Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов и сингулярные возмущения эллиптических операторов Беляев Алексей Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов в нестрихартцевском случае 25

1.1 Пространства бесселевых потенциалов и мультипликаторы в этих пространствах: основные определения и классические факты 25

1.2 Условия принадлежности одного класса регулярных функционалов равномерно локализованному пространству бесселевых потенциалов 32

1.3 Точность вложения некоторого равномерно локализованного пространства бесселевых потенциалов в пространство мультипликаторов 37

Глава II. Описание мультипликаторов для пространств бесселевых по тенциалов в шкале равномерно локализованных пространств бессе левых потенциалов 44

2.1 Мультипликаторы в абстрактном случае и в пространствах бесселевых потенциалов 44

2.2 Эквивалентные нормы на пространстве мультипликаторов и критерий вложения в это пространство равномерно локализованного пространства бесселевых потенциалов 50

2.3 Описание пространств мультипликаторов в терминах шкалы равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов 62

Глава III. Сингулярные возмущения степеней оператора Лапласа на то ре 81

3.1 Возмущения самосопряжённого полуограниченного оператора Т и его степеней в шкале пространств, порождённой оператором Т 81

3.2 Периодические пространства бесселевых потенциалов и степени оператора Лапласа на п—мерном торе 103

3.3 Мультипликативные оценки и теоремы вложения для пространств мультипликаторов на п—мерном торе 121

3.4 Основные теоремы 127

Заключение 144

Список литературы

• Условия принадлежности одного класса регулярных функционалов равномерно локализованному пространству бесселевых потенциалов
• Точность вложения некоторого равномерно локализованного пространства бесселевых потенциалов в пространство мультипликаторов
• Эквивалентные нормы на пространстве мультипликаторов и критерий вложения в это пространство равномерно локализованного пространства бесселевых потенциалов
• Периодические пространства бесселевых потенциалов и степени оператора Лапласа на п—мерном торе

Введение к работе

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению пространств мультипликаторов в пространствах бесселевых потенциалов и применению теории мультипликаторов для исследования сингулярных возмущений эллиптических дифференциальных операторов. В теории возмущений дифференциальных операторов, наряду с классической ситуацией возмущения регулярным потенциалом, большой интерес представляет случай, когда потенциал не является даже локально интегрируемым. Впервые вопросы, связанные с математически строгим рассмотрением возмущений оператора Лапласа сингулярными потенциалами типа дельта-функции Дирака, были исследованы в цикле статей Ф.А. Березина, Л. Д. Фаддеева и Р. А. Минлоса, из которых особо стоит отметить работы¹'². Отметим, что случаи потенциалов типа дельта-функции и её обобщённой производной, являющиеся модельными в теории сингулярных возмущений дифференциальных операторов, имеют многочисленные приложения в математической физике и до сих пор привлекают внимание исследователей³'⁴. Детальному расмотрению возмущений оператора Лапласа сингулярными потенциалами с дискретным носителем и приложениям полученных в данной области результатов к квантовой физике и электродинамике посвящена монография⁵. Наряду с изучением возмущений оператора Лапласа сингулярными потенциалами с дискретными носителями, активно развивалась и абстрактная теория сингулярных возмущений для операторов общего вида. Изложение этой теории для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве в случае, когда потенциал возмущения является конечномерным оператором, и подробную библиографию по данной теме можно найти в обзорной монографии⁶.

Рассмотрение сингулярных возмущений конкретных дифференциальных операторов естественным образом приводит к задаче исследования мультипликаторов в функциональных пространствах Соболевского типа. Уже в простейшем случае классического оператора Лапласа с областью определения W^(Ш^п) изучение его возмущений сингулярными потенциалами оказывается тесно связанным с исследованием мультипликаторов из пространства Соболева с положительным индексом гладкости в пространство Соболева с отрицательным индексом гладкости. Действительно, классический оператор Лапласа допускает продолжение до оператора, действующего из пространства VFj" (И^п) в пространство W^~ (К^п), и поэтому даже сама проблема корректной определённости оператора —А + Мц, где под A: W^CMJ¹') —У W2 (К^п) мы

Ф.А. Березин, Л. Д. Фаддеев, "Замечание об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом", Докл. АН СССР, 137 : 5 (1961), 1011 - 1014

о

Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеев, "О точечном взаимодействии для системы из трёх частиц в квантовой механике", Докл. АН СССР, 141 : 6 (1961), 1335 - 1338

о

М. Gadella, М. L. Glasser, L. М. Nieto, "One dimensional models with a singular potential of the type — aS(x) + f3S'(ж)", Int. J. Theor. Phys., 50 : 7 (2011), 2144 - 2152

S. Albeverio, S. Fassari, F. Rinaldi, "A remarkable spectral feature of the Schroedinger Hamiltonian of the harmonic oscillator perturbed by an attractive S -interaction centred at the origin: double degeneracy and level crossing", J. Phys. A: Math. Theor., 46 : 38 (2013), 16 pp.

S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh-Krohn, H. Holden (with an appendix by P. Exner), Solvable models in

quantum mechanics, Second Edition, Providence, RI : AMS Chelsea Publishing, 2005, 488 pp.

6 S. Albeverio, P. Kurasov, Singular perturbations of differential operators. Solvable Schroedinger type operators,

Cambridge : Cambridge University Press, 2000, 429 pp.

понимаем продолжение оператора Лапласа на W\ (^^п), а под Мц — оператор умножения на распределение /і, сводится к изучению вопроса о том, когда /і является мультипликатором из И^¹^) в W^~ (Rⁿ). Более того, рассмотрение пространства мультипликаторов М[И^/Г₂¹(К^П) —> W₂ (К^п)] оказывается полезным и для исследования спектральных свойств возмущённого оператора —А + Мц, таких, например, как классическая проблема аппроксимации в смысле резольвентной сходимости этого оператора возмущениями оператора Лапласа с гладким потенциалом, изучавшаяся ранее многими авторами (см., например, работы⁷'⁸).

По-видимому, первой работой, где методы теории мультипликаторов были применены к изучению сингулярных возмущений дифференциальных операторов эллиптического типа в случае потенциалов с недискретным носителем, была статья⁹. Методы исследования, предложенные в этой работе, были существенным образом развиты в цикле статей М. И. Нейман-Заде, А. А. Шкаликова, Дж. - Г. Бака, А. М. Савчука¹⁰'¹¹'¹². Другой подход к рассмотрению сингулярных возмущений операторов типа Лапласа, также основанный на применении теории мультипликаторов, восходит к статье В. Г. Мазьи и И. Э. Вербицкого¹³. Этот подход, опирающийся на получение достаточных условий принадлежности потенциала пространству мультипликаторов в терминах ёмкостей, получил развитие в работах¹⁴'¹⁵.

