Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазиаиалитического вектора. 27
1. Вспомогательные сведения 27
1. Пространства, типа Банаха, принцип не подвижном точки 27
2. Пространства С. Л. Соболева. Потенциальные и сингулярные операторы по области 31
2 Уравнения диффузии 34
1. Уравнения диффузии 34
2. Граничные задачи 3(3
3. Квазилинейная модель 38
4:. Линейная задача 40
1.. Постановка задачи 40
2. Однозначная разрешимость 41
3. Теорема устойчивости 42
5. Разрешимость к единственность решений квазилинейной задачи 45
1. Теорема существования. 45
2. Теорема единственности 47
6. Однозначная разрешимость квазилинейной задачи Дирихле с к ваш диагональными матрицами коэффициентов 51
7. Гидродинамическая интерпретация результатов 53
1. Перенос примесей фильтрационным потоком 53
2. Тепловая двухфшпая фильтрация 53
3. Сжимаемая жидкость (газовая динамика) 54
4. Нелинейная фильтрация 55
Глава 2. Однозначная разрешимость задачи Дирихле с матрицами коэффициентов.
1. Поста ковка задачи. Обзор результатов
2. Уравнения с треугольными матрицами
1. Разрешимость "треугольной " задачи
2. Теорема единственности
3. Уравнения с квазитреуголы-шми матрицами
4. Неоднородные системы с ограниченными матрицами
5. Численная аппроксимация
1. Постановка, задачи
2. Сеточные уравнения. Сходи МОСТІ) метода итераций
3. Численная реализация
Глава 3. Гидродинамика тел со струями (схемы Шурыгина)
1. Введение
2. Многолистпые многоугольники
1. Постановка задачи
2. Априорные оценки и локальная единственность решений
3. Смешанная краевая задача с параметрами
4. Схемы Шурыгина
1. Одна свободная граница
2. Несколько свободных границ
3. Теорема существования и единственности струйных течений
Глава 4. О разрешимости краевых задач на римановых поверхностях.
1. Вспомогательные сведения
1. Основные топологические понятия теории римановых поверхностей
2. Дифференциальные формы
2. О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения
Векуа на риманоюй поверхности
Заключение
- Пространства, типа Банаха, принцип не подвижном точки
- Уравнения с треугольными матрицами
- Многолистпые многоугольники
- Основные топологические понятия теории римановых поверхностей
Введение к работе
Актуальность проблемы. Процессы тепломассопереноса гидродинамическими потоками жидкости описываются системами эллиптических уравнений, представленных в комплексной форме. Для таких систем построена теория краевых задач, наиболее изученной из которых, является задача Дирихле для линейного уравнения второго порядка, коэффициенты которого зависят только от ж, у.
В работах К. Миранда (1957), М. И. Вишика (1961), А. Н. Вольперта (1961), А. В. Бицадзе (1966) основным подходом к исследованию этой задачи Дирихле является представление ее решений с помощью какого - либо потенциала и сведение к уравнению с вполне непрерывным оператором. При этом безусловная разрешимость задачи Дирихле доказывается при очень жестких ограничениях на коэффициенты оператора (вплоть до их постоянства) или на размеры области. В работе О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой (1973) предложен метод разрешимости задачи Дирихле на основе априорных оценок ее решений применительно к квазилинейному уравнению с векторным оператором в главной части. В. Н. Монаховым (1977) была исследована разрешимость задачи Гильберта для квазианалитического вектора с помощью интегральных операторов Т и S = дТ/dz.
При обтекании тел потоками жидкости с достаточно большими скоростями движения возникают струйные течения, когда поток отрывается с поверхности тела и в результате за телом образуется область постоянного давления (каверна), ограниченная неизвестными поверхностями (струями).
В.М. Шурыгин (1966) для описания топологически сложных гидродинамических течений предложил моделировать дополнительные потоки жидкости (с заданными или искомыми границами) помещением каждого из таких потоков на свой лист римановой поверхности (так называемые схемы Шурыгина). В.Н. Монаховым (1977) для искомого решения системы уравнений, отвечающей схеме Шурыгина, доказаны априорные оценки, обеспечивающие его локальную единственность.
В гидродинамике (в частности, в так называемой схеме обтекания Эфроса) и теории фильтрации имеют приложения краевые задачи Векуа на римановых поверхностях. Линейная задача Векуа широко изучалась ранее (А. И. Бикчантаев (1987), Juri L. Rodin (1987)). Ими была установлена нетеровость задачи и вычислен ее индекс.
В.Н. Монаховым и Е.В. Семенко (2003) была предложена корректная постановка линейной краевой задачи сопряжения аналитической функции и доказана ее однозначная разрешимость.
Цель работы. В диссертации доказывается однозначная разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических систем уравнений с матрицами Ql,Q2 близкими к диагональным и треугольным. Доказывается существование и единственность
струйных течений, отвечающих схеме Шурыгина, а также разрешимоств краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановой поверхности.
