Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Случай внешней функции в круге и гладкости не больше 1 31
1.1. Симметричные пространства функций 31
1.1.1. Представление Люксембурга 35
1.1.2. Условия ограниченности оператора гармонического сопряжения в симметричном пространстве 35
1.1.3. Средние осцилляции по норме симметричного пространства 37
1.2. Падение гладкости внешней функции в сравнении с гладкостью ее модуля при условии log
1.2.1. Локальная гладкость внешней функции в терминах оценок средних осцилляций 38
1.2.2. Пространства с заданным показателем падения гладкости 39
1.2.3. Точность полученного показателя падения гладкости 40
1.2.4. Примеры симметричных пространств и соответствующих им показателей падения гладкости 42
1.3. Доказательство основных результатов главы 1 44
1.3.1. Вспомогательные утверждения 44
1.3.2. Оценки средних осцилляций 46
1.4. Пример распространения результатов на случай произвольной аналитической функции 51
Глава 2. Случай внешней функции в круге и гладкости между 1 и 2 55
2.1. Доказательство основных результатов главы 2 57
2.1.1. Вспомогательные результаты 57
2.1.2. Оценки средних разностей 60
Глава 3. Случай внешней функции в верхней полуплоскости и гладкости меньше 1 74
3.1. Доказательство основных результатов главы 3 78
3.1.1. Вспомогательные результаты и подготовительная конструкция 78
3.1.2. Оценки средних осцилляций 81
Заключение 87
Список публикаций автора по теме диссертации 89
Список литературы
- Условия ограниченности оператора гармонического сопряжения в симметричном пространстве
- Пространства с заданным показателем падения гладкости
- Вспомогательные результаты
- Оценки средних осцилляций
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В диссертации изучается вопрос о сравнении гладкости аналитической в круге или верхней полуплоскости функции и гладкости ее модуля. Классический результат, доказанный, но не опубликованный Карлесоном и Якобсом, а затем переоткрытый и дополненный В. П. Хавиным и Ф. А. Шамояном, говорит нам, что в случае круга типично падение гладкости вдвое. Как само это утверждение, так и все его обобщения, известные до недавнего времени, носили глобальный характер: модуль функции предполагался гладким всюду на окружности, а сама она оказывалась тогда лежащей в «половинном» классе Гёльдера во всем единичном круге.
В диссертации рассматривается «поточечный» или «локальный» вариант той же задачи. Доказанные в ней теоремы примерно укладываются в следующую схему: при некоторых естественных условиях, гёльдерова гладкость модуля аналитической функции всего лишь в одной граничной точке влечет половинную гладкость самой функции в той же точке.
Интерес к задаче о падении гладкости прослеживается в течение всей второй половины 20 века. Поточечная постановка практически не рассматривалась до выхода статьи [] в 2013 г. и продолжает оставаться перспективной.
Как для локальной, так и для глобальной гладкости, на ответ влияют два обстоятельства: поведение нулей функции и поведение граничных значений логарифма ее модуля. Без каких-либо ограничений на нули гладкость может падать неконтролируемо. Поэтому обычно рассматривают либо случай внешних функций («полное отсутствие нулей» в довольно сильном смысле), либо же запрещают нулям функции накапливаться к границе касательным образом. В обоих случаях гладкость падает не более чем вдвое (см. [–8]), причем результат точен. В то же время, влияние логарифма модуля на ответ целесообразно изучать как раз для внешних функций («внутренняя часть» аналитической функции по модулю равна единице п.в. на границе). Отметим, что в рассматриваемом
круге задач логарифм граничных значений изучаемой функции суммируем автоматически. Однако, в работе 2013 года [9] Н. А. Широков доказал, что можно гарантировать гладкость порядка ра/(р + 1) для внешней функции в круге с модулем из Ыра (а > 0), если логарифм ее модуля лежит в LP на границе. В предельном случае, когда логарифм принадлежит L00, гладкость не падает вовсе (следствие известной теоремы Зигмунда-Привалова). С другой стороны, интересен второй результат статьи [9], утверждающий что падения гладкости не наблюдается и если логарифм принадлежит пространству функций ограниченной средней осцилляции на окружности ВМО(Т). При 0 < а < 1 это последнее утверждение было установлено ранее в [10]. В связи с этим, встает вопрос о достаточных условиях для падении гладкости в фиксированном отношении и об их точности. В диссертации получены не только поточечные версии описанных результатов, но и существенно дополнена шкала точных достаточных условий.
