Многочлены Бернулли от нескольких переменных и многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена Шишкина Ольга Андреевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Многочлены Бернулли от нескольких переменных, их свой ства 20

1.1 Оператор Тодда, числа Бернулли и многочлены Бернулли, ассоциированные с рациональным конусом 24

1.2 Основное свойство многочленов Бернулли 28

1.3 Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в целых точках рационального параллелотопа 31

1.4 Формулы сложения, умножения, дополнения и дифференцирования для многочленов Бернулли от нескольких переменных 35

2 Многомерный аналог формулы Эйлера – Маклорена 41

2.1 Дискретный аналог формулы Ньютона – Лейбница в задаче суммирования функций нескольких переменных по рациональному унимодулярному параллелотопу 45

2.2 Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по унимодулярному рациональному параллелотопу 51

2.3 Суммирование по рациональному параллелотопу в общем случае 56

2.4 О суммировании по целым точкам рационального симплекса 64

Заключение 73

Список литературы 74

• Основное свойство многочленов Бернулли
• Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в целых точках рационального параллелотопа
• Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по унимодулярному рациональному параллелотопу
• О суммировании по целым точкам рационального симплекса

Введение к работе

Актуальность темы

Исследование функций при дискретном изменении аргумента велось издавна, но в отдельную математическую дисциплину исчисление конечных разностей выделилось только в 18 веке. В этом исчислении оперируют приращениями функций, которые соответствуют конечным приращениям аргумента, и роль дифференциалов играют конечные разности функции. Вычисление конечных разностей аналогично дифференцированию, а интегрированию здесь соответствует суммирование разностей, роль дифференциальных уравнений играют конечно-разностные уравнения.

Начала исчисления конечных разностей содержатся в трудах П. Ферма, И. Барроу, Г. Лейбница. Развивалась конечно-разностная теория параллельно с основными разделами математического анализа. В 18 веке теория конечных разностей приобрела характер самостоятельной математической дисциплины, изложение начал которой принадлежит Б. Тейлору (1717 г.), но подлинным основателем следует все же считать Д. Стирлинга (1730 г.). Первое систематическое исследование по теории конечных разностей было написано Л. Эйлером в 1755 году, в нем впервые использовалось обозначение А для разностного оператора.

Сумму степеней последовательных натуральных чисел вычислил еще Я. Бернулли¹, его исследования дали толчок к возникновению целого ряда разделов комбинаторного анализа. В своей работе "Искусство предположений", изданной в 1713 году, Я. Бернулли привел общее выражение для нахождения этой суммы. Кроме того, он вывел рекуррентное правило, позволяющее вычислять числа Бернулли.

Леонард Эйлер применил числа Бернулли в теории конечных разностей и исследовал их свойства. Некоторые из этих результатов он изложил в своем сочинении "Дифференциальное исчисление" , вышедшем в свет в 1755 г. В "Дифференциальном исчислении" им предложено шесть способов нахождения чисел Бернулли.

Числа Бернулли являются значениями в нуле многочленов Бернулли, которые для натуральных значений аргумента рассматривал Бернулли, а для произвольных изучал Эйлер, использовавший для этого в 1738 году производящую функцию.

Также полиномы Бернулли изучал J. L. Raabe² (1801-1859), он нашел для них две важные формулы и ввел термин многочлены Бернулли (1851). Полиномы Бернулли и Эйлера позднее изучал Norlund³.

Числа и многочлены Бернулли хорошо изучены, они нашли широкое

Bernoulli J. Ars Conjectandi / Jacob Bernoulli. — Basel, 1713.

²Raabe J. - L. Die Jacob Bernoullische Funktion / J.-L. Raabe — Zurich, 1848.

³N6rlund N.E. Differenzenrechnung/ N.E. Norlund — Berlin, 1924.

применение в различных областях теоретической и прикладной математики⁴' ⁵' ⁶. Числа Бернулли используются в комбинаторном⁷' ⁸' ⁹'¹⁰'^{11 12},13,14 и численном анализе¹⁵.

Gould¹⁶ заметил, что для многих сумм, содержащих биномиальные коэффициенты, использование чисел Бернулли дает существенное улучшение формул. Различным обобщениям чисел и многочленов Бернулли посвящено большое количество работ¹⁷' ¹⁸' ¹⁹' ²⁰' ²¹' ²² из различных областей математики. В частности, Temme²³ ввел обощенные многочлены Бернулли, у которых степени комплекснозначные.

Одной из основных задач в исчислении конечных разностей является задача суммирования. В общем случае задачу суммирования функций одного аргумента решает известная формула Эйлера - Маклорена, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через производные и интеграл от этой функции. Эйлер получил свою формулу при вычислении медленно

⁴Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. — М.: КомКнига, 2006. — 376 с. ⁵Ландо С. К. Лекции о производящих фцнкциях / С. К. Ландо — M.: МЦНМО, 2007. — 144 с. ⁶Устинов А. В Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера / А. В. Устинов // Матем. заметки.

— 2002. V. 71. — №6. — P. 931-936.

⁷Graham R. L., Knuth D. E., Patashnik O. Concrete mathematics / R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik.

— A foundation for computer science. Second edition. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, 1994.
xiv+657 pp.

⁸Риордан Дж. Комбинаторные тождества / Дж. Риордан. — М.: Наука, 1982. — 255 с. ⁹Rota G. - C. The classical umbral calculus / G.-C. Rota, B.D. Taylor // SIAM J. Math. Anal. — 1994. — V. 25. — №2. — P. 694-711.

