Квазиинвариантные меры и представления группы диффеоморфизмов. Романов Евгений Дмитриевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Квазиинвариантные меры и представления группы диффеоморфизмов 16

1.1 Основные определения и обозначения 16

1.2 Семейство квазиинвариантных мер 17

1.3 Представления на основе квазиинвариантных мер

1.3.1 Общая конструкций представлений 20

1.3.2 Унитарность и достаточное условие непрерывности 21

1.3.3 Достаточное условие неприводимости 23

Глава 2. Явный вид производной Радона—Никодима 26

2.1 Выражение производной Радона—Никодима с помощью стохастического интеграла Ито 26

2.2 Доказательства технических лемм

2.2.1 Зависимость приращений в среднем по мере Винера 32

2.2.2 Дискретное приближение для хронологической экспоненты 32

2.2.3 Предельное значение дискретных приближений производной Радона—Никодима 35

Глава 3. Неприводимые представления группы диффеоморфизмов полупрямой 39

3.1 Неприводимые представления специальной подгруппы диффеоморфизмов в одномерном случае 40

3.1.1 Непрерывность 42

3.1.2 Неприводимость 43

3.1.3 Неэквивалентность 45

3.2 Доказательства технических лемм 46

3.2.1 Существование последовательности диффеоморфизмов, усреднение действия которой сходится к нетривиальному оператору умножения на функцию 47

3.2.2 Перестановочность с оператором умножения на функцию специального вида 54

3.2.3 Отделимость точек пространства знакопостоянных непрерывных функций 56

3.2.4 Оператор умножения на непрерывную функцию с сохранением коммутационных свойств 57

3.2.5 Перестановочность с оператором умножения на произвольную функцию 58

Заключение 60

Список литературы

• Представления на основе квазиинвариантных мер
• Унитарность и достаточное условие непрерывности
• Зависимость приращений в среднем по мере Винера
• Существование последовательности диффеоморфизмов, усреднение действия которой сходится к нетривиальному оператору умножения на функцию

Введение к работе

Актуальность темы.

Одним из активно разрабатываемых направлений в теории представлений является изучение представлений бесконечномерных групп. С математической точки зрения интерес к этому направлению обусловлен желанием в том или ином виде обобщить на бесконечномерные группы богатые и глубоко разработанные результаты, относящиеся к конечномерным группам Ли или же к методам гармонического анализа. Так, в частности, группы петель¹ наследуют многие свойства локально компактных групп. С другой стороны, этот интерес обусловлен влиянием математической физики: в квантовой теории поля возникают калибровочные группы и группы токов, которые лишь в некоторых частных или модельных случаях могут быть сведены к относительно хорошо изученным группам петель.

На данный момент достаточно хорошо разработана часть топологической алгебры, посвященная структуре и представлениям локально компактных групп. Одним из активно используемых инструментов для этого случая является конструкция меры Хаара, которая инвариантна при левых или правых сдвигах, порожденных элементами группы. Но из обрат-

¹А. Пресли, Г. Сигал, Группы петель, Мир, М., 1990

ной теоремы Вейля² следует, что существование нетривиальной неотрицательной меры, лево (или право) квазиинвариантной относительно всей топологической группы, влечет ее локальную компактность. Следовательно, этот метод не может быть напрямую обобщён для изучения представлений групп, не являющихся локально компактными, в частности для группы диффеоморфизмов. Стоит отметить, что для группы диффеоморфизмов окружности существуют примеры мер, квазиинвариантных относительно действия диффеоморфизмов более высокой гладкости.

Другим подходом к исследованию представлений бесконечномерных групп является метод орбит. Как отмечает А.А. Кириллов³, этот подход позволяет получить результаты для случаев конечной их размерности или коразмерности, однако для общего случая не работает. Проблема состоит в отсутствии квазиинвариантных мер, из-за чего оказывается неприменим один из главных инструментов теории представлений в случае локально компактных групп, а именно метод индуцированных представлений. Однако, в некоторых частных случаях такие меры удаётся построить.

Первые работы по исследованию мер, квазиинвариантных под действием групп диффеоморфизмов различных многообразий, относятся к началу 1970-х годов и представлены в статьях Р.С. Исмагилова^4,5,6,7,8. В работе ⁴ строится мера на пространстве сходящихся подпоследовательностей окружности, доказывается её инвариантность относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, а так же неприводимость соответствующих унитарных представлений. В работах ^5,6 похожие идеи обобщаются на группу диффеоморфизмов компактного многообразия. В статьях ^7,8 вводится пуассоновская мера на пространстве конфигураций в Rⁿ, с помощью которой исследуются представления группы тождественных вне компакта диффеоморфизмов.