Заметим, что применение теории мультипликаторов для изучения сингулярных возмущений эллиптических дифференциальных операторов не ограничивается только лишь случаем классического оператора Лапласа, породившим интерес к этой тематике. Так, ещё в работе⁹ методы теории мультипликаторов применялись для исследования сингулярных возмущений как оператора Лапласа, так и полигармонического

оператора (—А)^те, где т Є N. В статье¹⁴ рассматривались сингулярные возмущения

і _і

оператора л/—A: W^ (Ш^п) —> W₂ ² (К^п), а в работе¹² с помощью теории мультипликаторов изучались заданные на Ж^п сильно эллиптические дифференциальные операторы с равномерно сильно эллиптической главной частью и младшими коэффициентами из пространств бесселевых потенциалов с отрицательными показателями гладкости. Для исследования спектральных свойств возмущений заданного на окружности опе-

В. В. Борисов, "О равномерной резольвентной сходимости линейных операторов при возмущении", Шагаем. заметки, 48 : 2 (1990), 19 - 25

о

D. Mugnolo, R. Nittka, О. Post, "Norm convergence of sectorial operators on varying Hilbert spaces", Oper. Matrices, 7 : 4 (2013), 955 - 995

M. И. Нейман-Заде, А. А. Шкаликов, "Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов", Матем. заметки, 66 : 5 (1999), 723 - 733

Дж. - Г. Бак, А. А. Шкаликов, "Мультипликаторы в дуальных Соболевских пространствах и операторы Шрёдингера с потенциалами-распределениями", Матем. заметки, 71 : 5 (2002), 643 - 651

М. И. Нейман-Заде, А. М. Савчук, "Операторы Шрёдингера с сингулярными потенциалами", Тр. МИАН, 236 (2002), 262 - 271

М. I. Neiman-Zade, A. A. Shkalikov, "Strongly elliptic operators with singular coefficients", Russ. J. Math.

Phys., 13 : 1 (2006), 70 - 78

V. G. Maz'ya, I.E. Verbitsky, "The Shroedinger operator on the energy space: Boundedness and compactness

V. G. Maz'ya, I. E. Verbitsky, "The form boundedness criterion for the relativistic Schroedinger operator", Ann. V. G. Maz'ya, I.E. Verbitsky, "Form boundedness of the general second-order differential operator", Coram.

criteria", Acta Math., 188 : 2 (2002), 263 - 302

¹⁴V. G. Maz'ya, I. E. Verbitsky, "Th« Inst. Fourier, 54 : 2 (2004), 317 - 339

¹⁵V. G. Maz'ya, I.E. Verbitsky, "Fc Pure Appl. Math., 59 : 9 (2006), 1286 - 1329

ратора ( — -г^У, s > 0, в случае, когда потенциал принадлежит обобщённому периодическому пространству Соболева с отрицательным индексом гладкости, в статье¹⁶ также была применена техника теории мультипликаторов. Применение этой техники позволило внести существенный вклад в ставшее особенно актуальным в последнее время исследование возмущений операторов типа Шрёдингера сингулярными периодическими и антипериодическими потенциалами¹⁷'¹⁸'¹⁹'²⁰'²¹'²²'²³'²⁴'²⁵.

Отметим, что, сфера приложений теории мультипликаторов не ограничивается только задачами спектрального анализа возмущений конкретных эллиптических дифференциальных операторов. Хотя зарождение и развитие теории мультипликаторов как самостоятельного раздела на стыке функционального анализа и теории функций действительного переменного было тесно связано с проблемами собственно теории функциональных пространств Соболевского типа (такими, например, как исследование интерполяционных свойств этих пространств и поиск классов Соболевских пространств дробной гладкости, для которых справедлив принцип равномерной локализации) , уже в первых работах, где объектом систематического исследования выступили мультипликаторы из некоторого пространства Соболевского типа в себя, рассматривались и приложения теории мультипликаторов к различным задачам из других разделов анализа. Среди пионерских работ, в которых методы теории мультипликаторов активно применялись для исследования важных проблем, связанных с конкретными дифференциальными и интегральными операторами, особо надо выделить²⁶'²⁷'²⁸.

Последующее развитие теории мультипликаторов для пространств Соболевского типа позволило успешно применить методы и результаты этой теории для изучения широкого круга проблем теории функций, функционального анализа и теории урав-

В. А. Михайлец, В.Н. Молибога, "О спектре сингулярных возмущений операторов на окружности", Машем. заметки, 91 : 4 (2012), 629 - 632

P. Djakov, В. Mityagin, "Spectral gaps of Schroedinger operators with periodic singular potentials", Dyn.

Partial. Diff. Eq., 6 : 2 (2009), 95 - 165

P. Djakov, B. Mityagin, "Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and ID Dirac operator", J. Funct. Anal., 263 : 8 (2012), 2300 - 2332

B. Mityagin, P. Siegl, "Root system of singular perturbations of the harmonic oscillator type operators", Lett. Math. Phys., 106 : 2 (2016), 147 - 167

T. Kappeler, C. Mohr, "Estimates for periodic and Dirichlet eigenvalues of the Schroedinger operator with singular potentials", J. Fund. Anal., 186 : 1 (2001), 62 - 91

²¹T. Kappeler, P. Topalov, "Riccati map on Lf_}(T) and its applications", J. Math. Anal. Appl, 309 : 2 (2005),

R. O. Hryniv, Ya. V. Mykytyuk, "ID Schroedinger operators with periodic singular potentials", Methods Fund.

Anal. Topol., 7 : 4 (2001), 31 - 42

V. A. Mikhailets, V. N. Molyboga, "One-dimensional Schroedinger operator with singular periodic potentials", Methods Fund. Anal. Topol., 14 : 2 (2008), 184 - 200

E. Korotyaev, "A priori estimates for the Hill and Dirac operators", Russ. J. Math. Phys., 15 : 3 (2008), 320 -331

А. О. Щербаков, "Спектральный анализ несамосопряжённого оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом", Научн. ведомости БелГУ, Серия: математика, физика, 31 : 11 (2013), 102 - 108

J. Peetre, "On the differentiability of the solutions of quasilinear partial differential equations", Trans. Am.

Math. Soc, 104 (1962), 476 - 482

²⁷R. S. Strichartz, "Multipliers on fractional Sobolev spaces", J. Math. Mech., 16 (1967), 1031 - 1060

J.C. Polking, "A Leibniz formula for some differentiation operators of fractional order", Math. J., Indiana Univ., 21 (1972), 1019 - 1029

нений в частных производных. Особенно продуктивным такое применение оказалось для различных задач теории операторов, таких, как проблема ограниченности в шкале пространств типа Соболева сингулярных интегральных операторов, в частности, операторов Кальдерона-Зигмунда²⁹'³⁰'³¹, нахождение асимптотики собственных значений некоторых вырожденных эллиптических дифференциальных и псевдодифференциальных операторов³²'³³'³⁴, получение теорем слабо-сильной единственности (weak-strong uniqueness) задачи Копій для уравнения Навье-Стокса³⁵'³⁶'³⁷'³⁸, исследование псевдодифференциальных операторов с символами, удовлетворяющими условиям ослабленной регулярности³⁹'⁴⁰'⁴¹'⁴²'⁴³.