¹⁰Данилов О. А. Дискретные аналитические функции многих переменных и формула Тейлора / О. А. Данилов, А. Д. Медных // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. — Т. 9, вып. 2. — С. 38-46.

¹¹Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм / Г. П. Егорычев — Новосибирск: Наука, 1977. — 288 с.

¹²Егорычев Г. П. Комбинаторное тождество из теории интегральных представлений в С / Г. П. Егорычев // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2011. — Т. 3 — №4. — С. 39-44.

¹³Медных А. Д. Дискретные аналитические функции и ряд Тейлора / А. Д. Медных // Теория отображений, ее обобщения и приложения. Сб. науч. тр. — Наук. думка, Киев. — 1982. — С. 137-144.

¹⁴Zeilberger D. A New Basis for Discrete Analytic Polynomials / D. Zeilberger // J. Austral. Math. Soc. — 1977. — V. 23. — P. 95-104.

¹⁵Froberg C.-E. Larobok i numerisk analys / C.-E. Froberg — Stockholm, 1962.

¹⁶Gould H. W. Combinatorial identities / H.W.Gould. — Morgantown printing and binding co., Morgantown WV-USA, 1972.

¹⁷Ernst T. q-Bernoulli and q-Euler polynomials, an umbral approach / T. Ernst // International Journal of Difference Equations. — 2006. — V. 1 — №1. — P. 31-80.

¹⁸Ernst T. The history of q-calculus and a new method / T. Ernst. — Uppsala, 2000.

¹⁹Carlitz L. Bernoulli and Euler numbers and orthogonal polynomials / L. Carlitz // Duke Math. J. — 1959.

— V. 26. — P. 694-711.

²⁰Lehmer D. H. Lacunary recurrence formulas for the numbers of Bernoulli and Euler / D.H. Lehmer // Ann. of Math. — 1935. — V. 36(2). — №3. P. 637-649.

²¹Srivastava H. M. Remarks on some relationships between the Bernoulli and Euler polynomials / H.M. Srivastava, A. Pinter // Appl. Math. Lett. — 2004. — V. 17. — №4. — P. 375-380.

²²Vandiver H. S. Simple explicit expressions for generalized Bernoulli numbers of the first order / H. S. Vandiver // Duke Math. J. — 1941. — V. 8. — P. 575-584.

²³Temme N. M. Bernoulli polynomials old and new: Generalization and asymptotics / N. M. Temme // CWI Quarterly. — 1995. — V. 1. — P. 47-66.

сходящегося ряда, а Маклорен использовал ее для вычисления интегралов. Их вывод формул был не строгим, первое серьезное исследование остаточного члена предпринял Пуассон (1823), а первое строгое доказательство формулы²⁴ дал Якоби (1834). В частности, многие асимптотические разложения функций получаются именно через эту формулу. Известны различные методы доказательства формулы Эйлера - Маклорена: средствами вещественного анализа, опирающегося на свойства многочленов Бернулли, и средствами комплексного анализа (Пуассон). В диссертационной работе рассматривается подход Эйлера, при котором задача суммирования сводится к решению разностного уравнения и использованию дифферанциальных операторов бесконечного порядка.

В последнее время всплеск интереса к задачам суммирования связан с разработкой символьных алгоритмов суммировния рациональных функций в статьях С. А. Абрамова²⁵ и С. П. Полякова²⁶, которые использовали для этих задач название "неопределенное суммирование". Отметим, что в некоторых случаях для суммирования рациональной функции вместо простейшего разностного уравнения целесообразно использовать уравнение более общего вида.

Проблема суммирования функций нескольких дискретных аргументов менее исследована. Можно отметить работу ²⁷, в которой доказанная теорема Римана - Роха может быть интерпретирована как многомерное обобщение формулы Эйлера - Маклорена для квазиполиномов. Функцию нескольких дискретных аргументов представляется естественым суммировать по целым точкам рациональных многогранников. Например, в работах ²⁸' ²⁹' ³⁰ в связи с задачей о числе целых точек в выпуклом многограннике рассматривалась задача неопределенного суммирования многочленов нескольких переменных, и получены аналоги формулы Эйлера - Маклорена для дискретной первообразной таких многочленов.

Цель диссертационной работы — исследовать задачу неопределенного суммирования функций нескольких дискретных аргументов. В частности, определить многомерные аналоги чисел Бернулли и многочленов Бернулли и

²⁴Hardy G. Divergent series / G. Hardy. — Oxford University Press. London, 1949.

²⁵Abramov S.A. On the summation of rational functions / S. A. Abramov // USSR Comput. Math. Math. Phys. — 1971. — V. 11. — №4. — P. 324-330.

²⁶Polyakov S. P. Indefinite summation of rational functions with factorization of denominators / S. P. Polyakov // Programming and Computer Software. — 2011. — V. 37. — №6. — P. 322-325.

²⁷Pukhlikov A. V. The Riemann-Roch theorem for integrals and sums of quasipolynomials on virtual polytopes / A. V. Pukhlikov, A. G. Khovanskii // St. Petersburg Mathematical Journal. — 1993. — V. 4. — №4. — P. 789-812.

²⁸Brion M. Lattice points in simple polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of the American Mathematical Society. — 1997. — V. 10. — №2. — P. 371-392.

²⁹Brion M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points in rational polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of AMS. — 1997. — V. 10. — №4. — P. 797-833.

