Метрическая и топологическая проективность, инъективность и плоскость банаховых модулей Немеш Норберт Тиборович

Содержание к диссертации

Введение

1 Предварительные сведения 12

1.1 Банаховы пространства 12

1.2 Банаховві алгебрві и их модули 18

1.3 Относителвная гомология и оснащеннвіе категории 22

2 Общая теория 26

2.1 Проективноств, инъективноств и плоскоств 26

2.1.1 Метрическая и топологическая проективноств 26

2.1.2 Метрическая и топологическая проективноств идеалов и циклических

2.1.3 Метрическая и топологическая инвективноств 34

2.1.4 Метрическая и топологическая плоскоств 38

2.1.5 Метрическая и топологическая плоскоств идеалов и циклических модулей 40

2.2 Влияние банаховой геометрии 43

2.2.1 Гомологически тривиалвнвіе аннуляторнвіе модули 43

2.2.2 Гомологически тривиалвнвіе модули над банаховвіми алгебрами со спе-циалвной геометрией 46

2.3 Далвнейшие свойства проективнвгх, инвективнвгх и плоских модулей 54

2.3.1 Гомологическая тривиалвноств модулей при замене алгебрві 54

2.3.2 Плоские модули и инвективнвіе идеалві 58

3 Приложения к алгебрам анализа 63

3.1 Приложения к модулям над С -алгебрами 63

3.1.1 Пространственнвіе модули 63

3.1.2 Проективнвіе идеалві С -алгебр 64

3.1.3 Инвективнвіе идеалві С -алгебр 68

3.1.4 Плоские идеалві С -алгебр 71

3.1.5 ЦН)- и Б(Я)-модули 73

3.2 Приложения к гармоническому анализу з

3.2.1 Предварительные сведения по гармоническому анализу 81

3.2.2 Ьі(С)-модули 83

3.2.3 М(С)-модули 86

3.2.4 Банахово-геометрические ограничения 87

3.3 Пример “маленькой” категории 91

3.3.1 Предварительные сведения по теории меры и Lp-пространствам 91

3.3.2 Категория .В(П,Е)-модулей Lp 93

3.3.3 Операторы умножения 93

3.3.4 Гомологическая тривиальность категории В(П,Е)-модулей Lp 109

Заключение 111

Список литературы

• Относителвная гомология и оснащеннвіе категории
• Метрическая и топологическая проективноств идеалов и циклических
• Гомологически тривиалвнвіе модули над банаховвіми алгебрами со спе-циалвной геометрией
• Предварительные сведения по гармоническому анализу

Введение к работе

Актуальность темы. В любой математической теории, где рассматриваются множества с определенными структурами и отображения, должным образом реагирующие на эти структуры, рано или поздно возникают задачи подъема и продолжения таких отображений. На современном языке это задачи подъема и продолжения морфизмов в тех или иных категориях. Объекты, из которых любой морфизм можно поднять вдоль любого эпиморфизма, называются проективными, а объекты, у которых любой морфизм действующий в них можно продолжить вдоль любого мономорфизма, называются инъективными. В категориях, где есть разумные аналоги тензорного произведения, например, в замкнутых моноидальных категориях, можно определить понятие плоского объекта, то есть объекта, у которого соответствующий функтор тензорного произведения сохраняет мономорфизмы. Понятия проективности, инъективности и плоскости являются тремя китами, на которых покоится здание гомологической алгебры. С момента своего возникновения в 50-х годах XX века эта ветвь математики широко развилась и стала незаменимым инструментом в алгебраической теории чисел, теории представлений, комплексном и функциональном анализе. Цель данной диссертации — изучение двух специальных типов гомологически тривиальных объектов в категории банаховых модулей, точнее изучение метрически и топологически проективных, инъективных и плоских банаховых модулей.

При попытке перенести понятия проективности, инъективности и плоскости из чистой алгебры в функциональный анализ естественно возникли два подхода. В первом из них, назовем его топологическим, от подъемов операторов и продолжений операторов требовалась лишь непрерывность, а в роли эпиморфизмов и мономорфизмов рассматривались открытые отображения и вложения с замкнутым образом соответственно. Второй подход, назовем его метрическим, учитывал не только топологическую структуру банаховых пространств, но и точное значение нормы: в качестве эпиморфизмов рассматривались строгие фактор-отображения, а в качестве мономорфизмов брали изометрические вложения.

Первый нетривиальный результат в этой области был получен в конце 20-хх годов XX века. Это теорема Хана-Банаха^,, , которая утверждает метрическую инъективность C как банахова пространства. Конечно, в то вре- ¹Hahn H. Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen. // J. Reine Angew. Math. 1927. Т. 157.

С. 214—229.

²Banach S. Sur les fonctionnelles lineaires // Stud. Math. 1929. Т. 1, № 1. С. 211—216. ³Banach S. Sur les fonctionnelles lineaires II // Stud. Math. 1929. Т. 1, № 1. С. 223—239.

мя гомологической алгебры не было и в помине. Затем в 1950 году Нахбин и Гуднер , в предположении существования хотя бы одной крайней точки в единичном шаре пространства, доказали, что все метрически инъектив-ные действительные банаховы пространства суть ()-пространства, для некоторого стоунова пространства . В 1952 году Келли⁶ смог избавиться от этого предположения. Наконец, в 1958 году Хасуми⁷ получил описание метрически инъективных комплексных банаховых пространств. В этот промежуток в 1955 году Гротендик описал метрически плоские банаховы пространства, они оказались изометрически изоморфны ₁-пространствам. В 1966 Кёте доказал , что все топологически проективные банаховы пространства топологически изоморфны ₁-пространствам. В 1972 году Стигал и Резерфорд показали, что топологически плоские пространства — это в точности L₁-пространства, то есть пространства локально устроенные так же как и ₁-пространства. Наконец, в 2013 Хелемский заметил , что из результатов Гротендика легко получается описание метрически проективных банаховых пространств — они изометрически изоморфны ₁-пространствам. Единственная до сих пор нерешенная задача — это описание топологически инъективных банаховых пространств. Некоторые специалисты оценивают ее

как безнадежную .

Параллельно с этим шло становление банаховой гомологии. В 1954 году Данфорд¹³ показал взаимосвязь между расширениями банаховых алгебр и спектральными операторами. Используя банахов аналог комплекса Хох-шильда, в 1962 году Камовиц определил группы когомологий банаховой алгебры с коэффициентами в банаховом бимодуле. Вскоре эта конструкция

⁴Nachbin L. A theorem of the Hahn-Banach type for linear transformations // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. С. 28—46.

