Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений Фуфаев Владимир Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

Краткое содержание диссертации 15

1 Геометрические свойства приближений Лиувилля-Грина 23

1.1 Асимптотика решений вдоль канонического пути 23

1.2 Структура линий уровня 25

1.3 Асимптотические формулы для матрицы перехода 29

1.4 Локализация собственных значений 32

2 Монотонный кубический потенциал 37

2.1 Аналитические свойства корней уравнения z3 + z = и построение канонических путей 37

2.2 Фундаментальные системы решений и характеристический определитель 44

2.3 Свойства эллиптических интегралов 50

2.4 Локализация собственных значений 58

3 Случай разветвленного накрытия 64

3.1 Аналитические свойства корней уравнения z3 - z = и построение канонических путей 64

3.2 Фундаментальные системы решений и характеристический определитель 70

3.3 Линии уровня аналитических функций 77

3.4 Локализация собственных значений 87

Заключение 93

Литература

• Структура линий уровня
• Локализация собственных значений
• Фундаментальные системы решений и характеристический определитель
• Линии уровня аналитических функций

Введение к работе

Актуальность темы

Асимптотическая (сингулярная) теория возмущений линейных операторов находит применение в различных вопросах функционального анализа и характеризуется использованием топологии резольвентной сходимости по параметру возмущения [1], [2]. Одной из важных проблем здесь является изучение спектральных асимптотик краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для построения приближений Лиувилля-Грина решений и квазиклассической локализации спектра широко используется метод фазовых интегралов или метод ВКБ (см., например, [3], [4]). Настоящая диссертация посвящена развитию метода фазовых интегралов применительно к модельной несамосопряженной краевой задаче Штурма-Лиувилля. Вопросам, связанным с асимптотическими спектральными характеристиками краевых задач, посвящено значительное количество работ (см., например, [5] – [7]), которые наряду с теоретическим имеют и прикладное значение ([8], [9]).

Ключевым объектом используемого в диссертации аналитического подхода является фазовый интеграл, входящий в асимптотические формулы ВКБ. Для возникающих в задачах квантовой механики обыкновенных дифференциальных уравнений Дж. Биркгоф (см. [10]) разработал метод построения решений, допускающих приближения Лиувилля-Грина на канонических путях – кривых, на которых вещественная часть фазового интеграла изменяется монотонно,

[1] Маслов В.П. О предельном поведении некоторых квантово-механических величин // ДАН СССР, 1954. – Т.94, №4. – С.623-626.

[2] Newburgh J. D. The variation of spectra // Duke Math. J., 1951. – V.18, N1. – P. 165-176.

[3] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ) – М.: Мир, 1965. 237 с.

[4] Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений – М.: Наука, 1983. 352 с.

[5] Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН, 1952. – Т.7, В. 6. – С. 3-96.

[6] Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач // ЖВМ и МФ, 1964. – Т.4, В. 2. – С. 267-277.

[7] Федорюк М.В. Асимптотика собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с комплекснозначным потенциалом-полиномом // Дифференц. уравнения, 1972. – Т.8, №5. – С. 811-816.

[8] Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы – Л: Гидрометео-издат, 1976. 108 с.

[9] Froman N., Froman P. O. Physical Problems Solved by the Phase-Integral Method – Cambridge: Cambridge University press, 2002. 230 p.

[10] Birkhoff G. D. Quantum mechanics and asymptotic series // Bull. Amer. Math. Soc., 1933. – V. 39, N10. – P. 681-700.

а рассматриваемое уравнение эквивалентно интегральному уравнению вольтерровского типа с ограниченным ядром.

Особое значение в этом контексте имеют точки поворота дифференциального уравнения второго порядка, в которых матрица соответствующей системы первого порядка имеет кратное собственное значение. Известно, что в различных частях окрестности точки поворота одно и то же решение рассматриваемого уравнения может иметь различные асимптотические представления (явление Стокса). Основная аналитическая трудность, таким образом, состоит в построении формул связи между асимптотическими представлениями решений в различных областях изменения аргумента. Границы этих областей оказываются связанными с траекториями определяемого фазовым интегралом квадратичного дифференциала (линиями Стокса). Использование фундаментальных свойств траекторий квадратичных дифференциалов (см. [11]) позволяет в рамках подхода Биркгофа преодолеть трудности, обусловленные явлением Стокса, и установить формулы связи для решений с ВКБ-представлениями.

