на номер параграфа, а третья на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
Определения и обозначения
Для получения оценки снизу величины, стоящей в левой части равенства (1.2.10), рассмотрим экстремальную функцию f0(x) = cosnx L2, введенную нами при доказательстве теоремы 1.2.1. Поскольку для этой функции ft a\x) = n—cos nx + ts j)A , El ift ) = n2(r"e), (1.2.16) Доказательство следствия 1.2.1 теперь получаем из сопоставления неравенств (1.2.15) и (1.2.17). В работе [30] Н.И.Черных отметил, что для характеристики величины En_i(f) более естественным является не джексоновский функционал Um{f{r)]Tr/n), т Є N, г Є Z+, а усредненный с весом (p(t) 0, 0 t h функционал {t)dt поскольку при любом h Є (0,тг/п], Фт(/(г);/і) ujm(f ;h). При исследовании некоторых экстремальных задач теории приближения функций в L2 весовая функция ip(t) появляется из содержательного смысла самой постановки задач. Так например, при доказательстве приведенной ниже теоремы 1.2.2 в случае т = 1 весовая функция (p(t) := ph(t) = {h - t) появляется естественным образом в ходе доказательство.
Здесь мы установим точное неравенство между величиной наилучшего приближения n-i(/(r s)) последовательных производных /(r-s) (s = 0,1,2,...,г) тригонометрическими полиномами функций / Є L и усредненной с весом (p(t) := ph(t) = 2h 2(h - t), 0 t h модулем непрерывности первого порядка u2(f(r\t) производной /(г) Є L i- Полученный результат интересно сопоставить с результатом Фокарта, Крякина и Шадрина [28], полученным в пространстве С := С[0,2тг], где, как и в нашем случае, весовая функция p(t) = 2h 2(h) появляется неизбежно из содержательного смысла постановки задачи естественным образом.
Сопоставив оценки сверху (1.2.26) и снизу (1.2.27), получим требуемое равенство (1.2.18) при s = г. При всех остальных значениях s = 0,1, 2,... , г — 1 доказательство теоремы 1.2.2 завершается точно так же, как мы доказали следствие 1.2.1. В самом деле, полагая в неравенстве (1.2.25) г = 0, запишем
В экстремальных задачах теории аппроксимации весьма важными являются неравенства, которые в различных нормированных пространствах оценивают величины наилучшего приближения через значения модулей непрерывности в некоторой точке t Є (0,71/п]. Такие неравенства принято называть неравенствами Джексона-Стечкина.
Здесь мы докажем некоторые точные неравенства типа Джексона-Стечкина между величинами наилучшего полиномиального приближения и усредненными значениями модулей непрерывности высших порядков, принадлежащих гильбертовому пространству L2.
Неравенствами типа Джексона-Стечкина в широком смысле называют соотношения, в которых погрешность приближения индивидуальной функции в рассматриваемом банаховом пространстве оценивается через модуль непрерывности заданного порядка самой приближаемой функции или некоторой её производной. При этом естественным образом возникает экстремальная задача получения точных неравенств, неулучшаемых на рассматриваемых классах функций. При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве L2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина многими математиками в разное время предложены различные методы исследования, способствовавшие уточнению оценок сверху констант \- Эту задачу в разное время исследовали Н.И.Черных [30, 31], В.И.Бердышев [2], Л.В.Тайков [25, 26], А.А.Лигун [14, 15], А.Г.Бабенко [1], В.И.Иванов и О.И.Смирнов [10], С.Б.Вакарчук [3,5], М.Ш.Шабозов [32], М.Ш.Шабозов и Г.А.Юсупов [35] и многие другие.
Очевидно, что из последнего равенства, в частности, при р = 2/т, т Є N следует вышеуказанный результат С.Б.Вакарчука. В этом параграфе мы продолжим исследование в указанном направлении и докажем своеобразный аналог результата (1.3.1) для усредненных модулей непрерывности т-го порядка. Имеет место следующее утверждение. Теорема 1.3.1. Для любых т,п Є N, г Є Z+ и любого h Є К+, удовлет воряющего неравенству 0 nh 7Г, справедливы равенства
В этом параграфе рассматриваются некоторые аппроксимационные величины, характеризующие аппроксимативные свойства класса 9JT периодических дифференцируемых функций в метрике L2, связанные с наилучшим приближением тригонометрическими полиномами Тп_\ Є І2п-і, наилучшее линейное приближение этими полиномами, а также с верхними гранями норм функций из 9JT, ортогональных подпространством І2П-і Для различных классов функций из L2 доказаны некоторые факты, связанные со случаями совпадения этих характеристик.