Различные аспекты теории мультипликаторов для пространств Соболевского типа, безусловно, представляют и самостоятельный интерес в рамках теории функциональных пространств. Детальное изучение мультипликаторов в пространствах бесселевых потенциалов было инициировано основополагающей работой Роберта С. Стри-хартца²⁷, где, в частности, было показано, что при выполнении условия s > ^ на пространстве Ж(Ж^П) может быть корректно определена операция поточечного умножения, причём пространство Ж(Ж^П) является алгеброй относительно этой операции. В дальнейшем изучение мультипликаторов как в пространствах бесселевых потенциалов, так и в более общем случае пространств типа Бесова-Лизоркина-Трибеля, было активно продолжено в ситуации, когда индексы гладкости обоих пространств положительны, причём в большинстве работ рассматривалось пространство мульти-

S. Gala, P. G. Lemarie-Rieusset, "Multipliers between Sobolev spaces and fractional differentiation", J. Math. Anal. AppL, 322 : 2 (2006), 1030 - 1054

A. Youssfi, "Regularity properties of singular integral operators", Stud. Math., 119 : 3 (1996), 199 - 217 L.D. Ky, "Bilinear decompositions and commutators of singular integral operators", Trans. Am. Math. Soc, 365 : 6 (2013), 2931 - 2958

D. E. Edmunds, H. Triebel, "Eigenvalue distributions of some degenerate elliptic operators: an approach via

entropy numbers", Math. Ann., 299 : 2 (1994), 311 - 340

D. E. Edmunds, H. Triebel, Function spaces, entropy numbers, differential operators, Cambridge : Cambridge

University Press, 1996, 252 pp.

D. D. Haroske, L. Skrzypczak, "Spectral theory of some degenerate elliptic operators with local singularities",

J. Math. Anal. AppL, 371 : 1 (2010), 282 - 299

P. G. Lemarie-Rieusset, Recent developments in the Navier-Stokes problem, Boca Raton, FL: Chapman and

Hall/CRC, 2002, 395 pp.

P. Germain, "Multipliers, paramultipliers and weak-strong uniqueness for the Navier-Stokes equations", J.

Differ. Equations, 226 : 2 (2006), 373 - 428

P. G. Lemarie-Rieusset, R. May, "Uniqueness for the Navier-Stokes equations and multipliers between Sobolev

spaces", Nonlinear Anal., Theory Methods AppL, 66 : 4 (2007), 819 - 838

P. G. Lemarie-Rieusset, The Navier-Stokes Problem in the 21st Century, Boca Raton, FL : CRC Press, 2016,

718 pp.

M. Yamazaki, "A quasi-homogeneous version of paradifferential operators, Part I: Boundedness on spaces of Besov type", J. Fac. ScL, Univ. Tokyo, Sect. 1A, 33 (1986), 131 - 174

J. Marschall, "Pseudo-differential operators with coefficients in Sobolev spaces", Trans. Am. Math. Soc, 307 : 1(1988), 335 - 361

J. Marschall, "On the boundedness and compactness of nonregular pseudo-differential operators", Math. Nachr., 175 : 1 (1995), 231 - 262

S. Gala, "Multipliers spaces, Muckenhoupt weights and pseudo-differential operators", J. Math. Anal. AppL, 324 : 2 (2006), 1262 - 1273

D. Lannes, "Sharp estimates for pseudo-differential operators with symbols of limited smoothness and commutators", J. Fund. Anal., 232 : 2 (2006), 495 - 539

пликаторов М[Ар (Ш,^п) —> A^s (Rⁿ)], где A^s (W¹') есть некоторое пространство типа Бесова-Лизоркина-Трибеля. В рамках этой проблематики были развиты различные методы исследования пространств мультипликаторов и обнаружены многочисленные приложения полученных в этом направлении результатов.

Так, для изучения мультипликаторов в пространствах Соболевского типа в конце 1970ых - начале 1980ых годов в цикле работ В.Г. Мазьи, Т.О. Шапошниковой, И. Э. Вербицкого и их соавторов использовался подход, основанный на описании пространств мультипликаторов в терминах ёмкостей компактных множеств, детальное изложение которого можно найти в монографии⁴⁴. Другой подход, основанный на представлении произведения двух функций в виде суммы трёх парапроизведений, то есть слабо сходящихся рядов, построенных по гладкому диадическому разбиению единицы с помощью прямого и обратного преобразования Фурье в 5"(Ж^П), получил развитие в работах⁴⁵'⁴⁶'⁴⁷'⁴⁸'⁴⁹'⁵⁰. Необходимо отметить, что особенно важной для развития техники парапроизведений в контексте её применения для исследования проблематики теории мультипликаторов оказалась работа⁵¹. Систематическое же изложение этого метода, оказавшегося особенно плодотворным для изучения мультипликаторов в пространствах типа Бесова-Лизоркина-Трибеля, и подробную библиографию по этой теме можно найти в монографии⁵². Этими двумя подходами далеко не исчерпывается всё содержание теории мультипликаторов: так, мультипликаторы в пространствах

ґ- 54 54 55 56 57 !=iR

Соболевского типа изучались другими методами в _CTaTbax^,JO>'^J^>'^J'^J>'^JU>'^J' >^ио.

V. G. Maz'ya, Т. О. Shaposhnikova, Theory of Sobolev multipliers, with applications to differential and integral operators, Berlin - Heidelberg: Springer Verlag, 2009, 609 pp.

⁴⁵J. Marschall, "Some remarks on Triebel spaces", Stud. Math., 87 (1987), 79 - 92

4-fi

J. Johnsen, "Pointwise multiplication of Besov and Triebel-Lizorkin spaces", Math. Nachr., 175 (1995), 85 -

W. Sickel, H. Triebel, "Hoelder inequalities and sharp embeddings in function spaces of Bp¹ _q and Fp _q type",

Z. Anal. Anwend., 14 : 1 (1995), 105 - 140

⁴⁸W. Sickel, "On pointwise multipliers for F^_q(Rⁿ) in case a_Ptq < s < ^", Ann. Mat. Рига Appl., IV Ser., 176

(1999), 209 - 250

H. Koch, W. Sickel, "Pointwise multipliers of Besov spaces of smoothness zero and spaces of continuous

functions", Rev. Mat. Iberoam., 18 : 3 (2002), 587 - 626

D. Drihem, M. Moussai, "Some embeddings into the multiplier spaces associated to Besov and Lizorkin-Triebel

spaces", Z. Anal. Anwend., 21 : 1 (2002), 179 - 184

M. Frazier, B. Jawerth, "A discrete transform and decompositions of distribution spaces", J. Funct. Anal., 93 : 1 (1990), 34 - 170

T. Runst, W. Sickel, Sobolev spaces of fractional order, Nemytskij operators and nonlinear partial differential

equations, Berlin : De Gruyter, 1996, 547 pp.