Другой подход по изучению мер на пространстве конфигураций (т.е. локально конечных подмножеств) некомпактного многообразия представ-

²A. Weil, L’integrtion dans les groupes topologiques et ses applications, Actual. Scient. et Ind., V. 869, Paris: Herman, 1940

³A.A. Kirillov, Infnite dimensional groups, their representations, orbits, invariants, Proc. Intern. Congr. of Math. (Helsinki, 1978), Helsinki, 1980, p. 705–708

⁴P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов окружности, Функциональный анализ и приложения, 5, N. 3, 1971, с. 45–53

⁵P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия, Функциональный анализ и приложения, 6, N. 1, 1972, с. 79–80

⁶P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия, Известия Академии Наук СССР, Серия математическая, 36, 1972, с. 180–208

⁷P.C. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства Rⁿ, n 2, Функциональный анализ и приложения, 9, N. 2, 1975, с. 71–72

⁸Р.С. Исмагилов, Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства Rⁿ, n 2, Математический сборник, 98(140), N. 1(9), 1975, с. 55–71

лен в статье А.М. Вершика, И.М. Гельфанда, М.И. Граева⁹; для пуассо-новской меры даётся описание соответствующего кольца представлений. Различные свойства дифференцируемых мер, в частности, их изменение под действием гладких отображений, исследованы в работах О.Г. Смоля-нова и Г.ф. Вайцзекера^10,11,12.

Отдельным направлением исследования является изучение представлений группы диффеоморфизмов, действующих в пространстве достаточно гладких функций. Для группы диффеоморфизмов окружности различные способы получения представлений такого вида, в том числе связанные с квазиинвариантными мерами, представлены в работах Ю.А. Нерети-на^{13,14,15,16,17,18}. Далее, квазиинвариантные меры, заданные на пространстве функций, построены в работах Е.Т. Шавгулидзе ^19,20. В статье ¹⁹ строится пример меры на пространстве непрерывных функций, квазиинвариантной относительно трижды гладких диффеоморфизмов окружности. В ²⁰ мера строится уже на группах диффеоморфизмов конечномерных многообразий, квазиинвариантных под действием подгрупп более высокой гладкости.

⁹А.М. Вершик, И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Представления группы диффеоморфизмов, Успехи математических наук, 30, N. 6, 1975, с. 3–50

¹⁰O.G. Smolyanov, H.v. Weizsacker, Diferentiable Families of Measures, Journal of Funct. An., 1993, 118, N. 2, p. 454–476

¹¹O.G. Smolyanov, H.v. Weizsacker, Change of measures and their logarithmic derivatives undersmooth transformations, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Math., 321, N. 1, 1995, p. 103–108

¹²O.G. Smolyanov, H.v. Weizsacker, Smooth probability measures and associated diferential operators, Inf. Dim. Anal. Quant. Probab., 2, N. 1, 1999, p. 51–78

¹³Ю.А. Неретин. Дополнительная серия представлений группы диффеоморфизмов окружности, Успехи математических наук, 37, N. 2(224), 1982, с. 213–214

¹⁴Ю.А. Неретин. Унитарные представления со старшим весом группы диффеоморфизмов окружности, Функциональный анализ и приложения, 17, N. 3. 1983, с. 85–86

¹⁵Yu.A. Neretin, Holomorphic extensions of representations of the group of the difeomorphisms of the circle, Mat. Sb., 180:5 (1989), 635–657

¹⁶Yu.A. Neretin, Some remarks on quasi-invariant actions of loop groups and the group of difeomorphisms of the circle, Communications in Mathematical Physics, 1994, Vol. 164, no. 3, p. 599–626

¹⁷Ю.А. Неретин. Представления алгебры Вирасоро и аффинных алгебр, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 22, 1988, с. 163–224

¹⁸Yu.A. Neretin, Categories of symmetries and infnite-dimensional groups, Oxford, 1996

¹⁹Е.Т. Шавгулидзе, Один пример меры, квазиинвариантной относительно действия группы диффеоморфизмов окружности, Функциональный анализ и приложения, 12, N. 3, 1978, с. 55–60

²⁰Е.Т. Шавгулидзе, Об одной мере, квазиинвариантной относительно действия группы диффеоморфизмов конечномерного многообразия, Доклады Академии Наук СССР, 303, N. 4, 1988, с. 811–814