Наилучшее полиномиальное приближение функций из L2 посредством модулей непрерывности высших порядков
Основной целью исследования настоящей главы являются вычисления точных значений различных поперечников для классов дифференцируемых функций, возникающих естественным образом из результатов, полученных во втором и третьем параграфах первой главы.
Прежде чем сформулировать результаты о поперечниках, напомним необходимые понятия и определения, используемые в дальнейшем. Пусть УХ - некоторый класс функций из Ь2 и пусть S?n С Ь2 - некоторое подпространство из L2 размерности п. Величину Еп{УХ) = sup{„(/) : / Є } = = sup{inf{/-0: дє п}: /Є УХ} (2.1.1) называют наилучшим приближением класса УХ подпространством п С Ь2) и она характеризует отклонение класса УХ от подпространства Jn в метрике пространства Ь2. Если обозначить через (L2, n) множество всех линейных непрерывных операторов А : L2 — Jz n, действующих из L2 в произвольное заданное подпространство п Є L2 размерности п, то возникает задача: найти величину (fn(W) = inf{sup{/-A/: /Є 91}: АєС(Ь2, п)} (2.1.2) и указать оператор А Є (L2, J n), реализующий точную нижнюю грань: (fn(9t) = sup{/-A7 : /єЖ}. Если в C(L2,Jn) выделить класс операторов А линейного проектирования на подпространство Jz n, то есть таких, что Af = f при условии / Є Jz n, то принято рассматривать величину (yX) = mf{sup{\\f-Af\\ : / є УХ} : А є CL(L2,&n)}. (2.1.3) Напомним определения n-поперечников, значения которых будут вычислены в этой главе для некоторых конкретных классов УХ функций. Пусть S единичный шар в L2. Величина Ъп(УХ; L2) = sup{sup{e 0; es П п+1 Є УХ} : n+l С L2} (2.1.4) называется n-поперечником класса УХ в пространстве L2 по Бернштейну. n-поперечником в смысле Колмогорова [11] класса функций УХ называется величина (іп{УХ- L2) = Ы{Еп(УХ) : п С L2} = = inf{sup{inf{/ - д\\ : д Є п} : f Є УХ} : п С L2}, (2.1.5) где нижняя грань рассматривается сначала по всем элементам д, принадлежащим n-мерному подпространству п С Ь2) а затем по всем подпространством Jn заданной размерности п. Если исходить из наилучшего линейного приближения п(УХ), то величину 5п(УХ; L2) = тї{п(УХ) : п С L2} = inf{inf{sup{/-А/ : / Є УХ} : А Є C(L2,&n)} : J?„ С L2}. (2.1.6) называют линейным n-поперечником. Рассматривают также проекционный n-поперечник, который определяется равенством Пп(УХ; L2) = Ы{ (УХ) : п С L2} = = inf{inf{sup{/-A/ : f ЄЩ: А Є CL(L2,&n)} : n С L2}. (2.1.7) Величина dn(9t;L2) = inf{sup{/ : / Є УІП п} : n С L2}, (2.1.8) где inf берется по всем подпространством п коразмерности п, называется n-поперечником по Гельфанду.
Весьма важным является нахождение соответствующих подпространств, реализующих внешнюю верхнюю грань в поперечнике Бернштейна Ъп{-) и внешние нижние грани во всех остальных поперечниках. Такие подпространства называются оптимальными подпространствами.
Отметим свойства монотонности поперечников, которые сразу вытекают из их определений: Пусть Ап(-) - любой из вышеуказанных поперечников. Тогда имеют место следующие неравенства: а) \п(У1) An+ipt) - монотонность по п; б) АП(ШТ) АП(91), если Ж С 91. Так как пространство L2 является гильбертовым, то между перечисленными выше n-поперечниками имеют место соотношения Ьп{% L2) dn{% L2) dn{% L2) = дп{У1; L2) = Un{% L2). (2.1.9) Первое неравенство Ъп(У1; L2) еЦ91; L2) справедливо для любого банахова пространства и его можно найти в монографии А.Пинкуса [22, с.19], а все остальные в книге В.М.Тихомирова [27, с.239].