Г. А. Калябин, "Критерии мультипликативности и вложения в С пространств типа

Бесова-Лизоркина-Трибеля", Матем. заметки, 30 : 4 (1981), 517 - 526

Г. А. Калябин, "Поточечные мультипликаторы в некоторых пространствах Соболева, содержащих

неограниченные функции", Тр. МИАН, 204 (1993), 160 - 165

А. Б. Гулисашвили, "О мультипликаторах в пространствах Бесова", Зап. научп. сем. ЛОМИ, 135 (1984),

Т. Valent, "A property of multiplication in Sobolev spaces. Some applications", Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 74 (1985), 63 - 73

E. Nakai, "A characterization of pointwise multipliers on the Morrey spaces", Sci. Math., 3 : 3 (2000), 445 -
454

А. И. Парфёнов, "Характеризация мультипликаторов в пространствах Хедберга-Нетрусова", Матем. тр., 14 : 1 (2011), 158 - 194

К работе Стрихартца²⁷ восходит и основанный на использовании шкалы равномерно локализованных пространств метод получения наиболее конструктивного описания пространств мультипликаторов. А именно, в этой статье было показано, что при выполнении условия s > ^ пространство мультипликаторов М[_Щ(М^П) —> Hp(Rⁿ)] совпадает с равномерно локализованным пространством бесселевых потенциалов Нр unifO^-¹²)- Предложенный Стрихартцем подход оказался продуктивным и в ситуации, когда для описания мультипликаторов из функционального пространства типа Бесова-Лизоркина-Трибеля At, _q(R^a) в себя используется шкала равномерно локализованных пространств A^s _unif(^^a), определяемых по аналогии с Н^ _unif(R^^a)- Так, в работе⁵⁹ рассматривалось пространство Лизоркина-Трибеля F_{p q}(Rⁿ) и для мультипликаторов в этом пространстве было получено описание

M[F;_jq(Rⁿ) -+ i_g(Rⁿ)] = F^_q^_unif(Rⁿ)

прир, q ^ 1, s > ^.

В ситуации, когда в роли At, _q(Rⁿ) выступает пространство Бесова B!L _q(R^a), получение аналогичного описания оказывается существенно более сложной задачей, поскольку установленное для пространств бесселевых потенциалов в работе²⁷ свойство равномерной локализации допускает обобщение для пространств Fi* _q(Rⁿ), но для Bit _q(R^a) это свойство справедливо лишь в случае р = q, когда пространства Вр^_р(Ш^п) и F^_p(Rⁿ) совпадают. Исходя из отсутствия у пространств Бесова B_p^_q(Rⁿ) свойства равномерной локализации при р ^ q, в статье⁶⁰ было показано, что в случае р > q даже при выполнении условия s > ^ пространство мультипликаторов M[B_p^_q(Rⁿ) —> B_p^_q(Rⁿ)] строго вложено в пространство В_{р un}if(^ⁿ)- Тем не менее, в случае выполнения условия 1 ^ р ^ q при s > ^ позднее в⁶¹ было установлено, что

M[B^_q(Rⁿ) -+ B'_Pfq(Rⁿ)] = B^s_p^_umJ{Rⁿ).

Для пространства мультипликаторов из Hit(Rⁿ) в H^iW¹') при s^t>^, р>1

аналогичное описание в терминах шкалы пространств Н^! _uniJRⁿ) было получено в

V г, unif\

начале 1980ых в цикле работ В. Г. Мазьи и Т. О. Шапошниковой и нашло своё отражение в монографии⁶². Однако, в случае, когда индексы р и q необязательно совпадают, пространство мультипликаторов М[_Щ(Т^П) —> H_q(Rⁿ)] оставалось неисследованным в литературе даже при s, t ^ 0.

Изучение же мультипликаторов из пространства бесселевых потенциалов с положительным индексом гладкости в пространство бесселевых потенциалов с отрицательным индексом гладкости было инициировано значительно позднее работой⁹. Впоследствии задача описания мультипликаторов в пространствах бесселевых потенциалов с индексами гладкости разного знака, исследовалась также в работах¹³'¹⁴'²⁹'³⁶, но шкала пространств Ну _unif(Rⁿ)-, описание в терминах которой даёт конструктивный критерий принадлежности распределения пространству мультипликаторов, применялась

J. Franke, "On the spaces F _q of Triebel-Lizorkin type: pointwise multipliers and spaces on domains", Math.

G. Bourdaud, "Localisations des espaces de Besov", Stud. Math., 90 : 2 (1988), 153 - 163

W. Sickel, S. Smirnov, "Loc Schriften Math. Inf., Jena, 1999 ⁶²В.Г. Мазья, Т.О. Шапоп Л., Изд-во Ленинградского университета, 1986, 402 ее.

Nachr., 125 (1986), 29 - 68 60

W. Sickel, S. Smirnov, "Localization properties of Besov spaces and of its associated multiplier spaces", Jenaer

В.Г. Мазья, Т.О. Шапошникова, Мультипликаторы e пространствах дифференцируемых функций,

для решения этой задачи только в работах¹⁰'¹². А именно, при выполнении условий, обобщающих восходящее к ²⁷ условие s > ^, в статьях¹⁰'¹² были получены характери-зации пространств мультипликаторов М[Щ(Ш^п) -+ Я/(1Г)], М[Щ(Ш^п) -+ Я"⁸(Ж^П)]

и М[_/|(М^П) —У И2 (Ж^п)] в терминах равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов при s, t ^ 0. Также отметим работу⁶³, где в стрихартцевском случае для классических пространств Соболева (являющихся частным случаем пространств бесселевых потенциалов, когда коэффициент гладкости является целым числом) было получено описание пространства M[Wp (Ш^п) —У W~^l(Rⁿ)], к, І Є N, в терминах равномерно локализованных классических пространств Соболева W_uniJM.ⁿ).

Цель работы

Целью работы является изучение проблемы описания пространства мультипликаторов из пространства бесселевых потенциалов с положительным индексом гладкости в пространство бесселевых потенциалов с индексом гладкости произвольного знака в терминах конкретных функциональных пространств и получение такого описания в максимально общем случае, а также применение этих результатов для исследования спектральных свойств сингулярных возмущений степеней оператора Лапласа на п—мерном торе.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

1. При s,t ^ 0 и выполнении условия стрихартцевского типа 0 < max(s, t) < т|
для т = min(s, t) и р = _m ", .-, доказана точность непрерывного вложения про-

странства H~_ni ДК^П) в пространство мультипликаторов из _/|(М^п) в і?2~*(М^п) в смысле невозможности уменьшения показателя р = —Ц—fs- Отсюда, в част-ности, следует, что в нестрихартцевском случае невозможно получить описание пространства мультипликаторов М[і?2(М^п) —У Н^ (К^п)] в терминах равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов Д7, . _f(IRⁿ).

1. Показано, что при s, t Є Ш, p, q > 1 условие p ^ q является необходимым и достаточным для того, чтобы равномерная мультипликаторная норма была эквивалентна стандартной норме пространства мультипликаторов

2. Для s, t ^ 0, р, q > 1 в случае выполнения условий, обобщающих классическое условие Стрихартца, в наиболее общей ситуации получены описания в терминах равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов Н^ _ипіг(Ш^п) для пространств мультипликаторов М[Нр(Ш^п) —У Щ(Ш^п)] прир ^ q и M[Hp(Rⁿ) —У Я"~;*(Ж^П)] при р ^ q'. При этом показано, что условия р ^ q и р ^ q' соответственно являются необходимыми для получения таких описаний.

3. В том случае, когда условия стрихартцевского типа не выполняются, получены двусторонние непрерывные вложения пространств типа Н^ _uniJW^a) в пространство мультипликаторов М[Н*(Ш^п) —У H~,^s(Mⁿ)], s ^ 0, р, q > 1.