³⁰Berline N. Local Euler-Maclaurin formula for polytopes / N. Berline, M. Vergne // Moscow Mathematical Society Journal. — 2007. — V. 7. — №3. — P. 355-386.

доказать их свойства, получить многомерный аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в целых точках рационального параллелотопа. Кроме того, для функций нескольких аргументов определить понятие дискретной первообразной и получить соответствующий аналог формулы Ньютона -Лейбница для решения задачи неопределенного суммирования. Далее, найти многомерный аналог формулы Эйлера - Маклорена для отыскания дискретной первообразной и формулу для суммы значений функции в целых точках рационального параллелотопа с переменной вершиной.

Методы исследования

В работе использованы методы многомерного комплексного анализа, теории многомерных разностных уравнений и производящих функций, а также теории дифференциальных операторов бесконечного порядка.

Достоверность результатов

Основные результаты строго доказаны, опубликованы в рецензируемых журналах и докладывались на научных семинарах и конференциях.

Теоретическая и практическая ценность

Все основные результаты являются новыми. Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в теории многомерных разностных уравнений и производящих функций, в комбинаторном перечислительном анализе.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках гранта Правительства РФ для проведения исследований под руководством ведущих ученых в Сибирском федеральном университете (договор 14.Y26.31.0006) и в рамках гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ № НШ-9149.2016.1

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

1. Красноярском городском семинаре по комплексному анализу и алгебраической геометрии (Сибирский федеральный университет, 2014-2017 гг.);

2. The 21st International Conference on Difference Equations and Applications (Poland, Bialystok, 19-25 July 2015);

3. International workshop on multidimensional complex analysis and differential equations (Krasnoyarsk, 20-23 October 2014);

4. международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодёжь и наука: проспект Свободный-2015», посвященной 70-летию Великой Победы (Красноярск, 15-25 апреля 2015 г.);

5. международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодёжь и наука: проспект Свободный-2016», посвященной Году

образования и Содружества Независимых Государств (Красноярск, 15-25 апреля 2016 г.);

6. международной конференции по алгебраической геометрии, комплексному анализу и компьютерной алгебре (Коряжма, 3-9 августа 2016);

7. Barcelona Analysis Conference 2016 (Spain, Barcelona, 5-9 September 2016);

8. VI Российско-Армянском совещании по математическому анализу, математической физике и аналитической механике (Ростов-на-Дону, 11-16 сентября 2016);

9. The 23rd International Conference on Difference Equations and Applications (Romania, Timisoara, 24-28 July 2017).

Публикации и личный вклад

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях без соавторов ([1], [2], [3], [4]), 2 материалах конференций ([6], [7]) и 4 тезисах ([5], [8], [9], [10]). Все статьи опубликованы ведущих рецензируемых изданиях, входящих в Перечень периодических научных изданий, рекомендованных ВАК Министерством образования и науки Российской Федерации.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав основного содержания, заключения. Список цитированной литературы состоит из 60 наименований, а список работ автора по теме диссертации — из 10 наименований. Вся диссертация состоит из 80 страниц.

Основное свойство многочленов Бернулли

Также полиномы Бернулли изучал J. L. Raabe (1801-1859) [44], который нашел для них две важные формулы и ввел термин многочлены Бернулли (J. L. Raabe, 1851). Полиномы Бернулли и Эйлера позднее изучались Norlund [41].

Числа Бернулли широко используются в комбинаторном [36], [16], [45] и численном анализе [33]. Gould [35] заметил, что для многих сумм, содержащих биномиальные коэффициенты, использование чисел Бернулли дает существенное улучшение формул. Различным обобщениям чисел и многочленов Бернулли посвящено большое количество работ [30], [29], [31], [37], [46], [48] из различных областей математики. В частности, Temme [47] вводит обощенные многочлены Бернулли, у которых степени комплекнозначные.

В 1880 Appell (1855-1930) [23] охарактеризовал последовательности многочленов В (х) свойством DB (х) = /І М-І (Х). Многочлены, удовлетворяющие этому свойству, называют многочленами Аппеля. Для многочленов Бернулли эту формулу можно назвать формулой дифференцирования.

Эйлер впервые определил дифференциальный оператор бесконечного порядка п—г = У Ъи—г, где D — оператор дифференцирования, этот оператор сейчас называют оператором Тодда и обозначают Td(D). Этот оператор устанавливает связь между решением разностного уравнения / (х + 1) — / (х) = ср (х) и дифференциального Df (х) = Td(D) ср (х). Многочлены Бернулли можно представить как действие оператора Тодда на моном х11: D В,Лх) = жм. Основное свойство многочленов Бернулли состоит в том, что они удовлетворяют разностному уравнению

В (х + 1) — В (х) = цх = (жм) , (1.17) и поэтому многочлены Бернулли играют в исчислении конечных разностей ту же роль, что и степенные функции в дифференциальном исчислении. Из соотношения 1.17 сразу получается формула Бернулли для суммы степеней последовательных натуральных чисел: X _. / t11 = [Ви+1 (х + 1) — Bu+1 (0)1. (1.18) t=0 г Интегрируя 1.17 по отрезку [0, ж] можно получить другое выражения для искомой суммы: х+1 X У Vі = I B (t)dt, (1.19) t=0 0 в которой она выражается через интеграл от многочлена Бернулли. Числа и многочлены Бернулли хорошо изучены, нашли широкое применение в различных областях теоретической и прикладной математики.( [1], [7])

Суммированию функций нескольких переменных по целым точкам рациональных многогранников посвящены работы [27], [28], [24], [51], [52], в которых получены различные варианты формулы Эйлера-Маклорена. В [27], [28], [24] решается задача суммирования многочлена нескольких переменных, но не определяются понятие многочлена Бернулли и аналогов формул 1.18, 1.19 в этих работах нет.