Для краевых задач на собственные значения исследование асимптотической локализации точек спектра сводится к изучению нулей соответствующего характеристического определителя (см., например, [12]). Формулы связи, установленные в рамках развиваемого в диссертации подхода, позволяют построить приближения характеристического определителя с равномерными по спектральному параметру оценками остатков, и получать информацию о распределении его нулей.

Известно, что для самосопряженных сингулярно возмущенных операторов имеет место нижняя полунепрерывность спектра (см. [13]). В несамосопряженном случае это свойство предельного (в смысле резольвентной сходимости) оператора, как правило, нарушается. Изучаемая в настоящей диссертации задача Штурма-Лиувилля может рассматриваться как модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в несамосопряженном случае. При этом особенности и закономерности асимптотического распределения собственных значений определяются геометрией римановой поверхности (рассматриваемой как область наложения) многозначной функции, обратной к потенциалу.

[11] Strebel K. Quadratic Differentials– Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1984. 194 p. [12] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы – М: Наука, 1969. 528 с. [13] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. 740 с.

Цель работы

Развитие метода квазиклассической локализации собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, с использованием разработанной техники аппроксимации характеристического определителя. Изучение асимптотического расположения спектра задачи Штурма-Лиувилля для уравнения с модельными полиномиальными потенциалами и малым чисто мнимым параметром при второй производной. Исследование геометрических свойств предельного спектрального множества.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при второй производной и полиномиальным потенциалом Q(z) разработан метод локализации спектра краевой задачи Штурма-Лиувилля на основе формул связи решений с ВКБ-асимптотиками и равномерными по спектральному параметру оценками остатков соответствующих приближений.

2. В случае монотонного на [—1,1] потенциала Q(z) = z^?> + z в правой полуплоскости найдена область, асимптотически свободная от точек спектра рассматриваемой задачи. Локализована кривая, которая служит предельным спектральным множеством, и для соответствующих собственных значений получены правила квантования типа Бора-Зоммерфельда-Маслова.

3. В случае потенциала Q(z) = z^?> — z в правой полуплоскости выделена монотонная ветвь предельного спектрального комплекса, концевой вершиной которой является точка ветвления функции Q~¹(X). Для собственных значений, концентрирующихся вблизи найденной кривой, получены локализационные формулы типа правил квантования с квалифицированной оценкой погрешности.

Методы исследования

В работе использованы асимптотические методы, аппарат комплексного анализа и техника аналитической теории дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории операторов, при изучении краевых задач в теории дифференциальных уравнений и гидродинамике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

Научный семинар “Дифференциальная геометрия и приложения” механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. Т. Фоменко;

Научный семинар “Тригонометрические и ортогональные ряды” механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора М. К. Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко и профессора М. И. Дьяченко;

Научный семинар лаборатории механики природных катастроф института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского “Асимптотические методы в математической физике” под руководством профессора С. Ю. Доброхотова;

Научный семинар математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук “Комплексные задачи математической физики” под руководством профессора А. Г. Сергеева и доцента А. В. Домрина;

Научный семинар“Задачи дифференциальных уравнений, анализа и управления:теория и приложения”механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. В. Фурсикова, профессора В. М. Тихомирова, профессора М. И. Зеликина и профессора В. Ю. Протасова;

Научный семинар “Актуальные проблемы геометрии и механики” механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Д. В. Георгиевского и профессора М. В. Шамолина;

Научный семинар “Теория рассеяния” механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Р. А. Минлоса;

Научный семинар “Динамические системы и дифференциальные уравнения” механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. А. Давыдова и профессора А. М. Степина;

Научный семинар Добрушинской лаборатории ИППИ РАН под руководством профессора Р. А. Минлоса и старшего научного сотрудника М. Л. Бланка.

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих конференциях:

Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского (Москва, 2015);

Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2015);

Международная конференция 5th International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics (Palermo, 2015);

Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016);

Международная конференция “Системы Аносова и современная динамика”, посвященная 80-летию со дня рождения Дмитрия Викторовича Аносова (Москва, 2016

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, три из них опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК. Их список приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация содержит 8 иллюстраций. Объем диссертации составляет 100 страниц.