Все упомянутые выше результаты касались круга. Перенести их автоматически на аналитические функции в верхней полуплоскости невозможно по понятным причинам, так что этот случай требует отдельного изучения. До работы автора [] этого не делалось (исключение — частный случай, рассмотренный в []). Полученные в диссертации результаты позволяют надеяться и на дальнейшее развитие данного сюжета.
Цели и результаты диссертационной работы. Ключевым является вопрос о сравнении гладкости аналитической функции из класса Неванлинны в круге или верхней полуплоскости и гладкости ее модуля в одной и той же точке границы. В основном мы ограничимся случаем, когда аналитическая функция является внешней. В диссертации приводится точное обоснование данного выбора. Кроме того, будет рассматриваться лишь случай, когда гладкость модуля функции не превышает двух. При более высоких гладкостях в локальной постановке возникают трудности, преодолеть которые пока не удалось. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.
-
Показано, что гёльдерово условие порядка не выше двух (не обязательно степенного типа) на модуль внешней функции в круге в одной точке гарантирует для самой функции вдвое меньшую гладкость в той же точке в некотором интегральном смысле.
-
Если внешняя функция обладает гладкостью не выше 1 в одной граничной точке, найдены точные достаточные условия, гарантирующие падение гладкости самой функции не более, чем в фиксированном отношении.
-
Установлено, что аналогичные результаты для случая гладкости порядка меньше 1 имеют место и для внешних функций в верхней полуплоскости. Там, однако, падение гладкости наблюдается лишь на близких расстояниях от точки, в которой измеряется гладкость, а также сам порог, начиная с которого наступает упомянутое падение гладкости, зависит от положения точки на границе.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны при решении родственных задач теории гладких аналитических функций.
Методология и методы исследования. Результаты были получены с помощью техники из теории сингулярных интегральных операторов типа Каль-дерона–Зигмунда. Локальная гладкость функции на границе измеряется в терминах средних осцилляций или средних разностей по дугам, содержащим фиксированную точку.
Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты, которые выносятся на защиту, являются математически достоверными фактами. Они были опубликованы в рецензируемых журналах, а их доказательства неоднократно проверялись специалистами в той области, к которой эти результаты относятся. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по линейному и комплексному анализу в Санкт-Петербурге.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в работах [-, из них 3 статьи ([, , ]) напечатаны в рецензируемых журналах, которые входят в список ВАК, в то время как статья [ является препринтом.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 91 страницу. Библиография содержит 32 наименования, в число которых включены четыре работы автора по теме диссертации.
Условия ограниченности оператора гармонического сопряжения в симметричном пространстве
Заметим, что фундаментальная функция ФX(-) обладает всеми свойствами мажоранты типа 1-го модуля непрерывности (см. [27, теорема 2.4.7, стр.137]) Следует отметить, что такого типа функции также называют квазивогнутыми. Более того, только они и могут являться фундаментальными функциями (все та же теорема 2.4.7)
Приведем одно важное свойство квазивогнутых функций. Согласно [27, теорема 2.1.1], всякая квазивогнутая функция Ф эквивалентна некоторой вогнутой функции Ф, которая называется наименьшей вогнутой мажорантой функции Ф, точнее выполнено соотношение
Более того, при необходимости мы можем считать фундаментальную функцию пространства вогнутой. Это утверждение может быть подкреплено следующей теоремой (см. [27, теорема 2.5.8])
Теорема (о перенормировке симметричного пространства). На любом симметричном пространстве можно ввести эквивалентную норму так, что оно останется симметричным, и его фундаментальная функция будет вогнутой.
Определение. Симметричному пространству X сопоставим ассоциированное пространство (двойственное по Кёте) X , состоящее из всех измеримых функций д, для которых
Ассоциированное пространство X тоже будет симметричным (см. [27, стр. 140-141]). Кроме того, пара пространств (X, X ) обладает следующими свойствами: /GX, GX = \fg\ /XЫX (1.6) ФX()ФX ( ) = t при всех t Є [0, 27г] (1.7) Разумеется, свойство (1.6) — просто следствие определения ассоциированной нормы. Доказательство соотношения (1.7) можно найти в [27], стр. 144. Отметим, что для произвольного симметричного пространства X имеют место вложения (см. [27, теорема 2.4.1, стр. 124]) L X L1. Границы в этих вложениях соответствуют известным нам границам «падения гладкости». Так, априорное условие log р Є Ll обеспечивает для внешней функции падение гладкости вдвое, в то время как при log ер Є L падение гладкости, как известно, не наблюдается вовсе.