⁵Goodner D. Projections in normed linear spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. С. 89—108. ⁶Kelley J. Banach spaces with the extension property // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. С. 323—326. ⁷Hasumi M. The extension property of complex Banach spaces // Tohoku Math. J. (2). 1958. Т. 10, № 2. С. 135—142.

⁸Grothendieck A. Une caracterisation vectorielle-metrique des espaces L₁ // Canad. J. Math. 1955. Т. 7. С. 552—561.

⁹Kothe G. Hebbare lokalkonvexe Raume // Math. Ann. 1966. Т. 165, № 3. С. 181—195.

¹⁰Stegall C., Retherford J. Fully nuclear and completely nuclear operators with applications to L₁-and L-spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Т. 163. С. 457—492.

¹¹Хелемский А. Метрическая свобода и проективность для классических и квантовых нормированных модулей // Матем. сборник. 2013. Т. 204, № 7.

¹²On separably injective Banach spaces / A. Aviles [и др.] // Adv. Math. 2013. Т. 234. С. 192—216. ¹³Dunford N. Spectral operators // Pacifc J. Math. 1954. Т. 4, № 3. С. 321—354.

¹⁴Kamowitz H. Cohomology groups of commutative Banach algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. Т. 102, № 2. С. 352—372.

нашла применения в теории расширений и дифференцирований банаховых

алгебр^15, .

В 1970 году Хелемским был предложен общий подход к гомологии банаховых алгебр . Его идея состояла в построении варианта относительной гомологической алгебры для категорий банаховых модулей. Здесь под относительной гомологической алгеброй мы понимаем конструкцию Эйленберга и Мура , в которой рассматриваются не все эпиморфизмы и мономорфизмы, а только некоторый выделенный класс так называемых допустимых морфиз-мов. В случае банаховых модулей Хелемский определил допустимые морфиз-мы как морфизмы банаховых модулей, обладающие дополняемым (в смысле банаховой геометрии) ядром и образом. Как следствие, возникли понятия относительно проективного, инъективного и плоского банахова модуля. На категорию банаховых модулей были перенесены многие конструкции гомологической алгебры, такие как резольвента, производный функтор, группы когомологий. Построенную теорию стали называть относительной банаховой гомологией.

Методы относительной банаховой гомологии позволили получить ряд результатов о наличии аналитической структуры в спектре коммутативной полупростой банаховой алгебры^, , дать гомологическую интерпретацию таким топологическим понятиям как дискретность, паракомпактность и метризуемость^, . В теории операторных алгебр были получены струк-¹⁵Guichardet A. Sur l’homologie et la cohomologie des algebres de Banach // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A. 1966. Т. 265. С. 38—41.

¹⁶Johnson B. The Wedderburn decomposition of Banach algebras with fnite dimensional radical // Amer. J. Math. 1968. С. 866—876.

¹⁷Хелемский А. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами // Матем. сборник. 1970. Т. 81, № 3. С. 430—444.

¹⁸Eilenberg S., Moore J. Foundations of relative homological algebra. Т. 55. American Mathematical Society, 1965.

¹⁹Пугач Л. Проективные и плоские идеалы функциональных алгебр, их связь с аналитической структурой // Матем. заметки. 1982. Т. 31, № 2. С. 223—229.

²⁰Пугач Л. Гомологические свойства функциональных алгебр и аналитические полидиски в их пространствах максимальных идеалов // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1986. Т. 31. С. 347—356.

²¹Хелемский А. Описание относительно проективных идеалов в алгебрах C() // Докл. АН СССР. Т. 195. 1970. С. 1286—1289.

²²Курмакаева Е. Зависимость строгой гомологической размерности C() от топологии // Матем. заметки. 1994. Т. 55, № 3. С. 76—83.

²³Селиванов Ю. Гомологическая размерность циклических банаховых модулей и гомологическая харак-теризация метризуемых компактов // Матем. заметки. 1975. Т. 17, № 2. С. 301—305.

турные теоремы о строении ^*- и ^*-алгебр^24,, и некоторых несамосопряженных операторных алгебр^, . Пожалуй, самый известный результат здесь — это теорема Джонсона: локально компактная группа аменабельна тогда и только тогда, когда ее сверточная алгебра относительно аменабельна. Относительная банахова гомология стремительно развивалась, и вопросов всегда было больше чем ответов. Поэтому другие варианты банаховой гомологий почти не рассматривались. Под другими вариантами мы понимаем варианты относительной гомологии банаховых модулей с иными классами допустимых морфизмов. Можно рассматривать как более узкие, так и более широкие классы, чем класс относительно допустимых морфизмов. Первые два кандидата — это, конечно же, допустимые морфизмы из метрической и топологической теории банаховых пространств. Метрической банаховой гомологией назовем вариант относительной гомологии банаховых модулей, где допустимые мономорфизмы — это изометрические морфизмы модулей, а допустимые эпиморфизмы — это морфизмы модулей, являющиеся строгими фактор-отображениями. Аналогично в топологической банаховой гомологии в качестве допустимых мономорфизмов берутся морфизмы модулей, являющиеся вложениями с замкнутым образом, а в качестве допустимых эпиморфизмов рассматриваются морфизмы модулей, являющиеся открытыми отображениями. Устоявшихся названий для этих версий банаховой гомологии еще нет.

Первые упоминания метрической банаховой гомологии можно найти уже в 1967 году в работе Хаманы . Точнее, Хамана исследовал только метрическую инъективность банаховых модулей. Он дал определение инъектив-ной оболочки банахова модуля, доказал ее существование и единственность. Также он доказал следующий критерий: унитальная ^*-алгебра метрически инъективна как модуль над собой тогда и только тогда, когда она является коммутативной ^*-алгеброй. Более основательно метрическая банахова го-²⁴Хелемский А. Гомологическая сущность аменабельности по Конну: инъективность предуального би-модуля // Матем. сборник. 1989. Т. 180, № 12. С. 1680—1690.

²⁵Helemskii A. Projective homological classifcation of C^*-algebras // Comm. Algebra. 1998. Т. 26, № 3. С. 977—996.

²⁶Helemskii A. Wedderburn-type theorems for operator algebras and modules: traditional and “quantized” homological approaches // Topological Homology: Helemskii’s Moscow Seminar. 2000. С. 57—92.

²⁷Головин Ю. Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами // Матем. заметки. 1987. Т. 41, № 6. С. 769—775.

²⁸Головин Ю. Свойство пространственной проективности в классе CSL-алгебр с атомным коммутантом // Фундамент. и прикл. матем. 1995. Т. 1, № 1. С. 147—159.

²⁹Johnson B. Cohomology in Banach algebras. Т. 127. American Mathematical Society, 1972.

