Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Квазилинейные отображения со свободными границами . 19
1. Задачи типа фильтрации 19
1. Постановка задачи 19
2. Система уравнений для параметров 21
3. Априорные оценки 23
4. Локальная единственность решений 25
5. Метод непрерывности 26
6. Сходимость циклического метода непрерывности 27
2. Граничные свойства конформных и квазиконформных отображений 31
1. Вспомогательные сведения 31
2. Гельдеровская непрерывность решения задачи (1) 1 32
3. Граничные свойства квазиконформных отображений 34
3.1. Регулярность квазиконформных отображений областей с ляпуновской границей 34
3.2. Поведение квазиконформного отображения в угловой точке 34
3. Граничные данные из Са 37
4. Квазилинейные отображения со свободной границей 40
1. Задача для квазилинейного уравнения 40
2. Разрешимость задачи (1), (2) 40
3. Оценки на границе 42
5. Квазиконформное распрямление границ 45
1. Вспомогательные сведения 45
2. Постановка задачи 47
3. Функция ф(х,у) в прямоугольнике 51
3.1. Оценка с(у) снизу 52
3.2. Оценка с'(у) сверху. 52
3.3. Оценки производных функции ф(х,у) 53
4. Функция фо{х,у) 55
5. Локальный гомеоморфизм 56
6. Построение общего гомеоморфизма 58
7. Применение в гидродинамике 59
8. Примеры построения 62
6. Геометрические свойства итерационных процессов 65
1. Постановка задачи 65
2. Выпуклые оболочки 66
3. Оценка размеров выпуклых оболочек 71
Глава 2. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неидеальных пористых средах . 73
1. Постановка задачи 73
1. Нелинейные уравнения [22] 73
2. Уравнения фильтрации жидкости со свободными границами [25] 74
3. Задачи нелинейной фильтрации в канонической области [41] 76
2. Регуляризация задачи. Априорные оценки 80
1. Вспомогательные сведения [21, гл.VI] 80
2. Регуляризация задачи 81
3. Разрешимость задачи 83
Глава 3. Приложения и расчеты. 85
1. Гидродинамический анализ результатов 85
2. Численное решение задачи о параметрах конформного отображения 87
1. Постановка задачи. Функциональные уравнения 87
2. Деформация простых полигонов 88
3. Сходимость метода циклической итерации 89
4. Аппроксимация оператора 91
5. Оценка погрешности аппроксимации 91
6. Сходимость численного метода циклической итерации 92
7. Алгоритмы численных расчетов 92
8. Тесты 93
8.1. Один цикл деформации 93
8.2. Деформация полигонов 94
9. Сравнительный расчет 94
10. Расчет физического объекта 94
3. Численное решение задачи фильтрации жидкости со свободными границами. 96
1. Предварительные сведения 96
1.1. Постановка задачи 96
1.2. Эквивалентное уравнение для вектора и = (щ,... ,ип) 97
1.3. Аппроксимация одномерных интегралов 97
1.4. Аппроксимация оператора 99
1.5. Земляная плотина на непроницаемом основании с горизонтальным дренажем 100
2. Алгоритмы вычислений 101
2.1. Алгоритм вычисления интеграла fi(u,p) 101
2.2. Алгоритм вычисления интеграла Mk(9), к = 2, п 102
2.3. Алгоритм вычисления интегралов fk(u,p), к = 2, п 102
2.4. Алгоритм вычисления расхода Q 103
2.5. Общий алгоритм 104
3. Расчеты 105
3.1. Тесты 105
3.2. Пример 107
4. Численная реализация квазиконформного распрямления границ 108
1. Построение сетки 108
2. Преобразование сетки 108
3. Построение обратного отображения 108
4. Расчеты 108
5. Преобразование эллиптического уравнения 109
Заключение 111
Литература 112
- Локальная единственность решений
- Квазилинейные отображения со свободной границей
- Задачи нелинейной фильтрации в канонической области [41]
- Аппроксимация одномерных интегралов
Введение к работе
Общая характеристика работы.