В связи с упомянутым выше, рассмотрим простейший пример симметричных пространств —пространства Лебега LP. Для них: фундаментальная функция вычисляется по формуле Ф ./ () = tl p; ассоциированное пространство (LP) совпадает с L9, где 1/р+ І/q = 1; соотношение (1.6) превращается в неравенство Гёльдера; а уравнение (1.7) в соотношение 1/р + І/q = 1 между параметром р и его сопряженным q. Как упоминалось во введении, для условия log ер Є LP следует ожидать падение гладкости функции Ov в «(р + 1)/р–раз» по сравнению с гладкостью ср. Это в точности соответствует обратной функции к R(t) = t Lvit) = рр+1 р. Мы обсудим схожие количественные соотношения для других известных примеров симметричных пространств в 1.2.4.
В целом, симметричные пространства можно рассматривать как естественное обобщение пространств LP и выбор их в качестве пространственной шкалы вполне оправдан. На самом деле, когда мы говорим, что log р принадлежит некоторому симметричному пространству X, мы тем самым имеем некоторую мажоранту типа 1-го модуля непрерывности фX{\Е\), которой подчинены значения Гг I logccl. 1.1.1. Представление Люксембурга
Для технических нужд, нам понадобится описать конструкцию, которая позволяет осуществить переход от симметричных пространств функций на [—7г,7г] к симметричным пространствам на (0, оо). В первую очередь отметим, что наше определение симметричного пространства можно применить и для функций на (0, оо), достаточно просто заменить носитель [—7г,7г] на (0,оо). Тем самым, само понятие симметричного пространства функций на (0, оо) мы полагаем осмысленным.
Обозначим через 5 (0, оо) совокупность всех измеримых почти всюду конечных функций / на (0, оо). Приведем результат (например, см. [28, theorem 2.4.10, стр.62]), позволяющий осуществить желаемый переход.
Теорема (Представление Люксембурга). Пусть (X, X) — симметричное пространство функций на [—7г,7г]. Тогда существует (не обязательно единственная) норма X, относительно которой пространство X = {/ Є 5 (0, оо) : X оо} будет симметричным, причем для всякой функции f Є X будет выполнено ll/ЦX = / НX- (1.8) Более того, каждой ассоциированной паре (X, X ) при таком представлении будет соответствовать ассоциированная пара (X, (X) ).
Рассмотрим некоторое симметричное пространство X. Зададимся вопросом: когда оператор 7і, с помощью которого определяются граничные значения внешней функции, будет ограничен из X в X? В первую очередь следует отметить, что мы имеем дело с оператором гармонического сопряжения, а не с преобразованием Гильберта, поэтому, формально говоря, известный результат [30] мы применить не можем. Однако, можно адаптировать общую конструкцию для подобного типа операторов (например, см. [31]) под наши нужды. В частности, это было проделано в [28], что мы и представим ниже.
Согласно представлению Люксембурга, описанному в п. 1.1.1, мы можем осуществить переход от симметричного пространства X функций на [—7г,7г] к пространству X на (0, оо). На самом деле, после такого перехода носители функций из X будут лежать в промежутке [0, 2іг]. Последнее означает, что мы можем перейти к пространству функций на [0,1]. Так и поступим, сохранив при этом обозначения. Далее, приведем следующую стандартную конструкцию (см. [28, стр. 148-150] и адаптацию под наш случай там же на стр. 165-166)
Пространства с заданным показателем падения гладкости
Напомним, что мере Лебега на окружности соответствует мера Пуассона dPit) = ттл на прямой. Рассмотрим некоторую неотрицательную функцию ш, для которой log ip Є Ll{dP). Граничные значения внешней функции Ov задаются соотношением 0 р{х) = р(х) exp(( Hlog(p)(x)), х Є К, (3.1) где гі — преобразование Гильберта, действующее на функцию / по формуле 1 Г/ 1 і \ rij\x) = — 1 v, j{t)dt, хЄк, (3.2) ті х — t 1 -\где интеграл понимается в смысле главного значения. Значения rif(x) определены почти во всех точках х, если / Є Ll(dP). Отметим, что, говоря о преобразовании Гильберта на прямой, часто подразумевают оператор, действующий по правилу
Однако выражение в (3.3) определено лишь при / Є L1((l + /:) 1(i/:), в то время как мы имеем дело с Ll{dP). Заметим впрочем, что если / Є - ((l + \t\) ldt), то rif = riof + с (это будет использовано в дальнейшем).
