Метод подобных операторов в спектральном анализе линейных операторов Пляков Дмитрий Михайлович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1 Основные положения метода подобных операторов и некоторые сведения из теории операторов 23

1.1 Некоторые сведения из спектральной теории операторов 23

1.2 Идеалы операторов 27

1.3 Основные понятия теории полугрупп операторов 28

1.4 О методе подобных операторов 30

ГЛАВА 2 Спектральный анализ дифференциального оператора четвертого порядка с периодическими и антипериодическими краевыми условиями 35

2.1 Построение допустимой тройки 36

2.2 Предварительное преобразование подобия 43

2.3 Асимптотика собственных значений для возмущенного оператора четвертого порядка 51

2.4 Оценки отклонений спектральных проекторов 57

2.5 Построение аналитической полугруппы операторов 61

ГЛАВА 3 Спектральный анализ дифференциального оператора четвертого порядка с краевыми условиями дирихлеинеймана-дирихле 65

3.1 Построение допустимой тройки 67

3.2 Предварительное преобразование подобия 71

3.3 Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с краевыми условиями Дирихле и Неймана-Дирихле 76

3.4 Оценки отклонений спектральных проекторов 80

3.5 Построение аналитической полугруппы операторов 83

ГЛАВА 4 Спектральный анализ одномерного оператора шрёдингера 85

4.1 Спектральный анализ абстрактных операторов в гильбертовом пространстве 86

4.2 Предварительное преобразование подобия операторов и основные оценки 94

4.3 Асимптотика собственных значений оператора Шрёдингера 103

4.4 Оценки отклонений спектральных проекторов 106

4.5 Асимптотическое представление аналитической полугруппы операторов 109

Библиографический список

• Основные понятия теории полугрупп операторов
• Предварительное преобразование подобия
• Предварительное преобразование подобия
• Асимптотика собственных значений оператора Шрёдингера

Введение к работе

Актуальность темы. Многие задачи математической физики приводят к изучению спектральных свойств обыкновенных дифференциальных операторов. Наиболее известным объектом в спектральной теории операторов является одномерный оператор Шрёдингера, который определяется дифференциальным выражением —у" — qy₇ где q — потенциал. При исследовании операторов, порождаемых таким дифференциальным выражением, на конечном интервале [0,о;], ш > 0, стандартным условием на потенциал является его непрерывность. В последние годы, под влиянием работы A.M. Савчука и А.А. Шкаликова¹, стала активно развиваться спектральная теория оператора Шрёдингера с сингулярным потенциалом. Другим направлением исследований является спектральная теория дифференциальных операторов с негладким (принадлежащим классу L2[0,62.

В настоящее время активно проводятся исследования по теории дифференциальных операторов высших порядков с негладкими потенциалами. Это связано с тем, что такие дифференциальные операторы широко используются в различных задачах механики (например, оператор четвертого порядка описывает движение балки или пластины с различным закреплением³), а также в теории бифуркаций ⁴. Большое количество работ посвящено изучению асимптотики собственных значений, поведения

¹ Савчук A.M. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / A.M. Савчук,

А. А. Шкаликов // Математические заметки. - 1999. - Т. 66, № 6. - С. 897-912.

²Джаков П. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака /

П. Джаков, Б. С. Митягин // Успехи математических наук. - 2006. - Т. 61, № 4. - С. 77-182.

³Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями / Л. Коллатц. - М.: Наука, 1968. - 504 с.

⁴Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В. В. Болотин. - М.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961. - 341 с.

спектральных зон, оценок длины спектральных зон операторов четвертого и более высших порядков. Отметим важные результаты, полученные в этом направлении А.В. Баданиным, Е.Л. Коротяевым, В.А. Михайлецом, В.Н. Молибогой, О.А. Велиевым и др.

В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства двух классов дифференциальных операторов: дифференциального оператора четвертого порядка общего вида с негладкими комплекснозначными потенциалами и четырьмя типами краевых условий и одномерного оператора Шрёдингера с негладким комплекснозначным потенциалом с краевыми условиями Дирихле.