³⁰Hamana M. Injective envelopes of Banach modules // Tohoku Math. J. 1978. Т. 30, № 3. С. 439—453.

мология была впервые рассмотрена в 1979 году в работе Гравена . Он определил понятия метрически проективного, инъективного и плоского банахова модуля и описал простейшие свойства таких модулей. В качестве приложений он дал критерии метрической проективности, инъективности и плоскости классических модулей гармонического анализа над сверточной алгеброй. Уже в этой работе были первые намеки на взаимосвязь между метрической банаховой гомологией и геометрией банаховых пространств. Подход Гравена во многом схож с методами относительной банаховой гомологи, но судя по аннотации к статье, сам Гравен, скорее всего, не знал о существовании этого направления.

История топологической банаховой гомологии также началась с исследования инъективности. В 1984 году Хелемский и Шейнберг при изучении относительной аменабельности банаховых алгебр дали определение топологически инъективного и плоского банахова модуля. Они доказали критерий топологической плоскости циклических модулей и дали достаточное условие топологической плоскости идеалов. В следующий раз об этом направлении банаховой гомологии напомнил Уайт в 1995 году . Его определения строго проективного, инъективного и плоского модуля учитывали нормы морфиз-мов, но по своей сути они были эквиваленты определениям топологической проективности, инъективности и плоскости. Уайт доказал базовые свойства этих модулей по аналогии с относительной банаховой гомологией, дал количественный аналог теоремы Шейнберга о топологической плоскости циклических модулей. Также Уайт провел исследование некоторых гомологических свойств модулей над равномерными алгебрами.

В 2008 году Хелемский начал систематическое исследование гомологически тривиальных объектов в метрической теории. В работах^,, он дал описания метрически проективных и плоских объектов для некоторых специальных категорий банаховых модулей. После этого, в работе он предложил новый подход к доказательству базовых теорем для различных версий

³¹Graven A. Injective and projective Banach modules // Indag. Math. (Proceedings). Т. 82. Вып. 1. Elsevier. 1979. С. 253—272.

³²Хелемский А. Плоские банаховы модули и аменабельные алгебры // Труды Моск. матем. об-ва. 1984. Т. 47. С. 179—218.

³³White M. Injective modules for uniform algebras // Proc. Lond. Math. Soc. 1996. Т. 3, № 1. С. 155—184.

³⁴Хелемский А. Безматричная версия принципа продолжения Арвесона-Виттстока и ее обобщение // Функц. анал. и прил. 2008. Т. 42, № 3. С. 63—70.

³⁵Helemskii A. Metric version of fatness and Hahn-Banach type theorems for normed modules over sequence algebras // Stud. Math. 2011. Т. 206, № 2. С. 135—160.

³⁶Helemskii A. Extreme version of projectivity for normed modules over sequence algebras // Canad. J. Math. 2013. Т. 65, № 3. С. 559—574.

³⁷Хелемский А. Метрическая свобода и проективность для классических и квантовых нормированных модулей // Матем. сборник. 2013. Т. 204, № 7.

банаховой гомологии. Идея состояла в определении понятия проективности и свободы для так называемых оснащенных категорий. В последствии метрическая, топологическая и относительная банахова гомология были вписаны в эту общекатегорную схему.

В данной работе предпринята попытка собрать воедино все важные результаты и провести полное исследование метрических и топологических гомологических свойств трех типов модулей анализа: классических модулей над алгебрами ограниченных и компактных операторов на гильбертовом пространстве, модулей над алгебрами ограниченных и исчезающих на бесконечности функций и модулей над сверточной алгеброй и алгеброй мер локально компактной группы.

Цель работы. Целью данной работы является:

1. Построение общей теории для изучения проективных, инъективных и плоских модулей в метрической и топологической банаховой гомологии.

2. Исследование гомологических свойств классических модулей анализа.

3. Сравнение метрической и топологической теории с уже хорошо изученной относительной банаховой гомологией.

Основные положения выносимые на защиту. В диссертации получены следующие результаты:

4. Доказано, что замкнутый идеал коммутативной банаховой алгебры обладающий ограниченной аппроксимативной единицей топологически про-ективен тогда и только тогда, когда он обладает единицей. Аналогичное утверждение получено и для метрической проективности.

5. Доказано, что для банаховой алгебры, являющейся L₁- или L-пространством, все ее топологически проективные, инъективные и плоские модули имеют свойство Данфорда-Петтиса.

6. Доказано, что над относительно аменабельной банаховой алгеброй всякий банахов модуль, являющийся L₁-пространством, топологически плоский.

7. Дан критерий проективности идеалов ^*-алгебр, а именно, доказано, что левый замкнутый идеал ^*-алгебры метрически или топологически проективен тогда и только тогда, когда он обладает самосопряженной правой единицей.

5. Получено описание ^*-алгебр топологически инъективных над собой как правые модули. Все такие алгебры являются произведением конечного числа матричных алгебр с коэффициентами в коммутативных ^*-алгебрах.

6. Получено описание топологически инъективных, топологически сюръ-ективных, изометрических и коизометрических операторов умножения действующих между -пространствами. Доказано, что топологически инъективные и изометрические операторы умножения обладают соответственно ограниченными и сжимающими левыми обратными операторами умножения, а топологически сюръективные и коизометрические обладают соответственно ограниченными и сжимающим правыми обратными операторами умножения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах механико-математического факультета МГУ:

Научный семинар “Алгебры в анализе” под руководством профессора А.Я. Хелемского (2014 — 2016 гг., неоднократно)

Научный семинар “Теория групп” под руководством профессора А.Ю. Ольшанского и доцента А.А. Клячко (2016 г.)

Основные методы исследования. В диссертации используются методы локальной теории банаховых пространств, теории операторных и банаховых алгебр, гармонического анализа и теории меры. Помимо этого, применяются специфические методы гомологической теории банаховых алгебр.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы настоящей работы могут найти применение в гомологической теории банаховых алгебр, геометрии банаховых пространств, абстрактном гармоническом анализе и теории операторных алгебр.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1], [], [] в журналах из перечня рекомендованного ВАК. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 101 наименования. Общий объем диссертации составляет 118 страниц.