Приступим теперь к формулировке и обсуждению основных результатов данной главы. Для удобства, будем молчаливо предполагать, что cp(t) 1 для всех t. Поскольку мы думаем об ограниченных аналитических функциях в полуплоскости, это нормировочное условие не умаляет общности. Однако оно несколько сокращает как вычисления, так и формулировки. Фиксируем точку х и считаем, что выполнено условие \ f{y) — f{%)\ си(\х — у\), у Є К, (3.4) с некоторой 1-мажорантой со. Напомним, что понятие 1-мажоранты подразумевает, что со обладает следующим набором свойств: х (0) = 0, co{t) положительна и возрастает при t 0; co{t)/t почти убывает при t 0, т.е. выполнено неравенство
В данной главе мы ограничимся лишь стандартной ситуацией, когда log ер Є Ll(dP). Аналогично случаю главы 1, при наличии (3.4) в точке ж, для функции Ov мы рассчитываем получить правильную оценку Г2г((9у , /) о;о(/), (3.7) по всем промежуткам /, которые содержат х. Чисто формально, хотелось бы получить результат, аналогичный ситуации для случая круга, т. е. соо(-) х со{л/ -). Однако, как уже указывалось в введении, этого ожидать, наоборот, не следует. Итак, обозначим Мх = тах{1,ж2}. Имеет место следующая теорема.
Теорема 3.1. Предположим, что мы находимся в рамках постановки выше и пусть еще г 1. Тогда для любого промежутка I Э х выполнено следующее. Если (fix) = О, то QriOcp, I) со(\1\), иначе существуют постоянные А1 и А2, зависящие от значения f(x) и мажоранты со, с перечисленными ниже свойствами. (1) Если \1\ А1, то Г2Г((9 ,, /) 6 J(/). (2) Если А2 \1\ А1, то иг(0 ,1) (бо (/) + и(\/\1\)). (3) Если \1\ А2, то иг(0 , I) Мж(о;(/) + и(\/\1\)). Причем, постоянные в оценках выше, как это уже стало стандартным, зависят только от си и log H i p).
Как и ожидалось, теорема 3.1 не дает нам падения гладкости в «чистом» виде, т. е. из нее не следует условие 811р/Эж Г2г((9у , I)/UJ( /\T\) оо. Для длинных отрезков / последнее неравенство и вообще вряд ли возможно по естественным причинам: оно становится сильнее такого же условия без квадратного корня. При маленьких /, разумеется, в п. 2 и 3 главный член — тот, в котором участвует квадратный корень, то есть мы наблюдаем падение гладкости вдвое. Новым по сравнению с окружностью является зависимость константы в оценке от положения точки х (см. п. 3) для «очень коротких» отрезков /. Автор не занимался построением примеров, однако скорее всего эта зависимость — не дефект метода, а отражает реальность.
Для наглядности полезно несколько загрубить результат теоремы 3.1. Теорема 3.2. В условиях теоремы 3.1, пусть (р(х) 0. Тогда имеет место неравенство иг(0 ,1) MX{UJ{\I\) +о;(\//)), с постоянной обусловленной тем же, чем и постоянные из теоремы 3.1. Множитель Мх растет как х2 при х — оо. Поэтому для функции ір Є Ырш(Ж) мы не можем утверждать, что О Є Ыршг\+шгг\(Ш), даже несмотря на то, что постоянные в оценке теоремы 3.2 можно в этом случае взять одинаковыми для всех точек х. По-другому дела обстоят, если интересоваться лишь конечными промежутками. Если ер Є Ырш{Т) для некоторого промежутка J, то постоянную Мх на J можно ограничить некоторой абсолютной константой Mj, а значит неравенство из теоремы 3.2 будет выполнено равномерно по всем точкам х Є J. Последнее позволяет применить стандартную технику представленную в п. 0.5, а именно утверждение 1, и, тем самым, восстановить оценку на «обычную» гладкость О . Таким образом, в этом случае имеем следующее следствие.