Методы исследования. Основнвім методом исследования однозначной разрешимости линейной задачи Дирихле является построение априорной оценки ее решения в предположении, что коэффициенты уравнения принадлежат пространству Lp , р > 2. В квазилинейном случае разрешимоств доказывается путем построения вполне непре-рвівного оператора задачи, к которому применим принцип Шаудера, а единственноств - наложением условий слабой связанности уравнений системы.
Научная новизна. Все основные резулвтаты, изложенные в диссертации являются новыми и подтвержденві полными доказателвствами.
Теоретическая и практическая значимость. В основном работа носит теоретический характер, ее резулвтаты могут бвітв исполвзованы при численном решении задач тепломассопереноса.
Публикации и апробации автора. Основные резулвтаты диссертации опубликованы в 4 работах автора.
Материалві диссертации неоднократно докладвівалисв на международнвіх и российских конференциях: "Математические проблемы механики сплошнвіх сред" (г. Новосибирск 1999, 2000, 2001 гг. ), "Математические методві в механике природнвіх сред и экологии" (г. Барнаул 2002 г.).
Резулвтатві диссертации доложены также на семинарах : института гидродинамики им. М.А. Лаврентвева СО РАН "Математические проблемві механики сплошнвіх сред" под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2006), лаборатории теории функции института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В. В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева А. В. (2006), кафедры дифференциалвнвіх уравнений Новосибирского государственного университета "Теоретические и ввічислителвнвіе проблемы задач математической физики" под руководством д.ф.-м.н. профессора Блохина А. М. (2006).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четвірех глав, разбитвіх на параграфві и списка литературві.
Пространства, типа Банаха, принцип не подвижном точки
Последовательность /п Є Е называется фундаментальной, если для любого є 0 найдется N{z) такое, что [/„ - /т[ є при п, т N(s).
Будем называть комплексное линейное пространство Е полным, если каждая фундаментальная последовательность сходится по норме к элементу этого пространства.
Комплексные линейные нормированные полные пространства принято называть пространствами типа Банаха (В — пространствами).
Множество ЯЛ банахова пространства В называется компактным, если всякая бесконечная последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся по норме В подпоследовательность.
Лемма 1 (Арцела - Асколи). Необходимыми и достаточными условиямлі. ком,пакт-пости множества ЯЯ С C(D) являются его равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность по норме С, т.е.
Уравнения с треугольными матрицами
Непрерывны по w при почти всех z Є А , матрицы /Д Лк удовлетворяют условиям (I). матрицы цк дополнительно удовлетворяют условиям. (5) 1 и выполняется, предположение
Тогда задача (1), (2) ] имеет по крайней .мере одно решение w. удовлетворяющее неравенству (5).
При дополнительных предположениях (j). {jj) 5 глаиы I и услоїшя (і) пункта 2 2 на коэффициенты (/А А) уравнения (1) К 1 при А1" = 0, к = 1.2, полностью аналогично 2 доказывается единственность решения.
Теорема 2 (единственности). Пусть для элементов матриц (/А Ак) и компонент вектора F выполняются условия (j), (jj) !j5 главы, їй условие (г) 2. Тогда задача (1). (2) \\ \ имеет не более одно-го решения.
Многолистпые многоугольники
Формулы (I). (2) при п = 1 отвечают обтеканию конечного полигона Р. а при п = 2 — течению по схеме Эфроса с заданной формой струй. Случаи я 3 отвечает собственно схеме Шурыгина и при принятых нами предположениях на полигоне Р, либо отсутствуют точки разветвления и схода потока, либо находятся в вершинах полигона Рк.
Постоянные) и rt (Ї = 1.3 - п) считаю ] см заданными. \— должны отыскиваться из соответствующей полигону Р системы уравнений [13. е.162] при произвольном выборе д. пух вещественных констант -:
Основные топологические понятия теории римановых поверхностей
Здесь \\!±(t) граничные значения на L функций \\г±(г), z Є D±-, A,B,F — (ОД) дифференциалы по z. G.g — функции наі, G(l.) ф 0. Задачи типа (1). (2) на римановой поверхности имеют приложения в гидродинамике (в частности, в так называемой схеме обтекания Эфроса) и теории фильтрации J3,26.
В случае, когда В = 0, A,F — пе зависит от w. .задача (і). (2) широко изучалась ранее [30, 31]. В этих работах установлена нетероіюсть задачи и вычислен се индекс: і — I" — к - р -I- 1, к = ind G(t) — приращение аргумента G(l) вдоль L, деленное па 2тг; І — число решений однородной (F.g — 0.) задачи, V- число условий разрешимости. Также было установлено, что числа / и / не являются, вообще говоря, топологическими инвариантами А и G, т.е. могут меняться при непрерывном их изменении. Задача (I). (2) в нелинейном случае ранее на римановой поверхности ие рассматривалась.
Отметим, что, как обычно, при исследовании разрешимости задачи сопряжения необходима корректная постановка задачи, т.е. введение ь эту задачу дополнительных условий, обеспечивающих существование, единственность решения и его непрерывную зависимость от исходных данных (X, BtF, G,g). Корректным постановкам красных па-дач для аналитических функций (A.B,F = 0) посвящен цикл работ В.Н.Монахова и Е-.В.Семенко (библиография в [32{).