В более поздних работах Е.Т. Шавгулидзе ^21,22,23,24 реализован способ получения квазиинвариантных мер на функциональных пространствах с помощью переноса меры Винера. Примеры подобных построений даны, кроме того, в статьях П. Малявена и М.П. Малявена ^25,26; далее, в статье А.В. Косяка ²⁷ рассматриваются представления группы диффеоморфизмов окружности на основе мер типа Шавгулидзе. Суть метода состоит в построении биекции, которая позволяет перенести винеровскую меру на интересующее пространство функций. В частности, в работе ²² строится отображение в пространство всех гладких диффеоморфизмов отрезка, сохраняющих концы на месте. В дальнейшем данный подход развивался различными авторами. Так, в статье П.А. Кузьмина ²⁸ доказывается квазиинвариантность мер Шавгулидзе относительно более широкого, в смысле гладкости, класса диффеоморфизмов, а в работе А.А. Досовицкого ²⁹ развивается данный метод построения квазиинвариантных мер для случая кусочно-гладких диффеоморфизмов и доказывается неприводимость соответствующей серии унитарных и попарно неэквивалентных представлений.

Все вышесказанное определяет актуальность темы диссертации.

Целью данной работы является построение нового семейства мер, квазиинвариантных относительно действия группы диффеоморфизмов конечномерного евклидова пространства и построение на их основе серии унитарных неприводимых представлений указанной группы, действующих в пространствах функций, квадратично-интегрируемых по этим мерам.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

²¹Е.Т. Шавгулидзе, Распределения на бесконечномерных пространствах и вторичное квантование в струнных теориях, V международная Вильнюсская конференция по теории вероятносткй и математической статистике. Июнь 1989: тезисы кратких сообщений. Вильнюс, 1990. с. 359–360

²²Е.Т. Шавгулидзе, Квазиинвариантные меры на группах диффеоморфизмов, Труды МИАН им. Стеклова, 217, 1997, с. 189–208

²³E.T. Shavgulidze, Some Properties of Quasi-Invariant Measures on Groups of Difeomorphisms of the Circle, Russ. J. Math. Phys., 7, N. 4, 2000, p. 464–472

²⁴E.T. Shavgulidze, Properties of the convolution operation for quasi-invariant measures on groups of difeomorphisms of a circle, Russ. J. Math. Phys., 8, N. 4, 2001, p. 495–498

²⁵M.P. Malliavin, P. Malliavin, Measures quasi invariantes sur certain groupes de dimension infni, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. 1, 311, 1990, p. 765–768

²⁶M.P. Malliavin, P. Malliavin, Integration on loop groups. I. Quasi invariant measures, Journal of Functional Analysis, 93, N. 1, 1990, p. 207–237

²⁷А.V. Kosyak, Irreducible Regular Gaussian Representations of the Groups of the Interval and Circle Difeomorphisms, Journal of Functional Analysis, 125, 1994, p. 493–547

²⁸P.A. Kuzmin, On circle difeomorphisms with discontinuous derivatives and quasi-invariancc subgroups of Malliavin-Shavguhdze measures, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 330, 2007, p. 744–750

²⁹A. A. Dosovitskii, Quasi-Invariant Measures on Sets of Piecewise Smooth Homeomorphisms of Closed Intervals and Circles and Representations of Difeomorphism Groups, Russ. J. Math. Phys., 18, N. 3, 2011, p. 258–296

1. Построено новое семейство мер, квазиинвариантных относительно действия подгрупп достаточно гладких диффеоморфизмов в Diff(R^d). Существенным отличием от существующих конструкций является получение результата для размерности d > 1.

2. Построена серия унитарных представлений указанной группы диффеоморфизмов. Предъявлены необходимые условия непрерывности и неприводимости таких представлений.

3. Для построенных мер предъявлена явная аналитическая форма производной Радона—Никодима. Использование стохастического интеграла Ито позволило сформулировать результат в инвариантной форме для более широкого, в смысле гладкости, класса диффеоморфизмов.

4. Доказана неприводимость получаемых представлений для случая действия группы диффеоморфизмов полупрямой с дополнительными ограничениями на значения диффеоморфизмов в нуле. Указано разбиение на классы заведомо неэквивалентных представлений.

5. Развит подход к доказательству неприводимости представлений группы диффеоморфизмов для случая, когда соответствующая производная Радона—Никодима может быть выражена через стохастический интеграл Ито.

Методы исследования. В работе развивается вышеописанный подход Е.Т. Шавгулидзе к получению квазиинвариантных мер на основе меры Винера и доказательству индуцируемых ими представлений. Ключевой особенностью является использование аппарата стохастического интегрирования, что позволяет, во-первых, сформулировать результат для более широких, в смысле гладкости, групп диффеоморфизмов и, во-вторых, естественным образом воспользоваться результатами эргодической теории при доказательстве неприводимости порождаемых квазиинвариантными мерами представлений.