Диссертация посвящена доказательству разрешимости краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами, созданию алгоритмов их численного решения и реализации этих алгоритмов на ЭВМ.
Актуальность проблемы. Стационарная фильтрация жидкости в пористых средах, описывается решениями квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений.
В гидродинамике задачами со свободными границами принято назвать задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения.
Нелинейный закон сопротивления пористой среды движущейся в ней жидкости (закон Дарси) был предложен С.А. Христиановичем(1940), который при этом установил полную аналогию полученной модели нелинейным уравнениям дозвуковой газовой динамики. Модель С.А. Христиановича получила широкое применение для описания движения нефти в пористом пласте. Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами впервые были доказаны В.Н. Монаховым (1961) методами теории квазиконформных отображений.
М.А. Лаврентьевым [12] впервые был обнаружен класс нелинейных уравнений (сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву или L-эллиптических)
F(z, w, wz, Wz) = 0, z = х + iy, w = (f + іф, (1)
сохраняющих характерное свойство линейного уравнения Бельтрами — каждое ограниченное решение w(z) такого уравнения является локально-гомеоморфным в области изменения независимой переменной. Для L-эллиптических уравнений им доказан аналог теоремы Римана об отображениях односвязных областей [13], а впоследствии в работах М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [15, 36] установлены важные свойства таких уравнений: эллиптичность их в обычном смысле и справедливость неравенства
\wz/wz\ < Qo = const-< 1 (оценки констант эллиптичности q0, не зависящие от искомого решения, получены позднее В.П. Монаховым в [19]).
В работах В.Н. Монахова [19, 20] эти свойства были положены в основу определения L-эллиптичности, установлена его эквивалентность определению М.А. Лаврентьева. Нетрудно видеть, что из положительной определенности соответствующей (1) квадратичной формы следует выполнение неравенств
\F„\2 - \F„\2 > a, |FC|2 - |Р<|2 > а > 0,
обеспечивающих локальную разрешимость (1) относительно С, тли. В.Н. Монахов установил, что эти неравентсва гарантируют и глобальную разрешимость (1) относительно С и и и при этом им был обобщен аналог теоремы Римана на случай многосвязных областей. Позднее аналогичные результаты получены в работах Б. Боярского и Т. Иванеца [1, 2], а в работе Н.А. Кучера [3] исследована разрешимость краевой задачи Гильберта для L-эллиптических уравнений.
Задачи линейной фильтрации в идеальных пористых средах при некоторых дополнительных предположениях о течении изучались в работах Полубариновой-Кочиной (1952).
В случае нелинейной фильтрации в идеальной пористой среде для широкого круга задач со свободными границами методами теории квазиконформных отображений теоремы существования решений установлены Монаховым (1964). Для неидеалыюй пористой среды задачи линейной теории фильтрации со свободными границами изучены В.Н.Монаховым (19G5) при дополнительном предположении о характере течения (свободная граница выходит на дренаж, т.е. на горизонтальный промежуток высачивания).
Впервые проблема определения параметров конформного отображения многоугольников без ссылки на теорему Римана была поставлена и решена А. Вайнштейном [7]. Созданная им для решения этой проблемы конструктивная схема, названна методом непрерывности. В совместной работе с А. Вайнштейном [5] Ж. Лере придал этому методу абстрактную форму, реализованную в дальнейшем в виде теоремы Лере-Шаудера о неподвижной точке нелинейных вполне непрерывных отображений банахова пространства в себя.
Метод непрерывности был применен А. Вайнштейном, а затем в совместной работе А. Лере, А. Вайнштейна [5] для доказательства разрешимости струйных задач гидродинамики в точной нелинейной постановке. Другим методом М.А. Лаврентьев [10] вместе с теоремой существования доказал и теорему единственности в этих задачах.
Непосредственное развитие метода непрерывности получено в работах В.Н. Монахова (библиография этих работ имеется в [21]), который па его основе доказал разрешимость широкого класса задач гидродинамики со свободными поверхностями практически без ограничения на геометрию заданной части границы области течения.
Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами.
Численно реализованы алгоритмы решения задач фильтрации в классе аналитических функций.
Методы исследования. Основным методом является представление решения в виде композиции отображний квазиконформного и конформного. При этом для конформного отображения получается задача об определении параметров аналогичная соответствующей проблеме при построении конформного отображения многоугольников. Для построения квазиконформного отображения, удовлетворяющего квазилинейным или нелинейным эллиптическим системам уравнений, доказываются равномерные шаудеровские оценки, на основе которых доказывается резрешимость исходных задач.
Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.
Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при численном решении задач гидродинамики.
Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.
Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: "Математические проблемы в механике сплошных сред"(г. Новосибирск 1999, 2000), "Студент и научно-технический прогресс"(г. Новосибирск 2002), "Математические методы в механике природных сред и экологии"(г. Барнаул 2002) .
Результаты диссертации доложены также на семинарах :
Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред"под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (200G), Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН лаборатории теории функции иод руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В.В.
и д.ф.-м.н. профессора Сычева А.В. (200G).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.
Общий объем диссертации составляет 115 страниц машинописного текста, библиография содержит 45 наименований.
Содержание работы.
Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по ее теме, изложение причин и целей проводимых в ней исследований и перечисление основных положений работы.
Локальная единственность решений
Диссертация посвящена доказательству разрешимости краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами, созданию алгоритмов их численного решения и реализации этих алгоритмов на ЭВМ. Актуальность проблемы. Стационарная фильтрация жидкости в пористых средах, описывается решениями квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений.
В гидродинамике задачами со свободными границами принято назвать задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения.
Нелинейный закон сопротивления пористой среды движущейся в ней жидкости (закон Дарси) был предложен С.А. Христиановичем(1940), который при этом установил полную аналогию полученной модели нелинейным уравнениям дозвуковой газовой динамики. Модель С.А. Христиановича получила широкое применение для описания движения нефти в пористом пласте. Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами впервые были доказаны В.Н. Монаховым (1961) методами теории квазиконформных отображений.
М.А. Лаврентьевым [12] впервые был обнаружен класс нелинейных уравнений (сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву или L-эллиптических) сохраняющих характерное свойство линейного уравнения Бельтрами — каждое ограниченное решение w(z) такого уравнения является локально-гомеоморфным в области изменения независимой переменной. Для L-эллиптических уравнений им доказан аналог теоремы Римана об отображениях односвязных областей [13], а впоследствии в работах М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [15, 36] установлены важные свойства таких уравнений: эллиптичность их в обычном смысле и справедливость неравенства \wz/wz\ Qo = const- 1 (оценки констант эллиптичности q0, не зависящие от искомого решения, получены позднее В.П. Монаховым в [19]).
В работах В.Н. Монахова [19, 20] эти свойства были положены в основу определения L-эллиптичности, установлена его эквивалентность определению М.А. Лаврентьева. Нетрудно видеть, что из положительной определенности соответствующей (1) квадратичной формы следует выполнение неравенств обеспечивающих локальную разрешимость (1) относительно С, тли. В.Н. Монахов установил, что эти неравентсва гарантируют и глобальную разрешимость (1) относительно С и и и при этом им был обобщен аналог теоремы Римана на случай многосвязных областей. Позднее аналогичные результаты получены в работах Б. Боярского и Т. Иванеца [1, 2], а в работе Н.А. Кучера [3] исследована разрешимость краевой задачи Гильберта для L-эллиптических уравнений.
Задачи линейной фильтрации в идеальных пористых средах при некоторых дополнительных предположениях о течении изучались в работах Полубариновой-Кочиной (1952).
В случае нелинейной фильтрации в идеальной пористой среде для широкого круга задач со свободными границами методами теории квазиконформных отображений теоремы существования решений установлены Монаховым (1964). Для неидеалыюй пористой среды задачи линейной теории фильтрации со свободными границами изучены В.Н.Монаховым (19G5) при дополнительном предположении о характере течения (свободная граница выходит на дренаж, т.е. на горизонтальный промежуток высачивания).
