Метод подобных операторов в спектральном анализе дифференциальных операторов второго порядка с негладким потенциалом Карпикова Алина Вячеславовна

Содержание к диссертации

Введение

1 Основные понятия и используемые результаты 23

1.1 Некоторые сведения из теории операторов 23

1.2 О методе подобных операторов 33

2 Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных самосопряженных операторов операто рами Гильберта—Шмидта 39

2.1 Построение допустимой тройки для абстрактных операторов 39

2.2 Оценки собственных значений 49

2.3 Оценки равносходимости спектральных разложений 59

3 Теоремы о подобии операторов 66

3.1 Оценки операторов, возникающих в методе подобных операторов (случай 0 = 0) 66

3.2 Оценки операторов, возникающих в методе подобных операторов (случай в = 1) 73

3.3 Оценки операторов, возникающих в методе подобных операторов (случай в є (0,1)) 78

3.4 Предварительное преобразование подобия исследуемого оператора Le,9 Є [0,1], к оператору Гильберта-Шмидта 82

4 Спектральный анализ дифференциальных операторов второго порядка с L i — потенциалом 95

4.1 Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с негладким потенциалом 95

4.2 Оценки равносходимости спектральных разложений дифференциального оператора с негладким потенциалом 107

Литература 112

• О методе подобных операторов
• Оценки равносходимости спектральных разложений
• Оценки операторов, возникающих в методе подобных операторов (случай в = 1)
• Оценки равносходимости спектральных разложений дифференциального оператора с негладким потенциалом

Введение к работе

Актуальность работы. В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств дифференциальных операторов второго порядка с негладким комплексным потенциалом, определяемых периодическими и квазипериодическими краевыми условиями. Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, который основывается на представлении проекторов Рисса возмущенных операторов с помощью интегральной формулы Копій. Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода. В первую очередь это связано с оценкой проекторов, при получении оценок безусловной равносходимости спектральных разложений.

В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берёт своё начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений и тесно связан с методом A.M. Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов, абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова.

Впервые метод подобных операторов был изложен К.О. Фридрихсом для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Дальнейшее своё развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

Суть метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого дифференциального оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам хорошо изученного оператора. Тем самым значительно упрощается изучение исследуемого оператора.

Метод подобных операторов применяется к исследованию спектральных свойств широкого класса дифференциальных операторов. Описанное в диссертации применение метода позволяет более глубоко изучить спектральные свойства исследуемого дифференциального оператора Штурма-Лиувилля: получить уточненную, по сравнению с известной ранее, асимптотику спектра.

Наиболее сильные результаты по асимптотике собственных значений оператора Хилла-Шрёдингера получены Марченко В.А.¹, для рассматриваемого нами дифференциального оператора, в случае вещественнозначно-го потенциала. Также отметим работы A.M. Савчука², и А.А. Шкаликова ³, в которых проведены исследования для потенциала из пространства W2 , поэтому и оценки являются более грубыми по сравнению с приведенными в диссертации.

Недавние исследования ряда математиков (Х.Р.Мамедова, П. Джако-ва, Б.С. Митягина, А.А.Шкаликова, О.А.Велиева, Н.Дернека) по условиям спектральности дифференциальных операторов второго порядка показывали важность получения более точных асимптотических формул для собственных значений и уточненных оценок отклонений проекторов от классических систем проекторов. Получение таких уточненных формул для собственных значений изучаемых дифференциальных операторов важны при оценке лакун в спектре соответствующего оператора Хилла-Шредингера, рассматриваемого в L2(K), в случае периодического комплексного потенциала. Таким образом, тема диссертации является актуальной.

¹Марченко В. А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения/ В. А. Марченко — М.: Наука,

1977. - С. 330.

²Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / А. М. Савчук,

А. А. Шкаликов // Мат. заметки. - 1999. - Т. 66. - № 6. - С. 897-912.

³Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями / А. М. Савчук,

А. А. Шкаликов // Тр. ММО. - 2003. - № 64. - С. 159-212.

Цель работы.

1. Построение оператора преобразования оператора Штурма-Лиувилля к оператору с блочно-диагональной матрицей.

2. Спектральный анализ дифференциальных операторов, возмущенных оператором Гильберта-Шмидта:

получение асимптотических оценок собственных значений;

получение оценок спектральных проекторов и оценок равносходимости спектральных разложений.

Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рассматриваемых операторов используется метод подобных операторов, спектральная теория дифференциальных операторов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Отметим некоторые из них:

3. Разработана абстрактная схема применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Штурма-Лиувилля.

4. Исследованы спектральные свойства несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля с негладким потенциалом, задаваемого периодическими и квазипериодическими краевыми условиями:

получены новые асимптотические оценки для собственных значений оператора Штурма-Лиувилля;

получены оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного и невозмущенного операторов (получены оценки безусловной равносходимости спектральных разложений).

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в работе результаты носят теоретический характер и строго обоснованы широким использованием методов спектральной теории операторов и дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Крымских осенних математических школах [6], [8], [9], на Крымской международной математической конференции [7], [10], на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна [4], на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI» [5], на математическом интернет-семинаре ISEM (Германия, Блаубойрен) [11], на конференции, посвященной 100-летию Б.М. Левитана "Спектральная теория и дифференциальные уравнения" [12], на семинарах А.Г.Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12]. Работы [1], [2], [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мино-брнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 61 наименование. Общий объем диссертации - 123 страницы.

О методе подобных операторов

Замкнутый оператор A : D(A) сЛ Л , называется оператором с компактной резольвентой, если для некоторого Ло Є р(А) оператор R(Xo,A) компактен.

Теорема 1.4. Спектр и (А) компактного оператора А является не более чем счетным множеством, не имеющим предельных точек, отличных от нуля. Каждое число X Є и (А), X ф 0, является собственным значением конечной кратности, т.е. dim Кег (А—XI) оо.

Если А — оператор с компактной резольвентой, то спектр и (А) оператора А—не более чем счетное множество, не имею щее конечных предельных точек. Каждое число А Є и (А) является собственным значением конечной кратности. Теорема 1.5. Самосопряженный оператор имеет вещественный спектр. Замечание 1.1. Пусть X Є &\{%) и (ап) —последовательность его собственных значений, пронумерованная с учетом их кратности. То 00 гда величина SpX = ап, называемая спектральным следом опе-ратора X, совпадает с матричным следом trX оператора X. Матрица оператора X строится по ортонормированному базису в Ті (и не зависит от выбора ортонормированного базиса в ТІ). Определение 1.17. Линейный ограниченный оператор Р Є EndX называется проектором (или идемпотентом), если Каждый проектор Р осуществляет разложение банахова пространства X в прямую сумму X = Х\ X2l причем Х\ = Im Р, Х2 = 1т{1 -Р). Замечание 1.2. Пусть {Qn;n 0} —система ортопроекторов из End Ті, образующая разложение единицы, т.е. обладает свойствами: 1) QnQm = QmQn = О ДЛЯ П ф Ш] 2) QnX = X ДЛЯ ЛЮбоГО X Є п=0 T-L. Тогда для любого оператора X є &2{Т С) выполнено равенство lim \\Q(n)XQfn) - Х\\2 = 0, где Q(n) = Q0 + ... + Qn Замечание 1.3. Если XY, YX є &i(7i), где X, Y є EndH, и один из них компактен, то tr(XY — YX) = 0. Замечание 1.4. Пусть оператор X : D{X) С % — Н принадлежит пространству () (и, следовательно, имеет плотную в Ті область определения D(X) D D(A)). Если конечна величина \{Хеп, ek)\2, где (еп) — ортонормированный базис из соб-ственных векторов оператора A = AQ, ТО оператор X допускает единственное расширение на Ті. Оно является оператором Гильберта-Шмидта и обозначается тем же символом X. Матрица (Xen,ek),n,k Є Z, называется матрицей оператора X относительно базиса (еп). Определение 1.18. Пусть ТЇ гильбертово пространство и Ті = Тії 0 2, т.е. Тії, % — замкнутые подпространства из Ті, Ti\ V\ i i = 0, и любой вектор х Є Ті представим в виде х = х\ + х і, Х\ Є Тії, Х і Є Ті і- Проектор Р Є EndTi вида Рх = Тії, называется ортогональным проектором, если он самосопряжен, или, что эквивалентно, пространства Тії и ТІ2 ортогональны другу другу, т.е. (хі, Х2) = 0 для любых Х\ Є Til, %2 Є ТІ і Определение 1.19. Пусть A : D{A) С X — Л —замкнутый оператор, спектр которого представим в виде т(А) = 7i(Jo"2, где о"!, о"2 — замкнутые непересекающиеся множества, причем j\ компактно. Пусть j — жорданова замкнутая кривая, лежащая в р(А) и содержащая j\ во внутренней части и о"2 — во внешней. Проектор рК ) = т J R(\,A)d\ 7 называется спектральным проектором Рисса, построенным по изолированной части о"1 спектра оператора А.