Отдельно стоит сказать о деталях использовании аппарата стохастического исчисления. Естественность его применения сразу следует из использования меры Винера в качестве основы для построения новых мер. Если обходиться без него, то, грубо говоря, потребовав более сильные ограничения на гладкость, интеграл Ито можно свести к обычному интегралу Лебега, проведя интегрирование по частям. Такой подход реализован, например, в приведённой выше статье А.А. Досовицкого, и влечёт за собой необходимость последующего доказательства ряда технических лемм, в которых для соответствующего оператора представления снимаются ограничения на гладкость.

Несмотря на то, что данный подход позволяет получать доказательства с меньшим числом технических выкладок, он имеет свои ограничения. Например, существующий аппарат хорошо развит лишь для небольшого

класса функций, вычисляемых от траекторий Винеровского процесса, а именно для так называемых предсказуемых (то есть не зависящих от будущего). Кроме того, такие результаты как формула Ито общеизвестны для функций, зависящих лишь от значения винеровского процесса в конкретной точке, что делает их неприменимыми, в частности, в данной работе. Однако, современные результаты стохастического анализа дают возможность применять указанную технику для всё более широкого ряда задач. Так, в статье ³⁰ представляется операторная формулировка формулы Ито, а в работе Х.-С. Го и Ю. Пенга ³¹ даётся конструкция стохастического интеграла для подынтегрального выражения, которое может зависеть от конечной точки интервала интегрирования по времени.

Теоретическая и практическая значимость Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для исследования свойств группы диффеоморфизмов и построения соответствующего гармонического анализа на группе диффеоморфизмов. Методы, развитые для их получения, могут быть использованы для построения квазиинвариантных относительно группы диффеоморфизмов мер, получения соответствующих унитарных представлений и доказательства их неприводимости. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

– Семинар механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова «Бесконечномерный анализ и математическая физика» под руководством д.ф.-м.н., проф. О.Г. Смолянова и д.ф.-м.н., проф. Е.Т. Шавгулидзе (2011–2016 гг.) – Семинар механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова «Тригонометрические и ортогональные ряды» под руководством д.ф.-м.н., проф. Т.П. Лукашенко, д.ф.-м.н., проф. М.И. Дьяченко, д.ф.-м.н., проф. В.А.Скворцова, д.ф.-м.н., проф. М.К. Потапова. – XIX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2012 г.) – XX Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2013 г.) – XXIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (2016 г.) – Вторая российско-белорусская научно-техническая конференция «Элементная база отечественной радиоэлектроники» им. О.В. Лосева на базе ННГУ им. Н.И. Лобачевского (2016 г.)

³⁰R. Cont, D.-A. Fournie. Functional Ito calculus and stochastic integral representation of martingales, Annals of Probability, Institute of Mathematical Statistics (IMS), 2013, 41 (1), p. 109–133

³¹H.-H. Kuo, Y. Peng, B. Szozda, Ito Formula and Girsanov Theorem for Anticipating Stochastic Integrals, Communication on Stochastic Analysis 7, no. 3 (2013), p. 441–458

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в семи работах, три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК , , , а четыре - в тезисах конференций [4, , , . Работ, написанных в соавторстве, нет.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 65 страниц. Список литературы содержит 48 наименований.

Представления на основе квазиинвариантных мер

Рассматривается семейство квазиинвариантных под действием группы диффеоморфизмов мер на пространстве Q = С2([0,1], Md)xC1([0,l], М). В качестве действия рассматривается отображение Lg: Q — Г2, задаваемое соотношением Lg: (х,Х) ь-) (g(x),g (x)X), g Є Diff (M.d). Если понимать матричную компоненту как координатный репер, определённый вдоль компоненты кривой, то такое действие отвечает геометрии пространства: кривая переходит в свой образ, а репер преобразуется под действием дифференциала g в соответствующей точке кривой согласно формуле замены базиса. Для построения меры используется вспомогательное пространство Q = C QO,!], M.d) х С([0,1], Md) xRdx М . Пусть Z Є С([0,1], Md), X Є ( ([ОД], M ). С точностью до мультипликативной константы решением уравнения Z(t)=X l(t)X (t) относительно неизвестной Z является (правая) хронологическая T-экспонента T{t) = t Texp{J Z(T) dr}, определённая для \/Z Є С([0,1], Md) [32]. Таким образом, мож о но построить биекцию Ф: Q — Qf: Ф: (x(t),X(t)) ь- (X l(t)x (t),X l(t)X (t), ж(0),Х(0)), t Є [0,1]. Обратное отображение Ф-1: Q — Q имеет вид Ф : {z(t), Z(t), z,Z) ь- z + Z J T(T)Z(T) dr, ZT(t) ) , t Є [0,1].