Впервые проблема определения параметров конформного отображения многоугольников без ссылки на теорему Римана была поставлена и решена А. Вайнштейном [7]. Созданная им для решения этой проблемы конструктивная схема, названна методом непрерывности. В совместной работе с А. Вайнштейном [5] Ж. Лере придал этому методу абстрактную форму, реализованную в дальнейшем в виде теоремы Лере-Шаудера о неподвижной точке нелинейных вполне непрерывных отображений банахова пространства в себя.
Метод непрерывности был применен А. Вайнштейном, а затем в совместной работе А. Лере, А. Вайнштейна [5] для доказательства разрешимости струйных задач гидродинамики в точной нелинейной постановке. Другим методом М.А. Лаврентьев [10] вместе с теоремой существования доказал и теорему единственности в этих задачах. Непосредственное развитие метода непрерывности получено в работах В.Н. Монахова (библиография этих работ имеется в [21]), который па его основе доказал разрешимость широкого класса задач гидродинамики со свободными поверхностями практически без ограничения на геометрию заданной части границы области течения.
Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами. Численно реализованы алгоритмы решения задач фильтрации в классе аналитических функций. Методы исследования. Основным методом является представление решения в виде композиции отображний квазиконформного и конформного. При этом для конформного отображения получается задача об определении параметров аналогичная соответствующей проблеме при построении конформного отображения многоугольников. Для построения квазиконформного отображения, удовлетворяющего квазилинейным или нелинейным эллиптическим системам уравнений, доказываются равномерные шаудеровские оценки, на основе которых доказывается резрешимость исходных задач. Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами. Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей. Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при численном решении задач гидродинамики.
Квазилинейные отображения со свободной границей
Рассмотрим задачу со свободной границей: в области D = {z = х + iy} С С с границей 3D = LoUL, требуется найти решение квазилинейного эллиптического уравнения по заданным граничным условиям, причем часть границы L известна и на ней задается одно вещественное условие, а часть LQ неизвестна и на пей задаются два вещественных условия. Подобные задачи весьма широко встречаются в гидродинамике и теории фильтрации [9, 16, 21, 27, 33]. Если заданная часть границы — полигон, то, как известно [21, 40, 41, 42], эта задача сводится в конечном счете к нелинейной системе из п уравнений для п искомых параметров, где п — число сторон полигона (задача о параметрах). В свою очередь, задачи, в которых L имеет достаточно произвольную форму, обычно решают, аппроксимируя L ломаной с п углами при вершинах и переходя к пределу при стремлении п к бесконечности. Такой метод решения задачи при его численной реализации приводит к трудноразрешимой задаче с большим числом параметров.
В данном параграфе для решения задачи со свободной границей строится специальный гомеоморфизм, переводящий D в область, где заданная часть границы является полигоном. В результате, после соответствующей замены переменных, задача сводится к случаю, когда известная часть границы — полигон. При этом расположение и число сторон полигона определяются только свойствами заданной части границы L. В частности отсюда следует, что увеличение точности расчетов при численной реализации метода не требует увеличения числа искомых параметров, которое остается фиксированным. Отметим, что соответствующий гомеоморфизм отличен от тождественного только вблизи границы L, т.е. при численных расчетах всего лишь слегка искажается расчетная сетка вблизи известной части границы.
Вспомогательные сведения. Пусть Р — простой полигон с вершинами Zk и углами Q!jfc7r, к = 0,п + 1, a, z = z{C,) — конформное отображение верхней полуплоскости Е : Im 0 на конечную область D с границей 3D = (PUL0), L0 — свободная граница. В этом пункте будут изложены результаты работы [30], где доказано существование барьерной кривой I, лежащей между свободной границей LQ И полигоном Р. При этом I не имеет общих точек с Р кроме ZQ И zn+i, a LQ лежит вне области Г2, ограниченной (I U Р) = дії. Согласно последнему замечанию в [30], результаты справедливы и для задач типа фильтрации. Поэтому в этом пункте мы будем формулировать утверждения из этой работы для задач типа фильтрации.