Теорема 1.6. Пусть спектр замкнутого оператора A : D(A) С X — X допускает описанное в определении 1.19 разбиение на части o"i и о 2- Тогда оператор А допускает разложение А = А\ ф Ai, где АІ = А\ХІ, і = 1}2, — сужение А на Х{ относительно прямой суммы X = Х\ ф Xi инвариантных относительно А подпространств Х\, Xi, причем ХІ = ІтР{, г = 1,2; Р\ = Р{а\,А) —спектральный проектор Рисса, построенный по изолированной части о \ спектра оператора A, a Pi = I — Р\. Кроме того, сг{А{) = О І, г = 1,2; Хі Є D(A) «АіЄ EndX.

Определение 1.20. Пусть A : D{A) С Ті — Ті — линейный оператор, спектр которого представим в виде объединения взаимно непересекающихся компактных множеств а , к Є X Пусть Pk — проектор Рисса, построенный по множеству o k- Оператор А называется спектральным относительно разложения (1.2) (или обобщенным спектральным), если ряд Р х безусловно сходится для люб kel любого вектора х Є Ті. Если o k = {\k}, к Є I, одноточечные множества, и проекторы Pk, к Є J, обладают свойством APk = ХкРк для всех к Є J, исключая конечное число, то спектральный относительно разложения (1.2) оператор А является спектральным (по Данфорду; см. [21]]) оператором, причем А — спектральный оператор скалярного типа, если APk = \kPk-, к Є X

Замечание 1.5. Пусть (eJn), п Є Z, j = 1, N,— ортонормирован-ный базис в Ті, Si Рп, п Є Z, — ортогональные проекторы, имеющие вид Рп = " 2(х, е{)е{. Введем в рассмотрение операторные матрицы (Xnk), составленные из операторных блоков Xnk = PnXPk, п,к Є Z.

Определение 1.21. Пусть X — компактный оператор. S - числами оператора X называются упорядоченные по убыванию собственные значения положительного самосопряженного компактного оператора у/XX .

Определение 1.22. Подалгебра алгебры линейных ограниченных операторов End Ті, действующих в гильбертовом пространстве Ті, называется двусторонним идеалом алгебры EndJi, если АВ є , В А Є для произвольного Л є и любого В є EndTi.

Определение 1.23. Компактный оператор X принадлежит пространству &p(7i), р 1, тогда и только тогда, когда s - числа (sn) оператора X суммируемы со степенью р (( «,) Є lp), причем \\А\\Р = (Yl \sn\p)p Пространства &Р Н) образуют двусторонний neZ идеал в алгебре End Ті.

При р = 1 пространство &\(7i) называют идеалом ядерных операторов. При р = 2 пространство @2(%) называют идеалом операторов Гильберта-Шмидта.

Замечание 1.6. Оператор X является оператором Гильберта Шмидта тогда и только тогда, когда ( (Xen,e&) ) оо для любого ортонормированного базиса {еп}, п Є Z, в Н. Данная величина совпадает с нормой Гильберта-Шмидта Ц Цг Замечание 1.7. Интегральный оператор X : ([а, Ь\) — L2([a,b\) является оператором Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда найдется элемент /С Є L/2[a,b] х L,2[a,b], т.е. такой, что

Оценки равносходимости спектральных разложений

В данном параграфе метод подобных операторов применяется к абстрактным линейным операторам, действующих в сепарабельном гильбертовом пространстве Ті. В качестве невозмущенного оператора будет выступать оператор А = Ад : D(AQ) С Ті — Ті, который имеет спектральные свойства, близкие к спектральным свойствам оператора L, в є [0,1].

Пусть Рп = Р 9,п, п Є Z+, 9 Є {0,1}, —ортогональный проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству {Лп} и, соответственно, Р#,п, п Є Z, 9 Є (0,1)—ортогональный проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству {Хо:п}- Следовательно, AW e,n = Ae nPe nj 9 Є [0,1].