Цель работы. 1) Построение метода подобных операторов в адаптированном для исследуемых дифференциальных операторов виде. 2) Исследование спектральных свойств дифференциального оператора четвертого порядка с негладким комплекснозначным потенциалом, определяемого на конечном промежутке периодическими, антипериодическими краевыми условиями, а также краевыми условиями Дирихле и Неймана-Дирихле. 3) Исследование спектральных свойств оператора Шрёдингера с негладким комплекснозначным потенциалом, определяемого на отрезке [0,о;], ш > О, краевыми условиями Дирихле.

Методы исследования. Для проведения спектрального анализа рассматриваемых операторов используется метод подобных операторов. Метод основан на преобразовании подобия изучаемого оператора в оператор более простой структуры, спектральные свойства которого легко вычисляются.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Из них выделим следующие:

1) Построены два варианта метода подобных операторов для абстрактных операторов, спектральные свойства которых близки к изучаемым дифференциальным операторам четвертого порядка и оператору Шрёдингера.

1. Установлены спектральные свойства дифференциального оператора четвертого порядка с негладким потенциалом, определяемого периодическими, антипериодическими краевыми условиями и краевыми условиями Дирихле и Неймана-Дирихле. А именно, получены асимптотика собственных значений, оценки отклонений спектральных проекторов, оценки равносходимости спектральных разложений. Изучено асимптотическое поведение полугруппы операторов, генератором которой является взятый со знаком минус исследуемый дифференциальный оператор.

2. Установлены спектральные свойства оператора Шрёдингера с негладким потенциалом, определяемого краевыми условиями Дирихле. Получена асимптотика собственных значений, оценки отклонений спектральных проекторов, оценки равносходимости спектральных разложений. Доказана спектральность оператора Шрёдингера. Изучено асимптотическое поведение полугруппы операторов, генератором которой является взятый со знаком минус исследуемый дифференциальный оператор.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении различных задач математической физики. Применяемый в диссертации адаптированный вариант метода подобных операторов может быть использован для исследования спектральных свойств других классов дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались автором на международных конференциях: Крымских Осенних математических школах-симпозиумах (Украина-Россия, Ласпи-Батилиман, 2010-2012, 2015), «15th Internet Seminar: Operator Semigroups for Numerical Analysis» (Germany, Blaubcurcn, 2012), Крымской осенней математической конференции (Украина, Крым, Судак, 2013), на конференции «Spectral theory and differential Equations», посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Левитана (Россия, Москва, МГУ, 2014), «Дифференциальные

и функционально-дифференциальные уравнения» (Россия, Москва, 2014), «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» (Россия, Улан-Удэ, Байкал, 2015), «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VI» (Россия, Ростов-на-Дону, 2016), на семинаре под руководством Г. В. Демиденко в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, на семинаре под руководством Т. А. Суслиной в Санкт-Петербургском государственном университете, на семинарах НИИ математики (ВГУ, 2012-2016); на семинаре под руководством А. Г. Баскакова; на научных сессиях ВГУ (2011-2016).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [10]. Работы [1], [5] - [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 51 наименование. Общий объем диссертации - 114 страниц.

Основные понятия теории полугрупп операторов

В настоящем параграфе мы приведем необходимые определения, связанные с идеалами операторов. Здесь и далее нас будет интересовать два больших класса: класс ядерных операторов и класс операторов Гильберта-Шмидта. При формулировки этих понятий мы придерживаемся книги [ ]. Определение 1.2.1. Если X — компактный оператор, то s-числами оператора X будем называть упорядоченные по убыванию собственные значения положительного самосопряженного компактного оператора л/ХХ . Определение 1.2.2. Множество компактных операторов, s-числа которых образуют сходящийся ряд spn при некотором р О, обозначается че рез &р. При р 1 это множество образует симметрично-нормированный

При р = 1 эта норма называется ядерной нормой операторов, а (51 — двусторонним идеалом ядерных операторов. При р = 2 эта норма называется нормой Гильберта-Шмидта, а &2 двусторонним идеалом операторов Гильберта-Шмидта. Отметим, что Хі = tr (XX ) = 2 sn, где tr (XX ) — след оператора XX , принадлежащего двустороннему идеалу &\{Т-І) ядерных операторов из ЕпсШ. Поскольку нас особенно будет интересовать класс операторов Гильберта-Шмидта, то остановимся на нем подробнее.