Относителвная гомология и оснащеннвіе категории

Два банаховых пространства Е и F называются ( изометрически изоморфными / топологически изоморфными ), если существует ограниченный линейный оператор Т : Е — F, который является ( изометрическим и сюръективным / топологически инъективным и топологически сюръективным ). Тот факт, что Е и F являются ( изометрически изоморфными / топологически изоморфными ), мы будем записывать как ( Е = F / Е = F ). Bani Ban

Еще один важный класс операторов — это класс ограниченных проекторов. Ограниченный линейный оператор Р : Е — Е называется проектором, если Р2 = Р. Если F = Р(Е), то мы будем говорить, что Р — это проектор Е на F, и F дополняемо в Е. Если Р С, то мы будем говорить, что F С-дополняемо в Е. Другое эквивалентное определение говорит, что замкнутое подпространство F в Е дополняемо, если существует замкнутое подпространство G в Е такое, что Е = FffiG. Все конечномерные пространства дополняемы, но не Ban обязательно 1-дополняемы. Пример 1-дополняемого подпространства таков: для заданного банахова пространства Е, пространство Е 1-дополняемо в Е посредством проектора Диксмье Р = ЬЕ (ЬЕ) , где 1Е обозначает естественное вложение Е в свое второе сопряженное Е . Самый известный пример недополняемого пространства был построен Филлипсом. Он доказал, что банахово пространство Co(N) недополняемо в oo(N) [45].

Теперь рассмотрим алгебраическое тензорное произведение EF банаховых пространств Е и F. Это линейное пространство можно наделить различными нормами, но самая важная среди них — это проективная норма. Для заданного тензора и Є Е F мы определяем его проективную норму как

Это действительно норма, но, вообще говоря, неполная. Символом EF мы будем обозначать пополнение Е F по проективной норме. Получающееся пополнение мы будем называть проективным тензорным произведением банаховых пространств Е и F. Пусть Т : Е\ — Е2 и S : F\ — F2 — два ограниченных линейных оператора между банаховыми пространствами. Тогда существует единственный ограниченный линейный оператор Т S : i F\ —) Е2 F2 такой, что (Т S){xy) = Т(х) S(y) для всех х Є Е\ и у Є F\. При этом ЦТ б Ц = Т Ц Ц. Главное свойство проективного тензорного произведения, которое делает его таким важным, — это свойство универсальности: для любых банаховых пространств Е, F и G существует изометрический изоморфизм: В(Е F,G) = В(Е х F,G). Bani Другими словами, проективное тензорное произведение линеаризует билинейные операторы. Также мы имеем следующие два изометрических изоморфизма: В(Е F,G) = B(E,B(F,G)) = B(F,B(E,G)). Bani Bani На алгебраическом тензорном произведении банаховых пространств существует много норм. Их детальное рассмотрение можно найти в [46]. Теперь перейдем к рассмотрению различных банаховых пространств функций.

Важный источник примеров банаховых пространств — это Lp-пространства, также из-вестные как пространства Лебега. Подробное обсуждение свойств Lp-пространств можно найти в [42]. Прежде чем давать определения отметим, что мы будем рассматривать класс пространств с мерой более широкий, чем можно было ожидать. Пространство с мерой (f2,S,/x) называется строго локализуемым, если существует семейство измеримых множеств (-ЕА)АЄЛ конечной меры такое, что: і) объединение (Е\)\ЄА есть все пространство Г2; И) множество Е измеримо тогда и только тогда, когда Е П Е\ измеримо для всех Л Є Л; га) для любого измеримого множества Е выполнено ц(Е) = ЛєЛ fi(E П Е\). Класс строго локализуемых пространств с мерой огромен, он содержит все с-конечные пространства с мерой, их произвольные объединения, меры Хаара локально компактных групп, считающие меры и многое другое. В дальнейшем мы будем рассматривать только строго локализуемые пространства с мерой и будем их просто называть пространствами с мерой. Итак, пусть (H,S,/x) — пространство с мерой. Множество Е называется пренебрежимым [[47], определение 112D] если оно содержится в множестве меры 0. Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду на Q, если оно нарушается только на пренебрежимом множестве. Функции на измеримом пространстве считаются эквивалентными если они рав-ны почти всюду. Для 1 р оо, как обычно, через Lp(Q,ii) будем обозначать банахово пространство классов эквивалентности функций / : Q — С таких, что /р интегрируема по Лебегу по мере ц. Норма такой функции определяется как

Самые известный класс банаховых пространств — это пространства непрерывных функций. Пусть L — локально компактное хаусдорфово пространство. Будем говорить, что функция / : L — С исчезает на бесконечности, если для любого б 0 существует компакт К С L такой, что /() є для всех t Є L\ К. Линейное пространство непрерывных на L функций исчезающих на бесконечности обозначается CQ(L). Наделенное sup-нормой, CQ(L) становится банаховым пространством. Любое множество Л с дискретной топологией является локально компактным пространством и, следуя стандартному обозначению, мы будем писать Со (Л) вместо Со (Л). Если К — хаусдорфов компакт, то все функции на К исчезают на бесконечности, поэтому мы используем обозначение С {К) для CQ(K), чтобы подчеркнуть, что К компактно. Некоторые банаховы пространства являются С(Х)-пространствами в “завуалированном” виде. Например, для заданного пространства с мерой (П,Е,//), пространство ограниченных измеримых функций В(П,Т.) с sup-нормой или L00(Q,//) являются С(Х)-пространствами для некоторого компактного хаусдорфова пространства К [[43], замечание 4.2.8]. Если L — локально компактное хаусдорфово пространство, то через M(L) обозначим банахово пространство комплексных конечных борелевских регулярных мер на L. Норма меры ц Є M(L) определяется равенством // = //(L), где \[i\ — вариация меры ц. По теореме Риса-Маркова-Какутани [[41], параграф С.18] мы имеем Co(L) = M(L). На Bani самом деле, M(L) есть L і-пространство [[48], обсуждение после предложения 2.14]. Следует упомянуть еще один важный подкласс Lp-пространств. Для заданного индексного множества Л и считающей меры цс : V(A) — [0, + оо] соответствующее Lp-пространство обозначается как Р(А). Для этого типа пространств с мерой имеется еще один важный для нас изоморфизм: Со(Л) = \(А). Для удобства мы положим по определению, что Bani Со(0) = р(0) = {0} для 1 р +оо. Примеры таких Lp-пространств дают мотивировку для следующей конструкции.

Пусть {Е\ : Л Є Л} — произвольное семейство банаховых пространств. Для каждого х Є ПЛЄЛ- положим \\х\\р = (жл)лєл (Л) для 1 р +оо и жо = ( л)лєлс0(Л)- Тогда банахово пространство \х Є Плєл "л ІІЖІІР +/ с нормой р мы будем обозначать как (В„{-Е"А : А Є Л}. Будем называть такие пространства ф -суммами банаховых пространств {Е\ : Л Є Л}. Почти тавтологично утверждение, что Р(А) есть ф -сумма семейства {С : Л Є Л}. Важное свойство ф„-сумм состоит в их связи с двойственностью:

Метрическая и топологическая проективноств идеалов и циклических

Цель данного параграфа — убедиться в том, что гомологически тривиальные модули над некоторыми банаховыми алгебрами имеют с этими алгебрами схожие геометрические свойства.