Отметим, что только в случае 9 = 0 и 9 = 1 соответствующие проекторы Ро,п и Рі;П будут обозначаться через Рп. Для любого х Є Ті описанные выше проекторы определяются следующим образом: собственные функции оператора Ад для 0 = 0, и 9 = 1 и e#jn — собственные функции для 0 Є (0,1). Отметим, что для случая 9 = 0 проекторы Рп задается как Рп = Ро,п = Рп + Р-п, п Є N, и Ро = Ро,о = Ро- Соответственно, для 9 = 1 проекторы Рп, п Є Z__, определяются как Рп = Р1;П = Pn + Р-п-і, п Є Z+.

Оператор (возмущение) принадлежит двустороннему идеалу операторов Гильберта-Шмидта 2( )- Символом ЦХЦ2 будем обозначать норму оператора Гильберта-Шмидта X Є &2(7i)} Т-Є-\\Х\\2 = фг{ХХ ), где tr{XX ) — след оператора XX є i( H). Здесь символом &\{T-L) обозначим двусторонний идеал ядерных операторов из EndTi (см. [16]) с нормой \x\\l = (xx ) = J2S которые будут участвовать при построении соответствующих трансформаторов в допустимых пространствах возмущений (и, как правило, обозначаться теми же символами).

Ввиду принадлежности оператора X идеалу &2І Н) и положительности величины min \Xo,i e,j\, из замечания 1.4 следует, что трансформатор Го корректно определен и является ограниченным оператором.

Наряду с указанными трансформаторами рассмотрим последовательности трансформаторов Jm = /#;ТО,Гто = Г#;ТО,т 0, определенные равенствами:

Трансформатор ad,Ae обратим на подпространстве Ker Jo = Im (I — Jo). Обратный к нему совпадает с трансформатором Го на операторах вида Po XPoj}X Є &2{Т С) в,і 7 6 j5 линейные комбинации которых плотны в &2{ Н)- Таким образом, трансформатор Го нулевой на Im Jo и совпадает с обратным к сужению адьАв на

Приступим к построению допустимой для оператора А = Ао тройки, которая существенно используется при доказательстве основных результатов статьи.

Для любого ненулевого оператора X из 62() и любого в Є [0,1] рассмотрим двустороннюю последовательность чисел вида

Для любого оператора X Є 62() и любого 6 Є [0,1] рассмотрим самосопряженный компактный оператор

Он является функцией от оператора А = А$} где /х : сг(Ао) — (0,оо),/х(А п) = а п(Х),п Є Z. Отметим, что /х(Л) = тахап(Х) = 1. Если Р(т\ХР(т\ ф 0 для любого m Є Z+, то опера-тор fx{Ao) является положительно определенным оператором.

Доказательство. Свойства 1), 2) непосредственно следуют из определения трансформаторов Jo m, r#jTO. Свойство 3) следует из инвариантности подпространства Im (I — Je,m) для трансформатора acUe. Докажем свойство 4) для 9 = 0. Пусть Xki = Р&ХР/, к, І Є Z+, — блочная матрица оператора X. Тогда матрица (34/) оператора У =

Далее рассматривается оператор В є гСН), играющий роль возмущения оператора A = AQ. ПО оператору В построим функцию /в, которую далее будем обозначать через /.

Замечание 2.1. Если оператор В обладает свойством Р ВР = В для некоторого т Є Z+, то изучение оператора AQ — В сводится к изучению оператора конечного ранга (AQ — В)\Н (сужению оператора AQ — В на конечномерное подпространство H(TO) = ImP ). Поэтому в дальнейшем предполагается, что Р(ТО) Р(ТО) ф В для любого т Є Z__, что влечет положительную определенность оператора f(A). Таким образом, f(A) = ап(В)Рп.

neZ Лемма 2.2. Трансформаторы Je,m, в,т, 9 Є [0,1]; т О, являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве &2 ІЇ)- Каждый трансформатор 3$,т является ортогональным проектором, а трансформатор r#jTO является компактным оператором, допускающим оценку

Доказательство. Из определения трансформаторов Je,m, 9 Є [0,1], т 0, следует, что все они являются проекторами. При этом \\JeX\\l = J2 \\РпХРп\\1 \\X\g X є 62СН), если в є (0,1). Такая же оценка верна и для в Є {0,1}. Следовательно J# = 1,9 Є [0,1], и поэтому J# — ортопроектор для любого 9 Є [0,1].