Произведем перенормировку конформного отображения z : Е — D, считая, что прообразом свободной границы Lo является отрезок [—1,1] и соответственно этому преобразуем представление (4) 1 для функции dz/dC, к виду при ук ctk и рк = 7 - 1 при 7fc afc. Структуру области в окрестности концов полигона описывает следующее утверждение. Утверждение 2. Существует сектор Nk С {[\z — Zk\ 5]f) D} = Vtk, ограниченный отрезком Рк звена Рк С Р, отрезком Rk луча с концом в точке Zk и углом %7Г со звеном Рк и дугой Тк окружности \z — Zk\ = 8 0, не имеющий общих точек со свободной границей L0, кроме , = Pjt П L0, к — 0, n + 1. Из приведенных выше утверждений следует существование барьерной кривой I. Через Rk, к = 0, n + 1 будем обозначать отрезки лучей, выходящих из zk под углом тг 7г/4 до точек z k пересечения с окружностью \z — Zk\ = 8 0. Утверждение 3. Существует кривая I = l URoURn+i, состоящая из криволинейной (полигональной) дуги / , лежащей вне окрестностей Dk точек Zk, к — 0, п + 1 и отстоящей от Р = Р\(Р П Pn+1) Рк = Р Г\ Dk на положительном расстоянии d — (Р , U) d0(8) 0 и отрезков лучей Rk, выходящих из точек Zk, к = 0, п + 1. При этом кривая I не имеет общих точек со свободной границей LQ, кроме концов Zk, к = 0,п + 1 полигона Р, т.е. является барьерной кривой. Из доказательства этого утверждения следует, что в качестве барьерной кривой / для свободной границы LQ МОЖНО ВЗЯТЬ ПОЛИГОН, состоящий из части полигона Р с внутренними углами а , к = 1,п, отстоящего от Р на расстоянии do, а в окрестности Zk, к = 0, п + 1, I совпадает с отрезками лучей Rk (рис. 1). 2. Постановка задачи. Пусть D — область с границей dD = L0 U L, состоящей из заданной гладкой кривой L и неизвестной кривой LQ. В D ищется решение w(z) = (р+гф квазилинейного эллиптического уравнения удовлетворяющее граничным условиям Задача (1), (2) имеет прямое отношение к гидродинамике [21, гл.Ш, IV] Предположения. (i) L — связная кусочно ляпуновская кривая с конечным числом точек разрыва касательной, в которых смежные касательные образуют ненулевой угол; (ii) кривые заданные с помощью (2), составляют замкнутый контур dD = L U LQ, ограничивающий область D в плоскости w = ср+іф, причем \У(ц ,ф) Є C1+/3(L ), f(x) Є CW(L0); (Ш) 1,2(-2) w) Є Ca(D х D ) — непрерывны по Гельдеру по обеим переменным. Пусть кривая L расположена между точками ZQ И ZN, причем при обходе L от ZQ К ZM область D остается слева. Построим квазиконформный гомеоморфизм области D, переводящий кривую L в ломаную. Задачи, в которых L имеет достаточно произвольную форму, обычно решают, аппроксимируя L ломаной и, переходя к пределу при стремлении п к бесконечности. Такой метод решения задачи при его численной реализации приводит к трудноразрешимой задаче с большим числом параметров. Разобьем L точками z0,..., z на N частей, причем точки разрыва касательной входят в число точек разбиения. Будем через Lk обозначать часть кривой L, заключенную между Zfc_x и Zk, а через Ljt.o — отрезок [zk-i, zk], к = 1, N. Далее через Р — (J Lkp будем обозначать ломаную с вершинами в zk. По условию Ьк Є C1+Q. Проведем через точки Zk прямые Нк, составляющие с отрезками L j0 и Lfc+i,o углы ip\ и y?j+1 соответственно, О (р\2 тг, причем вблизи Zk прямая Нк пересекает L только в одной точке Zk (см. рис. 2). В точке z0 учитывается только угол р\ прямой Но с отрезком Lij0, в точке ZN — только угол cf2 прямой Ядг с Длг,о- Очевидно, при достаточно малом расстоянии между соседними точками zk это возможно, в частности, если zk — точка, где L — гладкая, то в качестве Нк можно взять нормаль к L, если же Zk — точка разрыва касательной, то в качестве Нк можно взять прямую, делящую внутренний угол между касательными пополам. Будем далее обозначать а\2 — ctg Pi2, а — maxa:i2. Отметим, что если Нк — нормаль к L и расстояние \zk-\ — Zk\ + \zk — zk+i\ — 0, то 2 i+1 /2, т.е. «2, a\+l —» 0. Отсюда следует, что если увеличивать число точек Zk, то величина а с некоторого момента расти не будет. В дальнейшем будем считать постоянную а фиксированной.
