Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций 18
1. Инвариантные формы групп преобразований тора на себя 18
2. Построение кубатурных формулгдля периодических функций 24
Дополнение 39
Глава 2. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным 42
1. Декартовы произведения интерполяционных операторов 42
2. Формулыдля интегрирования функций, периодических по некоторым переменным 53
3. Декартовы произведения кубатурных формул 73
Глава 3. Асимптотически оптимальные последовательности кубатурных формул на решётчатых поверхностях 79
1. Последовательности функционалов на решётчатых по верхностях 79
2. Асимптотическая оптимальность последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на решётчатых поверхностях 89
Дополнение 96
Литература 102
- Построение кубатурных формулгдля периодических функций
- Формулыдля интегрирования функций, периодических по некоторым переменным
- Декартовы произведения кубатурных формул
- Асимптотическая оптимальность последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на решётчатых поверхностях
Построение кубатурных формулгдля периодических функций
В настоящей диссертации исследуются кубатурные формулы на традиционных "развёртывающихся" поверхностях и близких к ним по строению многообразий, В наиболее общей постановке построение и исследование формул на этих поверхностях ведётся в главе 3,
Из вопросов, связанных с интегрированием функций по поверхностям, ранее основное внимание уделялось интегрированию по поверхности сферы с использованием инвариантных формул, введённых Соболевым С, Л, Г 54 ] , Исследованиям такого рода посвящены, на прмер, работы Коняева СИ. [l5 - 17 ] , Лебедева В, И, [ 22 - 24], Салихова Г, Н, [ 51 ] Использование инвариантных кубатурных формул, развитых в этих и других работах, оказалось весьма полезным также при построении и изучении формул для периодических функций ( см. главу 1 ).,
В диссертации содержатся результаты, относящиеся как к классической постановке задачи приближенного интегрирования, так и к исследованию кубатурных формул в классах функций. Причём в пос-леднем случае на нормы последовательностей функционалов накладывается требование асимптотической оптимальности в пространствах типа/. " . г Выбор пространств типа L диктуется тем, что, во-первых, это классические и хорошо изученные пространства анализа, исследования в которых для конечной области Q не связаны, как правило, с конкретным видом Q , кроме локальных требований на характер границы. So-вторых, нормы BL 1(Q) Q меняются при ортогональных преобразованиях координат и являются степенями интег 7 ралов от однородных дифференциальных выражений. Строение нормы в L l(Q) проще, чем в пространствах типа Wp (Q) , Кубатурные формулы в пространствахWp №Уизучались Шойнжуровым Ці. Б,, например, в [59 - 63] , Рамазановым М. Д [47] и другими авторами. Дадим краткое изложение содержания диссертации, В 2 введения даны обозначения и определения, используемые в диссертации. Кроме того обсуждаются условиявыполнение которых будет в дальнейшем требоваться от границ рассматриваемых областей, а также возможность представления периодических функций как функций, заданных на некоторой поверхности, Глава 1, состоящая из 1, 2, посвящена построению и исследованию кубатурных формул повышенной точности для тригонометрических многочленов. Содержание большей её части нацелено на доказательство теоремы 4 этой главы. Поясним её смысл. В [20] показано, что формула прямоугольников с /тг + / узлами, на отрезке [0,7t ] точно интегрирует все тригонометрические многочлены степени : пг , и любая другая формула с меньшим числом узлов не обладает таким свойством. Теорема 4 утверждает, что в случае двух переменных аналогичным свойством на множестве j yj; # , / #) для тригонометрических многочленов степени .