Структура линий уровня

Определение. Кусочно-гладкий путь 7 = т( ) С Cz называется каноническим для ветви S(zo,z; А) многозначной функции е / \/Q((ity d( і (1.1) z0 если величина Re S(zo, z; А) изменяется монотонно вдоль 7. ВКБ-приближения для ФСР уравнения (1) и их производных по zс квалифицированными оценками остатков на канонических путях (см. [23], [30]) дает Предложение 1.1.1. Пусть при каждом X из ограниченной области Q для S(zo,z; А) существует канонический путь 7 = т( )? удовлетворяющий условию р[}1) = sup — , + — , az\ оо. Тогда при достаточно малых є 0 и всех А Є Q у уравнения (1) существуют решения Y±(z,X), имеющие на 7 вид Y±(z,X) = Q(z,X) exp ( ± є .S zo, z; А)) (1 + r±(z, А) ] , (1.2) Y .(z,A) = ±Q( , A) exp (±є S(zo,z; X)Mem e + f±(z,A)], (1.3) где r±(z,A) 2 (ехр(2є1/2р(і7)) — l) и, кроме того, — Q4 ,A) / 1/2 / \\ \ r±\z-,X)± , (1 + r±(z, A)) 2 (ехр(2є р(Щ) — 1). 4:Q(z, Х)6Іг Доказательство предложения 1.1.1 следует схеме, изложенной в [25].

Зависимость от А в обозначении для S(zo,z; А) в дальнейшем явно указывается лишь там, где это существенно. В качестве z$ = zo(X) как правило выбирается начало соответствующего канонического пути, которое всегда будет равномерно по А Є Г2 отделено от точек поворота, т. е. корней уравнения Q(z) = А, и расположено в некоторой ограниченной области плоскости Cz. Для применения метода ВКБ будет проверяться следующее достаточное условие: если а (А), к Є Ко - все корни уравнения Q(z, А) = 0, и выполнены условия r(j) := min іпідєп dist{o (A), 7} 0 и /(7) := supA І7І оо, то оценки для приближений решений и их производных равномерны по z Є 7 и А Є Г2.

При исследовании квазиклассической локализации спектра методом фазовых интегралов возникают специфические обстоятельства, связанные с явлением Стокса, состоящим в том, что в различных частях окрестности точки поворота коэффициенты линейной комбинации функций вида (1.2)-(1.3), задающей асимптотику некоторого решения уравнения (1), оказываются различными. Связь между этими коэффициентами обсуждается в [23] и [26] в предположении, что известна топологическая структура линий Стокса, т.е. линий уровня Re S(zo, z; А) = const, выходящих из точек поворота. В работе [18] был предложен способ отыскания указанных коэффициентов, не требующий априорной (и избыточной для наших целей) информации о расположении линий Стокса, использующий фундаментальные свойства линий уровня в окрестности точек поворота.

Выражение F{z)dz2 называется квадратичным дифференциалом (см. [3], [43], [47]), кривые, на которых F(z)dz2 0 траекториями квадратичного дифференциала, а на которых F(z) dz2 0 ортогональными траекториями. При фиксированном Л линии уровня {z: lmS(zo,z;X) = const} являются траекториями квадратичного дифференциала i(Q(z) — X)dz2 , а {z: Re S(zo, Z] A) = const} - ортогональными траекториями этого квадратичного дифференциала.

Распространяя известные результаты (см. теоремы 8.1 и 8.2, леммы 8.3 и 8.4 из [43]) на случай зависимости квадратичного дифференциала от параметра, получаем, что имеет место Лемма 1.2.1. Пусть при фиксированном X функция Q(z,X) аналитична в области U С Cz. Тогда 1) из каждого простого нуля а(Х) Є U функции Q(z,X) выходят три линии Стокса, угол между соседними линиями равен 2-7г/3; 2) Множество {z Є U: Re5 (zo, z; X) = const} не содержит компоненты, гомеоморфной окружности; 3) Если область U ограничена и функция Q(z, Л) имеет в U единственный простой нуль а(Х), то каждая из трех линий Стокса с началом в точке а(Х) выходит из U;

Кроме того, как следствие теоремы 8.1 из [43], в достаточно малой окрестности а(Х) существуют образующие простой замкнутый контур три канонических для продолженной аналитически ветви S(zo,z;X) функции (1.1) пути. В дальнейшем будет предполагаться существование канонических путей 7?7? ! удовлетворяющих условиям r(7 U 7 U 7) 0 и /(7U7U7) оо. Обозначения выбираются таким образом, что контур 7U7U7 - положительно ориентирован, т.е. при его обходе в указанном порядке осуществляется обход а(Х) в положительном направлении. В случаях Q(z) = z3 ± z канонические пути будут указаны явно.