Пусть &2(T L) — двусторонний идеал операторов Гильберта-Шмидта из алгебры End?/. В обозначениях введенных выше, символом ЦХЦ2 будем обозначать норму оператора Гильберта-Шмидта X Є @2( ), т. е. ЦХЦ2 = (tv XX )7 . Формула (X, Y) = tr (XY ) определяет скалярное произведение в &2{1 (-). Замечание 1.2.1. Оператор X Є End?/ является оператором Гильберта 1 Шмидта тогда и только тогда, когда конечна величина ( \{Xfn) fk)\2)2 п,кєІ для некоторого ортонормированного базиса {ft, к Є J} из Ті. Она не зависит от выбора ортонормированного базиса и совпадает с нормой Гильберта-Шмидта \\Х\\2 оператора X. Это замечание будет использоваться всюду в диссертации при вычислении нормы оператора Гильберта-Шмидта. Если ввести матрицу (xkj) оператора X Є End?/ в ортонормированном базисе {/&, к Є J} как хщ = {Xfj, /&), k,j Є J, то нормой в идеале операторов Гильберта-Шмидта будет величина ( \xkj\2)2. к J ЄІ Приведем еще ряд необходимых в дальнейшем замечаний. Замечание 1.2.2. Произведение XY операторов X, Y Є &2{ Н) является ядерным оператором и ХУі ХІ2І І2. Замечание 1.2.3. Пусть {Q n 0} — система ортопроекторов из End H, образующая разложение единицы, т. е. обладающая свойствами: 1) QnQm = QmQn = 0 для П ф ПХ; 2) 2 Qnx = х для любого х Є Ті. Тогда \\Х\\2 = /_ Qn- Qm 2. Замечание 1.2.4. Пусть оператор А : D(A) С Ті — Ті принадлежит пространству А{1І) (и, следовательно, имеет плотную в Ті область определения D(A)). Если конечна величина \{Afn) fk)\2, то оператор А допус п,кєЗ кает единственное расширение наТі. Оно является оператором Гильберта-Шмидта и будет обозначаться тем же символом А.

В настоящем параграфе мы приведем используемые в диссертации некоторые определения теории полугрупп. Здесь мы придерживаемся терминологии монографии [32]. Определение 1.3.1. Семейство операторов {T(t)}, t Є Ш+ = [0,оо), из End X называется полугруппой операторов, если выполнены два свойства: 1) T(t + s) = T(t)T(s) для любых t, s Є Ш+; 2) Т(0) = /. Отметим, что если t Є К, то семейство {T(t)}, t Є К, называется группой операторов

Определение 1.3.2. Полугруппа операторов {T(t)}, t Є Ш+, из End А" называется сильно непрерывной (или полугруппой класса Со), если T(t)x сходится к х в сильной операторной топологии при t — 0+ для любого х Є X. Аналогичное определение имеет место для группы операторов. Определение 1.3.3. Замкнутый линейный оператор А : D(A) С X — X, D(A) = X, называется генератором сильно непрерывной полугруппы операторов {T(t)}, t Є Ш+ (группы {T(t)}, t Є Ж), если причем Ax = lim —, x Є L){A). Теорема 1.3.1. Если A : D(A) С 1 L — 1 L — самосопряженный оператор, то оператор і А является генератором сильно непрерывной группы {T(t)}, t Є Ш, изометрических операторов из End?/. Если спектр оператора А образует последовательность собственных значений \п, п Є JJ, и Рп — ортогональный проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству {Лп}, то имеет место следующее спектральное представление операторов этой группы изометрий: T{t)x = 2_.егХпіРпх, х Є Н, t Є Ш.