Следствие 3.1. Пусть функция ср такая же, как и прежде. Предположим, что условие (3.4) выполнено для всех точек х некоторого промежутка JcR c 1-мажорантой со. Тогда для О верна оценка \0 {х) — 0 {у)\ UJ{\X — у\) + со(\/\х — у\) по всем х,у Є J, c постоянной, зависящей от J, от со и от logшЦЬ -ІСІР). Пристальный взгляд на вычисления, ведущие к теореме 3.1, показывает, что, тем не менее, оценочная постоянная в п. 3 перестает зависеть от ж, если еще сильнее ограничить длину интервала / сверху. Справедливо следующее утверждение, в котором от положения точки х вместо постоянной в оценке зависит длина интервала, на котором эта оценка выполнена.
Пусть выполнены предположения теоремы 3.1, а ср(х) 0. Тогда найдется такое число В (оно зависит от х и величины ср{х)), что для всякого промежутка I Э х, \1\ В, выполнено неравенство Г2г((9у,, /) ( ) +6,(и1) с постоянной, обусловленной теми же параметрами, что и постоянная из теоремы 3.1, в частности, не зависящая от положения точки х.
Для величины В будет дана вполне явная формула, из которой, в частности, видно, что при больших х эта величина убывает как х 2. Несмотря на то, что равномерную гёльдеровость на всей прямой для внешней функции мы не получили в «чистом» виде, имеется следующий «локальный» результат
Следствие 3.2. Предположим, что ер Є Ырш(Ж), где си — некоторая 1-мажо-ранта. Тогда для всякой точки х, для которой (р(х) 0, найдется такой промежуток Jx, что О Є Тірш(\+ш(г\(Зх), причем с универсальной Тірш(.\+ш(г\-постоянной, обусловленной параметрами, аналогичными следствию 3.1 (кроме параметра \JX\, от которого не зависит).
Следует отметить, что длина промежутков Jx в этом следствии стремится к 0 при х —. Напоследок, не вдаваясь в детали, отметим, что для неограниченных функций ср верен аналог теоремы 3.1 и последующих результатов, но с более сложной зависимостью постоянных А\ и Ач от значения (р(х). Результаты для этого случая приведены не будут и на защиту не выносятся.
Фиксируем точку хо Є Ш. Рассмотрим неотрицательную измеримую функцию (/?, всюду строго меньшую единицы, удовлетворяющую условию log ер Є Ll(dP) и непрерывную в точке хо, для которой выполнена оценка \(р(х) — р(хо)\ си(\х — Хо\) при всех х Є К, с некоторой 1-мажорантой си. Следует отметить, что если необходимо построить искомые оценки только в точке Жо, то и требовать ограниченность сверху единицей достаточно только для (р(хо).