Зададим теперь меру /І на ГУ как /іі /іг Мз Ай. Существенной часть построения является выбор Винеровской (покомпонентно) меры со свободным концом на С([0,1], Md) в качестве /І2. Более точно, определим С0([0,1], Md) = = {Z Є С([0,1], Md): Z(0) = 0 = Odxd}, тогда С([0,1], Md) Э Z(-) (Z0, 1 ) = = {Z(0), Z(-) — Z(0)) Є Md х С0([0,1], Md), таким образом С([0,1], Md) — Md х х С0([0,1], Md). Полагая на Md меру Лебега, а на С0([0,1], Md) - стандартную меру Винера W (с дисперсией т2), получаем меру Винера со свободным концом. Далее, для того, чтобы образ был эквивалентен, возьмём в качестве /ІЗ и /І4 меры с борелевскими, всюду положительными плотностями рз и РА соответственно. В качестве /іі в силу равенства u(t) = z(t) возьмём произвольную радонову меру. Таким образом, задав меру /І на ГУ, мы получаем меру v на Г2 с помощью биекции Ф.

Отметим, что в общем случае требуются лишь технические ограничения, необходимые для перехода от кратного интеграла по ГУ к повторному по компонентам пространства; однако образ такой меры может оказаться ортогональным исходной. Например, если взять -меру Дирака в точке x(t) как /ІІ, то образ будет сконцентрирован в точке g(x(t)), откуда, вообще говоря, следует ортогональность. Кроме того, при дополнительных ограничениях на группу в качестве меры на i, Z и даже Z0 можно брать подходящие дельта-меры.

Определим индуцированное действие V \ ГУ — ГУ как Ц = Ф о Lg о Ф-1. Таким образом, следующая диаграмма будет коммутативной: и и ф—1 ф \1 \1 Для д Є Diff (M.d) действие V можно представить в виде: U : {z(t), Z(t), і, Z) ь- {z(t), Z(t) + Q(t),g(z), g (z)Z), t Є [0,1], где Q(t) = X(t) l\q4x(t))] l\-nq (x(t))]X(t), или, в выражении через перемен Ч V V/ La V V / / J L d а V V / / J V ные пространства ГУ, Q(t) = (ZT(t)) l\q (z + Z fT(r)z(r) dr)} l\7q (z + Z f T(r)z(r) dr)]ZT(t). V V// Lav V / V / /J LdP - V / V / V о 0 Теперь можно пояснить мотивацию выбора пространств Г2, ГУ и оператора Ф. С одной стороны, наличие первой компоненты Q обусловлено желанием иметь множество функций такое, на котором группа диффеоморфизмов действует естественным способом, а именно переводит траекторию в её образ. С другой стороны, согласно изначальной идее на уровне пространства ГУ должна быть компонента, связанная с мерой Винера. Конструкция пространства лишь с одной такой компонентой более бедна, так что решено было рассмотреть две компоненты. С точки зрения механики и соображений типа теоремы Лиувил-ля довольно логичным оснащением траекторий является определение базиса вдоль них. Таким образом мы приходим к пространству Q. Далее удаётся подобрать Ф таким образом, чтобы действие V на первой компоненте О! было инвариантным, что даёт возможность положить на ней произвольную меру. При этом действие U на второй компоненте имеет вид тождественного с некоторой добавкой, что мотивирует к проверке соответствующих представлений на неприводимость. Наличие конечномерных компонент О! носит чисто технический характер и обусловлено желанием иметь в качестве Ф биекцию, однако действие на них может повлечь приводимость получаемых представлений.

Легко видеть, что построенная таким образом мера квазиинвариантна, однако для получения явного вида плотности преобразованной меры относительно исходной потребуются дополнительные ограничения. Обозначим через ц„ образ меры и, под действием L . По построению т = г г г г1. В силу ин ті diA did da9, вариантности L на первой компоненте P- = 1, P1 и p1 легко считаются для конкретного выбора конечномерной меры: например, для указанного выбора _ L 1 1 _ г . і 1 1 мер їй и ш имеем ri(z) = р з/Д \q (z)\, ri(z,Z) = р .,%{ \q (z)\. Содержа тельной частью является нахождение 2 . Этому результату будет посвящена г о г "± (і л \ ) P\z) la v /і d/j,4 v з p(Z) v n тельной частью является нахождение вторая глава настоящей диссертации.

