Введение к работе
Актуальность темы. Диссертащщ посвящена современным проблемам геометрической теории функций, относящаяся к квазиконформным и гармоническим отображениям плоских областей и ршлановых поверхностей, деформациям клейновых групп,
Зарождешіе теорий квазиконформных н гармонических отображений относится к 20 - 30 -м годам текущего столетия ( М.А.Лаврентьев, Г.Грстч, Л.Альфорс, Т.Радо ). Достигнутый сегодня уровень их развития характеризуется глубокими и разветвленными связями с дифференциальной геометрией и топологией, уравнениями в частных производных и теорией функциональных пространств, математической физикой и теорией груш:, вариационным исчислением и '*чнимальными поверхностями.
Классическая теория римановых поверхностей тесно переплетена с алгебраической геометрией, теорией чисел, теорией многообразий и занимает важное место в.комплексном анализе, являясь источником многочисленных идей и обобщений.
Традиционной областью приложений конформных, квазиконформных, гармонических отображений является механика деформируемых сред. В семидесятые годы были обнаружены фундаментальные приложения римановых поверхностей в солитонике ( С.П.Новиков ), а гармонические отображения привлекли внимание как модели некоторых физических теорий, включая калибровочные. Новая волна приложений ршлановых поверхностей связана с теорией струн.
Первые-применения квазиконформных отображений в качестве аппарата теории ршлановых поверхностей связаны с именами Л.Алъфорса, О.Тейхотшгера, Л.И.Волковыского. Развитие экстремальных квазиконформных отображений римановых поверхностей стимулировалось, главншл образом,"программой-исследований по классической проблеме модулей;, реализация которой привела к построению глубокой теории пространств Теііхдаллера. Мощным инструментом стали методы решения экстремальных задач, созданные Л.Альфорсом, П.П.Белянскнм, С.Л.Крушкаяем, З.ЯіГут-лянеккм, Н.П.Мятюком, Р.Кшау,
В активе плоских квазиконформных отображений имеются важные приложения к геометрической теории приближения функций (В.И.Белый, В.М.Миклшов ), классификации диффеоморфизмов поверхностей ( У.Терстон, Л.Берс ), деформациям клейно-вых,групп ( Альфоро, Беро, С.Л.Крушкаль ), а также к комплексно-аналитической динамике, теории Сельберга автоморфных отображений, теории распределения значений.
Впечатляющий прогресс достигнут и в теоріш пространственных отображений,,менее чем за три десятилетия прошедшей путь от набора изолированных частных результатов до раздела фундаментальных знаний с богатой естественной внутренней структурой. Труды Ю.Г.Решетняка, П.П.Белинского, Б.В.Шабата, В.А.Зорича, Г.Д.Суворова, В.М.Гольдштейна, А.В.Сычева, А.П. Копшгова, В.В,Асеева раскрыли специфику пространственных отображений и привели к новым сферам приложений. Метода, основанные на оценках обобщенных интегралов Дирихле и свойствах их экстремалей, наряду с метрико-геометрическими ( модулей, симметризации ), занимают центральное место в теории пространственных квазиконформных, отображений и отображений с ограниченным искажением. Вклад советских ученых в их разработку и совершенствование является определяющим.
В связи с построением теории тейхмюллеровых пространств возникли вопросы экстремизации коэфициевда квазиконформности ( отклонения ) Kf-f) , интеграла энергии и других функционалов на классах $[ гомотопных по модулю идеальных граничных кривых квазиконформных отображений произвольных римано-еых поверхностей. Выяснилось, что в некомпактном случае отображения с минимальным отклонением не всегда достаточно регулярны и единственны в классах ^f . К началу семидесятых годов СД.Крушкаль и.Р.Гамильтон получили -необходимые условия экстремума в задаче о минимизации отклонения на открытых ри-мановых поверхностях, а несколько позже Беро распространил их результаты на квазиконформные деформации клейновых групп.
Задачи, решаемые в реферируемой работе, группируются вокруг проблемы Берса о природе экстремального квазиконформного отображения открытой рішановой поверхности, проблемы существования гармонических диффеоморфизмов с заданными граничными значениями и вопросов, связанных с построением теории
искажения в классах аналитических функций с квазиконформным продолжением. 11а протяжении двух последних десятилетий этот круг вопросов интенсивно исследовался, однако разработан еще с недостаточной полнотой. Актуальность очерченного направления обусловлена не только внутренними потребностями теории, но и наличием разнообразных связей с другими областями.