Определение 1.3.4. Сильно непрерывная полугруппа операторов {T(t)}, t Є Ш+, из End X называется аналитической полугруппой операторов, если выполнены следующие свойства: 1) для некоторого в Є (0, тП отображение t ь- Tit) может быть расши-рено до А$ = {0} U {t Є С : arg в}; 2) T{z\ + z i) = T{z\)T{z2), z\, Z2 Є AQ; 3) T(0) = /; 4) отображение z ь- T(z) аналитично в AQ\ {0}; 5) lim T(z)x = x для всех х Є X и z Є AQ\ {0}. z— 0 Определение 1.3.5. Пусть А : D(A) С X — X — линейный замкнутый оператор с плотной областью определения. Если для некоторого ю Є (ОЛ), некоторой константы М 1, а Є Ж, сектор Saiip = {А : ср arg(A — а)\ 7Г, А ф а} лежит в резольвентном множестве оператора А и выполнено неравенство М Л(Л, А)\\ Л — а для всех А Є Sayip, то оператор А является секториальным. Теорема 1.3.2. Оператор А : D(A) С X — X является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда он секториальный.

Как было отмечено во введении, основным методом исследования является метод подобных операторов. В этом параграфе мы приведем основные определения и теоремы этого метода. Здесь мы будем придерживаться терминологии и обозначений [11], [12].

Определение 1.4.1. Два линейных оператора Ai : D(Ai) С X — X, і = 1,2; называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U Є End А" такой, что A-JJx = UA2X, х Є D{A2), UD{A2) = D{A\). Оператор U называется оператором преобразования оператора А\ в А .

Предварительное преобразование подобия

Согласно схеме метода подобных операторов, описанной в главе 1, первым шагом к его применению является построение допустимой тройки. В настоящем параграфе мы проведем такое построение для абстрактного оператора, который по своим свойствам наиболее близок к изучаемым дифференциальным операторам Lper, Lap.

Пусть А : D(A) С Ті — Ті — самосопряженный оператор с компактной резольвентой R(-,A) : р(А) — End?/, спектр а (А) которого образует последовательность собственных значений следующего вида: Ап,0 = тг (2п + в) , п Є Z__, где в = 0, если А = С, и в = 1, если Л = /2 . Собственные значения оператора А обладают следующим свойством \ к,в — j,e\ \к — J , А/г,б» сА; , k,j Є Z+, kj j, (2.1) где с 0 некоторая константа. Пусть ео, е , е , п Є N, — ортонормированный базис. Пусть Pn, п Є Z__, — ортогональный проектор, построенный по множеству {АП;6 } С т(Л), и определяемый следующим образом: Рпж = (ж, е )е + (ж, е2п)е2п, п Є N, Ро = (ж, ео)ео, для 0 = 0, Рпх = (x}eln)eln +(x}e2n)e2n} п Є Z__, для 9 = 1. Далее будем рассматривать оператор Л такой, что ЛРп = АРп = \п Рп, п Є N, и Л.Д) = Д) для be = per (т. е. в = 0), 4РП = ЛРП = ЛпдРп, п Є Z+, для 6с = ар (т. е. # = 1). Рассмотрим операторную матрицу (Л ), составленную из операторных блоков Xkj = PkXPj, k,j Є Z__. Для оператора X є Ид( Н) рассмотрим отдельные блоки этой матрицы в случае в = 0 (т. е. 6с = per). Если & = j = 0, то (Яоо) матрица размера 1x1, состоящая из одного элемента Лоо = (Хео,ео). Матричные элементы матрицы (Д о), к 1, размера 2x1 имеют вид (Хе0,4) Соответственно, матричные элементы для матрицы (Аоу), J 1, размера 1x2 имеют вид ((XeL ео), {Хе?, ео)). Наконец, в силу того, что dim Im Рп = 2, п Є N, то матрица (Л ), A;, J 1, имеет вид (Хе),е\) {ХЩ,е\) (хе},4) (хё},4) -kj = "! 9 9 (2.2) [Хе ек) {Xe ek) Отметим, что при в = 1 (т. е. be = ар) матрица {Xkj), k,j 0, имеет вид (2.2). При следующих оценках будут использоваться равенства ЦХЦ2, = Е \\PkXPjW. k,j=0