Необходимые в дальнейшем локальные свойства линий уровня содержат приведенные ниже утверждения.

Утверждение 1.2.2. Пусть для X Є Q существуют образующие замкнутый положительно ориентированный контур канонические для S(ZQ,Z;X) пути 7,7 и1 ограничивающие область, которая содержит единственный (простой) нуль а(Х) функции Q(z, Л).

Локализация собственных значений

Целью настоящего параграфа является исследование свойств функций +(А), 7+(Л) и С+(А), которые используются для локализации спектра, и доказательство утверждения 1.

Лемма 2.3.1. При А Є П \ [0, — 2г/3л/3] имеют место соотношения

С+( А) = S(at1(X),—l ,X), г]+(—Х) = —г]+(Х), (+(—Х) = — С+(А).

(2.4) Доказательство. Заметим, что в симметричных точках z и z := — z имеем (p(z, —А) = 7Г — tp(z, А) ввиду (2.2). В частности, это выполнено для точек отрезков [ско"(А),1] и [ск —А), — 1] с параметризацией z(s, А) = ско(А)(1 — s) + s, s Є [0,1], и z(s, —А) = ot i{—A)(l — s) — s, s Є [0,1]. Выбирая указанные отрезки в качестве путей интегрирования, получаем первое из указанных соотношений. Аналогично, при доказательстве второго соотношения, для Т]+{Х) путь интегрирования - отрезок [а([(А),а11(А)], а для С+(А) - отрезок [1,-1].

Докажем утверждение 1, установив справедливость предложения 2.3.2, утверждения 2.3.3 и предложения 2.3.4.

Предложение 2.3.2. Величины Не(+(а + ib) и ReГ]+(а + гЪ), доопределенные на отрезке [0, — 2г/ЗуЗ] по непрерывности, возрастают в И по а при фиксированном Ъ так, что для А = а + і6єП\[0, — 2г/3л/3] выполнено 9Re?7+(A) 9Re+(A) 0; 0 причем Не г] (А) = Re+ (A) = 0 для X Є Ш_. да да Доказательство. Полагая z(s, А) := а (Х)з — a l(X)(s — 1), получаем дИег]+(а + ib) fdr]+(X)\ = Re = Re (dr]+(X)\ fl ег7і z Js, Л) ds = Re — dX o 2y Q(z(s, А), Л) da dX Wo 2y/Q{z{s1А),Л) Здесь tp(z(s, А), Л) = 2 argZg(s, Л) + arg(z(s, Л) — ск (Л)) + 7г, s Є (0,1), откуда 7Г . (/?(z(s, А), А) / 7Г 7Г\ — + argz (s, Л) Є ——, — 4 2 4 4 ввиду включения arg(z(s, А) — « (Л)) Є (—7Г,0), и, стало быть, выполнено 9Re77+( 2. + ih)/da 0 в П \ [0, — 2г/3л/3]. Установим, что Re?7+( ) = 0, 6 0. В силу (2.4) и непрерывности 7+(А) при 1т А — 2/6у/о, имеем Re ту \Щ = О, если о — 2/дуд. Далее, функция Q(z) двулистно отображает отрезок [0, — Ї] на [0, —2г/3л/3], значит, для Ъ Є (0, —2/Зл/З) предельные значения функций о (А), А; = —1,0, при приближении Л слева и справа к ib являются мнимыми, и, выбирая для т]+(Х) отрезки z±(s,ib) := ao(ib ± 0) + {a,-\{ib ± 0) — ao(ib ± 0))s, s Є [0,1], в качестве пути интегрирования, получаем, что Herj+(ib ± 0) = 0, так как e%1Y Ay/Q(z±{s1 ib)) — ib Є R. Таким образом, Re?7+(A) однозначно доопределяется по непрерывности на [0, — 2і/Зуо] так, что Re?7+(A) = 0 на луче iR_.