Унитарность и достаточное условие непрерывности

Для проекции pn(U) функции U Є С0([0,1], Md) построим линейную (покомпонентно) аппроксимацию ln{pn{U)) с узлами в точках Uk = U(tk), к = 1,п, причем, так как мера Винера сосредоточена на С0([0,1], Md), то потребуем (ln(pn(U)))(0) = 0, то есть положим Щ = 0. Таким образом, 1п: М — С0([0,1], Md) является оператором, ставящим линейную аппроксимацию в соответствие проекции. Подразумевая сходимость в равномерной норме, имеем ln{U) — U.

Рассмотрим непрерывный ограниченный неотрицательный функционал F на С0([0,1], Md) и его дискретные приближения Fn(U) = F(ln(pn(U))). В силу непрерывности F для любой функции U Є С0([0,1], Md) имеем сходимость Fn(U) — F(U) при А — 0.

Стандартным образом вместо индикаторов можно рассмотреть любое плотное над С0([0,1], Md) множество функционалов; в данном случае удобно рассмотреть непрерывные ограниченные неотрицательные с ограниченным носителем. Приблизим меру Винера цилиндрическими мерами, а искомую производную вычислим с помощью предельного перехода. Так как V - непрерывная биекция, то мера квазиинвариантна, и, значит, предел будет существовать и не зависеть от выбора разбиений. Обозначим с помощью « » операцию сопряжения (в нашем вещественном случае - транспонирование). Для матрицы U Є M d имеем iiUU = ЩА. Под интегралом по Uk Є Md будем понимать покомпонентное интегрирование по {Ukjij, 1 і J GL Тогда интеграл от Fn(U) по мере Винера представляется в виде интеграла Лебега (подробнее в [35]):

Отображение V приблизим с помощью дискретных отображений L/n. Сокращая на нормирующий множитель, который зависит только от выбора точек разбиения и считая Uh = (L iZ-i,... ,Zn)),, получаем: Q(t) зависит от Z только через T(Z); задав Tn(t) = Tn(t, Zi,... ,Zn): получим отображение L/n Далее, X{t) = ZT(t)} Z(t) = X l(t)X (t), построим дискретное приближение для X(t). Для этого положим Zk = Х _х к А fc 1, к = l,n, Z = Хо, откуда находится явное выражение X через Z: л к ZTk .= Xk = Xk-\{E + AkZk) = ... = Z \\{E + A/ /), 1 к n

Замечание 2.1.2. Так как в общем случае [Zi,Zj] ф 0; то произведения пони k маются в порядке возрастания индекса: Y[{E+AiZi) = (E +AiZi)-(E +A2 2) ... (Е + AkZk). Это отвечает выбору порядка множителей в определении Т-экспоненты. Кроме того, считаем То = Е. Определение 2.1.1. Под sn(o5 п-і) будем понимать ступенчатую (покомпонентно) функцию, построенную по о? п-і в рамках текущего разби п ения, то есть sn(o5 n-i){t) = Y2 ,k-i\tk utk){t), где I[tfc_1;tfc)( ) - индикатор k=i [tk-i,tk) Tn теперь определим как ступенчатую функцию, построенную по {Tk}: Tn(t) = sn(To,... ,Tn_i)() Tn задаёт L/n заменой T(t) на Tn(t). Лемма 2.1.1. Якобиан Jj/n(Zi,... ,Zn) отображения L/n равен единице. Доказательство. Qn(t) не зависит от Zk при t tk.

Замечание 2.1.3. Существенно, что Tn(tk) не зависит от Zk- В противном случае, определённая ниже ступенчатая функция, приближающая Q на [tk-i,tk) с помощью д fc 1; зависела бы от Z(tk). В этом случае её значение в точке tk-i зависит от Z(tk), чем нарушает условие измеримости относительно соответствующей Винеровскому процессу а-алгебре в определении интеграла Ито как пределе интегралов от последовательности ступенчатых функций, и утверждаемое ниже было бы не верно.

Дальнейшее рассуждение аналогично второй части доказательства теоремы 1 из [29] и базируется на технической лемме 2.2.3. Так как lim ln{pn{U)) = U и lim ln(Lf(pn(U))) = L Q(U), то в силу выбора F и лемм 2.1.1 и 2.2.3 имеют место сходимости по мере: lim F(ln(pn(U))) = U lim F(ln(Lf (pn(U))))p (pn(U)) = F(L (U))p„(U) n—7 oo n—7 oo У У У В силу сходимости по мере можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Таким образом, можно считать, что VK-пв lim F(ln(L n(pn(Z))))pn(pn(Z)) = F(L (Z))pg(Z) П По теореме Егорова для Vm найдётся борелевское множество Ат меры 1 — 2 т на котором эта сходимость будет равномерной. Пусть Вт = f] ooAj, г=т откуда Вт образуют вложенную последовательность, W{Bm) 1 — 21_т, и выполнено: F(L AZ))pg(Z)W(dZ) = Нт F(ln(L (pn(Z))))p(pn(Z)) W{dZ) — nm J F\ n{L g (pn(Z))))pvq{pn{Z)) W(dZ) = Cg([0,l], M(j) = Нт F(L(pn(U)))W(dU) = F(U)W(dU) Cg([0,l], M(j) Cg([0,l], M(j) где первый переход верен в силу равномерной сходимости на то, второй - в силу неотрицательности функций F и рП, третий - в силу определения рП, и четвертый - в силу теоремы Лебега о мажорантной сходимости. Переходя к пределу в полученном неравенстве, по теореме Леви получаем