Снова напомним, что под пространством с мерой мы понимаем строго локализуемое пространство с мерой. В следующем предложении мы несколько раз встретимся с произведением пространств с мерой. Произведение двух пространств с мерой (Пі,Еі,//і) и (П2, ,/ ) мы будем обозначать Ц\ х [і2. Произведение двух строго локализуемых пространств с мерой есть строго локализуемое пространство с мерой [[47], предложение 251N].

Результаты следующего предложения в случае метрической теории были получены Гра-веном в [31].

Предложение 2.2.8. Пусть А — банахова алгебра ( метрически / топологически ) изоморфная, как банахово пространство, пространству L\(Q,и) для некоторого пространства с мерой (G,E,z/). Тогда: г) если Р — ( метрически / топологически ) проективный А-модулъ, то Р — ( L\-пространство / ретракт Ь\-пространства ); и) если J — ( метрически / топологически ) инъективный А-модулъ, то J — ( С(К)-пространство для некоторого стоунова пространства К / топологически инъективное банахово пространство ); га) если F — ( метрически / топологически ) плоский А-модулъ, то F — ( Ь\-пространство / fi-пространство ).

Доказательство. Через (О1,Т. , и ) обозначим пространство с мерой (0,S,z/) с одним добавленным атомом, тогда А+ = L1(G/,z//). Bani г) Так как Р ( метрически / топологически ) проективен как А-модулв, то по предложению 2.1.4 он является ретрактом А+ \(Вр) в ( А — modi / А — mod ). Пуств цс — считающая мера на Вр, тогда по теореме Гротендика [[40], теорема 2.7.5] A+ g)ii{-Dp) = bi(W ,u ) Li{Bp,/ic) = Ьцс) X Вр,и X /іс). Bani Bani

Следователвно, P - ( 1-ретракт / ретракт ) L \ -пространства. Осталосв заметитв, что любой 1-ретракт Li-пространства еств снова L і -пространство [[61], теорема 6.17.3]. и) Так как J ( метрически / топологически ) инъективнвш А-модулв, то по предложению 2.1.21 он является ретрактом B(A+,co(Bj )) в ( modi — А / mod — А ). Пуств цс — считающая мера на Bj , тогда по теореме Гротендика [[40], теорема 2.7.5] t {A+,l00{Bj )) = (А+ \\Bj )) = (Ьцс) ,и ) Li{Bp,/ic)) Bani Bani = Ьіуа х Вр,и х /іс) = Ьоо(с) х Вр,и х /іс). Bani Bani

Следователвно, J — ( 1-ретракт / ретракт ) L -пространства. Посколвку Loo-пространства ( метрически / топологически ) иньективнві, то таковві же и их ретрактві J. Осталосв напом-нитв, что каждое метрически инъективное банахово пространство сутв С(Х)-пространство для некоторого стоунова пространства К [[61], теорема 3.11.6]. га) Из ( [[8], теорема 1] / [[10], теорема VI.6] ) мві знаем, что банахово пространство F ( метрически / топологически ) инъективно тогда и толвко тогда, когда F является ( Li пространством / JZ?L-пространством ). Остается применитв резулвтатві пункта и) и предло жение 2.1.33.

Предложение 2.2.9. Пусть А — банахова алгебра изоморфная, как банахово пространство, некоторому Jzf\-npocmpaHcmey. Тогда любой топологически ( проективный / инъективный / плоский ) А-модулъ является ( fi-пространством / foo-пространством / \-пространством ). Доказательство. Если алгебра А есть JZ?L-пространство, то такова же и А+.

Пусть Р — топологически проективный А-модуль. Тогда по предложению 2.1.4 он есть ретракт А+ \{Вр) в А — mod и тем более в Ban. Поскольку \(Вр) есть і-пространство, то таково же А+ \{Вр) как проективное тензорное произведение -пространств [[68], предложение 1]. Следовательно, Р есть J?i-пространство как ретракт -пространства [[51], предложение 1.28].

Пусть J — топологически инъективный А-модуль. Тогда по предложению 2.1.21 он есть ретракт B(A+,00(Bj )) = (А+ \{Bj )) в mod — Aи тем более в Ban. Как мы пока modi— А зали выше, пространство А+ \{Bj ) является і-пространством, тогда его сопряженное B(A+,00(Bj )) есть оо-пространство [[51], предложение 1.27]. Осталось заметить, что любой ретракт Jz o-пространства есть Jz o-пространство [[51], предложение 1.28]. Наконец, пусть F — топологически плоский А-модуль, тогда F топологически инъекти вен по предложению 2.1.33. Из предыдущего абзаца следует, что F — это Jz o-пространство. По теореме VI.6 из [10] пространство F является -пространством.

Перейдем к обсуждению свойства Данфорда-Петтиса для гомологически тривиальных банаховых модулей. Прежде напомним определение и перечислим основные факты о свойстве Данфорда-Петтиса. Ограниченный линейный оператор Т : Е — F называется слабо компактным, если он отправляет единичный шар пространства Е в относительно слабо компактное подмножество в F. Ограниченный линейный оператор называется вполне непрерывным, если образ любого слабо компактного подмножества в Е компактен в нормовой топологии F. Говорят, что банахово пространство Е имеет свойство Данфорда-Петтиса, если любой слабо компактный оператор из Е в произвольное банахово пространство F вполне непрерывен. Существует простое внутреннее описание этого свойства [[43], теорема 5.4.4]: банахово пространство Е обладает свойством Данфорда-Петтиса если limra fn(xn) = 0 для любых слабо сходящихся к 0 последовательностей (хп)пещ С Е и (fn)neN С Е . Теперь легко доказать, что если банахово пространство Е имеет свойство Данфорда-Петтиса, то его имеет и Е. В своей новаторской работе [69] Гротендик показал, что все i -пространства и С(Х)-пространства имеют это свойство. Более того любое і-пространство и любое Jz oo-пространство имеет свойство Данфорда-Петтиса [[51], предложение 1.30]. Поскольку единичный шар рефлексивного банахова пространства слабо компактен [[70], теорема 2.8.2], то у таких пространств со свойством Данфорда-Петтиса единичный шар компактен в нормовой топологии, и следовательно, такие пространства конечномерны. Свойство Данфорда-Петтиса наследуется дополняемыми подпространствами [[44], предложение 13.44].

