Введение к работе
1.1 Актуальность темы.
Одним из направлений современного комплексного анализа
является исследование вещественно-аналитических
гиперповерхностей в комплексных многообразиях. Центральным объектом, определяющим многое свойства гиперповерхностей является форма Леви. Наиболее исследованными к настоящему времени являются локальные свойства гиперповерхностей с невырожденной; формой Леви. Широкие исследования в этой области начались с появления работы С. Черна и Ю.Мозера1 , в которой было введено понятие нормальной формы гиперповерхности. Нормальная форма гиперповерхности была определена как уравнение поверхности специального вида:
/Im(zN) = (z,z) + J^F kl\z'Z fReUw))
\ k,l>2 :
где z = \Zi,Z2i ... , zN-l)' iz і z) " ограничение формы Леви
поверхности на комплексную касательную в некоторой точке, р ^ -
многочлен степеней к по Z и 1 по z с коэффициентами,
аналитически зависящими от Re(zNj.
В работе доказано, что в случае гиперповерхности с невырожденной! формой Леви в окрестности некоторой точки всегда : найдется локальная биголоморфная замена координат комплексного многообразия, после выполнения которой уравнение поверхности
1 S.S.Chern, J.K.Moser. Real hyper surfaces in complex manifolds. -
Acta Math., 1974, 133: 3-4, pp. 219-271. (Рус. пер.: УМН, 1983; 38:2) '!
будет записываться в нормальной форме. В общем случае одной и той же поверхности сопоставляется, вообще говоря, много нормальных форм.
В терминах нормальных форм, можно выделить поверхности, нормальная форма которых имеет вид
lm(zw) = (z,z)
такие поверхности называются квадриками. Остальные поверхности называются несферическими.
Свойства квадрик сильно отличаются от несферических поверхностей с той же формой Леви. Например, группа стабильности для сферы некомпактна2, в то время как группа стабильности несферической гиперповерхности с положительно-определенной формой Леви, так называемой псевдовыпуклой поверхностью, компактна3.
Для псевдовыпуклых гиперповехностей Витушкиным получена теорема о ростке отображения4: росток биголоморфного отображения, переводящего псевдовыпклую поверхность М в поверхность М' продолжается в окрестность центра ростка, общую для всех всех росков с фиксированным центром, при этом размеры
H.Poincare. Les fonctions analytiques de deux variables et la representations conforme. - Rend. Circ. Mat Palermo, 1907, 23, pp. 185-220.
А.Г.Витушкин. Голоморфное продолжение отображений компактных гиперповерхностей. - Изв. АН СССР. Сер. мат., 1982, 46:1, с. 28-35.
А.Г.Витушкин. Вещественно-аналитические гиперповерхности комплексных многообразий. - Успехи мат. наук, 1985, т.40, вып.2, с.3-31.
окрестности зависят только от поверхностей М и М'. Одним из
основных следствий этой теоремы был результат Кружилина и
Лободы5 о существовании в окрестности произвольной точки
псевдовыпуклой гиперповерхности системы координат, в которой все
автоморфизмы поверхности записываются линейными
преобразованиями.
Для случая несферической гиперповерхности с
невырожденной знакопеременной формой Леви вопрос о
существовании аналога теоремы; Витушкина остается открытым. Для этого случая Ежовым6 доказана теорема о том, что для любого автоморфизма поверхности существует локальная система коррдинат в окрестности прозвольнои точки поверхности, в которой данный автоморфизм записывается дробно-линейным преобразованием
В настоящей работе рассматриваются гиперповерхности с тождественно нулевой формой Леви. Известно7, что в некоторой окрестности любой точки такой поверхности найдется система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид:
Im(zN) = 0. ;
Именно это обстоятельство дало таким поверхностям название
Кружили» Н.Г., Лобода А.В. Линеаризация локальных автоморфизмов псевдовыпуклых поверхностей. - Докл. АН СССР, 1983, т.271, 2, с.280-282.
Ежов В.В. О линеаризации автоморфизмов вещественно-аналитической гиперповерхности. - Изв. АН СССР. Сер. мат., 1985, Том 49, 4, с. 731-765.
См. наприме
Чирка Е.М. Введение в геометрию СR-многообразий. - Успехи
мат. наук, том 46, вып 1 (277), с.81-164.
"Леви-плоские".
С точки зрения локальных свойств, Леви-плоские поверхности являются тривиальным объектом. Однако, глобальные свойства таких поверхностей на сегдняшний день малоизучены. Наиболее известным свойством Леви-плоской поверхности в комплексном многообразии X является существование на ней слоения корамерности 1, у которого каждый слой является комплексным подмногообразием в X8.
1.2 Цель работы Получить необходимые условия существования вложения компактого трехмерного вещественно-аналитического многообразия
М, с заданным на нем вещественно-аналитическим слоением 3
2 коразмерности 1, в СР такого, что после вложения каждый слой
слоения 3 становится комплексным подмногообразием в СР .
1.3 Общая методика исследования
В работе применяются методы теории функции одного и многих комплексных переменных, а также методы геометрии, топологии и теории слоений.
1.4 Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми и
состоят в следующем:
2 - Леви-плоская компактная гиперповерхность в СР имеет
некоммутативную фундаментальную группу;
См. наприме
Чирка ЕМ. Введение в геометрию CR-многообразий. - Успехи
мат. наук, том 46, вып 1 (277), с.81-164.
- слоение, возникающее на Леви-плоской гиперповерхности в СР , не имеет компактных слоев и обязательно имеет слой с нетривиальной группой глономий.
1.5 Приложения
Диссертация носит торетический характер. Ее результаты могут найти применение в теории гиперповерхностей в комплексных многообразиях, а также могут быть полезны в теории слоений.
1.6 Апробация работы
Основные результаты диссертации были доложены на совместном семинаре по комплексному анализу кафедры ТФФА механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова и отдела ТФКП Математического института им. В.А.Стеклова РАН.
1.7 Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
1.8 Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 11 наименований. Объем диссертации - 81 машинописная страница.
- б -