Вспомогательные результаты
Пусть функция ср такая же, как и в формулировке теоремы. Рассмотрим внешнюю функцию Ор, построенную по ср. Без ограничения общности, будем считать, что точка, в которой мы измеряем гладкость, есть точка х = 0. Т.е. считаем, что задана [1,2]-мажоранта си такая, что выполнено неравенство \tp{t) — ty?(0) — bt\ w(). (2.5) Также будет полезно выделить следующую оценку, которая, разумеется, является очевидным следствием условия (2.5): \tp{t) — ty?(0) \b\\t\ + w(/:). (2.6) Как и в главе 1, рассмотрим почти обратную к функции си функцию ш, заданную по формуле UJ(S) = ini{t: cu(t) = s}. Часть вспомогательных утверждений, приводимых ниже, будут похожи на те, что присутствовали в главе 1. Тем не менее, на их вид в этой главе будет существенно влиять параметр Ъ из оценки (2.5). Лемма 2.1. Пусть ty?(0) 0; тогда \Ъ\ С\, где ( 2(/?(0) ус(0) \ i = H lO), ) = max —, . uj((p(0)) 7Г Доказательство. Если Ъ = 0, то доказывать нечего. Иначе, подставим в (2.5) значение to = —2cp(0)/b. Это можно сделать, если 2ср(0)/\Ь\ 2ТТ. Но в противном случае, имеем & ср(0)/тт С\, что и требуется доказать. Итак, получаем (f(to) + ty?(0) u;(o), а значит и (/?(0) о;( о). Отсюда си(ср(0)) \to\ = 2(/?(0)/&, поэтому & 2ср(0)/си((р(0)). П Лемма 2.2. Пусть ty?(0) 0. Если \t\ Сі, то cp(t) ср(0)/2, где (_/(/?(0)\ \ х , 7Г 1 р(0) 62 = 62( (0),со) = — min UJ ,7Г 4 4 Доказательство. Пусть максимум в формуле для С\ из леммы 2.1 достигается на первом члене. Тогда 2(/?(0) ю[ъ) if[0) — \b\\t\ — ид ш if[0) — щ—, — ид ш l_/( (0)\ 2(/?(0) /l_/(/?(0)\\ f[0) — -UJ :— — UJ -UJ 4 J uyfyd)) 4 (0) /_ /(/9(0) \ \ , (0) (o) f yd) а; a; if yd) = . 4 4: 2 2 Если же упомянутый максимум достигается на втором члене, то (,(/?(0)\ f[0) — \t\ 7Г f[t) (О) \Ц Ш\\Ц) 7Г Заметим, что f(0) — \t\f(0)/ir 3/4( (0), поскольку \t\ 7г/4 по условию. С другой стороны, верно \t\ 4_1u; (( (())/4) и;((/?(0)/4), а значит и () (/?(0)/4. Таким образом, неравенство f[t) (/?(0)/2 опять будет выполнено. П Заметим, что данная лемма позволяет нам вновь использовать теорему Лагранжа и получить оценку \f(t) — f(0)\ \b\\t\ + uj(\t\) logifU) — logif[0)\ (2.7) для малых значений t, \t\ Сі. Представленные леммы, подобно случаю главы 1, позволяют сделать вывод об ограниченности параметров f(0) и 6, а также самой функции f. Запишем это в виде следующей леммы. Лемма 2.3. При сделанных ранее предположениях о функции f имеют место следующие утверждения. (1) Значение f(0) ограниченно сверху некоторой постоянной D\, которая зависит только от log H i и UJ. (2) Значение \Ь\ ограниченно сверху универсальной постоянной и (4-7г)/4-7г. (3) Функция f также ограниченна постоянной D2, зависящей только от log f і U UJ. Доказательство. Первый пункт леммы уже, в некотором смысле был доказан в главе 1. Просто напомним, что если предположить, что число ty?(0) очень велико, то, в силу леммы 2.2, норма функции log ip в пространстве L1 тоже окажется очень большой. Чтобы доказать второе утверждение, проинтегрируем неравенство (2.5) по отрезкам [—2-7г,0] и [0,27г]. Тогда имеем \1 — 2тпр(0) + 2-7Г Ъ\ 2-7г х (2-7г), \1 — 2тпр(0) — 2тт Ъ\ 2-7г х (2-7г), где через / мы обозначили интеграл от ср по любому отрезку длины 2тт (все эти интегралы одинаковы, ввиду периодичности if). Отсюда 4-7г2& 4-7г х (2-7г). Последнее утверждение данной леммы можно получить совместив только что доказанные пункты 1 и 2 и неравенство (2.6).
Теперь мы обоснованно можем нормировать ключевые параметры. Итак, мы предполагаем, что ty?(0) 1, а также х (2-7г) (/?(0). Последнее гарантирует, что максимум в формуле для С\ из леммы 2.1 и минимум из формулы для С і в лемме 2.2 будут достигаться на первых значениях. Аналогично технике главы 1, введем в рассмотрение постоянную А х си(ср(0)) (опять же с постоянной сильно меньше 1, чтобы удовлетворить всем техническим нуждам). Учитывая все вышесказанное, мы можем утверждать, что леммы 2.1 и 2.2 будут выполнены с постоянными (р(0) (xj(A) С\ =— —, 62 = А. (2.8) А А Более того, путем дополнительной нормировки, мы можем добиться того, что А 1 (например, разделив на си(2тт)). Так и будем считать.