Задачи нелинейной фильтрации в канонической области [41]
Доказательство. В задаче (1), (2) перейдем к новой переменной ( = ((z), тогда получим задачу (22), (23), а поскольку (z) тождественна вне Vs, a L0nVs — 0, то кривая Lo И граничные условия на ней не изменятся. Вид коэффициентов Ді)2 определяется непосредственным вычислением, оценка коэффициента квазиконформности следует из сохранения эллиптичности системы уравнений при квазиконформной замене переменных [21, с.211]. Поскольку \q(z)\ 2/3, то сохранение гельдеровости следует из вида /Ji]2 и свойств гомеоморфизма ((z).
Пусть = {1т 0} — верхняя полуплоскость, t Є (—со, +оо) = дЕ, I = {t \ \t\ 1} С дЕ, 10 = [—1,1] С дЕ; через 1,р, будем, как обычно, обозначать норму функции в пространствах Соболева W и Гельдера Са соответственно.
Лемма 1. Пусть в задаче (1), (2) в качестве известной части границы выступает полигон Р с вершинами в точках , Є L, к — О, N, где ZQ, Z — начало и конец L, а коэффициенты уравнения (1) /iJ 2 могут иметь разрывы в точках z = Zk- Тогда при выполнении условий (и) существует решение задачи (1), (2) вида w(z) = WQ(F 1(Z)), Lo = F(I), где wo : E — D — квазиконформный гомеоморфизм, F : E — D — конформный гомеоморфизм, причем где [io - коэффициент квазиконформности уравнения (1), f,W— функции в граничном условии (2). Далее, существует стандартная окрестность Vs полигона Р такая, что Vs П L0 — 0, причем параметр окрестности 5 — 5(/io, /P+Q , W(1+Q)) не зависит от количества и расположения вершин полигона 2 Є L.
Доказательство. Как показано в [40], при выполнении условий леммы существует решение задачи (1), (2) вида w(z) = wo(F 1(z)), Lo = F(I), где F : E — D — конформный гомеоморфизм, причем F(IQ) = P; WQ : E — D — квазиконформный гомеоморфизм, являющийся решением уравнения Поскольку L — кривая класса C1+Q, т.е. спрямляема, то P \L\, \L\ — длина L, откуда следует утверждение леммы о существовании и представлении решения. Для доказательства последнего утверждения достаточно показать, что если расстояние от Є Е до 10 больше фиксированной константы 80 О, то расстояние от z = F() до Р — F(Io) больше фиксированного 6 0, т.е.