Цель работы - дальнейшее развитие теории экстремальных задач для квазиконформных отображений римаковых поверхностей и клейновых групп, описание свойств отображений, экстремальных относительно своих граничных значений, исследование вопросов существования и свойств гармонических и слабо гармонических отображенийг развитие указанных нюхе методов.
Общая методика исследования. В работе широко используются результаты и методы комплексного и функционального анализа, геометрии многообразий, теории клейновых групп. ЙІВОД 'необходимых условий экстремума в главах 1-3 базируется на вариационном методе для квазиконформных отображений в форма, предложенной СЛ.Крушкалем, с надлежащими. усовершенствованиями, обусловленными спецификой решаемых задач.
Созданы новые методы исследования квазиконформных отображений, экстремальных относительно своих граничных значений, с помощью которых доказаны утвэрадения о достаточности в кри-теориях экстремальности из главы I, "изучены свойства слабо гармонических и локально экстремальных отображений в главах 3 и 4. Новым является также вариант метода площадей для аналитических.функций с квазиконформным продолжением, с помощью которого получены все результаты главы 5t Доказательство единственности экстремальных отображений типа Тейхмгаллера в главе 2 проведено методом экстремальных метрик и синтезирует конструкции Л.Альфорса и К. Штребеля.
Научная новизна и теоретическая значимость. Результаты диссертации являются новыми. Выделим основные их них : - получены критерии экстремальности в задаче Гретча -Тейхмвдлера о минимизации отклонения в наиболее общих ситуациях - на классах гомотопных по модулю идеальных
граничных кривых квазиконфоршых гомеоморфизмов произвольных гиперболических Романовых поверхностей и в соответствующей задаче для плоских клейновых групп;
- аналогичные критерии получены для квазиконформных экс
тремалей ВеЩеСТВеННЫХ 'фуНКЦИОНаЛОВ, ИМеНЩІХ КОМПЛЄКС-
нке производные Гато, в частности, - для функционалов Белинского, что обобщает результаты П.П.Белинского и С.Л.Кружкаля; тем самым дана редукция рассматриваемых задач к линейным экстремальным проблемам на единичной сфере банахова пространства голоморфных ( мероморфных ) квадратичных дифференциалов;
- исследованы экстремальные свойства отображений типа .
Тейхмталера в классах гомеоморфизмов с ограниченной ве
совой дилатацией и доказано соответствующее обобщение
классической теоремы Тейхмшлера, включач утверждения
о существовании, единственности и виде комплексной характеристики;
решена вариационная задача Дирихле для квазиконформных отображений римановых поверхностей и дано обоснование комплексных вариантов принципа Дирихле для функционалов энергии, Рейха-Штребеля и Альфорса;
впервые введены и изучены классы слабо гармонических и локально экстремальных отображений и дана характеризация квазиокружностей с точки зрения экстремальных квазиконформных отражении;
установлены глубокие связи мезду квазиконформными экстремалями отклонения и интеграла энергии, выраженные в теоремах о характере разрешимости уравнения гармонических отображений на компактной римановой поверхности к о свойствах локально экстремальных отображений;
даны обобщения на классы J?V fJ многих утверждений из второй части известной монографии М.М.Милинч ( Однолистные функции и ортонормированные системы. - М.j Наука, 1971 ), в частности, - обобщения неравенств Г.М«Голуэина, їрєтча, Крауса-Нехари-Милина ; Часть полученных результатов дополняет теоремы В.Я„Гутлянского и В.А5Щепетева0
Заметим, что теория искажения дая аналитических функ-ций с квазиконформным продолжением, наряду с критериями экс-треі.'лльностл глави І, теоремами о локально экстремальных и слабо гармонических отображениях, тлеет глубокую связь с гиперболический свойствами обідих пространств Тейхмаллера и инвариантными метриками на них.
Дня математических объектов нслинешгой природа, возникающих в разлігчннх областях науки, характерно наличие качественных эйТюктов, связанных с целине ііностью. В этом плане за-слугшвшот внимания два новых эфрэкта, касающиеся изменения характера разрешимости квазилинейного уравнения гармошгчес -ких отображений па римановой поверхности и "доменной структуры", вносимой в область локально экстремальным отображением. йде один эффект, касаицийог существования у неликеіішх уравнений и систем уравнений эллиптического типа обобщенных решений, гладких на открытых множествах полной меры, но не всюду, известен из работ Ф.Альыгрена, Е.Дяусти, В.Г.Мазьи и др. Слабо гармонические относительно гладких римановых метрик квазиконформные экстремали интеграла энергии даыт новые примеры подобного типа, относящиеся к уравнению гармонических отобра.-таниЗ. Уместно отметить, что знание таких эффектов является необходимым элементом при создагош вычислительных методов, обслуживающих нелинейные уравненля.