В этой главе, исходя из результатов, полученных в параграфах 1.2 -1.4 для классов функций W (h), W ,h), ТІп\їі), г)(Ф,/і) , определение которых приведено в четвертом параграфе первой главы, вычислим точные значения всех вышеперечисленных п-поперечников (2.1.4) - (2.1.8), при некоторых естественных ограничениях, налагаемых на мажорантах ФиФ. 2.2. Точные значения n-поперечников классов функций Ж( )(Л)„ц/М(фі) Этот параграф посвящается нахождению точных значений п-попереч-ников классов функций W (h) и \ (Ф}к). Для этих классов функций имеют место следующие утверждения. Теорема 2.2.1. Пусть п Є N, г Є Z+ и число h Є R+ удовлетворяет неравенству nh 7Г. Тогда имеют место равенства Л2„-і ( W (h)ib2 ) = Х2п (w (h),L2 ) / \2 1/2 nr (2.2.1) В частности, если nh = 7Г, то Л2„і Г 2 -ч 1/2 (wV(n/n),L2 ) = Х2п (wV(n/n),L2 ) = J_ 1 nr где ЛА(-) - любой из к-поперечников & (), dk{-), 4(0, W0, ПА(-). Все поперечники реализуются частными суммами Sn-i(f; х) порядка п — \ ряда Фурье функции f Є 4r).
Определение поперечников
Из неравенств (2.2.8) и (2.2.9) следует включение а2п+1 С И (Ф, /г). Поэтому согласно определению бернштейновского n-поперечника получаем оценку снизу kn-l (w r)(4 ,h),L2 ) 62„ (и (Ф,Л),2 ) &2„( 72,»+і;І2) Ч оГ - (2.2.10) Сопоставляя оценку сверху (2.2.5) и оценку снизу (2.2.10) получаем требуемые равенства (2.2.3). Теперь докажем, что множества мажорант, удовлетворяющих условию (2.2.2), действительно не пусто. В самом деле, покажем, что функция Ф (/і) = ha} где а = (1,36 ск 1,38) (2.2.11) удовлетворяет условию (2.2.2) теоремы. Конкретизируя с этой целью функцию Ф в (2.2.2), получаем следующее неравенство
Из (2.2.16) следует, что в достаточно малой окрестности нуля справа, функция ф является неотрицательной. Покажем, что на всем отрезке [0,1] функция ф является такой. Для этого применим метод рассуждений от противного, полагая, что на интервале (0,1) существует точка , в которой функция ф меняет свой знак. Поскольку, как следует из (2.2.15) (0) = (1) = 0, то на основании теоремы Ролля производная первого порядка должна иметь на интервале (0,1) не менее двух различных нулей. Из формул (2.2.17) и (2.2.11) следует, что (0) = ф (1) = 0, то есть производная Ы на отрезке [0,1] имеет четыре различных нуля. Но тогда производная второго порядка на отрезке (0,1) должна иметь не менее трех различных нулей. Из формулы (2.2.18) следует, что производная ф"(р) на интервале (0,1) является разностью двух функций, первая из которых принимает лишь положительные значения и является выпуклой вверх, а вторая является выпуклой вниз и отрицательной на интервале (0,1/2) и положительной и выпуклой вверх на интервале (1/2,1). Из геометрических соображений очевидно, что производная ір"([і) на интервале (0,1) может иметь не более двух различных нулей. Полученное противоречие доказывает справедливость первого неравенства в соотношении (2.2.13).
Исходя из второго неравенства в (2.2.14), рассмотрим, учитывая (2.2.11), на множестве 1 /І оо вспомогательную функцию а+ 2 а + то из равенства ф(1) = 0 следует, что функция ф{ц) является положительной строго возрастающей на множестве точек 1 /І оо. Следовательно, и второе неравенство в условии (2.2.13) имеет место. Теорема 2.2.2 полностью доказана.