Предположим противное, тогда существует последовательность полигонов Рп, соответствующих гомеоморфизмов Fn : Е — Dn, Fn(I0) = Рп и точек п Є Е, р(п,1о) 5оі что p(Fn(t;n),Pn) — 0. Поскольку имеем равномерную оценку РП()1 М = const, то последовательность Рп() компактна, т.е. Fn — F0, а поскольку F0(—1) = limFn(—1) = zo Ф ZN = Fo(l), то Fo : E — D0 = F0(F) — гомеоморфизм. Пусть P0 = Fo(Io) (Po — не обязательно полигон). Из последовательности п извлечем сходящуюся подпоследовательность, т.е. п — о Є Е, р(о,1о) о (возможно, 0 = об). Тогда p(F0(6)),Po) = limp(Fn(n),Pn) = 0, т.е. F0(0) Є Po = F0(I0) и значит 0 Є /0, что противоречит условию р(о, -fo) о- Итак, лемма полностью доказана.
Теорема 3. При выполнении условий (і), (И), (Иг) существует решение задачи (1), (2) вида w(z) = w(((z)), LQ = F(I), где (z) — квазиконформный гомеоморфизм, переводящий L в полигон Р, w(() = u o(F_1(C)) — решение задачи (22), (23), построенное в лемме 1.
Доказательство. Для начала рассмотрим задачу (1), (2) в случае, когда в качестве известной части границы выступает Р — полигон с вершинами в точках Zk Є L, k — 0, N и пусть при этом еще и коэффициенты уравнения Ці могут иметь разрывы в точках Zk- Как показано в лемме 1, для решения такой задачи существует стандартная окрестность V$ полигона Р, не пересекающаяся со свободной границей L0, причем параметр 8 = 5(ц0, / 1+а\ VK(1+a)) не зависит от Р.
Обратимся теперь к задаче (1), (2) с заданной кривой L. Зафиксируем значение S = 5{J1Q, \\f\\ +a\ 11 11 + ), где /10 = До(/ о) оценка коэффициента квазиконформности (24). Теперь выберем разбиение L точками Zk так, чтобы при заданном 5 были выполнены условия (4), (5). Тогда, в частности, стандартная окрестность полигона Р будет одновременно и стандартной окрестностью кривой L. Построим, как в теореме 1, квазиконформный гомеоморфизм С, переводящий кривую L в полигон Р и рассмотрим в плоскости С соответствующую задачу (22), (23). Снова используя лемму 1 получим, что существует решение задачи (22), (23) w(Q, причем первоначальный выбор S гарантирует, что в плоскости С Vi; П L0 = 0. Но стандартная окрестность полигона V$ сохраняется при гомеоморфизме, причем вне ее гомеоморфизм тождественный, тогда, перейдя в плоскость z, получим, что Z/o П Vs = С-1( ) П С-1 (КО = 0, т.е. выполнены условия теоремы 2, а значит функция w(z) = iv(((z)) будет решением задачи (1), (2). Теорема доказана.
8. Примеры построения. Пусть имеется конечная область D с кусочно-гладкой границей 3D, расположенная на комплексной плоскости С переменного z. Предполагается, что с помощью поворота осей координат граница 3D в новой плоскости разбивается фиксированными точками zy. Є 3D, к = 1,4 на кривые Г\, однозначно проектируемые последовательно на оси координат ОХ и OY и вокруг области D построим прямоугольник П со сторонами параллельными осям координат (рис. 4): П = (Z1Z2Z3Z4), Тк:у = fk(x), \Гк\ М, к = 1,3, Гк : у = дк(у), \д к\ М, к = 2,4.
Аппроксимация одномерных интегралов
В главе рассматриваются нелинейные эллиптические уравнения и доказана разрешимость задачи типа фильтрации. Все результаты являются новыми и получены в работе [41]. В 1 дается постановка задачи. В 2 рассматривается регуляризация и доказываются априорные оценки решений нелинейного уравнения. В 3 доказана разрешимость задачи.
В этом параграфе рассматриваются общие нелинейные эллиптические уравнения. Дается связь этих уравнений с процессом фильтрации жидкости в неидеальных пористых средах. Ставится задача типа фильтрации.