Для многочленов Бернулли справедливы следующие свойства. Формула сложения аргументов м (х + у) = У С Bk(x)y ; (1.20) к=0 формула дифференцирования В (х) = fiB -1 (х); (1.21) формула дополнения Bjj, (х) = (—1)ИВ (1 — х); (1.22) формула умножения аргумента В. (тх) = т у В. [ х -\ ). (1.23) 2-— т В первой главе диссертационной работы рассматривается некоторое обобщение чисел Бернулли и многочленов Бернулли на случай нескольких переменных, а именно, определяются числа Бернулли, ассоциированные с рациональным конусом, и соответствующие им многочлены Бернулли, доказывается, что многочлены Бернулли есть результат действия оператора Тодда на мономы, и доказано основное свойство многочленов Бернулли, получены формулы сложения, умножения, дополнения и дифференцирования. Вычислен интеграл от многочленов Бернулли по рациональному параллелотопу и найдена сумма мономов в целых точках рационального параллелотопа

В параграфе 1.1 вводятся определения чисел Бернулли и многочленов Бернулли, ассоциированных с рациональным конусом. Для функций нескольких переменных строится оператор Тодда Td ( 9) = YI (aj а) , ас .7=1 Є социированный с конусом К, и доказывается, что многочлены Бернулли есть результат действия оператора Тодда на мономы.

В параграфе 1.2 строится полиномиальный разностный оператор вида, действующий на функциях, определенных в рациональном конусе, и операторы дифференцирования по направлению векторов, и методами теории производящих функций (см. [7], [17]) доказывается многомерный аналог основного свойства, состоящего в том, что многочлены Бернулли удовлетворяют разностному уравнению.

В параграфе 1.3 вычислен интеграл от многочленов Бернулли по рациональному параллелотопу, и для суммы значений мономов в целых точках рационального параллелотопа найден многомерный аналог формулы Бернулли 1.19, в которой сумма выражается через интеграл от многочлена Бернулли по параллелотопу с „переменной“ вершиной.

В параграфе 1.4 доказаны свойства сложения, умножения, дополнения и дифференцирования для многочленов Бернулли, ассоциированных с рациональным конусом. 1.1 Оператор Тодда, числа Бернулли и многочлены Бернулли, ассоциированные с рациональным конусом

В данном параграфе вводятся определения чисел и многочленов Бернулли, ассоциированных с рациональным конусом. Для функций нескольких переменных строится оператор Тодда, ассоциированный с конусом К, и доказывается, что многочлены Бернулли есть результат действия оператора Тодда на мономы.

Многомерный аналог, введенного Эйлером оператора бесконечного порядка D_I, называется оператором Тодда (см., например, [39]). Оператор Тодда [43] помог установить замечательную связь между объемами и количеством целых точек в выпуклых многогранниках. Эта формула тесно связана с теоремой Хирцебруха-Римана-Роха для гладких проективных то-рических многообразий. Отметим также работы [27], [28], [49], [24] в которых рассматривается оператор вида a i еатадп_;р где aj некоторые константы.

Определим теперь числа, многочлены Бернулли и оператор Тодда, ассоциированные с рациональным конусом К. Пусть а1,..., ап линейно независимые векторы с целочисленными координатами а-7 = (aj,... , а ), а\ Є Z, где Z - целые числа. Рациональным конусом, построенным на векторах а1,..., ап, назовем множество К = {у Є М.п : у = \\а1 + + Хпап, Xj Є IR_i_, j = 1,... ,n}.

Отметим, что такой конус является симплициальным, т. е. каждый его элемент выражается через образующие единственным образом. Кроме того, симплициальный конус также является выступающим, т. е. не содержит прямых. Между точками и, v Є Шп определим отношение частичного порядка к следующим образом: u v Ф и Є v + К, к где v + К — сдвиг конуса К на вектор v. Кроме того, будем писать u v, к если и Є K\{v + К}, т. е. если отношение и v не выполняется. Обозначим к Zn = Z х ... х Z, и отметим, что любой элемент у Є К П Zn можно предста вить в виде линейной комбинации базисных векторов у = Х\а1 + + Хпап, Ai 0,..., Ап 0. В матричной форме это представление запишется в виде у = АХ, где у и А — вектора-столбцы, А — матрица, определитель которой А О, а столбцы состоят из координат векторов а?

Аналог формулы Бернулли для суммы значений мономов в целых точках рационального параллелотопа

В параграфе 2.1 для случая унимодулярного рационального конуса реализован подход Эйлера к задаче суммирования, основанный на понятии дискретной первообразной функции. А именно, используя методы теории многомерных разностных уравнений, вводится понятие дискретной первообразной, и доказывается дискретный аналог формулы Ньютона - Лейбница.