V. G. Maz'ya, Т. О. Shaposhnikova, "Characterization of multipliers in pairs of Besov spaces", Oper. Theory, Adv. Appl., 147 (2004), 365 - 386

5. Доказано, что если потенциал является компактным мультипликатором из Н^Т¹²) в _/^~^а(Т^п), то соответствующее сингулярное возмущение степени оператора Лапласа на многомерном торе Т^п имеет компактную резольвенту, а система его корневых векторов полна в L2(Tⁿ). Также в этой ситуации получена асимптотика считающей функции собственных значений этого возмущения.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы теории мультипликаторов, теории интерполяции функциональных пространств Соболевского типа, гармонического анализа, спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве, теории возмущений, теории полуторалинейных форм и ассоциированных с ними операторов в гильбертовом пространстве.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты представляют интерес для специалистов в области теории функциональных пространств, теории интерполяции, спектральной теории эллиптических дифференциальных операторов и смежных вопросов теории уравнений с частными производными.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих научно -исследовательских семинарах и международных научных конференциях:

научно-исследовательский семинар лаборатории операторных моделей и спектрального анализа кафедры теории функций и функционального анализа меха-нико - математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова "Операторные модели в математической физике" под руководством д.ф.-м.н. профессора А. А. Шкаликова (2009 - 2015 гг., многократно)

научно-исследовательский семинар кафедры математического анализа и теории функций факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов "Функциональный анализ и его приложения" под руководством д.ф.-м.н. профессора В. И. Буренкова (2016 г.)

международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садов-ничего (Москва, Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова, 2009 г.)

международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 110-летию со дня рождения академика И. Г. Петровского (Москва, Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова, 2011 г.)

международная конференция "Спектральная теория и дифференциальные уравнения", посвященная 100-летию со дня рождения Б.М. Левитана (Москва,

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова и Математический институт имени В. А. Стеклова Российской Академии Наук, 2014 г-)

международная конференция "Функциональные пространства и теория приближений функций", посвященная 110-летию со дня рождения академика СМ. Никольского (Москва, Математический институт имени В. А. Стеклова Российской Академии Наук, 2015 г.)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в б работах автора, 2 из которых опубликованы в журналах из перечня ВАК. Список работ приведён в конце автореферата. Работ, опубликованных в соавторстве, нет.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Библиография содержит 76 наименований. Общий объём диссертации составляет 149 страниц.

Условия принадлежности одного класса регулярных функционалов равномерно локализованному пространству бесселевых потенциалов

В этой главе исследуется проблема описания мультипликаторов из пространства H!L ( в пространство Н1(Жп) в терминах конкретных функциональных пространств в ситуации, когда на индексы s 0, t Е R, р, q 1 наложены некоторые дополнительные естественные ограничения.

Отметим, что ранее шкала равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов была использована для конструктивного описания пространства мультипликаторов, действующих в пространствах бесселевых потенциалов, в следующих важных частных случаях (см. [53; Theorem 3.2.5], [1; Теорема 4], [15; Теорема 2.5], [60; Lemma 5 В данной главе получено обобщение всех этих результатов на наиболее общий случай мультипликаторов из Щ(Шп) в Щ(Шп) и из H (Rn) в Я" (МП) при s, t О, р, q 1. Также показано, что если хотя бы одно из накладываемых при этом дополнительных ограничений не выполняется, то описание соответствующего пространства мультипликаторов в шкале пространств Н uniJWa), 7 Є R, г 1, невозможно.

Введём сначала понятие мультипликатора из банахова пространства функций в банахово пространство обобщённых функций, а затем применим этот общий подход для определения и изложения основных свойств пространств мультипликаторов из Нр(Шп) в Hq(Rn) в случае произвольных индексов s, t ЄШ, р, q 1.

Пусть S\ — банахово пространство заданных на Rn ком-плекснозначных функций, такое, что D(Wa) плотно влоснсено в (Si, si); и пусть таксисе S2 С D (Wa) — банахово пространство обобщённых функций. Распределение /і Є -D (lRn) назовём мультипликатором из S1 в S2, если /і Є S2joc и существует константа С О, такая, что II/- 2 C/S1 V/e (Rn). Легко показать, что в условиях определения 2.1.1 множество всех мультипликаторов из S1 в 52, которое мы далее будем обозначать как M[S1 — S2], является нормированным пространством относительно нормы \HM[S S2] inflOOMI/ ll C/S1 V/e (Rn)}. УТВЕРЖДЕНИЕ 2.1.1. Пусть D(Wa) плотно влоснсено в банахово пространство заданных на Жа комплекснозначных функций (Т2, т2)- Тогда, если в условиях определения 2.1.1 существует изометрический изоморфизм F:S2 T2 , /i FM, удовлетворяющий условию то M[S1 S2] = {fieD (Rn)\3C1 0: Ш-g)\ С1 /S1 рГ2 У/ еДГ)}, причём для произвольного /і Є M[S1 —У S2] имеем IHlM[51-.52]=inf{C1 0At(/-p) C1/S1Nr2 V /, g є L»(Mn)}. Доказательство. Введём обозначение M1[S1 S2] = {fieD (mn)\3C1 0: W-g)\ C1/S1Nr2 V/, geD(Rn)} и для произвольного /І Є М1 [S1 —У S2] положим МІм іс оїШ-Ш C1\\f\\S1\\g\\T2 v/, є (Rn)}. Пусть /І Є М[51 ч S2]. Фиксируем произвольную функцию / Є D(Wa). Тогда имеем, что / /і Є S2, причём ll/ lls 2 IHIM[S1-»S2] ll/ll 1-Следовательно, для произвольной функции g Є Z)(IRn) получаем, что \Kf-9)\ = К/ -»)Ш = \Ff-M\ Щ-Лт Ы\т2 = = ІІ/ / НЯ2ІІ ІІТ2 ІНІМ[51-»52]/І51ІІ0Іт2-Таким образом, справедливо неравенство W-Ш \\ \\M[s1 s2]\\f\\s1\\9\\T2 Vf,geD{Rn), которое и означает, что /і Є Mi [Si — S2] и \\II\\M1[S1 S2] \\II\\M[S1 S2] Наоборот, пусть /і Є Мі [Si — S2]. Тогда для произвольной функции / Є D(]Rn) имеем \(f-»)(9 )\ = \Kf-9 )\ ІНІм - ] II/IIS1NT2 VgeD{Rn). В силу плотности _D(IRn) в пространстве Т2, отсюда следует, что распределение / /І порождает непрерывный антилинейный функционал Ф/./л на пространстве (Т2, т2)5 такой, что