Для любых фиксированных для которых А І ф \e,ji операторы PQ XPQJ,X Є 62СН), образуют собственное подпространство j трансформатора Г#;ТО, отвечающее собственному значению (Xg:i — Xgj) l. Поскольку все такие собственные подпространства взаимно ортогональны, то r#jTO,# Є [0,1],m 0, —самосопряженные операторы. Следовательно, величина Г#;ТО совпадает со спектральным радиусом трансформатора Г#;ТО, то есть с величиной max \(Хв,і — ej) l\- Таким образом, верны оценки (2.15).

Введем в рассмотрение пространство допустимых возмущений it(/) (для оператора А = Ав), состоящее из операторов, входящих в идеал 2( )5 и каждый оператор X Є it(/) представим в виде Последовательность (ап(В)) = (о п( )), с помощью которой определяется оператор f(A), зависит от 9 Є [0,1], и поэтому пространство il(/) иногда будет обозначаться символом iie(f). Непосредственно из определения пространства il(/) следует, что оно является банаховым пространством . Однако оно не является замкнутым подпространством в 2(7/) (по норме в 2(7/)).

Замечание 2.2. Из леммы 2.1 (свойств 1),4)) следует, что il(/)— инвариантное подпространство из 2( Н) для трансформаторов Je,m = Jm 6,m = Гт Є End & 2() і Є Z+. Их сужения на І1(/) далее будут обозначаться теми же символами.

Оценки операторов, возникающих в методе подобных операторов (случай в = 1)

Осуществим преобразование подобия таких операторов к оператору вида Ад—В, где Ад = Ь и В — оператор Гильберта-Шмидта из @2( 2[0,бо ]). Тем самым появляется возможность использования результатов главы 2 об асимптотике собственных значений дифференциальных операторов Lg,6 Є [0,1], и равносходимости спектральных разложений операторов Lg,L ,9 є [0,1].

Оператор V умножения на потенциал v Є L2[0,6 J] для V EL[0,UJ] не является ограниченным. Однако, он является подчиненным оператору Ад = L$, т.е. V Є Слв(Ь2[0,ш]). При этом он обладает свойством: V(Ag — До/)-1 Є 62( 0, w]), где Ло Є р(Ад). Отметим, что &Ав совпадает с множеством операторов вида X = Хо(Ад — Ло/), где Хо є 62(). Для каждого оператора X = Хо(Ао — XQI),XO Є 62() положим

Далее символом Ті иногда будет обозначаться гильбертово пространство ІУ2[0,6О ]. Замечание 3.1. В случае периодических и антипериодических краевых условий должны быть особые обозначения операторов: для 9 Є (0,1). Собственные функции соответственно обозначаются ерег п, еар ,п Є Z, е0)П, АреГіП, ЛаР)П, A n,6 є

Проекторы: Грег п, Рар п,П Z, рег,п5 ар,п Замечание 3.2. В дальнейшем будут использоваться матрицы операторов из АЄ(ТІ) (ИЗ Ав(Ті) Для = А с компактной резольвентой и с ортонормированным базисом (еп),п Є Z, либо п Є Z+,n Є N). Для любого оператора X є () через () обозначается матрица, элементами которой являются числа : = (Aej,e ,i,j Є J.

Если матрица (xij) оператора является матрицей Гильберта-Шмидта, то оператор X : D(X) С Ті Ті допускает ограниченное расширение на Ті до оператора X, являющимся оператором Гильберта-Шмидта. Это расширение в дальнейшем обозначается тем же символом X.

Если некоторое высказывание относится к любому из рассматриваемых дифференциальных операторов LQ (т.е. в Є [0,1]), то собственные значения и собственные функции оператора Le будут обозначаться через Хп,еп,п Є Z, соответственно.

Пусть теперь в Є (0,1). В этом случае каждый из операторов Ре,кУРе,к имеет ранг 1 и Рв,кУРв,кХ = v(0)x,x Є L2[0,w]. Следовательно, трансформатор Jo имеет вид JQV = v(0)I, т.е. является скалярным оператором. Замечание 3.8. В дальнейшем будем всюду предполагать, что гГ(0) = 0, т.е. фактически рассматривать операторы LQ — v(0)I,0 Є [0,1]. Однако в окончательных формулах для собственных значений учитывать (добавлять) величину гГ(0).