Нам потребуются некоторые обозначения и определения из теории многомерных разностных уравнений. Рациональным конусом, построенным на векторах а1}...}ап} назовем множество К = {у Є Ш"" : у = \\а1 + + Хпап} Xj Є Ш+, j = 1,..., п}. На комплекснозначных функциях / (х) целочисленных аргументов х = (хі, ...,жп) определим оператор 5j сдвига по j-ой переменной Sjf (х) = f (xi, ...,Xj-i,Xj + 1, жу+і,..., xn) и обозначим P (6) = сшбш — полиномиальный разностный оператор с по стоянными коэффициентами сш, си = (LUI, ...,иип) Є К П Zn, бш = б .-.б . Здесь Q — конечное множество точек из КГ\Ъп. Разностное уравнение относительно неизвестной функции / (х) записывается следующим образом: Р (б) f (х) = ср (х), ж Є К П IT . Отметим, что уравнения такого вида в случае, когда К = Z, т.е. конус порожден единичными векторами е-7, j = 1,...,п, исследовались в работах [26], [8], а случай произвольного рационального конуса рассматривался в [10], [13], [14], [15], [40].

Для реализации подхода Эйлера к задаче суммирования функции ср (t) нескольких переменных нужно определить многомерный аналог понятия ее дискретной первообразной. Пусть Q (б) = YYj=i (б — 1) и рассмотрим разностное уравнение относительно неизвестной функции / (х) вида: Q (5) f (х) = ср (х), ж є К П IT . Дискретной первообразной функции ср (х) , х Є К П IT называется всякое решение этого разностного уравнения. Для любой точки х Є К обозначим TTJX ее проекцию вдоль вектора а-7 , т.е. если х = \\а1 + ... + Лпап, Лі О, ...,АП 0, то ТІjX = \\а1 + ... + \j-\a l + \j+\a +l + ... + \пап. Пусть V — множество всех 2П упорядоченных наборов J = (ji,..., jk) С {1, ...,n} , включая и пустое множество. Если обозначить TTJ = TTJ1O ... o-7Tjfc, то множество вершин параллелотопа можно записать в виде vert (х) = {TTJX, J Є V} . Отметим, что 7Г0Ж = X. Возьмем произвольное х Є К П Ъп и рассмотрим рациональный параллелотоп П (х) = {t Є М.п : 0 t ж}, построенный на образующих унимо к к дулярного конуса. Рациональность означает, что вершины параллелотопа имеют целые координаты. Обозначим Па — фундаментальный параллелотоп Па = t Є Ш.п : 0 t а , где а = а1 + ... + ап.

В следующей теореме утверждается, что для всякой функции ср (х) дискретная первообразная существует и для суммы 2.40 справедлив дискретный аналог формулы Ньютона - Лейбница. Теорема 5. Пусть К — унимодулярный рациональный конус, тогда для любой дискретной первообразной f (х) функции ср (х) справедлива следующая формула (р (t) = У {—1) j (jij [х + а)), tenK(x)nzn Jev где -j J означает число элементов множества J. Если предположить, что дискретная первообразная имеет частные производные нужных порядков, то искомую сумму S (х) можно выразить и через интеграл по параллелотопу. Предложение 1. Пусть Dj = (а-7,5) — производные по направлению векторов а-7, тогда для любой дискретной первообразной f (х) функции р (х) справедлива формула Vj (t) at = у \ — 1) j [ТІj [x + a)), Пх(і+я) где D = D\...Dn) а dt = dt\...dtn. Теорему 5 и предложение 1 докажем сначала для случая, когда конус К = Z, т.е. а-7 — единичные векторы. В этом случае суммирование идет по n-мерному параллелепипеду П : (х) = П (х) = {t Є К : 0 tj Xj, j = 1,..., n} и сумму 2.40 можно записать одним из следующих способов: Х\ Хп S (х) = У ... У tp (t\, ...,tn) = У tp(t), (2.41) ti=o t„=o O t x а разностный оператор, участвующий в определении дискретной первообразной, имеет вид Q (S) = YYj=i {$j 1)

Следующее предложение объясняет почему в определении дискретной первообразной участвует разностный оператор Q (S).

Предложение 2. Для всякой функции р(х + /) сумма 2.41 является дискретной первообразной, т.е. Q (S) S (х) = р (х + /) , где I = (1,..., 1).

Доказательство. Последовательно действуя операторами Sj — 1, j = 1, ...,п, на сумму 2.41, получим на первом шаге Доказательство. Учитывая, что 2 (5j — l)f (t) = (5j — TTJ) f (t) ж по tj=o лучим Ф (0 = П?=і {fij жз) f (x) 4 0 t x n Раскрывая скобки в произведении Y[ (8j — тг?) с учетом определения TTJ и тем, что TTJ и 6k перестановочны для j ф к, получим [dj — 7ij) = у \ — 1) Kjb-j = у \ — 1) TljO. j=l Jev Jev Здесь J = {1,..., n} \ J, 5 = 8\...8n. Таким образом, сумма n v / = І І ("і У/ 1ж) = = / I-Ч J У71 J \х + Ч) O t x j=l JeV выражается через значение функции / (х) в вершинах параллелепипеда П (х + /) = {t : 0 tj Xj + 1, j = 1,..., n} . Нам потребуется формула, выражающая искомую сумму через интеграл по параллелепипеду. Предложение 4. Для любой дискретной первообразной f (х) функции ср (х) справедлива формула df (t) dt = у tp (t), ІДЖ+J) где I = (1,..., 1) , д = д\...дп, dt = dt\...dtn, а интегрирование ведется по п-мерному параллелепипеду П (х + /) = {t : 0 tj Xj + 1, j = 1,..., n} . Доказательство. Отметим прежде всего для j = 1, 2,..., п справедливость равенств О используя которые, результат повторного интегрирования можно записать в виде п п / Of (t) dt = I I ( h,3 — 1 ) 7Гі о ... о 7ГП/ () = I I ( h,3 — 1 ) / (0) = Щх+І) j=1 j=1 JeV а из предложения 3 следует равенство / df (t) dt = У tp (t). ІДЖ+J)

Отметим, что сумма 2.40 является дискретной первообразной функции (р (х + а), т.е. Q (6) S (х) = (р (х + а), х Є П (ж) П Zn и а = а1 + ... + ап.