Аналогично, для доказательства монотонности функции Re+(A) в качестве пути интегрирования выбирается отрезок [1, —1]. В силу (2.4) и непрерывности (+(Х), выполнено He(+(ib) = 0, Ъ 0. Доказательство окончено.

Уточним структуру множества Г корней уравнения Re +(a + ib) = 0.

Утверждение 2.3.3. Величина Re +(a + i6) возрастает по Ъ 0 при фиксированном а Є [0,2], обращаясь на мнимой оси в нуль в точке щ, где /І Є (—0.68, —0.62). При этом 9Re +(a + ib)/db 0 для а + ib Є П+. Доказательство. Для А = а + ib, а Є (0,2] и Ъ 0, установим положительность производной (d +W\ e 4 Ґ dz J = Im — dX 2 a+(A) yQ(z) — X —— v 9Re +(A) fdt;+(X)\ I еш 4 fl dz 9b dX 2 Ja+(\) y/Q{z) - X =Im = Im Если z Є (iIma:o (A), a:(j (A)), то ввиду (2.1) arg(z—а і{\)) Є (—7г/2,7г/2), arg(z—а$(\)) = 7г, arg(z—« (А)) Є (—7г,0). При этом Re (Q(z) — А) 0, откуда tp(z, А) Є (7г/2, 37г/2). Аналогично, имеем (/?(z, А) Є (—7г/2,7г/2) для z Є ско(А) + R+, и (/?(z,A) Є (—7г/2,37г/2) при z Є (1 + г1тско"(А), 1). Интегрируя функцию (Q(z) — А)-1 2 вдоль ломаной (ско"(А), 1 + iImo;o"(A)] U [1 + г1тско"(А), 1], получаем 1т( (А)У 0.

Далее, заметим, что функция Q(z) взаимно-однозначно отображает кри вую z(s) := s — i \/Q(s)/3s, s 0, на луч —2і/3л/3 + Ж_, а для ломаной [—г/л/3,0] и [0,1] имеем Q( ) Є [—2г/3л/3,0] и [0,2]. Отсюда ввиду (2.1) в случае Ъ —2/3V3 получаем ip(z,ib) Є (0,7г/2] для указанной ломаной и ip(z(s),ib) = 7г/2, s Є (0,Reo;o"(i&)). Интегрируя функцию (Q(z) — А)-1 2 вдоль указанных кривых с учетом того, что aigz (s) Є (—7г/2,0), устанавливаем положительность производной dRe +(ib)/db. Аналогично, в случае b Є (—2/Зл/3,0), полагая а$(іЬ) := а$(іЬ + 0) получаем dRe +(ib)/db 0, так как Q(z) Є (ib, 0] U [0, 2], если z Є (ско"(г&), 0] U [0,1]. Таким образом, величина Re +(A), доопределенная в П+ по непрерывности, возрастает по b при фиксированном а.

Выбирая те же пути интегрирования, что и выше, получаем отрицательность величин Re S o A), — г/л/3; А) и Re S(—г/л/3,0; А) и положительность Re5 (0,l;A). Оценивая эти функции при Ъ = —0.62 и Ъ = —0.68, покажем знакоопределенность их сумм Re +(—0.62г) 0 и Re +(—0.68г) 0, откуда будет следовать указанная локализация точки І/І.

Фундаментальные системы решений и характеристический определитель

Далее, когда z Є (zo, — 1/л/З + ф) имеем Im(z — а (А)) О, А; = 0, ±1, и Re (z — а (Х)) 0, кроме того, 1т Q(z,X) 0, так что ifj(z,X) Є (—7г,0). Аналогично, для z Є (—1/л/З + ф, — 1/л/З) U (—1/л/З, і), arg(z — сСі(А)) Є (—7г/2,7г/2), arg(z —о (А)) Є (—37г/2, —7г/2), поскольку Re Q(z, Л) 0, то i\){z, А) Є (—7г/2,7г/2). При z Є (d, hi) &rg(z — aZi{X)) Є (—7г/2,0), arg(z — a (A)) Є (—7г,0). Здесь ImQ( ,A) 0, так как при Rez 1/л/З имеем ImQ( ) Imz3, а для Не z Є (1/л/З, 1) имеем Im z lmh-\ — Re/i_i —2, откуда получаем ImQ( ) 2Imz. Значит, ifj(z,X) Є (0,7г), и следовательно, вещественная часть Не S(zoi z) возрастает вдоль ломаной 71 при движении от ZQ. Наконец, для z Є (ho,l) U (l,/ii) имеем ReQ(z,A) 0 откуда получаем ifj(z,X) Є (7г/2,37г/2) ввиду того, что arg(z — cCi(A)) Є (—7г/2,7г/2), arg(z —a (A)) Є (—7г/2,7г/2).