Для доказательства равенства (3.28) рассмотрим группу операторов сдвига в гильбертовом пространстве Ь2іШ{Ш) периодических периода си функций, сужение которых на [0,о;] принадлежит L2[0}UJ] (следовательно, L2jW(K) изометрически изоморфно пространству L,2[0,UJ]).

Поскольку TQV — оператор Гильберта-Шмидта, то операто-розначная функция Ф : R - 62() вида t S(t)(TV)S() : К. — 2 (- 2,w( )) является непрерывной периодической периода UJ функцией. Гассмотрим её ряд Фурье умножения в L2jW(K) на функцию е&() = e% kt,t Є К, коммутируют с операторами S(t),t Є К. Поскольку операторы V -E-n, E—nV, ті Є Z, являются операторами Гильберта-Шмидта, то, следовательно, матрица Vn оператора VE_n является диагональной. V

Непосредственный подсчет показывает, что матричный элемент j = v]- , п т 0, стоящий на j -ой диагонали, есть число Для каждой из функций /#,0,0 Є [0,1], введем в рассмотрение двустороннюю последовательность функций fe,n,n Є Z, определенную формулой Доказательство. Из формулы (3.28) и ограниченности функций fe,n,0 Є [0,1],п Є Z следует, что ядраг7п(,з) = v{t)fe,n{t - s),t,s Є [0,о;], принадлежат гильбертову пространству Ь2([0}ш] х [0,о;]) и ІКІІ2 ІЬІЬІІДпІІоо, Є Z. Из формулы (3.28) для T0V следует, что оператор VTQV допускает представление

В следующей лемме рассматриваются операторы Гильберта-Шмидта Je,mV (см. (3.25)) и операторы Тв тУ,в Є [0,l],m Є Z+, определенные равенствами (3.26).

Лемма 3.3. Операторы TmV}m 0,# Є [0,1], обладают свойствами: l)(To mV)D(Ao) с D(Ae), 2) имеют место равенства Aere,mVx - (Гв,тУ)Авх = (Je,mV)x,x Є D(A),m 0, т.е. выполнены свойства (Ъ) и (d) предположения 1.1 для операторов A = Ae = Le,B = V.

Доказательство. Рассмотрим только случай 9 Є (0,1) (для 9 Є {0,1} доказательство мало отличается от рассматриваемого случая). Вначале рассмотрим операторы JeV,TeV (т.е. случай т = 0). Доказывая свойство 1), рассмотрим число оЄа(Ао). Любая функция х Є D(Ae) представима в виде х = (Ао — цоІ) 1у,у Є L2[0,o;]. Рассмотрим последовательность операторов

Оценки равносходимости спектральных разложений дифференциального оператора с негладким потенциалом

Доказанная теорема 3.1 позволяет воспользоваться результатами главы 2 и получить асимптотику собственных значений операторов Lg,6 Є [0,1], оценки равносходимости спектральных разложений операторов Lg,L.

Нам удобно сделать преобразование, положив А = Ад = L и далее при изучении дифференциального оператора Lg использовать подобный ему оператор Ад — , где оператор В определен формулой (3.44). Вначале получим асимптотику собственных значений оператора LQ. Поскольку (J{LQ) = (J{AQ — ), то появляется возможность использования теорем 2.1, 2.3, 2.4 —основных результатов из главы 2. При использовании теорем 2.3, 2.4 в данном случае следует оценить последовательность чисел (ап(В)), участвующих в формулах (2.43) и (4.27). Из формулы (3.44) следует, что оператор В представим с виде В = Je,kV + (-1)п(Гв АУ)п(УГв АУ - Оператор В\ = Ві(к,0) есть ядерный оператор, так как он является суммой абсолютно сходящегося ряда произведений операторов Гильберта-Шмидта и ядерного оператора — {Ve,kV){Je,kV). При этом используются леммы 9, 10, из которых следует, что операторы Г У, VTQ V ЯВЛЯЮТСЯ операторами Гильберта-Шмидта и (как операторы отличающиеся от операторов Г У, VTQ V на оператор конечного ранга) ядерным является оператор {Ye,kV){Je,kV)- Теперь запишем оператор В в виде

Доказательство леммы непосредственным обра зом следует после перемножения матриц, стоящих в правой части равенства (4.4).