Действительно, после замены переменных t = АХ, X Є Z сумма S (х) , где ж = AT преобразуется следующим образом S (Ат) = ср(АХ), а 0 А т разностный оператор примет вид п п Q (5) = I I (5а — 1) = I I (SJ — 1) = Q (s). 3=1 3=1 Поэтому с учетом предложения 2 получим Q (s) S (г) = р (X + I). После возвращения к переменным х получим Q (6) S (х) = ср (х + а).

Перейдем теперь к доказательству теоремы 5. Установим связь между разностными уравнениями в рациональных конусах и более изученными уравнениями в положительном октанте Z. Существенным является требование, состоящее в том, что мы рассматриваем унимодулярные конусы т.е. конусы, построенные на таких векторах а1,..., ап, что определитель матрицы А, столбцами которой являются координаты этих векторов, равен 1. Это означает, что определяемое матрицей А отображение t = АХ является взаимно однозначным отображением между Z и К П Zn. Если Sj — операторы сдвига, действующие на функции / (АХ) переменных Xj, то они связаны с операторами Sj, действующим на на функции / (t) переменных tj, следующим образом Sjf (АХ) = f (А (X + е-7)) = / [АХ + AeJ) = = f [АХ + а-7) = / (t + а-7) = 5а f (t), т.е. Sjf (АХ) = 5а f (t), j = 1,..., n. (2.42)

Формула Эйлера – Маклорена в случае суммирования по унимодулярному рациональному параллелотопу

В предложении 7 показано, что для определения дискретной первооб-разной нужно использовать разностное уравнение [д — 1) j [х) = (р [х).

Аналог оператора Тодда в данном случае определяется формулой 2.54, и в теореме 11 приводится обобщение формулы Эйлера - Маклорена для дискретной первообразной, а в теореме 12 доказана формула для суммы (2.52).

Обозначим через Cd комплексное пространство размерности d, а его точки через z = (z\,..., Zd) Пусть Exp (Cd) пространство целых функций ср (z) экспоненциального типа, т.е целых функций, удовлетворяющих неравенству \tp(z)\ Мегг, где М 0, г 0 - некоторые числа (для каждой функции свои), и \z\ = \zi\ + ... + \Zd\ Обозначим D = (D-i, ...Dj) , где DA = 75— и D = D?1 ...DAd для мульти-индекса a = {a\,..., ad) Пусть R 0 фиксированное число иг R произвольно. Обозначим через ExpR (Cd) пространство целых функций экспоненциального типа tp (z) таких, что для некоторого М 0 и любого г R \Da(p(z)\ Mra er z для всех мультииндексов а и всех z Є Cd. Пусть А () аналитическая в полицилиндре UR = { ЄC : \j\ R, j = 1,..., d} функция, и дано ее разложение в степенной ряд А () = 2 аа,а- Сопо Ы=0 ставим функции А () дифференциальный оператор бесконечного порядка A(D) , формально заменяя аргумент = (i,...,n) символом дифференцирования D = (Di, ...Dj) Функцию А () будем называть символом оператора Л (D).

Действие оператора Л (D) на функцию ср (z) определяется формулой A{D)if{z)= у aaDaif (z). ы=о Обозначим Н (UR) пространство функций голоморфных в UR, и пусть А() Є Н (UR) . Как известно ([3], теорема 5.1), для любой функции tp (z) Є ExpR (Cd) функция A (D) tp (z) определена и также принадлежит пространству ExpR (Cd) . Более того, отображение A (D) : ExpR (C ) — ExpR (C ) непрерывно, а совокупность дифференциальных операторов бесконечного порядка {A (D)} образует алгебру. ([3], теорема 5.2). В частности, если наряду с А () функция 1/А () аналитична в UR, то оператор 1/А (D) обратный к A (D).

Прежде всего, покажем, что полиномиальный разностный оператор Q {$) = Y2 аа а, где 5а = д .-.д , действует так же, как и некоторый \а\ т дифференциальный оператор бесконечного порядка. Рассмотрим целую функцию Q (е ) = Q (е 1,..., e d) переменных = (i, ...,d) Є Cd, тогда дифференциальный оператор бесконечного порядка Q (eD) = Q (eDl,..., eDd) определен на пространстве функций Exp (Cd) .

Предложение 6. На пространстве Exp (Cd) справедливо равенство Q (5) = Q (eD) Доказательство. Для любой функции ср (z) экспоненциального типа име ем Q (5) ip (z) = У aa ap (z) = У aap (z + a), \a\ m \a\ m и разлагая p (z + а) по степеням а, получим /еч / v x Hz) k (aD)k Qydjipyz) = aa a = aa /?(). a ra /г=0 a ra /г=0 ҐЛ f F\ s f F\a s nF s s (cut) другой стороны, U е? = аа еЧ = aue = а» ті а т а т а т А;=0 00 і n fc Поэтому, Q fe-0) Lp (z) = У аа У ,, ip (z). \a\ m \k\=0 Таким образом, Q (5) ip(z) = Q (eD) p (z) для любой ip (z) Є Exp (Cd) . Определим теперь нужные нам дифференциальные операторы бесконечного порядка. Пусть z = 1 корень кратности т характеристического многочлена Р (z) разностного уравнения Р (5) f (х) = ср (х). (2.53)

Кратность т может принимать значения то 0 до р. Построим дифференциальный оператор бесконечного порядка, связанный с этим многочленом. Обозначим R - расстояние от = 0 до другого ближайшего нуля функции Р (е ) = 0. Рассмотрим функцию Г 00 I. (гууЛ /Ц) = „ п = q , (2.54) "(еЧ 2-— /і! где m - кратность корня = 0. Числа Ьц (т) назовем обобщенными числами Бернулли.