т + /обладают формулы прямоугольников с Z(m+iJ узлами, расположенными в так называемой ( см,[55] ) центрированной решётке. Доказательство теоремы 4 следует из теорем 2, 3 этой главы, при доказательстве которых используется представление периодических функций п переменных, как функций на /z--мерном торе І Заметное место в главе 1 занимают результаты, не относящиеся, вообще говоря, непосредственно к теории кубатурных формул, например, лемма 2, в которой исследуется структура групп, порождённых отражениями, преобразующих п-мерный тор на себя. Доказательству теорем 2, 3, 4 посвящен 2, а в параграфе 1 исследуются инвариантные многочлены некоторых групп преобразований пространства Е , отображающих тор на себя, используемые при доказательстве теоремы 2 и при построении примеров, В главе 2, состоящей из 1 - 3, рассматриваются вопросы, связанные с асимптотической оптимальностью кубатурных формул в пространствах функций, периодических по некоторым переменным, К таким функциям приводит задача об интегрировании по боковой поверхности цилиндра, Исследуемые кубатурные формулы разлагаются в декартово . произведение формул меньшей размерности, В этой главе доказываются, в частности, следующие результаты, В 2 предлагается алгоритм построения асимптотически оптимальных последовательностей решётчатых весовых кубатурных формул для широкого класса весовых функций и параметров о , лъ , в л- . пространстве / -мерных периодических функций Lpm(Q), Обоснованию этого алгоритма посвящена теорема 1, которая обобщает результат из [35]] . Содержание теоремы 3 относится к исследованию кубатурных формул для функций, периодических по S переменным, из классов Lр (Q), Она утверждает, что декартово произведение формул, рассматриваемых в теореме 1 и весовых кубатурных формул, построенных с помощью операторов из последовательности интерполяционных операторов с регулярным пограничным слоем, асимптотически оптимально в ряде пространств// (О.) , При этом предполагается, что весовая функция в /2 представима в виде произведения соответствующих функций, зависящих от меньшего числа переменных. Невесовой вариант теоремы 3 рассмотрен в [42 1. Теорема 4 утверждает, что для весовых функций, не зависящих от переменных, относительно которых функции из Lm 6(Q)n&WQJW р ны, при любых р , т , рт /г, существуют кубатурные формулы, разложимые в декартово произведение формул тем же образом, что и в теореме 3. При доказательстве этих теорем используются декартовы произведения интерполяционных операторов, свойства которых изучаются в 1«
Формулыдля интегрирования функций, периодических по некоторым переменным
Правая часть последнего равенства не зависит от выбора Мв Если зафиксировать координаты точки М с номерами к и Ік-і, то размерность поверхности, в которой меняются остальные КССр-динаты М , равна іг-і .Поэтому 2 CL.; & и гиперплоскость /3 совпадает с ri .
Из уравнения гиперплоскости /у видно, что отражение Т оставляет на месте цилиндр бк , тривиально воздействуя на остальнне. Пользуясь (2), заметим, что при отражении г точка /V изменяет только ( K- )-JD и /?/ґ-ую координаты.
Пусть О- порождена отражениями г/; г ..v /,ГД..v Srf ,.. г причём отражения с верхним индексом г оставляют на месте цилиндр C-L , / є { і, /г j . Рассмотрим группы / , порождённые отражениями Г ,..., . . Ясно, что любое преобразование tfв ( изменяет у точек М є Т только координаты с номерами і і и iV . Поэтому 6{ (\ G-- g , / чб / , подгруппы (1 перестановочны между собой и G(Ci} C-L , Так как порождается подгруппами Сі , то лемма доказана,
Следствие. Совокупность базисных инвариантных форм подгрупп О і » іє\1 ) является множеством базисных инвариантных форм группы Q .
Справедливость следствия вытекает из леммы 1 и того, что группы &і действуют только на пространствах Е , порождён-ных векторами (0,..., 0} JC L_if,Xz-f 0} ...,0)в E " і Є { }.
Пример 1, Рассмотрим в лемме 2 группы - , с єі 7 г\ , изоморфные группе преобразований правильного -угольника на себя, = / «у - группа преобразований на себя поверхности 7 . Так как для любого I порядок группы ty равен 2(т + 4) [52, стр. 194 J , то G имеет две базисные инвариантные формы: У 1,1 (%ix i) = хи5х& -4 л/, при этом сІерУі т+І. Из следствия леммы 2 вытекает, что группа. О имеет п базисных инвариантных форм У і 1 , У і % , tel a] .
Если рассматривать следы функцийУ (xgti,i,xz-l) %;( z/-f 2&) на поверхности 7 , то для всех Ы\4, л) форма У/ на п тождественно равна 1, а степень формы У; % не может уменьшится из-- за однородности У і и алгебраической независимости форм ;/:, У 1,1 Lelffn] . При переходе к параметрическим уравнениям Тп, (В.4), учитывая, что Сіі=г&, є{ л} , Формы у- /У переходят в тригонометрический полином степени /п+1 ,
Если О- не является группой, порождённой отражениями, то структура множества Р может быть довольно сложной.