Значит, величина Re5 (zo, ) монотонна вдоль 72. Доказательство окончено.

Лемма 3.1.3. /Три А Є Г2; г е ограниченная область Q принадлежит вместе с замыканием множеству П+ \ {0, 2/3\/3}; промежутки 7ь 72 канонические пути для продолженной аналитически ветви функции S(zo,z; А).

Доказательство. Обозначим через S(ZQ,Z; А) ветвь функции (1.1), получающуюся интегрированием ветви корня Q(z,X) = \Q(z, A)I exp i (z, A)/2 yQ(z,X) = y\Q(z,X)\ определенной вСгс разрезами aCi(A) + Ж+, CXQ(X) + Ш+, a:f(A) + Ш_, где (z, А) := &rg(z — aI1(A)) + arg(z — o (A)) + arg(z — «{"(А)). Эта ветвь — непосредственное аналитическое продолжение S(zo,z; А) вдоль отрезка [/i_i,/ii]. Ввиду выбора /г±і, для z Є [/і-і, /її] при Не z ReaCi (А) имеем arg(z — а (А)) Є (—7г, —7г/2), А; = —1,0, arg(z — «["(А)) Є (7г,37г/2).

Если же Rez ReoCi(A), то выполнено arg(z — al- A)) Є (—7г/2,0) и arg(z — а (А)) Є (—7Г, 0), причем 1т Q(z,X) 0 (см. доказательство леммы 3.1.2). Таким образом, ijj(z,X) Є [—7г,7г] для z Є [h-i,hi] и, следовательно, отрезок [h-i,hi] - канонический путь для S(zo,z). Аналогично, с учетом знакоопределенности 1т Q(z,X) 0 при z Є (zo,ho), устанавливается, что [zo, ho] - канонический путь для ветви функции (1.1), являющейся непосредственным аналитическим продолжением S(zo,z) вдоль этого отрезка.

С тем, чтобы применить предложение 1.3.1, установим следующее

Утверждение 3.1.4. При X Є Q, где ограниченная область Q вместе с замыканием принадлежит множеству П+\{0, 2/ЗуЗ}; канонические пути 7ъ 7ь 7ъ 72; 72 равномерно ограничены и отделены от точек а (Х).

Доказательство. Так как при А Є П+ \ {0}, выполнено Re «["(А) 1, причем а ["(О) = 1, то, ввиду однолистности Q(z) в четвертом квадранте и на луче 1 + R__, для А, лежащих в области Q С П+, отделенной от точки А = 0, канонические пути равномерно отделены от aj (A).

Ввиду (3.2) точки а (X), к = —1,0, А Є Q, отделены от отрезка [zo,ho], а в силу выбора h-i отрезки [/i_i,Re/i_l] и [h-i,hi] отделены от а (А).

В силу (3.1), точки cXfr(X) равномерно отделены от отрезка [/іо,/ЇЇ], кроме того, поскольку ск11(2/3л/3) = а (2/3у/3) = — 1/л/З, то а (А) равномерно отделены от отрезка [— 1/л/З + ip,d], так как множество Q отделено от —2/Зл/З. Наконец, ввиду однолистности Q(z) в третьем квадранте вплоть до луча —l/\/3 + R_, множество aZi(Q) отделено от точки —1, стало быть, от ломаной [Re/г_і(А), — 1] U [—l,zo].