Функция 2.54 голоморфна в круге UR = { Є C1 : Щ , поэтому дифференциальный оператор A (D) определен на пространстве ExpR (C). Обозначим алгебру операторов, определенных на Ехрл (C), через Н. Очевидно, что в алгебре Н справедливо следующее равенство Р (е ) A (D) = D m . (2.55) Действительно, операторы Р ifD) и A (D) принадлежат алгебре Н, и так как для их символов Р (е ) иі(()в круге UR справедливо равенство Р (е ) А () = т, то для любой р (z) Є EXPR(C) справедливо равенство Р (eD) A (D) р (z) = Dmp (z).

Теорема 11. Пусть p(z) Є ExpR (C) , и z = 1 — корень кратности т характеристического многочлена. Функция f (z) Є ExpR (C) является решением разностного уравнения (2.53) тогда и только тогда, когда f (z) является решением дифференциального уравнения Dmf (z) = A (D) р (z), (2.56) 6M(m) где A (D) = і D i а Ь (т) — обобщенные числа Бернулли. Доказательство. Необходимость. Пусть функция р (z) Є ExpR (C) и / (z) Є EXPR(C) — решение уравнения (2.53). По предложению 6 имеем Р (6) = Р (eD) Тогда из (2.53) получим Р (eD f (z) = р (z). Далее после умножения на A (D) имеем Р (eD) A (D) f (z) = A (D) р (z). Учитывая равенство (2.55) Dm f (z) = A (D) р (z) , т.е / удовлетворяет соотношению (2.56).

Достаточность. Сначала докажем, что, если функция и (z) Є ExpR (C), то любая его первообразная также принадлежит ExpR (C). Действительно, если предположить, что и (z) Є ExpR (C) , а ее первообразная и (z) ф ExpR (C), то для любых М 0 и г R существуют ciQ и точка ZQ Є C, такие, что \Dau(zo)\ Mf a er Zo , тогда \Da lu (zo)\ Mr ao er Zo , и \Da lu (zo)\ Мгг ао_1 ег г . Это означает, что и (z) не принадлежит ExpR (C).

Теперь докажем, что, если / (z) — решение дифференциального уравнения (2.56), то / (z) — решение разностного уравнения (2.53). Так как Dmf (z) = A (D) р (z) и согласно равенству (2.55) Dm = Р (eD A (D), то Р (е13) A (D) f (z) = A (D) р (z). Применим к обеим частям последнего равенства оператор A l (D), получим Р (eD) f (z) = р (z), а с учетом предложения 1 P (5) f (z) = cp (z). Таким образом, если cp (z) Є ExpR (С) , то решение / (z) разностного уравнения (2.53) также лежит в этом классе. Последовательно интегрируя (2.56), получим в качестве следствия из теоремы 1 формулу для решения разностного уравнения (2.53):

Следствие из теоремы 11. В условиях теоремы 11 функция f (z) Є Ехрц{С) является решением (2.53) тогда и только тогда, когда Ґ \ г М {Jib) г- / \ , \ r "u+m [ill) -і- ,, / ч \Z) = Ут ±т-и,ф\%)-\- У Т \\L)Р(/?Ш, где Рп-цір (z) — первообразная порядка n — /І функции ср (z) , а Ъ {га) — обобщенные числа Бернулли. Пример. В качестве примера применения теоремы 11 решим уравнение (2.53) в случае, когда (p(z) = qz, q 0. Так как qz = ezlnq, то (р (z) Є ExpR (С) при q eR. Пусть га - кратность корня z = 1 характериое b . , стического многочлена Р (z), тогда по теореме 11 Dmf (z) = р,D qz. Преобразуем

О суммировании по целым точкам рационального симплекса

Действие оператора F (д) на функцию ср (z) определяется формулой F (д) ip (z) = У cada(p(z).