Далее построим трансформаторы J, Г : д(%) — д(%). Вначале эти трансформаторы определим на алгебре @2( ). Трансформаторы J и Г на любом операторе X є &2І Н) задаются равенствами РпХРП) ТХ = у . (2.3) —О h —О kfl 3$ Корректность определения JX, ГХ и их ограниченность будут установлены в следующей лемме. Лемма 2.1.1. Трансформаторы J, Г : &2{ Н) — &2{ Н) корректно определены, ограничены и обладают свойствами: 1) J — проектор, \\J\\ = 1; 2) имеет место оценка Г . , u 1тг %, где константа с опреде її її х mi \Л] }в— j,e\ 15 ляется в (2.1). Доказательство. Докажем 1). Используя свойство ортонормированной последовательности векторов из гильбертова пространства, получим следующие равенства ( /Х)ж = У {РпХРп)х = У \\Рп(ХРпх)\\ = п=0 п=0 = у \\РпХРпх\\ Х ж , п=0 где х Є D(A), X Є &2ІТ С). Следовательно, JX\\ \\Х\\, X Є &2ІТ С). Таким образом, оператор J корректно определен, ограничен и J 1. Отметим, что равенство \\J\\ = 1 достигается в том случае, если X совпадает с одним из проекторов Рп, п Є Z__. Докажем 2), т. е. корректность и ограниченность трансформатора Г. Справедливы следующие оценки:

Продолжения трансформаторов J и Г на пространства jJ(H) и il (далее обозначаемые теми же символами) будут задаваться следующим образом: JX = J{XA )Л, ТХ = (ТХЛ )Л, X є Sl Ti), JX = J(XA 2 )A 2 , TX = (ТХЛ 2 )A 2 , X є il. (2.4) Лемма 2.1.2. Каждый оператор ТХ, I Е il, допускает расширение на все пространство Ті до оператора (обозначаемого тем же символом ТХ), принадлежащего @2( ). Причем, имеет место оценка С2 ГХІ2 —11 11 5 X є il, (2.5) где постоянная с определяется в (2.1). Доказательство. Так как X Є il, то справедливо представление X = ХоЛ где XQ Є &2І Н). Согласно оценкам (2.1), имеют место неравенства

Таким образом, оператор ТХ является оператором Гильберта-Шмидта. Сле довательно, оператор ГХ допускает ограниченное расширение на все Ті и справедлива оценка (2.5). Лемма доказана. Замечание 2.1.1. Учитывая лемму 2.1.2, трансформатор Г, определенный формулой (2.4), будем рассматривать как линейный оператор из Я со значениями в &2{ Н) и обозначать тем же символом. При этом из леммы

Для каждого т Є N определим трансформаторы Jm : Я — Я, Гто : Я — &2{ Н) следующим образом: JmX = J(X — Р(ТО)ХР(ТО)) + Р(ТО)ХР(ТО), X є Я, (2.6) ТтХ = Г(Х — Р(ТО)ХР(ТО)), X є Я, (2.7) m где Р(т) = 2 Рк. Отметим также, что JQX = JX и ГоХ = ГХ, X Є Я. к=о Используя определения трансформаторов Jm и Гто, лемму 2.1.2 и замечание 2.1.1, непосредственной проверкой легко установить справедливость следующей леммы. Лемма 2.1.3. Каждый из трансформаторов JTO, Гто, т Є N, допускает ограниченное расширение на {71) (следовательно, и на пространство ІІ). Также, имеют место оценки JTO = 1, Гто —, где с определено в (2.1).

Замечание 2.1.2. Отметим, что непосредственно из равенств (2.6) и (2.7) следует, что оператор ГХ (соответственно, JX), X Є Я, отличается от оператора ТтХ (соответственно, JmX) на оператор конечного ранга Р(ТО)(ГХ)Р(ТО) (соответственно, P(TO)(JX)P(TO)). Поэтому в дальнейшем мы будем осуществлять проверку всех необходимых свойств для оператора ТХ (соответственно, JX).

Покажем теперь, что построенная тройка (Я, JTO,rm) является допустимой. Лемма 2.1.4. Тройка (il, Jm,rm) является допустимой для оператора А, причем для величины 7 = 7т из определения 1.4.2 допустимой тройки спра 3 ведлива оценка 7т , где с определено в (2.1). Доказательство. Проверим все свойства допустимой тройки. Первые два свойства следуют из представления пространства допустимых возмущений, леммы 2.1.3 и формул (2.6), (2.7).