Пример 2» Пусть G - подгруппа группы O(Za) , порожденной такими преобразованиями, которые могут либо поменять местами пары координат ._f,лг.) , ie [in } , у точний =(xf,xZy.yX/l)9 не изменяя порядка координат внутри пары, либо изменить знак у всех координат точки на противоположный. Ясно, что Q - изоморфна прямому произведению группы второго порядка и симметрической группы А-го порядка ( группы всех подстановок я--ой степени ), В этом случае Q имеет 6 инвариантных форм второго порядка: 1) Если х « уэел формулы (3), то множество&(хс) хс\дєЩ, состоит из узлов этой формулы, причём коэффициенты при всех узлах из Q (х) одинаковы. Множество G(x) называется «орбитой точки Xе , Важную роль в инвариантных формулах играет следующая теорема. Теорема 1 25, стр. 130 -инвариантная формула (3) точна для всех функций конечномерного пространства г инвариантного относительно & , тогда и только тогда, когда она , точна для всех «инвариантных функций из Ч В [25 эта теоРема сформулирована для весовых кубатурных формул, которые мы рассматривать не будем. Из теоремы 1 вытекает, что формула (3) обладает т«свойством на области Q , если она точно интегрирует все функции (? из Рт (] Р . Пример 3. Рассмотрим группу О- преобразований поверхности S однополостного гиперболоида xf+x -x = / , порождённую отражениями 2/ от плоскостей #/ = О вида G-i х G-d Q3 , где ( порождена Ті , 1=1,2.,3 . Тан кз.к группа имеет единственную базисную инвариантную форму х в В , то на основании леммы 2 базисными инвариантными формами 0- можно считать формы -х , Ы 1 Л,3 Пусть G0 - часть поверхности , для которой \х ( / , Построим кубатурную формулу, обладающую 3-свойством на поверхности Яс . Так как все инвариантные многочлены степени 3 могут быть только линейными комбинациями форм $i , то искомая кубатурная формула должна точно интегрировать эти формы и постоянные. Заметим, что на 3 функция X линейно выражается через х и JC/ : х = х + Х - /, поэтому требование точности на xj излишне.
Декартовы произведения кубатурных формул
Выполнение свойств полунормы следует из определения полу-нормы в Lp (Q) , Заметим, что если П область из t ,то Lp (М) совпадает с соответствующим пространством ир в обычном смысле.
Определение 2. Последовательность функционалов {/ ] вида (1) называется последовательностью функционалов погрешности с пограничным слоем на h , если {С } последовательность функционалов с пограничным слоем и для любых n- , f : Функционал С общий сопутствующий функционал последовательностей {/. J % t.\ift\ назовём сопутствующим функционалом последовательности (/ ] из определения 1. Если {/ ] ,i[{,t J,- последовательности с регулярным пограничным слоем, то последовательность \ будем называть последовательностью с регулярным пограничным слоем на М . Инвариантность сопутствующего функционала относительно преобразований на себя множества в , обеспечивает равенство rt тех коэффициентов кубатурных формул, функционалы погрешности которых образуют последовательности с пограничным ( регулярным пограничным ) слоем, при узлах, достаточно далеко отстоящих от границыМ , В самом деле, любая точка « є Г (М) достаточно далеко отстоящая от дМ , является узлом кубатурной формулы, соответствующей функционалу jo& из (1) при некотором і = Л/. Пусть з? - множество -Af таких, что -узел кубатурной формулы, соответствующей функционалу у? . Сдвигая jOJ1 до совпадения с А-Л,» вдоль геодезических из Л , независимо от направления сдвиг а, по лучим, что «я займёт для разных j i 9$є&, в различные места ВуоЛ. , причём при пробегании g по $е заняты будут все места и каждое не более одного раза. Остаётся заметить , что S Cjj = А ( см. определение 2 ). Очевидными примерами решётчатых поверхностей являются: боковая поверхность цилиндра, поверхность тора = Sf & Sf , поверхности некоторых параллелипипедов с исключёнными вершинами. Пусть Р - изолированная особая точка поверхности М и а) - её окрестность. Покажем, что ш изометрична конической поверхности. В самом деле, wi = aj\P - развёртывающаяся поверхность, следовательно св1 является огибающей однопараметрического семейства плоскостей. Так как Ре а)/ , то ші не может быть ни цилиндрической, ни образованной касательными пространственной кривой поверхностью, поэтому (27, стр. 93] #V есть часть конической поверхности. Опишем конические решётчатые поверхности, характеризуя их величиной угла при вершине развёртки. %сть S - коническая поверхность, о - некоторая её направляющая, Q - область, являющаяся развёрткой поверхности О S\0 , Kj совокупность прямых в Е образующих в точках пересечения некоторую решётку на Q , а К - множество геодезических на О , соответствующих им при развёртывании, (J - угол при вершине развёртки, - одна из сторон Q , ДРУгая граница Q . При этом считаем, что 4 совпадает с осью абцисс. Если о є К пересекает линию разреза, тоу? отображается при развёртывании в два луча, лежащих на прямых из лу , одна из которых joj пересекает Ci под некоторым углом в , а другая -J под углом. (f + в ( рис. 2 ). Есшлр///joj, то (f + 8= в (madft), откуда (/ кп, К - 1,2,,.. При/?, у продолжим геодезическую у? . При раз вёртывании образ продолжения у? пересекает под углом, cf+V) а его продолжение пересекает под углом Р + 8 , По этому справедливо сравнение 2if +8 = 8 (mouyv), решением которого служат значения cf « / j , /с = 1,2,... Если одна и та же решётка может быть задана как с помощью Kj і так и с помощью другой системы прямых Kz , то получим ещё сравнение 3cf = О (modft )t решением которого являются значения (J) = К - , К - 1,2,... . В этом случае можем получить множество узлов из объединения нескольких решёток, например, "шестиугольные" решётки ( см. рис. 3 ). На рис. 3 даны некоторые примеры построения решёток: a) y=j вершина РеГ/jcJ/ h б) (f шЖ Р Г(л0\Д)\ъ) (f mljL , "шестиугольная" решётка, не содержащая вершины; г) треугольная ре-шетка, =- .