Тогда если в условиях определения 2.1.2 потребовать дополнительно, что s 0, то пространство мультипликаторов М[Нр(М.п) — Hf.(M.n)] будет совпадать с пространством M[msp(Rn) — Щ(Шп)}, определённым как {fi Є #J c(Rn) І З О 0: / /xB(Rn) С \\Дщ01п) V/ є D(Rn)}. Отметим, что так как _D(Rn) плотно вложено в EIf,(Rn), то это определение пространства M[msp(Rn) — Щ(Шп)\ = М[Щ(Шп) — Щ(Шп)\ является частным случаем определения 2.1.1, когда в роли функционального пространства Si выступает EIf,(Rn), а в роли пространства распределений S2 выступает Hf.(Rn). в этой ситуации пространство Н , (Rn) изометрически изоморфно пространству ЗАМЕЧАНИЕ 2.1.1. Пусть s, t 0, р, q 1. Как было отмечено в главе 1, этой ситуации пространство Н , (Rn) изометрически и, (Н1(Жп) = (Er:(Rn)) , причём изометрический изоморфизм G: Н-\Шп) (H (Rn)) , и — Gu, определённый как „(/) = u, f V/eH R"), удовлетворяет свойству Gu(g)=u(g) VgeD(Rn). Поэтому, согласно утверждению 2.1.1, пространство мо жет быть таксисе определено как {fi Є ІУ(МП) 3 О 0: Ш 9)\ С /B5(R»)IIPIIH (R») V /, g є D(Rn)}. При этом для произвольного ц Є М[Нр(Жп) — Н , (Жп)\ имеем 1Н1м[#8(к) #- (к)] = inf{C 0 /І(/ -g)\ С /и8(м») ]и (М") V/, g є D(IRn)}. Такой подход к определению мультипликаторов, использованный нами в главе 1, восходит к статьям [17, 60], где он был развит в частном случае р = q = 2. Отметим, что поскольку множество D(lRn) регулярных функционалов с плотностями из _D(lRn) плотно в пространстве Ж(ЖП), то в условиях определения 2.1.2 мультипликатор \і Є M[Hp(Rn) — Hq(Rn)] единственным образом определяет ограниченный линейный оператор Мц из Нр(Жп) в Щ(Жп), такой, что Таким образом, М является оператором умножения на распределение /І на регулярных функционалах f, где / Є D(]Rn), причём для мультипликатора /І Є М[Щ{Жп) -+ н\{жп)} справедливо равенство

Точность вложения некоторого равномерно локализованного пространства бесселевых потенциалов в пространство мультипликаторов

В данной главе с помощью методов теории мультипликаторов исследуются спектральные свойства сингулярных возмущений положительных степеней оператора Лапласа на п—мерном торе. Для того, чтобы корректно определить при а 0 возмущение степени оператора Лапласа (—А)а сингулярным потенциалом, мы применяем теорию сингулярных возмущений, развитую для общего случая самосопряжённого, полуограниченного снизу оператора, действующего в абстрактном гильбертовом пространстве. В результате мы получаем, что возмущение линейного оператора (—А)а: Н ІТ71) —У і?2 а(ТГп) сингулярным потенциалом q корректно определено в случае, когда потенциал является мультипликатором из пространства Н Т12) в пространство _/ а(Тп). Более того, спектральные свойства возмущённого оператора оказываются тесно связанными с различными свойствами потенциалов, формулируемыми в терминах теории мультипликаторов. Так, например, мы показываем, что сходимость последовательности потенциалов qm к потенциалу q в пространстве мультипликаторов М[ 2 (ТП) —У і?2 а(ТГп)] влечёт равномерную резольвентную сходимость последовательности операторов (—А)а + Qm к оператору (—А)а + Q в пространстве L2(Tn). Также в этой главе с помощью техники теории мультипликаторов для широкого класса сингулярных потенциалов устанавливаются такие свойства возмущённого оператора, как дискретность спектра, полнота системы корневых векторов, и находится асимптотика считающей функции собственных значений этого оператора.

Сначала изложим некоторые результаты абстрактной теории возмущений самсо-пряжённых неограниченных операторов, действующих в шкале гильбертовых пространств, порождённой положительными степенями исходного оператора. Наш подход в своих общих чертах восходит к работе [60], но, учитывая различия как в формулировках результатов, так и в методах доказательства, мы приведём ниже цельное изложение тех результатов из абстрактной теории возмущений, которые будут использоваться для доказательства основных утверждений этой главы.

Пусть % — гильбертово пространство, Id-ц: % —У % — определённый всюду на % тождественный оператор, а Т: % —У % — самосопряженный линейный оператор, определённый на D(T) С % и такой, что оператор Т — Id-ц: % —У % является неотрицательно определённым. Заметим, что множество D{T) всюду плотно в % как область определения самосопряжённого оператора Т. Из справедливости же неравенства Т(х),х п х,х и 0 Уж є D(T), х ф 0, следует, что оператор Т положительно определён и инъективен.

Поскольку, как хорошо известно, для произвольного самосопряжённого оператора А, действующего в гильбертовом пространстве X, оператор А + с- Idx X —У X также будет самосопряжённым для любого числа с Є К (см., например, [19; VIII.2, с. 333]), то оператор Т — Id-ц является самосопряжённым в пространстве %. В силу неотрицательной определённости самосопряжённого оператора Т — Id-ц: % —У % для спектра оператора Т имеем сг(Т) С [1, +оо). Тогда, поскольку для произвольного числа «ЄІ функция fa: [1,+оо)— М, tAta, является непрерывной на множестве сг(Т), то, согласно следствию из общей спектральной теоремы (см. [6; Теорема XII.2.6]), для произвольного числа «ЄІ корректно определён самосопряжённый линейный оператор Та dM fa(T):U U с всюду плотной в % областью определения L (Ta), причём имеет место соотношение Та(х), у п = f Xа сШЖ;У(А) Уж є D(Ta), УуєН, (3.1) а(Т) где П— проекторнозначная спектральная мера, отвечающая оператору Т, а комплекс-нозначная мера ПЖ;У для произвольного борелевского множества Mel определена соотношением

Отметим, что из равенства (3.1) и положительности функции fa на множестве сг(Т) следует положительная определённость операторов Та, «el. Поскольку согласно [6; Теорема XII.2.6] для произвольного числа аЄІ имеем D(Ta) = {хєН\ J \2а сШЖ;Ж(А) +оо}, а(Т) а для произвольных чисел /3, 7 Є R, таких, что /3 7 имеет место неравенство \р A7 VAGCT(T) С [1,+ОО), то D{T ) D{TP) V/3,7l: /3 7- (3-2) В частности, справедливо теоретико-множественное включение D(T0)cD(Ta) Va O. Учитывая, что Т = Id%, отсюда получаем, что операторы Та, а О, определены на всём пространстве Н. Более того, поскольку при а 0 справедливо неравенство fa(x) = ха 1 V ж Є а(Т) С [1, +оо), то согласно [6; Теорема XII.2.9] получаем, что при а 0 оператор Та является ограниченным, причём ЦТ10 II л W1 \\В{Н) -1- Также отметим, что семейство линейных операторов {Та \а Є R} обладает аналогом полугруппового свойства в следующем смысле: 7 1 о TS2 — TS1+S2 I — TS1+S2 I \/ si чо f= 1 C\ X\ J- u J- —J- \D(Ts1+s2)r\D(Ts2) -1 \D(TS3) УЬЪЬ2 еж, \-J где S3 = max(si + 2, 2), первое равенство в (3.3) следует из [6; Следствие XII.2.7], а второе равенство - из соотношения (3.2). В частности, при si О, S2 Є К справедливо равенство TS1 о TS2 = TS1+S2 Отсюда следует, что для si = а О, S2 = — а имеет место соотношение TaoT-a =Т0 = Idn_ С другой стороны, из (3.3) следует, что Т а о Та = Т D(max(0,a)) = 1(1 ){Та) Из последних двух соотношений нетрудно вывести, что для произвольного а О справедливы равенства D{T-a) = Im{Ta)=n, D{Ta) = Im{T-a). Таким образом, для произвольного числа «GM операторы Та и Т а фактически являются взаимно обратными. В частности, отсюда следует, что определённый всюду на Н ограниченный оператор /_i(T) является обратным к Т. Определим теперь шкалу пространств {%е}о о ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1.1. Пусть 6 0. Тогда определим Не равенством Ue=fD(Tl). Заметим, что для произвольного числа в 0 множество Не плотно в ("Н, %) как в область определения самосопряжённого оператора Т 2 . При в 0 на линейном пространстве Не можно ввести скалярное произведение (9 (9 , в: Не х Не — R, ж,у в = Т2(ж),Т2(у) п Ух,у є Не, причём свойство ж, х в = 0 = х = 0 следует из инъективности положительно определённого оператора Т 2 . Учитывая, что в случае в 0 справедливы соотношения \\х\\пв = V ж-ж в = \\т2(х)\\п УхеПв, и Тв(Т-(у)) = у Ууе% несложно показать, что из полноты пространства ("Н, 11 11%) следует полнота пространства (Не, \\пв) ПРИ # 0.