Дополнительно, нам понадобится следующее простое утверждение о вторых разностях.
Лемма 2.4. Пусть функция G принадлежит классу С2 на К. и пусть даны точки Жо,Жі,Ж2 Є Ш. Обозначим 8\ = Х\ — XQ, 82 = (х2 — Х\) — [х\ — XQ). Допустим, что \G \ v, \G"\ /І на минимальном отрезке, содержащем точки Ж0,Ж1,Ж2- Тогда имеет место оценка \G{x2) — 2G[x1) + G(X0)\ /( 1I + 2І) +МІ 2І Доказательство. Легко заметить, что д . —G\x0 + мж1 — X0)) at. at 1 G{x1) — G(X0) = Повторив это соображение, получим (G(x2) — G{x1)) — [G{x1) — G{X0)) = 1 1 [ д д — 7— G{X0 + t{x1 — x0) + six1 — x0 + t[\X2 — X1) — [x1 — X0)))) at as = as at 0 0 1 1 [ д д = — — G{00 + tb1 + S01 + tS02) at US. as at 0 0 Все значения аргумента у функции G в интеграле выше лежат на минимальном отрезке, содержащем точки ж0,ж1,Ж2. По условию на нем \G \ v и \G"\ /І. Вычислив теперь производную под знаком интеграла и применив эти оценки, мы получим искомое неравенство. Также нам вновь понадобится простая оценка на первое приближения ядра оператора Ті Лемма 2.5. Пусть дан промежуток I С [—7г,7г]. И пусть t Е I, a s ф 21. Тогда /t — s\ f s\ / Ctg ( 1 — Ctg ( 1 ; s Сохраним обозначения и конструкцию, описанные ранее. Дополнительно, обозначим через ф = l-Llogcp, и(-) = log (/?() — log(f(0). Кроме того, отметим, что неравенство (2.6) позволяет нам рассматривать ф(0), так как из данного соотношения следует, что значение ф(0) вполне определено, т.е. соответствующий интеграл в смысле главного значения существует (для (/9(0) 0) Если же (/9(0) = 0, то просто припишем какое-нибудь значение ф(0), которое не будет влиять на вычисления никоим образом, как будет видно ниже. Итак, нам необходимо оценить следующее значение
Оценки средних осцилляций
Причем, постоянная во второй оценке зависит только от \\ logcpWi1 jp) и ш.
Доказательство. В первую очередь отметим, что l-Llogcp = Tiu, так как оператор Ті переводит постоянные в ноль. Возьмем в качестве постоянной приближения с = (р(хо) ехр(г(сі + Сг)). Имеем . ,л . (If. -о7„ . . , w) Г ГЦС Л — be п - (р(хо)е[ 1+ 2j = ИЇ ( 1 Г :у :у і(с+с)\г)Г — \tpe ± (p(xo)e —(p(xo)ey \ \I\ I 1 1 — ( 777 \ LP(Xo)\r ) + tpiXo) ( TT7 \e — ег(С1+С2 \Г ) \II \II w(/) + tpixo) — e C1 — lr \II Множитель при (p(xo) во втором слагаем не превосходит 2, что дает нам простую оценку Г2г((9у , /) w(/) + 2ср(хо) (3.11) и доказывает пункт (a). Приступим к доказательству пункта (b). Итак, теперь tp(xo) Є (0,1) и / А. Ввиду нашего выбора констант с\ и С2, выполнено
Оценим каждое слагаемое по отдельности (кроме, очевидно, х (/)). Начнем с первого. Согласно нашему ограничению на длину промежутка /, выполнено включение 21 С LXo. Поэтому на 21 применимо лемма 3.3, а значит щ Є Lr(R) и верны неравенства 1 \u\r u(2\I\).