Асимптотическая оптимальность последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на решётчатых поверхностях
Окружность jf является одномерной решётчатой поверхностью с шагом решётки А - делителем длины окружности. Из леммы 2 следует, что всякий А"-мерный тор 1 =5f 8 ... 8 Si также является решётчатой поверхностью. Очевидно, решётчатой является любое его подмножество вида iKQ% где Q - область из Е .
Построим для М и А И ( Н - некоторое множество параметров ) множество точек следующим образом. Возьмём g М иХ/fje = [Лу , ...,3Q] -совокупность К линейно независимых векторов, касательных к М ,в точке J , YfJ геодезическая кривая поверхности М ,касательная к вектору JC t- t % є Ґ. (j?)t I- 1,..., К. Разобъём () равномерно с шагом 2.А точками и в каждой точке РЇ определим реперЗ у параллельнымпереносомX($) вдоль Ф. ( ) , і є { / к } Для каждой точки ! и репераX(gf J выполним такое же построение. Множество точек пересечения всех геодезических линий, полученных с помощью такого построения, при дальнейшем продолжении этого процесса, обозначим через L (JC(f)y ҐІ) Определение 5. Пусть {//. } . _ - евклидово покрытие поверхности М , тогда L PCff)} М) называется правильной решёткой, если для любого i[1,t J найдётся такая точка Л- є / , что где реперуС/vl.J получен из Х.() путём параллельного переноса вдоль геодезической ($} Л{) , Из определения 5 видно, что для правильной решётки L (X( )tl) все множества фиксированным і и произвольным совпадают. Лемма 3. Поверхность ҐІ решётчата тогда и только тогда, когда она обладает евклидовым покрытием [П }. rfj-, и для любого Я h0 , rt є Н , существует правильная решётка поверхности М . Доказательство. Пусть П - решётчатая поверхность, у. , \М;\ I it] І Г(Д)- отображения, евклидово покрытие и решётки из определения 4 соответствующие П \ П» 5-ая строка матрицы A , 1 1= . РешёткуГ(АД), ЛеН , можно предствг вить как множество к групп прямых с направляющими векторами As S& \i } причём соседние точки на прямой из 5«ой группы расположены на расстоянии Лй3 . Пусть - прямая, принадлежащая одной из групп прямых по« рождающих Г(М) и t\\Q44 j Так как = #/%, TOff/OgJ - геодезическая кривая на /Y, . Предположим, что для некоторого / пересечение f П/Vyy TO-гда Vі определяет однозначно геодезическую кривую V на П:3 при этом ff I) XJ - геодезическая на М4 U Mj , Продолжая этот процесс, получим геодезическую на М . Такое же построение выполним для всех прямых, образующих Г(/1&)и нетривиально пересекающихся с Qf , затем перейдём к подобным построениям относительно Q и так далее. Покажем, что получающаяся при этом система геодезических порождает правильную решётку на поверхности ҐІ , Выберем »е Г{/вії)?\$2уі в точке ==#" определим репер JC(f J» состоящий из касательных векторов "Х » -Х « #/ » к построенным геодезическим, проходящим через Условие (11) для множества теперь выполняется ввиду изометричности О , ccl t] , и выполнения условия (9) для поверхности М , при этом Обратно, пусть L, 0С(), М) - правильная решетка, для всех « Выберем матрицу л таким образом, чтобы её 5-ая строка состояла из координат векторауС , S{/, J . Из евкли-довости покрытия ясно, что изометрии О , І Є f li можно подобрать так, что условие (9) выполняется.