Предлояенныо автором методы нашли применения в работах В.В.Думкшга., В.В.Чуешева, А.Н.Вагина, А.З.Гриншпана, В.А.Ще-іетева.
Апробация -работн. Основные результаты диссертации докладывались автором на Донецких коллоквиумах по квазиконформным зображенням ( 1976, 1978, 1980, 1987 гг.), Кубанских школах ю геометрической теории функций (1975,1985), на'конференциях го современным проблемам теорій функций в Новосибирске (1978) і Черноголовке Московской области ( 1977,1979 ), на III Инонациональном симпозиуме по комплексному анализу и его приложениям в Херцег-Нови, 05РЮ (1988), а также на научных семя-арах по теорій функций в ЇДУ (1977, 1983, 1987),ИМ СО АН :ССР (1986, 1988), Ш АН СССР (1987), Ш АН УССР (1987), ИПШ Н УССР (1987). Регуля. ло, по мере получения, результаты об-улдалисі. на научьом семинаре по геометрической теорий функції в Кубанском уни: jpcKTCTe.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах IJ - fl8j , список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, главы 0, содержащей вспомогательный материал, пяти глав основного текста, заключения и списка литературы, включающего 218 Шїменований. Объем диссертации - 322 стр. машинописного текста.
Плоское квазиконформное отображение - это сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f некоторой области (р с Сг на область б* <= Си„ являющийся обобщенным решением уравнения Бельтрами 7 =*/*#% с измеримым, существенно ограниченным коэффициентом Jt($\ /М0е»<2 -» называемым комплексной характеристикой отображения*^ „ Если/^^агі, ke&Q* то ,j называется ^-квазиконформным, а- также -квазикон~ формным отображением, где &,-(f+&)(2-k)~l Функционале^/ —(+(ШІае^-учЛв*)* называется коэффициентом квазиконформности или отклонением гомеоморфизма .
Квазиконформное отображение римановых поверхностей и М - это гомеоморфизм f ; &0—*~/ , кавдое локальное представление t/(g.) которого реализует квазиконформное отображение соответствующих параметрических кругов. Если /2.^ и / - гиперболические поверхности, то их универсальные на-крыващие конформно изоморфны кругу /'« /не ''izteij* и существуют такие фуксовы группы П. iv Г , что пространства орбит ШР9 и Х//Р , снабженные комплексными структурами, при которых проекции Щ\ 1/ -^Af/Q^ Ж'Х?-*-!///1 голоморфны, представляют рішановы поверхности, конформно изоморфные /2е и Л? , соответственно.'
Каждый квазиконформный гомеоморфизм < % Х//Р,"0'1//Р имеет естественное поднятие до квазиконформного автоморфизма круга ХР . Два таких гомеоморфизма , ,fs' $f/P ~*~lf/P условимся называть гомотопными по модулю идеальных граничных кривых, если существует гомотопия ^(fi) '-(t///2)A6,2j -*~V/P "ffjl0)~Тв 'ТФ>0=> естественное поднятие
ffe,) ty*&j] "*" & которой, будучи продолженным Н8-прерывным образом на 3Ux@,i], постоянно но -йр,1]ш множестве (31/\А(/^)) кe>tij , где ACQ)- предельное множество группы f% .
Квазиконформные отображения. экстремальные относительно своих гоаничных значений - это гомеоморфизмы, минимизирующие коэффициент квазиконформности в классах ^ гомотопных по модулю идеальных граничных кривых квазиконформных отображений мевду заданными римановнми поверхностями. В расширенном смысле этот терктн мояно отнести к квазиконформным экстремалям других функционалов на классах 0 „
Пусть && - согласованная с комплексной структурой ри-манова метрика класса С* на поверхности М- с локальными представлениями вида dzfar)fd&jf нормированная условием f/д 4Acfa &, Диффеоморфизм г &—*~g, удовлетворяющий уравнению
в каздом локальном параметре, называется ^аршготческим, относительно метрики б**2, .
Ниже нумерация теорем тождественна принятой в диссертации, а нумерация формул - независимая.