Отметим, что значение а в равенстве (2.2.11) есть результат приравнивания производной от левых и правых частей неравенства (2.2.14). 2.3. Точные значения n-поперечников классов функций
В этом параграфе вычислим точные значения всех вышеперечисленных п-поперечников (2.1.4) - (2.1.8) для класса функций при всех m Є N, r Є Z+, h Є (0,7г) и некоторых естественных ограничениях на мажорантные функции Ф. Теорема 2.3.1. Пусть т,п Є N, г Є Z+ и для числа h Є Ш+ выполнено условие 0 nh 7r. Тогда справедливы равенства А,,,. (7 (Ц, L2 ) = A,, (т W, ,) = { 2(nft _"s,(nft)) } -, (2.3.1) где Ajfe(-) - любой из вышеперечисленных к-поперечников & (), dk(-)} 4(0, Sk{-), Щ(-). Все поперечники реализуются частными суммами Sn-i(f;x) порядка п - 1 ряда Фурье функций f Є L2r).
Равенства (2.3.1) следуют из сопоставления между собой неравенств (2.3.2) и (2.3.3), чем и завершаем доказательство теоремы 2.3.1. Теорема 2.3.2. Пусть мажоранта Ф при любом т Є N удовлетворяет ограничениям Ф2М(7Г/П) - 7Г - ОД пЛ-ТГ-ЭД, еслиЛ тг/n. Тогда для любых п Є N и г Є Z+ имеют место равенства A2„-l (Jlr)( ),b2 ) = Л2п ( Г)(Ф,Ч 2 ) = ф2/т(л) J ]n/i- (n/i), если 0 /I тг/п, 4 (2.3.4) ( N m/2 —г I I 2(ТГ - Si(ir)) 2(.-W G- (2.3.5) где Ajfe(-) - любой из к-поперечников (2.1.4) (2.1.8). Множество мажорантных функций Ф(Ь), удовлетворяющих условию (2.3.4), не пусто. Все поперечники в (2.3.5) реализуются частными суммами Sn-i(f;x) ряда Фурье функции f Є 4r).
Доказательство. Полагая в неравенстве (1.3.10) h = тг/n, для произвольной функции f(x) Є 7Іг)(Ф,/і) получим Я„_і(/) — Ф ( откуда сразу с учетом соотношения (2.1.9) и равенств (1.4.12) запишем оценку сверху для всех п-поперечников Л2п ( (Ф,Ч,Ь2 ) Л2п_! ( (Ф,Ч,Ь2 ) Й2„_1( (Ф,Ч 2) Еп_і( \Ч ,Іі))Ь2 п_1( г)(Ф,/г))ь2 Ґ Л гп/2 «-—г I I - 2(тг-5г(7г)) 2(,-w Ю- (2.3.6) Для получения оценки снизу перечисленных выше п-поперечников рассмотрим в І2п+і П L2 шар полиномов S2n+i = І Тп(х) Є %n+i : ГП п г I _П3 А Ф Q и покажем его принадлежность классу Тт (Ф, /г). Пусть сначала 0 h тг/п. Используя определение класса (Ф,/г), неравенство (2.2.6), первое неравенство из ограничения (2.3.4), с учетом (2.2.7) для любого полинома Тп(х) Є S2n+l получим
Точные значения n-поперечников классов функций W r\h) и И (Ф,/і)
Теория приближения функций в настоящее время представляет собой весьма обширную ветвь математического анализа, занимающуюся вопросами приближенного представления более сложных объектов с помощью простейших аналитических аппаратов. В настоящее время теория аппроксимации имеет дело главным образом с приближением отдельных функций и классов функций при помощи заданных подпространств, каждое из которых состоит из функций, являющихся в каком-то смысле более простыми, чем аппроксимируемые функции. Чаще всего роль таких подпространств играют множества алгебраических многочленов и (в периодическом случае) тригонометрических полиномов заданного порядка п. На сегодняшний день ведущее место в теории приближения занимают экстремальные задачи: требуется найти точную верхнюю грань погрешности приближения заданным методом на фиксированном классе функций или указать для этого класса наилучший метод приближения. Именно такие задачи решаются в диссертационной работе.
Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам приближения периодических суммируемых с квадратом функций тригонометрическими полиномами в метрике пространства L2 := L2[0,27r] и вычислению точных значений различных n-поперечников классов функций из L2) задаваемых модулями непрерывности г-й производной /М.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Во введении приводится краткий обзор результатов, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы, и излагаются основные результаты, полученные автором. Необходимые факты, основные обозначения и определения из общей теории аппроксимации в пространстве L2 излагаются в первом параграфе первой главы. Переходим к изложению основных результатов диссертационной работы. Обозначим через N - множество натуральных чисел; Z+ = N {0}; Ш+ - множество положительных чисел; L2 := L2[0,27r] - пространство суммируемых с квадратом по Лебегу 27г-периодических действительных функций с конечной нормой где, ради простоты, положено p%{f) = аЦ/) + &&(/)? к п, а (/), &&(/) косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции / Є L2. Через 4г) (г Є Z+, 40) = L2) обозначим множество функций / Є L2, у которых производные (г — 1)-го порядка /(г-1) абсолютно непрерывны, а производные г-го порядка /(г) Є L2. Модуль непрерывности ш-го порядка произвольной 27г-периодической измеримой и суммируемой с квадратом функции / Є L2 определим равенством - разность m-го порядка функции / в точке х с шагом h. Воспользуясь схемой рассуждений, приведенной в монографии [9, с.157-165], легко доказать, что для модуля непрерывности т-го порядка (0.0.2) выполняются все свойства модулей непрерывности высших порядков.
Заметим, что для произвольной функции / Є L2r) имеет место равенство Во втором параграфе первой главы изложены некоторые точные неравенства, содержащие величины En_\(f) - наилучшее полиномиальное приближение функции / Є L2 и усредненные значения модулей непрерывности первого порядка. Л.В.Тайков [25] доказал, что для произвольной функции / Є L2r), / ф const и 0 nh тг/2 справедливы равенства где Si(t) := u-lsmudu интегральный синус. о Отметим, что для произвольной функции / Є L ее промежуточные производные j(r_s)5 s = 1, 2,..., г принадлежат пространству L и мы можем рассматривать задачу о наилучшем совместном приближении функции / и ее промежуточных производных j(r_s) тригонометрическими полиномами в метрике пространства L i : n-i(/(r"s)) = mf /(r-s)-iw-) ,
Представляет интерес изучение поведения величин (0.0.6) на классе функций L . Из доказанной теоремы 1.2.1 вытекает решение сформулированной задачи в виде следующего Следствие 1.2.1. Для любого г Є Z+,n Є N, s = 0,1, 2,... ,r и /і Є (0,тг/п] справедливы равенства В работе [30] Н.И.Черных отметил, что для характеристики величины En-i(f) более естественным является не джексоновский функционал Um{fr)]ir/n), т Є N, г Є Z+, а усредненный с весом (p(t) Фт(/( )= і f u2m(fV;tMt)dt / ff(t)dt поскольку при любом /і Є (0,тг/п], M/(r);/i) um(f{r);h). При исследовании некоторых экстремальных задач теории приближения функций в L2 весовая функция if(t) появляется из содержательного смысла самой постановки задач. Так например, при доказательстве нижеприведенной теоремы 1.2.2 в случае т = 1 весовая функция (p(t) := ph(t) = r (h — t) появляется естественным образом в ходе доказательство, где установлено точное неравенство между величиной наилучшего приближения последовательных производных f(r s) (s = 0,1,2,...,г) тригонометрическими полиномами функций / Є Ц и усредненного с весом if it) := fhit) = 2h 2(h—t), 0 t h модуля непрерывности первого порядка w2{f(r\t) производной /М Є L2. Этот результат интересно сопоставить с результатом Фокарта, Крякина и Шадрина [28], полученным в пространстве С := С[0,2тг], где, как и в нашем случае, весовая функция f(t) = 2h 2(h ) появляется неизбежно из содержательного смысла постановки задачи естественным образом.
В третьем параграфе получены точные неравенства, содержащие наилучшие полиномиальные приближения и усредненные значения модулей непрерывности произвольного порядка г-й производной функции из L2. При этом весьма важным являются неравенства, которые оценивают величины наилучшего приближения через значения модулей непрерывности в некоторой точке t Є (0,71/п]. Такие неравенства принято называть неравенствами Джексона-Стечкина.
Неравенствами типа Джексона-Стечкина в широком смысле называют соотношения, в которых погрешность приближения индивидуальной функции в рассматриваемом банаховом пространстве оценивается через модуль непрерывности заданного порядка самой приближаемой функции или некоторой её производной. При этом естественным образом возникает экстремальная задача получения точных неравенств, неулучшаемых на рассматриваемых классах функций. При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве L2) связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина многими математиками в разное время предложены различные методы исследования, способствовавшие уточнению оценок сверху констант \- Эту задачу в разное время исследовали Н.И.Черных [30, 31], В.И.Бердышев [2],