Таким образом, для произвольного числа в 0 пространство %о является гильбертовым относительно скалярного произведения , Нв Для в\ 02 0 из (3.2) следует справедливость теоретико-множественного вложения e2-fl1 Непрерывность же этого вложения вытекает из того, что оператор Т 2 ограничен и, значит, \\х\\Пв2 = \\Т22(х)\\п = Т2-2 1(т21(Ж)) ЦТ2-2 1Цв \\х\\Пв1 Ухе нв1. Таким образом, справедливо следующее ЗАМЕЧАНИЕ 3.1.1. Пусть в\ 02 0. Тогда имеет место непрерывное вложение (7 01 II Ыв1) с (7 02-II \Ыв2) Если О 0иа Є (—оо, 2, то в силу (3.2) имеет место теоретико-множественное включение Ue = D(T2) C\D(Ta) и, следовательно, корректно определено подпространство Та(%д). Тогда из соотношения Не = D(T 2 ) = Im(T- 2 ) У в 0 и аналога полугруппового свойства для семейства операторов {Та а Є К} вытекает, что при 0и о Є ( -00,2 ] справедливо равенство Та(%в) = Нв-2а, причём оператор

Эквивалентные нормы на пространстве мультипликаторов и критерий вложения в это пространство равномерно локализованного пространства бесселевых потенциалов

Так как форма q подчинена форме t в смысле квадратичных форм с t—гранью CXQ 1, то согласно классическому утверждению из теории квадратичных форм, ассоциированных с неограниченными операторами (см., например, [9; Теорема VI.1.33]), форма t + q также будет секториальной и замкнутой. Теорема 3.1.1 доказана. СЛЕДСТВИЕ 3.1.1. Пусть в условиях теоремы 3.1.1 оператор Q: %\ —У %-\ является симметрическим в смысле определения 3.1.3. Тогда определённая на %\ квадратичная форма t + q-.П С, (t + q)(x) d= (T+Q)(x),x D Vx Є D(t + q) =HU будет, к тому же, симметрической и полу ограниченной снизу относительно нормы %, то есть найдётся такая константа С Є R, что (t + q)(x) С- х,х -ц УжбЯі. Доказательство. Так как оператор Q является симметрическим, то q(x) = Q(x),x D ЄШ \/ж Є Ні. Положим ао = (1 + Q!Q)/2. Легко видеть, что форма t + q является симметрической и для произвольного ж Є %\ справедлива оценка (t + q)(x) = Т(ж),ж D + Q{x),x D Т(ж),ж D -\ Q{x),x D I (1 - a0) T(x),x D -P(ao) \\x\\y_ = ——Qж{і - /3(a0) ж -p(a0) \\x\\y_. Эта оценка и означает полуограниченность формы t + q снизу. Следствие 3.1.1 доказано.

Пусть линейный оператор Q: %\ — %-\ определён на всём пространстве %\ и подчинён в смысле форм оператору Т с Т—гранью CXQ 1. Тогда суэюение Т + Q: % — % оператора Т + Q на множество D(T+Q) = {xtUi \(T + Q)(x) ЄН} является секториалъным оператором. Если, кроме того, Q является симметрическим относительно дуального скалярного произведения, то оператор Т + Q является самосопряжённым в смысле определения 3.1.5, а оператор Т + Q — самосопряжённым в пространстве ("Н, , -ц) и полуограниченным снизу относительно нормы \\-ц. Доказательство. Рассмотрим полуторалинейную форму t + q-.ПхП С, (t + q)(x,y) = (T+Q)(x),y D Vx,yeHi, чья область определения D(t + q) = %\ плотна в ("Н, \\и)- Поскольку сектори-альность и замкнутость полуторалинейной формы определяется в терминах обладания соответствующими свойствами квадратичной формой, ассоциированной с данной полуторалинейной формой, то согласно теореме 3.1.1 полуторалинейная форма t + q: 7-L х 7-L —у С является секториальной и замкнутой относительно топологии пространства ("Н, , %). Тогда применима классическая первая теорема о представлении (см. [9; Теорема VI.2.1]), согласно которой существует секториальный оператор L: % —У % с областью определения D(L), удовлетворяющий следующим свойствам: 1) D(L) С D(t + q) =Нщ (t + q)(x,y) = L(x),y и Vie D(L), VyeUv, 2) множество D(L) является ядром для формы t + q, то есть наименьшая замкнутая форма, являющаяся продолжением формы (+(/)D L, совпадает с самой формой t+q; 3) если х Є "Hi, z Є % и для всех у, принадлежащих некоторому ядру формы t + q, выполняется равенство (t + q)(x,y) = z,y н, то ж Є D{L) и L{x) = z. Докажем теперь, что операторы L: H- HT+Q - H совпадают. Пусть х Є D(T + Q), то есть (Т + Q)(x) Є %. Тогда, учитывая замечание 3.1.2, получаем, что (t + q)(x,y) = (r+Q)(x),y D = (r+Q)(x),y n VyeUi. (3.5) Естественно, %i = D(t+q) является ядром формы t+q и, значит, из соотношения (3.5) согласно свойству 3) первой теоремы о представлении следует, что xeD(L) и L(x) = (T+Q)(x). Таким образом, Т + Q С L. Пусть теперь х Є D(L). Тогда согласно свойству 1) первой теоремы о представлении для произвольного у Є %\ имеем L(x),y п = {t + q){x,y) = (T+Q)(x),y D = Г-Н(Г+Я)(х)),тЦу) n . Поскольку Та : ("Hi, Ц- ) — ("H, \\-ц) является изометрическим изоморфизмом, то это соотношение может быть переписано в виде L(x),T- (z) п= r H(T+Q)(x)),z п VzeH. _ і Учитывая, что оператор Т 2 является самосопряжённым в гильбертовом пространстве (Ті, , %), a L(x) Є % = D(T z), получаем, что T-H(T+Q)(x)),z п = L(x),T-12(z) п = T-2(L(x)),z п VzeH. Тогда имеет место цепочка равенств T-H(T+Q)(x)) = Т-ЦЦх)) = Т-ЧЦх)), из которой в силу инъективности оператора 7 2 следует, что (Г + Q)(x) = Цх) ЄН. Тогда, согласно определению оператора Т+ Q, xeD(T+Q) и (T + Q)(x) = L(x). В силу произвольности выбора х Є D(L) этим доказано, что L С 7" + Q. Таким образом, доказано совпадение операторов Т+ Q и L, из чего, в частности, следует секториальность оператора Т+ Q.