Кроме того, поскольку указанные пути состоят из конечного числа отрезков и лежат в прямоугольнике Rez Re/i_i, Imz max{Im hi\,p}, то /о : = sup[7i + І7і + І7і + І72І + І72І] Доказательство окончено. Как следствие, введенные пути удовлетворяют условию р(Г2) оо. Суммируя полученные результаты и утверждение 1.2.3, получаем

Предложение 3.1.5. При А Є Г2, где ограниченная область Q принадлежит вместе с замыканием множеству П+ \ {0, 2/Зл/3}, существуют образующие простой замкнутый положительно ориентированный контур канонические для продолженной аналитически ветви S(ZQ,Z;X) функции (1.1) пути 7ь7і и 7ъ область ими ограниченная содержит единственный (простой) нуль aCi(A) функции Q(z,X). Кроме того, существуют канонические пути 72,72 и 72, область ими ограниченная содержит единственный нуль а (Х). Выполнены условия г о О, /о оо, Re5 (zo,aZ1(A); А) О и HeS(hi, а (Х); А) 0.

Линии уровня аналитических функций

В самом деле, прямоугольник а Є [р, 2/Зл/З], & Є [р, 0] пересекается с Г2 U Гз лишь в точке Л ввиду монотонности этих кривых. При а Є [д\ (#),#2 Ч )] все точки указанного прямоугольника содержатся в 0, (5) UQ (5) UTi (S). Да-лее, при а Є (#2 ("JJ / VOJ точки прямоугольника, лежащие ниже кривой /і (а) — д\ (5), содержатся в Г 3Ч#), покажем, что для точек Л, лежащих вы \ о /о / г тэ (1)/г о /о г ше этой кривой, имеем Л — 2/Зл/3 д. о самом деле, д2 [о) 2/ 6у/ 6 — 0/2, д (5) 5/4 и /і(а) 5/А, значит, указанные точки лежат в квадрате тах{ 2, Ъ] 5/2, который принадлежит ( -окрестности нуля. Аналогично устанавливается, что при а Є [р,д\ (5)] точки рассматриваемого прямоугольника, лежащие ниже f\{a) + д\ (5), содержатся в ( -окрестности Л. Таким же образом рассматриваются прямоугольники {а Є [0,р], Ъ Є [v,/І]}, {а Є [0,р], 6 Є [р,0]}, {а Є [р, 2/Зл/З], 6 Є [z/, /І]}, с учетом включений {а + ib: Ь Є [z/, /І], а — /2(&) /4} С {Л Є П: Im Л Є [z/, р], dist(A, Г2) }, {а + г&: а Є [0, р], & — /з( ) /4} С С {А Є П: Re А Є [0, р], dist(А, Гз) }.

Поскольку множество Q(l (5) лежит выше Гі и Гз, то в силу утверждения 2 величины Re (A) 0 и Re ту-(А) 0 отделены от нуля, стало быть, согласно предложениям 3.3.1, 3.3.5 и 3.4.1, имеем А (А) = ехр \є [S(l, —1) + 2ї] {\) ] (1 + О (у/є) ] и, таким образом, при достаточно малых є 0 множество Г 1 ) не содержит нулей А-(А). Аналогично, ввиду того, что кривая Г2 расположена ниже, а Г2 - правее Гз, то для А Є OS2 (5) отделены от нуля величины Re (A) 0 и Re( (Л) — г] (А)) 0 и, следовательно, при достаточно малых є 0 характеристический определитель А (А) = — і ехр є (С (А) + 2г] {\) — 2 (А) ] М 1 + О {у/є) ] не обращается в нуль в QS2 {5). Если же Л Є f 3)(), то, поскольку Г2 расположена ниже Гі, а Г2 - левее Гі, то отделены от нуля величины Re?7 (A) О и Re( (A) — г] (А)) 0 и вследствие (3.4) справедлива асимптотическая формула А (А) = ехр \є С (А) \ (1 + О {у/є) ], откуда видно, что собственные значения задачи (1)-(2) в Г2(3)() при достаточно малых є 0 также отсутствуют.