Ключевым для нас будет результат Бургейна о банаховых пространствах со специальной локальной структурой. В [[71], теорема 5] он доказал, что первое, второе и так далее сопряженное пространство банахова пространства с Е р-локальной структурой обладает свойством Данфорда-Петтиса. Здесь, Ер обозначает класс всех ф -сумм р копий р-мерных \-пространств для некоторого натурального р. Предложение 2.2.10. Пусть {Li(Q\,[i\) : Л Є Л} — семейство бесконечномерных L\-пространств. Тогда банахово пространство Q)0{Li(Q\,ii\) : А Є Л} имеет (Ер,1 + є)-локалъную структуру для всех б 0.

Доказательство. Для каждого Л Є Л через Ь(П\,ц\) обозначим плотное подпространство в Li(Q\,ii\) натянутое на характеристические функции измеримых множеств из Ед. Обозначим Е := ф0{Ьі(Пд,/ід) : А Є Л}, пусть Е0 := @00{Li(Q\,[i\) : А Є Л} — не обязательно замкнутое подпространство в Е, состоящее из векторов с конечным числом ненулевых координат.

Зафиксируем б 0 и конечномерное подпространство F в Е. Так как F конечномерно, то существует ограниченный проектор Q : Е — Е на F. Выберем 8 0 так, чтобы 8\\Q\\ 1 и (1 + $Q)(1 — IIQH)-1 1 + е. Заметим, что Вр компактно, потому что F конечномерно. Следовательно, существует конечная #/2-сеть (xk)keNn С EQ для Вр. Для каждого к Є Nra имеем Xk = (Воі М } гДе хк,\ = S7=i dkjt\XD-k\ Для некоторых комплексных чисел (dj k x)jeN и измеримых множеств (Djk х)ієн конечной меры. Пусть (Cj л)ieN — множество всех попарных пересечений элементов из (Dj к x)ieNm исключая множества меры 0. Тогда Хк,\ = УІ І Сі,к,хХСі х Для некоторых комплексных чисел (cjtk,\)jeNm Обозначим Л& = {А Є Л : Xk,x ф 0}. По определению пространства Е0 множество Лд. конечно для каждого к Є Nn. Рассмотрим конечное множество Л0 = UfceN к- Так как пространство Li(Q\, fi\) бесконечномерно, то мы можем добавить к семейству {xciX NmA} любое конечное число дизъюнктных множеств положительной конечной меры. Поэтому, далее считаем, что гп\ = Card(A0) для всех Л Є Л0. Для каждого Л Є Л0 корректно определен проектор

Гомологически тривиалвнвіе модули над банаховвіми алгебрами со спе-циалвной геометрией

Доказательство. г) Алгебра Со(Л) относительно бипроективна [[55], теорема IV.5.26] и имеет сжимающую аппроксимативную единицу, поэтому по теореме 7.1.60 из [52] все существенные Со(Л)-модули проективны. Тогда Со(Л) и Р(А) при 1 р +оо являются относительно проективными Со(Л)-модулями. Тем более, они являются относительно плоскими Со(Л)-модулями [[52], предложение 7.1.40]. Из того же предложения Со(Л)-модули т(Л) = Со(Л) и Р (А) = Р(Л) для 1 р +оо относительно инъективны. modi—со(Л) modi—со(Л)

Из [[66], предложение 2.2.8 (i)] мы знаем, что банахова алгебра относительно инъективная над собой как правый модуль, обязана иметь левую единицу. Следовательно, Со(Л) не является относительно инъективным Со(Л)-модулем для бесконечного Л. Если Л конечно, то Со(Л)-модуль Со (Л) относительно инъективен потому, что Со (Л) = оо(Л), и, как было доказано выше, оо(Л) есть относительно инъективный Со(Л)-модуль. Из [[55], следствие V.2.16(II)] мы знаем, что оо(Л) не может быть относительно проективным Со(Л)-модулем для бесконечного Л. Если же Л конечно, то оо(Л) относительно проективен как Со(Л)-модуль потому, что оо(Л) = Со (Л) и как было показано выше Со(Л) есть относительно проективный Со(Л)-модуль. Из предложений 3.1.18, 2.1.5, 2.1.22 и 2.1.35 следуют утверждения о модулях Сл, где Л Є Л произвольно.

И) Пункт г) предложения 3.1.19 и предложение 2.1.5 показывают, что оо(Л) есть относительно проективный оо(Л)-модуль. Из [[66], предложения 2.3.3, 2.3.4] мы знаем, что ( существенный относительно проективный / верный относительно инъективный ) модуль над идеалом банаховой алгебры ( относительно проективен / относительно инъективен ) над самой алгеброй. Так как Со(Л) и Р(А) для 1 р +оо есть существенные и верные Со(Л)-модули, то из результатов предыдущего пункта мы получаем, что Р(А) для 1 р +оо относительно проективны и инъективны как оо(Л)-модули. Также мы получаем, что Со(Л) относительно проективен как оо(Л)-модуль. Таким образом, все эти оо(Л)-модули также будут относительно плоскими [[52], предложение 7.1.40]. Как следствие, оо(Л) = і(Л) modi- 00(A) является относительно инъективным оо(Л)-модулем. Из предложений 3.1.18, 2.1.5, 2.1.22 и