Нелинейные уравнения [22]. М.А. Лаврентьевым [12] впервые был обнаружен класс нелинейных уравнений (сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву или L-эллиптических) сохраняющих характерное свойство линейного уравнения Бельтрами — каждое ограниченное решение w(z) уравнения (1) является локально-гомеоморфным в области D изменения независимой переменной z. Для L-эллиптических уравнений им доказан аналог теоремы Римана об отображениях односвязных областей [13], а впоследствии в работах [15, 36] установлены важные свойства таких уравнений: эллиптичность их в обычном смысле и справедливость неравенства \wz/wz\ q0 — const 1 (оценки констант эллиптичности и qQ, не зависящие от искомого решения, получены позднее в [19]). В работах В.Н. Монахова [19, 20] эти свойства были положены в основу определения L-эллиптичности, установлена его эквивалентность определению М.А. Лаврентьева и обобщен аналог теоремы Римана на случай многосвязных областей. Позднее аналогичные результаты получены в работах [1, 2], а в [3] исследована разрешимость краевой задачи Римана-Гильберта для L-эллиптических уравнений.
Установим предварительно, что одно из условий L-эллиптичности уравнения (1) — глобальная разрешимость его относительно — фу + гфх или ш = рх — itpy следует из эллиптичности (1).
Утверждение 1. Пусть функция F(z,w,a,s), a = wz, s = wz, в (1) непрерывно дифференцируема по (z, z, w, w) при (z, w, a, s) Є K , Vi? 0 (KR : \z\ R; KR = KR x ... x KR) и no (a,a,s,s) Є Ё , причем F(z,w,a,s) = 0, (z,w) Є E2 (E : \z\ oo, E = EU(z = oo); /( ) Є C(E) : {f(z), f(l/z)} Є C{KX)). Тогда, если уравнение (1) эллиптично, то оно представляется в форме Wz - Qi{z, w, u)wz - q2(z, w, io)wz = 0, и = ipx - i(py. Утверждение 2. Пусть функция P(z,w), -P(0,0) = 0 обладает непрерывными производными по z и w при (z, w) Є Ё2 и для них выполняются неравенства Тогда существует гомеоморфизм w = w(z) (w : Е — Е), w(t) = t = 0, со такой, что wz и wz непрерывны, при всех z Є Е и P[z, w{z)\ = 0, z Є Е. 2. Уравнения фильтрации жидкости со свободными границами [25]. Описывающие процесс фильтрации жидкости со свободной границей в неидеальной пористой среде (сжимаемой, неоднородной и анизотропной) при нелинейном законе сопротивления уравнения имеют вид где V = (Vi, V2), р и р(= const) — соответственно вектор скорости фильтрации, давление и плотность; д — коэффициент ускорения силы тяжести; (р — потенциал течения (пьезометрический напор); К(х,у,(р,Чср) = {(} — симметрический тензор фильтрации; а ж, у — декартовы координаты точки. Такие задачи линейной фильтрации (К не зависит от Vip) в идеальных средах (otij — 0, г т Зі &u = k = const) при некоторых дополнительных предположения о Щ течении изучались в работах Полубариновой-Кочиной [26]. В случае нелинейной фильтрации в идеальной среде для широкого круга задач со свободными границами методами теории квазиконформных отображений теоремы существования решений установлены в [17, 21]. Для неидеалыюй среды задачи линейной теории фильтрации со свободными границами изучены [18, 21] при дополнительном предположении о характере течения (свободная граница выходит на дренаж или горизонтальный промежуток высачивания). Будем предполагать, что компоненты тензора фильтрации К(х,у,(р,\/ср), а с ними и Vi(x,y,(p, V /?), ()) = KV(p обладают ограниченными производными по х, у, ср и V p — t = ( і,І2) в 5- Положим ац = dVi/dtj, ац — fQ a,ij(x,y,(p,st)ds (i,j = 1,2), и поскольку при этом (Vi, V2) = {aij(xi Vi fi t)}t, то тензор {cttj} можно считать тензором фильтрации, оставляя за ним обозначение К = {(}. Предполагая, что уравнение для функции (р(х,у) (х = хг,у = х2).
Похожие диссертации на Квазиконформные отображения в гидродинамике и их численная реализация