Предварительное преобразование подобия

Глава посвящена исследованию дифференциального оператора четвертого порядка, введенного в предыдущей главе, с другими краевыми условиями. Прежде чем переходить к постановке задаче, мы отметим, что в этой главе будут рассматриваться два различных пространства I fO, 1] и I f— 1,1]. Как уже было отмечено во введении, это связано с историей вопроса и применения результатов данной главы к различным задачам математической физики. Однако, в связи с тем, что результаты в случае краевых условий Дирихле и Неймана-Дирихле достаточно похожи, то все вычисления будут проводится для случая краевых условий Дирихле.

В настоящей главе мы будем рассматривать операторы Li : D(Lj) С L2[a, b] — L2[a, b], і = 1,2, которые определяются следующим дифференциальным выражением КУ) = У a{t)y" b{t)y, где а, &ЄІ/2[а, Ь]. Область определения оператора L\ задается краевыми условиями (bc)i : Дирихле у(0) = у{1) = 0, у"{0) = у"{1) = 0; а L2 — краевыми условиями: {be)2 Неймана-Дирихле у{—1) = у{1) = 0, у {—1) = у {1) = 0. Таким образом, область определения D(Lj) = {у Є W a, b] : уудовлет-воряет условию {Ьс)і}, і = 1,2. Всюду ниже, в качестве [а, Ь] будет рассматриваться либо отрезок [0,1] для оператора Li, либо отрезок [—1,1]. Оператор Loi : D(Loj) = D(Lj) С Ьг[а, b] —Ьг[а, b], L y = yIV, і = 1,2, при изучении оператора Li будет играть роль невозмущенного оператора, а оператор В : D( ) = D(Lj) С Ьг[а, Ь] — Ьг[а, b], By = a{t)y" + &()у — роль возмущения. Оператор Loi, і = 1,2, является самосопряженным положительно определенным оператором с компактной резольвентой.

Опишем спектры (j(Loi) и собственные функции для операторов LOJ, і = 1, 2: (be)і : a(Loi) = {An,n Є N}, где Хп = 7г4п4, п Є N, и соответствующие нормированные собственные функции имеют вид en(t) = \ 2sm7rnt; (be)2 (J(LQ2) = {An,n Є N}, где Xn = /І4, fin = \ + т п, для нечетного n или [in = T + 7Г для четного n соответственно. Нормированные собственные функции имеют вид: е«() = — (cos д„ ch(/i„/) — ch д„ cos([int)), для нечетного п; е«() = i5-(sin/i„ sh(/i„/) — sh д„ sin(/i„/)), для четного п. Отметим, что здесь ап и (Зп являются константами нормировки и допускают следующее представление: pm __ Ґ)( fi И"п \ Замечание 3.0.1. Для собственных значений и собственных функций операторов Ь$і, і = 1,2, будем использовать одни и те же обозначения: \п и еп соответственно. Собственное подпространство, отвечающее собственному значению Ап, п Є N, является одномерным. Проекторы Рисса Рп, п Є N, построенные по одноточечным множествам {Ап} для любого х Є L2[a, b] имеют вид Рпх = (ж, en)en, п Є N. 3.1 Построение допустимой тройки Настоящий параграф посвящен построению допустимой тройки для абстрактных операторов, которые близки по своим спектральным свойствам к операторам Lj, і = 1,2.

Пусть А : D(A) С Ті — Ті — нормальный оператор (см. определение 1.1.2), действующий в комплексном гильбертовом пространстве 7і, с компактной резольвентой R(-,A) : р(А) — End?/, спектр а (А) которого образует последовательность простых собственных значений (Лп) со свойством где с 0 некоторая постоянная. Причем Лп 0, п Є N, и 0 о (А).

Пусть Pn, п Є N, — ортогональный проектор, построенный по одноточечному множеству {Лп} С cr{A), п Є N. Следовательно, имеет место равенство АРп = \пРп. Пусть еп — ортонормированный базис, составленный из собственных векторов. Тогда проектор Рп, п Є N, имеет вид Рпх = (ж, еп)еп для любого вектора х Є Ті.