Обозначим Н (UR) — пространство функций голоморфных в UR, и пусть F () Є Н (UR) . Как известно ( [3], теорема 5.1), для любой функции р (z) Є ExpR (Сп) функция F (д) cp (z) определена и также принадлежит пространству Ехрц (Сп). Более того, отображение F (д) : ExpR (Сп) — ExpR (Сп) непрерывно, а совокупность операторов бесконечного порядка {F (д)} образует алгебру ( [3], теорема 5.2), которую будем обозначать Н. В частности, если наряду с F () функция F l () = Jr аналитична в [У/?, то оператор F_1 (5) является обратным к F (д). Определим теперь нужные дифференциальные операторы бесконечного порядка. Прежде всего, покажем, что полиномиальный разностный оператор Р (5) = сш8ш, где 8Ш = 1... п, действует на пространстве Н (С) w m целых функций так же, как и некоторый дифференциальный оператор бесконечного порядка, который строится по характеристическому многочлену Р (). Рассмотрим целую функцию Р (е ) = Р (е 1,..., e n) = YJ cwe w , и w m сопоставим ей дифференциальный оператор бесконечного порядка Р (е9), действующий на пространстве функций Ехр(Сп), где е = (е 1,..., е п) , ( х , ) = W1 ! + ... + UJn n. Предложение 5. На пространстве Ехр (Сп) справедливо равенство Р (5) Lp (z) = Р (б ) if (z) . Доказательство. Используя формулу Тейлора, для любой функции р (z) Є Exp (Сп) получим 00 _, P (d) (p (z) = у c ip (z + UJ) = у Си у —о ip {Z)UJ = w m w m A;=0 oo _, Y Y l a\k = У Си у —{ujo) ip(z), w ra /г=0 где ( x 9) = ( x i 9i) ..(Wn n) . С другой стороны, г \е ) Lp\z) = у сш[е ) (f (z) = у сше (f (Z) = w m w m оо _. Y Y l a\k ( = / сш у — {ujo) (f [z). 2-— 2-— k\ \uj\ m \k\=Q Таким образом, P (5) tp (z) = P (e ) ip (z) для любой ip (z) Є Exp (Cn). Для разностного оператора Q (5) = YYj=i aP 1, участвующего в определении дискретной первообразной, утверждение предложения 5 озна чает, что — 1) . Отметим, что символ этого опера тора является целой функцией Q (еа ) , где а = ((а1, ) ,..., (ап, )) , и множество ее нулей состоит из объединения счетного числа комплексных гиперплоскостей вида где і — мнимая единица, j = 1, ...,п, к = 0, ±1, ±2... Для мероморфной функции п ( і с 1 [t,) = — (2.43) Y[ (е(а3& — і) гиперплоскости Ljfi, j = l,...,n являются „устранимыми“ особыми множествами, поэтому Т () голоморфна в некоторой окрестности начала координат. Найдем максимальное R такое, что функция 2.43 голоморфна в полицилиндре UR = { : \Q\ R,j = 1, ...,n} , т.е. гиперплоскости Lj для к = 0,=Ы,±2... не пересекаются с полицилиндром UR.

Обозначим аЛ = \а\\ + ... + \aJn\ и возьмем R = тах7[а3-ц Тогда для Є t/д, j = 1, ...,п справедливы неравенства я-7,) a j i + ... + a J n R \\aJ\\ — 2к", из которых и следует, что Lj П UR = 0 для к = 0, ±1, ±2...

Таким образом функция 2.43 голоморфна в полицилиндре UR, где R = тгттт, и, следовательно, разлагается в этом полицилиндре в ряд оо ЬА Т {) = у т м- (2.44) 2-— IV. 1м1=о г Напомним (см. параграф 1.1), что коэффициенты ЪА ряда 2.44 называются числами Бернулли, ассоциированными с рациональным конусом К. Соответствующий 2.44 дифференциальный оператор бесконечного порядка оо ЬА Td ід) = у д11 (2.45) 2-— IV. 1м1=о г — это оператор Тодда. Поскольку для голоморфных в полицилиндре UR функций Т () и ft (aj) О (е ) справедливы соотношения Т () = 3 \, п и Q (е ) = ГГ (V, )WZT, то в алгебре Н справедливо равенство Q (е ) = D TdA (д) Напомним, что Dj = (а-7,5) — операторы дифференцирования по направлению вектора a-7, j = 1, ...,п, и обозначим D = D\o ... о Dn. Теорема 6. Пусть tp (z) Є ExpR (Cn) и Td"4 (5) — оператор Тодда, тогда всякое решение f (z) дифференциального уравнения Df (z) = Td (д) tp (z), (2.46) является дискретной первообразной для функции ср (z). Доказательство. Т.к. tp (z) Є ExpR (Cn) и Td (д) Є H, то и Td (д) ер (z) Є ExpR (Cn).

Поэтому уравнение 2.46 всегда имеет решение, также принадлежащее ExpR (Cn). Это следует, например, из того, что после замены z = вл с учетом унимодулярности матрицы А оно примет вид d\...dnf (в) =]j(6).

Покажем, что всякое решение / (z) дифференциального уравнения 2.46 является обобщенной дискретной первообразной, т.е. решением разностного уравнения Q (6) f (z) = p(z). Действительно, функцию 2.43 можно преобразовать следующим образом

Поэтому функция TJry = ГТ У — і является целой функцией, а опе-ратор Л/Яч — обратным к оператору Td (д). ал(о) г v Действуя оператором ,L на обе части диффференциального уравнения 2.46, получим DTdA(g f (z) = Td ( 9) TdA,dstp (z). Учитывая, что DrriA, = Q (є ) и предложение 5, окончательно имеем ал(о) Q (5) f (z) = ср (z). Теорема 7. После интегрирования равенства 2.46 по параллелотопу Пк (% + а) с „переменной“ вершиной х + а, где а = а1 + ... + ап получим аналог формулы 2.39: г ЪА у ip (t) = / rd Lp (t) dt. tnK(x)nZ« Пк(ж+а) M=0 Доказательство. Доказательство получается интегрированием дифференциального уравнения 2.46 по параллелотопу П (х + а), т.к. J Df (t) dt = S (x) согласно предложению 1. В параграфе 2.3 в отличии от 2.2 рассматривается случай, когда уни-модулярность конуса не требуется. Доказан дискретный вариант формулы Ньютона - Лейбница для задачи суммирования функций по целым точкам рационального параллелотопа, и для функций экспоненциального типа получен многомерный аналог формулы Эйлера - Маклорена для дискретной первообразной. Кроме того, решена задача суммирования функций по целым точкам рационального параллелотопа.