Перейдем к оценке второго слагаемого. Мы по-прежнему находимся в рамках леммы 3.3, поэтому \t — XQ\ tp(xo) l + t2 \u(t)\dt / x (2/). Последнее можно оценить сверху через х (2/), ввиду ограничения на длину промежутка /. Обратимся к последнему слагаемому. Если ж, Хо Є /, а t 2/, то применима лемма 3.1, а значит и оценим последний интеграл по каждой из частей в отдельности. На множестве 71 выполнено заключение леммы 3.3, поэтому верно неравенство С , , \ogipix) — \og(p(xo)\ .—\tp\x) — (р{Хо)\. (р(хо) x0 2/ Последнее неравенство выполнено благодаря второму из условий регулярности Следовательно, имеем оценки \u(t)\
Наконец, рассмотрим множество 73. Заметим, что для t Є 7з имеет место неравенство \u(t)\ \logcp(t)\ (см. доказательство леммы 1.5). Отсюда
По лемме 3.5 выполнено включение ГЖ0;А с LX0 для Л = А/{1 + \хо\ + А), а значит на LCX0 верна оценка из леммы 3.4. Поэтому
Завершение доказательства теоремы 3.1. В первую очередь отметим, что если (/?(0) = 0, то пункт 1 леммы 3.6 дает нам желаемую оценку Г2Г((9 ,, /) 6 j(/) вне зависимости от длины промежутка /. С другой стороны, если / А, то тот же пункт 1 нам дает Г2г((9у , /) w(/) + 2(/?(0) ( ) + w(A) х (/), ввиду Л х си(ср(0)) и стандартных свойств w. Поэтому остается рассмотреть лишь случай (/?(0) 0 и / А В первую очередь отметим, что из пункта 2 3.6 следует неравенство Г2г((9 г,, /) ( ) + / (жо) , (3.12) А1 где МЖо = max{l, o}. Далее, возможны несколько случаев. (1) Если А2 / А, то (/?(жо) х бо (Л) йо(\/\1\), ввиду возрастания функции си. Отсюда пункт 1 леммы 3.6 дает искомое для теоремы 3.1 неравенство иг(0 ,,1) C(UJ)(UJ(\I\) + u;(y7)). (2) Выделим случай / А2М 2 (его анализ приведет, в частности, к доказательству теоремы 3.3). Заметим, что А2М 2 А2, поэтому (р(хо) UJ(A) uj{\/\I х C{UJ) А А л/Щ С другой стороны, выполнено неравенство Отсюда \1\ср(хо)МХоА 2 C(UJ)UJ( /\I\). Последнее, вместе с неравенством (3.12), дает искомую оценку Г2Г(С93, /) ( ) + (\/И !). (3) Рассмотрим последний возможный случай А2М 2 / А2. Здесь обе оценки (3.11) и (3.12) дадут нам один и то же результат. Действительно, если воспользоваться условием А2М 2 /, и повторить рассуждения случая (1); или же использовать условие / А2 и рассуждения для случая (2), получаем одну и ту же мажоранту w(/) + MXo{uj\J\I\). Теоремы 3.2 и 3.3 немедленно получаются из только что доказанной теоремы 3.1.
Доказательство следствия 3.2 По условию ір Є Ырш(Ш), а значит оценка из теоремы 3.3 выполнена для всех точек хо с универсальной постоянной Си. Мы будем действовать в рамках конструкции, изложенной выше, и использовать промежуточные оценки. Фиксируем точку хо- Без ограничения общности будем считать, что Хо 0. Пороговое значение из теоремы 3.3 для хо, как легко заметить, имеет вид ВХо х (АХо/МХо)2 х (ш(р(хо))/МХо)2. Возьмем значение чуть поменьше B XQ х (uj(p(xo)/2)/MXo)2. Обозначим J\ = (хо — В /2, Хо + В /2). Заметим, что по лемме 3.2 для всякого х Є J\ выполнено неравенство р(х) ср(хо)/2 0. Возьмем некоторую точку у Є J\. Этой точке соответствует ее пороговое значение Ву х [Ay/My]2 х (uj(p(y)) / Му)2.
Заметим, что если \у\ хо, то М 2 М 2. С другой стороны, функция си возрастает, поэтому си(р(хо)/2) си(р(у)). Отсюда, согласно нашему выбору величины В х выполнено неравенство В Хо Ву. Последнее означает, что для всякого промежутка у Є / С J\ выполнено / ВХо Ву. Значит, из теоремы 3.3 получаем Г2Г((9 ,/) CU{UJ{\I\) + u;(y7)). Возьмем JXQ = {у : \у\ хо] П J\. Тогда sup -j= Кр Си, icJXQ ш(\І\) + UJ(\/\I\) где Kv обозначает Lip -постоянную функции ср. Последнее, согласно утверждению 1 из п. 0.5, означает принадлежность функции О классу