Зависимость приращений в среднем по мере Винера

Суть дальнейшего рассуждения состоит в доказательстве факта, что оператор S с указанными свойствами коммутирует не только с оператором умножения на функции специального вида, а и с оператором умножения на произвольную непрерывную функцию. Стандартным образом, для этого используется:

Утверждение 3.2.2. (Stone-Weierstrass, [41 J)- Пусть S - компактное хаусдор-фово топологическое пространство, C(S) - алгебра непрерывных вещественно значных функций на S. Пусть D(S) - подалгебра G(S), содержащая единичную функцию. Тогда D(S) = C(S) тогда и только тогда, когда D(S) разделяет точки S, то есть Vsi = S2 Є S 3f Є C(S): /(si) = f(s2).

Замечание 3.2.3. Для Ух 0 оператор Мх не является непрерывным. Доказательство. Разрыв наступает на траекториях, для которых в точности выполнено равенство х(1) = XQ. Пусть ZQ - такая траектория. Рассмотрим тра ектории Z из достаточно малой окрестности ZQ. Если Z такова, что х(1) Жо, то соответствующий оператор R равен на этой траектории 1, а иначе, если х(1) Хо, то он равен е х Т , где г — 1 при Z — ZQ. Ясно, что Х (1) = 0, откуда следует наличия разрыва. Таким образом, напрямую применить утверждение 3.2.2 нельзя. Однако по семейству {тх} можно довольно естественным образом построить необходимое семейство непрерывных функционалов. Лемма 3.2.4. Пусть S: HQ/ — HQ/ - линейный непрерывный оператор такой, что SVg = VgS для всех g Є G . Положим МХо: HQ/ — HQ : F(Z) І— (x \ j mx(Z)dx ) F(Z) = mXo(Z)F(Z). Тогда для Ух Є Ж. выполнено SMX = = MXS, причём {mx} непрерывны и разделяют точки .

Доказательство. Ясно, что для Ужо траектория ZQ из замечания 3.2.3 является единственной точно разрыва для функции гЖо, откуда сразу следует непрерывность тХо в любой точке . Далее, оператор Мх ограничен и является пределом линейных комбинаций операторов МХ, откуда в силу леммы 3.2.2 получаем SMX = MXS. Покажем, что семейство {тх} разделяет точки . По лемме 3.2.3 для VZi,Z2 Є найдётся тх такая, что mx(Z\) = mx(Z2), то есть {тх} разделяют точки {x (Z)}Zei}/. Заметим во-первых, что семейство функций {тх} разделяет точки тогда и только тогда, когда их разделяет семейство {тх}. Во-вторых, разделение точек равносильно разделению точек множества {xf(Z)}Zei}/, так как последние суть экспоненты от первообразных, а умножение на фиксирован ную всюду положительную z искомого свойства не меняет. В силу двух послед них равносильностей получаем искомое. 3.2.5 Перестановочность с оператором умножения на произвольную функцию Лемма 3.2.5 получается из леммы 3.2.1 довольно интуитивным образом: сначала показываем наличие коммутационного соотношения для некоторого семейства функций, потом замечаем сохранение коммутационного соотношения для класса непрерывных функций, после чего остаётся лишь применить утверждение 3.2.2. Формализация, однако, требует некоторой аккуратности, так как после умножения на произвольную функцию можно выйти из исходного пространства.

Лемма 3.2.5. Пусть S: HQ/ — HQ/ - линейный непрерывный оператор такой, что SVg = VgS для всех g Є G . Тогда SM = M S, где M - оператор умножения на произвольную непрерывную ограниченную функцию в HQ/. Кроме того, если М - оператор умножения на произвольную функцию из HQ/ и F Є HQ/ -ограниченная, то SMF = MSF. Доказательство. Пусть і і,і 2 - непрерывные и ограниченные. Для произвольного компакта К и ограничений FA и F2I на него выполнено к FA 1SM F2\ ) = {F\ 1M SF2 ). Действительно, в силу леммы 3.2.4 К к к для функций на К применимо утверждение 3.2.2, откуда замыкание алгебры, порождённой операторами МХ, содержит оператор М . (FUSM F2)-F1\,SM F2\ К К є

Далее, для произвольных непрерывных, ограниченных Fi, F2 и произвольного є 0 существует такой компакт К, что и (Fi, М SF2) — F\ )M SF2 є, откуда заключаем, что (F\)SM F2) = = (FI M SFQ). Так как функции вида F\, F2 плотны в HQ/, то SM = M S. Заметим, кроме того, что в силу комплексной линейности оператора S утверждение леммы будет верно и для комплекснозначных функций.