Банахово пространство допустимых возмущений Я будет состоять из операторов X Є (%), представимых в виде X = XQA2 , Ао Є &2\тІ) За норму оператора X в пространстве Я мы положим величину \\Х\\ = II "У II НА02. Далее приступим к построению трансформаторов J, Г : A(T L) — A(T L). Как и ранее, сначала эти трансформаторы определим на алгебре &2{ Н). Трансформаторы J и Г на любом операторе X є &2І Н) определим равен ствами

Корректность определения JX, ГХ и их ограниченность вытекают из следующей леммы. Лемма 3.1.1. Трансформаторы J, Г : &2{ Н) — &2{ Н) корректно определены, ограничены и обладают свойствами: 1) J - проектор, \\J\\ = 1; 2) имеет место оценка Г . , u—тг %, где с определяется в (3.1). її її х mi \Л] — \j\ 15 к І Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 2.1.1. Продолжения трансформаторов J и Г на пространства (7/) и Я, которые далее будут обозначаться теми же символами, задаются следующим образом: JX = J{XA )А, ГХ = (ГХА )А, X є (%), JX = J(XA 2 )А2 , ГХ = (ГХА 2 )А2) X є il. (3.3) Лемма 3.1.2. Каждый оператор ГХ, X Є Я, допускает расширение на все пространство Ті до оператора Гильберта-Шмидта, причем с2 ГХ Ь — X , X є її, 3 где постоянная с 0 определяется из соотношений (3.1).

Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 2.1.2. Замечание 3.1.1. Трансформатор Г, определенный равенствами (3.3), мы будем рассматривать как линейный оператор из Я со значениями в &2{ Н). Из леммы 3.1.2 следует, что имеет место оценка Г %.

Для каждого т Є N определим трансформаторы Jm : Я — Я, Гто : Я — &2{ Н) следующим образом: JmX = J(X — Р(ТО)ХР(ТО)) + Р(ТО)ХР(ТО), X Є Я, (3.4) ГТОХ = Г(Х — Р(ТО)ХР(ТО)), X є Я, (3.5) т где Р(то) = 2 Pk. Отметим, что J\X = JX, ГіХ = ГХ, для оператора X Є Я. Имеет место следующая лемма. Лемма 3.1.3. Каждый из трансформаторов Jm, Тт, т Є N, допускает ограниченное расширение на А{ТІ) (следовательно, и на пространство ІІ) и справедливы следующие оценки JTO = 1, Гто —, где с 0 — величина из (3.1). Отметим, что в дальнейшем мы будем использовать замечание 2.1.2. Покажем теперь, что построенная тройка (il, Jm,rm) является допустимой. Лемма 3.1.4. (ІІ, /т,Гт) — допустимая тройка для оператора А, причем для величины 7 = 7т справедлива оценка т —, где с 0 — постоянная из (3.1).

Доказательство. Первые два свойства следуют из представления пространства допустимых возмущений, леммы 3.1.1 и формул (3.4), (3.5).

Установим свойство 3), т. е. (TmX)D(A) С D(A) для любого оператора X Є il. По замечанию 2.1.2 вместо ТтХ можно рассмотреть ТХ. Оператор X представим в виде X = XQA? , где XQ Є &2(Ті). Через ixQk-) обозначим матрицу оператора XQ в базисе (е-,-). Возьмем произвольный вектор х Є D{A),

Асимптотика собственных значений оператора Шрёдингера

Данная глава посвящена исследованию спектральных свойств одномерного оператора Шредингера с негладким потенциалом и краевыми условиями Дирихле, а также дальнейшему развитию метода подобных операторов. Здесь мы приведем несколько иную схему метода подобных операторов, которая позволяет уточнить и в некоторых случаях улучшить известные спектральные свойства оператора Шредингера.