Результаты этого параграфа собраны в следующих трех таблицах. Каждая ячейка таблицы содержит условие, при котором соответствующий модуль имеет соответствующее свойство, и предложение, в котором это доказано. Для случая (Л)- и Со(Л)-модулей Р(А) при 1 р +оо мы не имеем критерия гомологической тривиальности в метрической теории, только необходимое условие. Чтобы это подчеркнуть, мы используем символ = . Сомнительно, что Р(Л) при 1 р +оо будет метрически проективным инъективным или плоским при Card(A) 1. К сожалению, мы также не знаем является ли оо(Л)-модуль Со(Л) относительно инъективным, поэтому мы пишем ?? в соответствующей ячейке. Гомологическая тривиальность со (Л)- и со(Л)-модулей в метрической теории со(А)-модули -со(А)-модули Проективность Инъективность Плоскость Проективность Инъективность Плоскость х(А) А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 р(А) Card(A) Но ( = ) 3.1.22 Card(A) Но ( = ) 3.1.22 Card(A) Но ( = ) 3.1.22 Card(A) Но ( = ) 3.1.22 Card(A) Но ( = ) 3.1.22 Card(A) Но ( = ) 3.1.22 - оо(А) Card(A) Но 3.1.19 А любое 3.1.19 Card(A) Но 3.1.19 А любое 3.1.19 А любое 3.1.19 А любое 3.1.19 со(А) Card(A) Но 3.1.20 Card(A) Но 3.1.20 А любое 3.1.20 Card(A) Но 3.1.20 Card(A) Но 3.1.20 А любое 3.1.20 С\ любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 Гомологическая тривиальность со(А)- и со(А)-модулей в топологической теории со(А)-модули -со(Л)-модули Проективность Инъективность Плоскость Проективность Инъективность Плоскость i(A) А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 А любое 3.1.21 р(А) Card(A) Но 3.1.22 Card(A) Но 3.1.22 Card(A) Но 3.1.22 Card(A) Но 3.1.22 Card(A) Но 3.1.22 Card(A) Но 3.1.22 - оо(А) Card(A) Но 3.1.19 А любое 3.1.19 Card(A) Но 3.1.19 А любое 3.1.19 А любое 3.1.19 А любое 3.1.19 со(А) Card(A) Но 3.1.20 Card(A) Но 3.1.20 А любое 3.1.20 Card(A) Но 3.1.20 Card(A) Но 3.1.20 А любое 3.1.20 С\ любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 любое 3.1.18 Гомологическая тривиальность со (А)- и со(А)-модулей в относительной теории со(А)-модули со(А)-модули Проективность Инъективность Плоскость Проективность Инъективность Плоскость i(A) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, іі) А любое 3.1.23, іі) А любое 3.1.19, іі) р(А) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, іі) А любое 3.1.23, іі) А любое 3.1.19, іі) - оо(А) Card(A) Но 3.1.23, і) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, іі) А любое 3.1.23, іі) А любое 3.1.19, іі) со(А) А любое 3.1.23, і) Card(A) Но 3.1.23, і) А любое 3.1.23, і) А любое 3.1.23, іі) ?? А любое 3.1.19, іі) С\ любое 3.1.23, i) любое 3.1.23, i) любое 3.1.23, i) любое 3.1.23, ii) любое 3.1.23, ii) любое 3.1.19, ii) Из этих таблиц легко видеть, что для модулей над коммутативными С -алгебрами, есть много общего между относительной, метрической и топологической теориями. Например, т(Л) — проективный, инъективный и плоский оо(Л)- или Со(Л)-модуль во всех трех теориях.

Пусть G — локально компактная группа. Ее единицу мы будем обозначать через ее . По хорошо известной теореме Хаара [[95], параграф 15.8] существует единственная с точностью до положительной константы регулярная по Борелю мера то, которая конечна на всех компактных множествах, положительна на всех открытых множествах и инвариантна относительно левых сдвигов, то есть UIG(SE) = гпс(Е) для всех s Є G и Е Є Bor(G). Здесь, через Bor(G) мы обозначаем борелевскую с-алгебру открытых множеств в G. Мера обладающая вышеперечисленными свойствами, называется левой мерой Хаара G. Если G компактно, то мы предполагаем, что mc(G) = 1. Если G бесконечно и дискретно, то в роли тс мы берем считающую меру. Для каждого s Є G отображение т : Bor(G) — [0, + оо] : Е ь- mc Es) также является левой мерой Хаара, поэтому из единственности мы получаем, что т(Е) = A(s)m,G(E) для некоторого A(s) 0. Функция А : G — (0, + оо) называется модулярной функцией группы G. Ясно, что A(st) = A(s)A(t) для всех s,t Є G. Если модулярная функция тождественно равна единице, то соответствующая группа называется модулярной. В частности, модулярными являются компактные, коммутативные и дискретные группы. В дальнейшем мы будем использовать обозначение Lp(G) для Ьр(С,тс) при всех 1 р +оо. Для фиксированного s Є G мы определим оператор левого сдвига Ls : Li{G) — Li{G) : / і— (t і— /(s_1t)) и оператор правого сдвига Rs : L\(G) — L\(G) : / і— (t і— f(ts)).

Структура группы на G позволяет задать на L\(G) структуру банаховой алгебры. Для заданных f,g Є L\(G) мы определим их свертку по формуле (/ g)(s) = / f(t)g(t s)dm,G(t) = / f(st)g(t )dm,G(t) = / f(st )g(t)A(t )dm,G(t) G G G для почти всех s Є G. В этом случае L\(G) с операцией свертки в качестве умножения становится банаховой алгеброй. Банахова алгебра L\(G) имеет сжимающую двустороннюю аппроксимативную единицу состоящую из положительных непрерывных функций с компактным носителем. Банахова алгебра L\(G) унитальна тогда и только тогда, когда G дискретно, и в этом случае 8еа есть единица в L\{G). Структура группы на G также позволяет сделать банахово пространство комплексных конечных борелевских мер M(G) банаховой алгеброй. Свертку двух мер fi,u Є M(G) мы определим по формуле (/і и)(Е) = / u(s E)d/i(s) = / /i(Es )du(s) G G для всех Е Є Bor(G). Банахово пространство M(G) вместе с такой сверткой есть унитальная банахова алгебра. Роль единицы играет мера Дирака 5еа сосредоточенная в ее. На самом деле, M(G) есть копроизведение в L\(G) — modi (но не в M(G) — modi) своего двустороннего идеала Ma(G) мер, абсолютно непрерывных по отношению к тс, и подалгебры MS(G), состоящей из мер, сингулярных по отношению к тс. Напомним, что Ma(G) = Li(G) M(G)-modi и MS(G) есть аннуляторный Ьі(С)-модуль. Наконец, M(G) = Ma(G) тогда и только тогда, когда G дискретна.