Доказательство. Рассмотрим такое натуральное число т 1, что выполнены условия теоремы 2.1 и, следовательно, верна формула (4.5) спектра оператора CT(LQ). ДЛЯ получения асимптотического представления (4.6) рассмотрим оператор Lg = А$ — В = А$ — JQV—VTQV — i, где ядерный оператор В\ определен формулой (4.1). Найдем спектр оператора JQV+C, где оператор С = VTQV-\-B\ является оператором Гильберта-Шмидта. Для этого воспользуемся леммой 4.1, позволяющей представить матрицу Wn(JoV+C)Wn сужения оператора JQV + С на l Ln в базисе е_п, еп, п Є N в виде:

Доказательство. Доказательство теоремы проводится аналогичным образом, что и в теореме 4.1, однако, в силу дополнительного условия на потенциал -и, можно значительно улучшить асимптотику, за счет оценки нормы оператора С = VTQV + В\. Основную значимость для нас представляет оценка матричных элементов матрицы Рп(1/Гб»1/)РП сужения оператора VTQV на Tin в базисе е_п, еп, п Є N, представимых в виде (VT0Ven} еп) = 4 J2 v(" k)v("k)

An"2 , k(k+2n+e) Поскольку потенциал v является функцией ограниченной вари ации, то верна лемма 4.3, исходя из которой следует, что матричные элементы матрицы Pn(VT#y)Pn оцениваются величиной —. В итоге мы получаем асимптотическую оценку остатка ряда вида 4.9. Тео рема доказана. конечное множество, состоящее не более чем из 2т + 1 чисел, а множества о п = {A+}U{A },n т+1, не более чем двухточечные. Если потенциал v устойчив на множестве Q С 2N + #, то имеет место следующее асимптотическое представление собственных значений:

Доказательство. Доказательство теоремы проводится аналогичным образом, что и в теореме 4.1. Однако, условие устойчивости потенциала v эквивалентно тому, что v(—2n — 9)v(2n + 9) 0, п Є

Доказательство следующей теоремы проводится аналогичным образом, что и в теореме 4.2, т.е. с использованием оценок матричных элементов матрицы Pn(VT#y)Pn. Теорема 4.4. Если в условиях предыдущей теоремы потенциал v является функцией ограниченной вариации, то формула (4-И) принимает следующий вид конечное множество, состоящее не более чем из 2т + 1 чисел, а множества о п = {А+} U{A },n m + 1, не более чем двухточечные и имеет место следующее асимптотическое представление собственных значений: л; = ( (2п + в))2_5(0)+%Т(п)) (4М) где последовательности rjf удовлетворяют оценкам: \r]f(n)\ —\v(2n + 6 ) i(n), (4.15) если п Є П2{в) = {п Є Z+ : Ц-2п - в) ф 0,v(2n + в) = 0}, где символами Сі(п), 2( ) обозначаются последовательности, принадлежащие пространству L2. Доказательство. Рассмотрим случай п Є Г2і(#), при котором матрица сужения оператора n(JeV + VTQV + i)Pn на НП в базисе e_n,en принимает следующий вид: где Е — единичная матрица, Сп = fn(VToV + i)Pn, а Л —собственные значения матрицы сужения оператора n(JoV + VTQV + i)Pn на Tin в базисе е_п, еп. Поскольку (JQV — ХЕ) 1 = —\{Е + JJQV), ТО для того, чтобы Л входило в спектр рассматриваемого оператора необходимо, чтобы было выполнено неравенство

В итоге получаем, что Л г ± А/СП 1+ Исходя из этого неравенства получаем, что в случае п Є Qi(0) = {п Є Z+ : v(—2n — 6) = 0, v(2n + в) ф 0} верна оценка (ввиду того, что операторы JoV} VTQV — операторы Гильберта-Шмидта, а В\ — ядерный оператор)

где символом i(n) обозначается последовательность, принадлежащая пространству L2. Доказательство теоремы в случае п Є (0) проводится анало гичным образом. Теорема доказана. Теорема 4.6. Если в условиях предыдущей теоремы потенциал v является функцией ограниченной вариации, то формула (4-Ц) принимает следующий вид где константа С% О, п Є Г2і(0) = {п Є Z+ : v(—2n — 9) = 0,v(2n + 6») 0}, или п Є fi2W = {п Є Z+ : (-2n - 6») 0}v(2n + 9) = 0}. Доказательство. Доказательство теоремы проводится, путем под становки оценок для потенциала v из леммы 4.3 в неравенства (4.15) и (4.16). Теорема доказана.