Рассмотрим оператор S : D(S) С L2[0,6 J] — L2[0,u;], си 0, порожденный на промежутке [0, о;] дифференциальным выражением s(y) = —y" — vy, v Є І/2[0,о;], и область определения, как отмечалось во введении, задается краевым условием Дирихле у(0) = у(со) = 0. Таким образом, D(S) = {у Є Wf [0,6 J] : у(0) = у(ш) = 0}. Оператор S представим в виде S = So — V, где свободный оператор So : D{SQ) = D(S) С L2[0,6 j] — L2[0,6 J] имеет вид Soy = —у". Оператор So является самосопряженным неотрицательным оператором с компактной резольвентой. Оператор V является оператором умножения на потенциал v с областью определения D(V) = {х Є W[0,k;] : vx Є L2[0,6 J]}. Он корректно определен ввиду включения D(V) D D(So). При исследовании оператора S оператор So считается невозмущенным оператором, а оператор V будет играть роль возмущения.

Опишем спектр a (So) и собственные функции оператора So: a(So) = {An,n Є N}, где Хп = (—)2; соответствующее собственное подпространство имеет вид Еп = Span{en}, где en(t) = v sin21 /:, п G N, t Є [0,o;].

Отметим, что для оператора S с краевыми условиями Дирихле все его собственные значения являются простыми (однократными). Предполагается, что потенциал v принадлежит гильбертову пространству L2[0,6 j] и всюду используется его разложение: , 7ГК v(t) = v 2 у Vk cos—t, є[0,бо ]. UJ k=l Пусть Pn, n Є N, — ортогональный проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству {Лп}. Следовательно, SQPH = \пРп. Для любого х Є L2[0,6 j] описанные выше проекторы определяются следующим образом: Рпх = (ж, еп)еп, п Є N. Теперь перейдем непосредственно к применению метода подобных операторов.

Настоящий параграф посвящен применению метода подобных операторов к абстрактным линейным операторам, действующих в гильбертовом пространстве Ті. В качестве невозмущенного оператора будет выступать оператор А : D(A) С Ті — Ті. Приводимые в этом параграфе результаты существенно используются в спектральном анализе дифференциального оператора S.

Замечание 4.1.1. Относительно оператора А мы будем предполагать, что он обладает точно такими же спектральными свойствами, как и оператор S. При этом будут использоваться те же обозначения, что и для собственных значений, собственных функций и для проекторов.

Рассматривается оператор А — В, где А : D(A) с Ті — Ті — самосопряженный оператор с компактной резольвентой, спектр а (А) которого образует последовательность собственных значений вида

В этом параграфе также предполагается, что все собственные значения оператора А — простые. Пусть Рп, п Є N, — ортогональный проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству {Лп}. Следовательно, справедливы равенства АРп = ХпРп. Для любого х Є Ті описанные выше проекторы определяются следующим образом: Рпх = (ж, еп)еп, п Є N, где еп, п Є N, — собственные функции оператора А Итак, следуя схеме метода подобных операторов, описанной в главе 1, в качестве пространства X выступает комплексное гильбертово пространство Ті. Предположим, что оператор (возмущение) В принадлежит идеалу операторов Гильберта-Шмидта @2( ).

Приступим к построению допустимой тройки для оператора А В качестве пространства допустимых возмущений ІІ будет выступать идеал операторов Гильберта-Шмидта @2( ).

Далее перейдем к построению трансформаторов J, Г Є End@2(%), которые будут участвовать при построении соответствующих трансформаторов в пространстве допустимых возмущений (как правило, далее обозначаемыми теми же символами).

Доказательство. Для фиксированных i,j Є N, удовлетворяющих условию і ф j, І і— j І m+1, операторы PiXPj, X Є @2( ), образуют собственное подпространство, отвечающее вещественному собственному значению (Aj — Aj)_1 оператора Гто. При этом эти подпространства взаимно ортогональны в @2( Н). Следовательно, трансформаторы Гто, т Є N, являются самосопряженными операторами. Поэтому величина ГТОІ2 совпадает со спектральным радиусом этого оператора, т. е. с величиной max Aj — Aj_1. Таким образом, имеет место неравенство (4.2). Из определения трансформаторов JTO, т Є N, следует, что они являются ортогональными проекторами. Лемма доказана.