Предварительные сведения по гармоническому анализу

Доказательство. По предложению 3.3.3 оператор Мд топологически сюръективен тогда и толвко тогда, когда таковві же операторві М с : Lp(Q u,Pi_i,v \n v) — Lq(Q u,P\Q V) и M s : Lp(yi v,іл3\ ») — Lq(yi v,v\n% v). По предложению 3.3.4 оператор M s нулевой. Так как v{yi v) = 0, то Lp{yi v,V\QP ") = {0}. Отсюда мы заключаем, что M s топологически сюръективен. Значит, топологическая сюръективноств оператора Мд эквивалентна тополо гической сюръективности оператора М с . Осталосв применитв предложение 3.3.18. U Предложение 3.3.20. Пусть (П,Т.,р), (П,Е,і/) — два а-конечных пространства с мерой, 1 P,Q +оо и g Є Ьо(П,Е). Тогда следующие условия эквивалентны: i) Mg є B(Lp(Q,p),Lq(Q,u)) — топологически сюръективный оператор; ii) Мх ll)V/g є B(Lq(Q,u),Lp(Q,p)) — топологически инъективный правый обратный one іїс ратор к М9. Доказательство. г) = - гг) По предложению 3.3.3 оператор М с топологически сюръективен. По предложению 3.3.18 он обратим, причем, очевидно, (М с )-1 = М1 . Тогда для 107 любой функции h Є Lq(Q,u) выполнено ОІ-ііь ХаІ / Я \ ) II Lp(Q,fj,) -Lv-i-lj д V ln ) Lp(Qc ,ІУ,/і0 , ) II 1/g \ чПс H p( c t /iloAi 1- ) с II II I, I r ll Л/f с A Следовательно, оператор Mx д, ограничен. Теперь заметим, что для любой функции h Є Lq(Q,v) также выполнено Мд(Мх i v/gih)) = Mg(xn 1 v/gh) = #(хпм "/ g)h = -XnM " Так как і/(П \ П ) = 0, то Хпм " = Хп и поэтому Мд(Мх fi v/g(h)) = Л.Хпм " = -Хп = h. іїс Последнее означает, что Мх ll)V/g является правым обратным оператором умножения к Мд. іїс Наконец, заметим, что \\мхп /д( )\\ьР(п,іх) \\Mg\\\\Mg(Mx ,v/g(h))\\Lq(ntl/) HM/IIINUq(n )-для всех функций h Є Lq(Q,u). Значит, оператор Мх ll)V/g топологически инъективен. іїс іі) = і) Для произвольной функции h Є Lq(Q,v) рассмотрим функцию / = Мх ll)V/g{h). Тогда Mg(f) = Мд(Мх ll)V/g{h)) = h и /ьр(п,/и) \\МХ м,к/а11 Lq(n, ). Так как h произволь на, то оператор Мд топологически сюръективен. Предложение 3.3.21. Пусть (П,Е,//) — а -конечное пространство с мерой, 1 p,q +оо и д Є Ьо(П,Е). Тогда следующие условия эквивалентны: i) Mg є B(Lp(Q,fi),Lq(Q,,fi)) — коизометрический оператор; іі) Mg — изометрический изоморфизм; Hi) \g\ = /i(Q)l q l p, при этом если р ф q, то пространство (П,Е,//) состоит из одного атома. Доказательство. Так как оператор Мд коизометричен, то он топологически сюръективен и поэтому из предложения 3.3.17 мы получаем, что он топологический изоморфизм. Как следствие, он инъективен, но инъективный коизометрический оператор есть изометрический изоморфизм. Осталось заметить, что всякий изометрический изоморфизм является строгой коизометрией. Таким образом, оператор Мд коизометричен тогда и только тогда, когда он строго коизометричен тогда и только тогда, когда он изометрический изоморфизм. Осталось применить предложение 3.3.13.

Предложение 3.3.22. Пусть (П,Е,і/) — а -конечное пространство с мерой, 1 p,q +оо и д,р Є Ьо(П,Е) причем функция р неотрицательна. Тогда следующие условия эквивалентны: i) Mg є B(Lp(Q,pu),Lq(Q,u)) — коизометрический оператор; іі) Mg — изометрический изоморфизм; 108 гіг) функция р положительна, \др l p\ = /i(Q)l p l q, при этом если p ф q, то пространство (П,Е,//) состоит из одного атома. Доказательство. г) = И) Допустим, оператор Мд коизометричен, тогда он топологически сюръективен. По предложению 3.3.18 оператор Мд является топологический изоморфизмом, и, как следствие, он биективен. Осталось заметить, что биективная коизометрия есть изометрический изоморфизм. іі) = - і) Если оператор Мд — изометрический изоморфизм, то он, конечно, коизометрия и даже строгая коизометрия. И) - = Иг) Эквивалентность следует из предложения 3.3.14. Предложение 3.3.23. Пусть (П,Е,//); (П,Е,і/) — два а-конечных пространства с мерой, 1 P,q +оо и g Є Ьо(П,Е). Тогда следующие условия эквивалентны: i) Mg є B(Lp(Q,fi), Lq(Q,u)) — коизометрический оператор; ii) M с — изометрический изоморфизм; гіг) функция p i,v\n v положительна, \дрц,и \n v\ = /i(fl% l )1 p 1 q, при этом если р ф q, то пространство (П,Е,//) состоит из одного атома. Доказательство. г) = И) Так как оператор Мд коизометричен, то из предложения 3.3.3 мы знаем, что оператор М с также коизометричен. Из предложения 3.3.22 мы получаем, что он также является изометрическим изоморфизмом. іі) = і) Рассмотрим произвольную функцию h Є Lq(Q,u), тогда существует функция / Є (-)l-l,V , . СЛІ-ііь LP(Q V\[i\rig,v) такая, что М с (/) = дп . По предложению 3.3.4 оператор М s нулевой, поэтому Mg(f) = Мд С (f\Q v) + Мд " (f\Q v) = h\Q v . Так как v(Q, v) = 0, то \\h — /in HU (п,и) = H -Xn HU (V) = 0, и мы заключаем, что h = 1I\QW. Итак, мы построили функцию / Є Lp(Q,[i) такую, что Mg(f) = h и /L (n;/u) = II/IIL (n i v ,ti\ n,v) = \\h\n v\\L (VL V,V\ p,v) и,(п,г/). Так как функция h произвольна, то оператор Мд 1-топологически сюръективен. Заметим, что \\Mg{f)\\Lq{Q,v)=\\Mgc (f\n v) + Mgs (f\n i v)\\Lq(n,v)= \\Мдс (f\n v)\\bq(n,u) II д \J ІПс ,ІУ / II LqiQc IQI-I. ) НУ Юс,ІУ II Lp(Qc ,ІУ, 0 , ) — НУ \\Lp(Q}(i) для всех функций / Є Lp(Q,fi), значит оператор Мд сжимающий, но от также 1-топологически сюръективный. Следовательно, оператор Мд коизометрический. іі) - = гіг) Эквивалентность следует из предложения 3.3.22. Предложение 3.3.24. Пусть (П,Е,//); (П,Е,і/) — два а-конечных пространства с мерой, 1 P,q +оо и g Є Ьо(П,Е). Тогда следующие условия эквивалентны: г) Мд є B(Lp(Q,ii),Lq(Q,u)) — коизометрический оператор; ii) Мх ll)V/g є B(Lq(Q,u), Lp(Q,ii)) изометрический правый обратный оператор к Мд. Доказательство. і) = - гг) По предложению 3.3.3 оператор М с коизометричен и по предложению 3.3.22 он изометричен и обратим. При этом, очевидно, [М„с ) = М,? . Ж 1 ч Тогда для любой функции h Є Lq(Q,u) мы имеем II Xcti1 І9v / IILp(Q,n) \\ 1/д\ ")Х&с 1 \\Lp(Q,n) II l/gv Юс 1"/ WLpiQc tAo ) II I/O V IQC / II Lp(Q c ,ІУ, 0 , ) II ЧПс ,V II LqiQc ,v ,v\0[M,v) — II II Lq(Q,v)