Докажем теперь вторую часть утверждения теоремы. Пусть оператор Q является симметрическим относительно Тогда определённый всюду на %\ оператор Т + Q: %\ — %-\ также является симметрическим относительно и, следовательно, самосопряжённым в смысле определения 3.1.5. Применив же к квадратичной форме t + g: К- Ки ассоциированному с ней оператору L = T + Q: % % классическое утверждение [9; теорема VI.2.6], получаем, что оператор T+Q является самосопряжённым -ц и полуограниченным снизу относительно нормы \\-ц.

Периодические пространства бесселевых потенциалов и степени оператора Лапласа на п—мерном торе

Дадим теперь определение нормы на пространстве Ж(ТП), s 0, р 1, эквивалентной стандартной норме этого пространства. Это определение основано на переносе стандартной нормы пространства і7 (Жп) на п—мерный тор Тп с помощью гладкого разбиения единицы на Тп. Отметим, что этот подход используется для определения пространств бесселевых потенциалов на абстрактном компактном гладком многообразии (см., например, [61; 1.3.1]).

Будем обозначать через Qa(x) открытый п—мерный куб со стороной длины а О и центром х Є Шп. Нетрудно видеть, что найдётся такое натуральное число N Є N и такие элементы Xj Є Kn, j = 1,N, что совокупность областей {Yi{Q2{xj))} =l образует открытое покрытие тора Тп и отображения П1д2(х,) : Q2(XJ) - U(Q2(XJ)), j = МГ, являются диффеоморфизмами, причём существует система действительнозначных неотрицательных функций Ф = { } =і D(Tn), удовлетворяющая условиям N supp(ipj) С U(Q2(XJ)) V j = I N и 2ipj(x) = 1 Уж є Шп. Определим для произвольного числа j = 1, N функцию ijjj о : Kn — М+ следующим образом: ipj,o(x) = (П(ж)) Уж Є Q2(XJ), ipj,o(x) = 0 Уж ф Q2(Xj). Очевидно, что ipj o є _D(IRn) и supp(ipj:o) С Q2(XJ). При О 0 и ) 1 на линейном пространстве D(Tn) = {f Є D (Tn) \ f Є D(Tn)} можно определить норму І) \\s,p, f с помощью равенства N fs,p, = JJllto /пи»(м») У/є L (Tn). 121

Можно показать, что на D(Tn) эта норма является эквивалентной норме я8(т«-) и, следовательно, соответствующие различным рабиениям единицы Фі и \&2 нормы s,p, i и s,p, 2 также эквивалентны на D(Tn).

Заметим, что оператор умножения на функцию / Є D(Tn) ограничен в D(Tn) относительно нормы \\s,p, и, следовательно, относительно нормы я8(Т"-)- Учитывая этот факт, несложно показать, что, если в определении нормы \\8,р,ъ разбиение единицы Ф заменить на семейство функций Ф = {щ,..., гр" }, то норма sp 2, определённая равенством N llflls,p, 2 = z2 llto /пи»(м») V/GJD(Tn), 3=1 является эквивалентной на D(Tn) нормам \\8,р,ъ и я8(т-) Докажем теперь для пространств бесселевых потенциалов на торе Тп мультипликативные оценки, аналогичные мультипликативным оценкам, полученным в [60] для пространств Я"(КП), s 0. ЛЕММА 3.3.1. Пусть s t 0us . Тогда существует константа CS;t 0, такая, что справедливо мультипликативное неравенство II / g 11я (Т") cs,t f fff(T») II g ІІя (Т") V /, g є D(Tn). Доказательство. Пусть Ф = { г}І=і введённое выше разбиение единицы на торе Тп. Тогда в силу эквивалентности норм я (т«-) и II 11 ,2,Ф2 на D(Tn) найдётся такая константа С 0, что для произвольных функций /, g Є D(Tn) справедлива оценка II/ glff (T") С II/ gt,2, 2 Поскольку для произвольных функций /, g Є D(Tn) имеет место соотношение N N II/ gt,2, 2 = /2 ll .o /п пи (м«) = /2 W ifi /п) (to п)и (М«), 3=1 3 =1 то, применяя для функций tpjfi /п Є -D(lRn) и ijjj gu Є D(]Rn) мультипликативную оценку из леммы 2.3.1 (в случае р = q = 2), получаем, что найдётся такая константа C s t 0, что справедлива оценка N II/ -gff (T) C-C s,t $Jllto -/ПІІИКМ») II to -ШІІи К") v/ 9 є D(Tn). 3=1 Так как из определения нормы 7)2,Ф при 7 0 следует, что для произвольного индекса j = 1, N каждое из слагаемых в сумме выше допускает оценку llto /пи (М") llto ШІІИ (К") llf s,2, gt,2, , 122 то в итоге для произвольных функций /, д Є D(Tn) мы получаем оценку II/ gff (T") Cl llf s,2, gt,2, , гдеС1=С-С -ІУ.

В силу того, что для произвольного числа 7 0 нормы І7,2,Ф и я7(Т") эквивалентны на D(Tn), отсюда следует, что существует такая константа CSyt 0, что II/-ё11я (Т") Cs,tfff(T») 11ё11я (Т") V/, д є D(Tn). Лемма 3.3.1 доказана. ЛЕММА 3.3.2. Пусть s t e 0. Тогда существует такая константа C8,t,e 0, что II/ gl# -f Nnr») cs,t,e fя(т») lgm(T») V /, # є D(Tn). n/(n—s)y A Доказательство. Пусть Ф = { ЛІ=і введённое выше разбиение единицы на торе Тп. Тогда в силу эквивалентности норм д- -є (тЛ и II 11 -е n/(n-s) Ф2 на D(Tn) найдётся такая константа С 0, что для произвольных функций hi, h Є D(Tn) справедлива оценка \\hi Ь2д- -є (Тта) С \\hi h2t—є,n/(n-s),Ф2 (3-9) n/(n—s)v Отметим также, что из лемм 3 и 5 работы [60] непосредственно следует, что для некоторой константы KSjt,s 0 справедлива следующая мультипликативная оценка: ll/o goff -f _s) (R") Ks,t,e foЯ(М") 11ёоя (К") V/o, 9о є D(Rn). (3.10) Фиксируем теперь произвольные функции /, g Є D(Tn). Из соотношения N N ll/-gt-e,n/(n-s) 2 = z2 И о /п-ШІІи - ,(м») = z2 ll(fe /n)-(fe-0n)llH -f ,(М»)» п/{п S) _ п/{п S) .7=1 .7=1 неравенства (3.9) и оценки (3.10), применённой к функциям ijjj Q fu и ijjj Q -дц, взятым в качестве /о и до соответственно, следует, что справедлива оценка N II/ gll# 7f _ N(T») С K s,t,e 2_ life /пи (М") life -ШІІи К") Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям некоторой константы CSjt,s 0, не зависящей от выбора / и д, имеет место неравенство II/ gHfl (en_s)(T») Cs,t,e llflff(T)gff (T) 123 что в силу произвольности выбора функций / и д и завершает доказательство леммы. Лемма 3.3.2 доказана.