Наконец, при А Є Хл1) ), лежащих выше либо на кривой Гі, расположенной выше Гз, величина Re (A) 0 отделена от нуля, а, поскольку Г і расположена правее Г2, то при А Є H l {5), лежащих ниже либо на кривой Гі, отделена от нуля величина Re( (A) —Г] {\)) 0. Таким образом, согласно предложению 3.4.1, при малых є 0 нули А-(А) в Л 1 {5) совпадают с нулями аналитической функции ехр I — є (С (А) + 1] {\) ] А(А) = = ехр{-є-1/277"(А)}(і + Фі(А)) + ехр{є-1/277"(А)}(і + Ф2(А)), где Ф (А) С{5)є1 2. Функция т] {\) аналитична в П+, при этом в силу утверждения 2 имеем дИег] {а + гЪ)/дЪ 0, а соответствующая линия уровня Re?7 (A) = 0 является графиком функции Ъ = fi{a). Применяя в этой ситуации предложение 1.4.1, приходим к заключению, что при некотором С {5) 0 и достаточно малых є 0 все находящиеся в Л 1 {5) собственные значения задачи (1)-(2), совпадающие с нулями А(А), расположены в С е-окрестностях точек An Є Гі, определяемых соотношениями ?7 (АП ) = іє тт(п + 1/2 ], п Є Z. Для локализации оставшихся собственных значений в правой полуплоскости, при 6 0 положим д\ (5) := min{/2 ( /4), У + /2}, ( ) := тах{І2 (Р /4),М — /2}, д} () := тіп{/з (— /4), /2}, ( ) := тах{/з" (м + /4),р — /2}, где j (а) Є (y,fi), а Є (0,р), а /з ( ) (0,уо), 6 Є (/І,0), и введем в рассмотрение множества Е () := а + %Ь : д} () Ъ д\ (), а — /2(&) /з ( ) г Хл (5) := а + %Ь : gj () а д2 (), \ Ъ — /з( ) д\ {5)\. Аналогично рассмотренному выше случаю, при достаточно малых є О нули А (Л) в области {Л Є П+ : dist(Л, Г2) 6, dist(Л, Г і U Гз) 6, А — %у\ 5} С С Г (5) U Q (5) U Хл (5), могут быть расположены лишь в Л 2 (5). Поскольку Л 2 (5) лежит ниже [І/І, Л] то согласно утверждению 2, для Л Є И 2 (5) величина Re (A) О отделена от нуля и, следовательно, в силу предложения 3.4.1, при достаточно малых є 0 нули А(Л) в Т, (6) совпадают с нулями аналитической функции ехр \є ( (А) — т] (Х) — С ( )) + ітг/4 А(Л) = = ехр \є ( (А) — т] (Х) ] + І7г/4 (1 + Фз(А)) + + ехр{є-1/2(У(А)-Г(А)) -І7г/4}(і + Ф4(А)) , причем Ф (Л) С(5)є1 2. Переходя здесь к переменной гЛ, применим предложение 1.4.1 для локализации нулей А(Л), расположенных в Л 2 (5). В результате приходим к заключению, что собственные значения задачи (1)-(2) в рассматриваемой области находятся в окрестностях точек An Є Г2, которые являются корнями уравнения tg іє 1 2(г] (А) — (А)) = 1 и задаются правилами квантования г] (Хп ) — (АП ) = іє1 27т(п — 1/4), п Є Z.

Доказательство теоремы 4. При достаточно малых є 0 нули А (А) в {А Є П+ : dist(Л, Гз) 6, dist(Л, Г і U Г2) 6, А } С С Г (5) U Г (5) U Хл (), могут принадлежать лишь Е(3)(). Кривая Гз расположена выше Гі, следовательно, согласно утверждению 2, для А Є Л (5), лежащих выше либо на Гз, величина Re ту-(А) 0 отделена от нуля. Поскольку Гз расположена левее Г2, то для А Є Л (5), лежащих ниже либо на кривой Гз, отделена от нуля величина Re( (A) — Г] (Х)) 0. Стало быть, в силу предложения 3.4.1, нули А(А) в Е(3)() при достаточно малых є 0 совпадают с нулями функции ехр І7г/4 — е (С (А) + 2г} {\) — (А) ] А (А) = = ехр \є (А)+І7г/4 (1+Фб(А) ] + ехр — е ( (А)—І7г/4 \ (1+Фв(А)), причем ФДА)! С(6)е1 2. Применение в этой ситуации предложения 1.4.1 устанавливает указанную в формулировке теоремы локализацию собственных значений задачи (1)-(2) вблизи точек An, которые определяются из соотношений (АП5)) = іє 7г(п + 1/4], п Є Z.