Для доказательства второго утверждения леммы будем приближать произвольную функцию а последовательностью {ап} ограниченных и непрерывных функция, сходящихся к ней в HQ/. Пусть Fo - ограниченная, с ограниченным носителем. Тогда для соответствующих операторов умножения Ма по доказанному выполнено (SManF,Fo) = (ManSF,Fo) = (ManF,S Fo) = (SF,ManFo) откуда, переходя к пределу, в силу теоремы о мажорантной сходимости, получаем (MaF, S Fo) = (SF, MaFo) о- (SMaF, Fo) = (MaSF, Fo) Так как функционалы вида FQ плотны в HQ/, то SMF = MSF.

Существование последовательности диффеоморфизмов, усреднение действия которой сходится к нетривиальному оператору умножения на функцию

Ключевой идеей доказательства теоремы 3.1.2 является лемма 3.2.1, из которой довольно техническим образом вытекает лемма 3.2.5, позволяющая перейти от коммутируемости с оператором представления Vg к коммутируемости с оператором замены аргумента Rg. Для получения этого результата оказывается достаточным предъявить последовательности диффеоморфизмов дп такую, чтобы поточечно gn(t) — t, но V9n при этом в слабом смысле сходились к нетривиальному оператору умножения на функцию. Из более детального рассмотрения становится ясно, что для этого, неформально говоря, дА должна действовать как нормированная разность ( -функций в двух близких точках, порождая нормально распределённую случайную величину. Так как эти величины будут зависимыми, то потребуется аналог закона больших чисел для слабо коррелированных случайных величин, который и конкретизирует необходимый способ слабой сходимости.

Утверждение 3.2.1. (С.Н. Бернштейн, [39, 40]) Пусть {&} последовательность случайных величин такая, что М& = 0, М равномерно ограничены, Cov(fc,m) = М ( то) р(\к — та\), причём ср(т) — 0 при т — сю. Тогда

Доказательство. Введём обозначение Д& := X —XQ. По построению, z является непрерывной положительной функцией при t Є [0,1]. Рассмотрим множество ограниченных функций меры 1 — є. На неём имеют место следующие оценки:

Далее в доказательстве этой леммы положим С = max(C1, С2, С3, О4, С5, С6). Преобразуем выражение для плотности р5 (In можно понимать как условное обозначение, имеется ввиду соответствующее тождество для экспонент):

С /g напрямую такой приём не проходит; вообще говоря, если бы он был реализуем, то никакое эргодическое усреднение "по Чезаро"не сходилось бы к чему-либо отличному от константы. Однако удаётся выделить основную часть, имеющую вид нормальной случайной величины, построенной по траектории броуновского движения: cr2 V 0j л/хж Последний переход верен, так как x (to) не зависит от Z(t) при t to Оценим оба интегральных члена аналогично прочим интегралам Ито. Заметим, что х (t) — х (to) = х (tf)(t — to) = U(t — to) и, кроме ТОГО, ypf — 1 = О (A, ).

Отметим, что fc является стандартной нормальной величиной относительно меры Винера с дисперсией а2: для а = 1 это напрямую следует из определения меры Винера, для прочих нормальность, очевидно, сохраняется, а дисперсия такой величины будет равна 1, так как для такой меры M (Z(t\) — Zfa)) = a2(ti — І2).

Далее, аналогично предыдущему имеем M Щк — q\ 1 + 3Mq 4 так как q 1 в силу отрицательности показателя. Остается оценить ковариации M ((qk — q)(qm q)) = MMt + ((qk — q)(qm — q)) = = M ( Mtx oqkqm — qMtx oqk — qMtx oqm + g2, где последний переход верен в силу независимости qk и q относительно Mt +. Имеем: Mt,x QkQm = Є 2a CMtxi

Отметим, что важна не только сходимость к нетривиальному оператору умножения на функцию, но и свойство поточечной сходимости самой последовательности к тождественному диффеоморфизму, что влечёт сходимость оператора к тождественному и, соответственного, среднего операторов представлений к в среднему от операторов умножения на плотность.