Конструктивные характеристики и теоремы вложения обобщённых классов Никольского Исмагилов Тимур Фаритович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Распасовка функций 15

1.1 Вспомогательные утверждения 15

1.2 Теорема о распасовке функций 18

1.3 Приближение углом членов распасовки 23

1.4 Модули гладкости членов распасовки 42

Глава 2. Класс функций SH(pi,p2,ai,a2,(3i,(32) 49

2.1 Вспомогательные утверждения 50

2.2 Конструктивная характеристика класса SH(p\}Р2,«ъ«2,АФ2) 59

2.3 Теоремы вложения разных метрик 60

2.4 Следствия теорем вложения разных метрик 69

2.5 Теоремы о следах функций 74

2.6 Следствия теорем о следах 83

Глава 3. Класс функций SHp 87

3.1 Вспомогательные утверждения 87

3.2 Конструктивная характеристика класса 90

3.3 Теорема вложения разных метрик 91

3.4 Теорема о следах функций 96

Заключение 110

Список литературы 1

• Теорема о распасовке функций
• Модули гладкости членов распасовки
• Конструктивная характеристика класса SH(p\}Р2,«ъ«2,АФ2)
• Теорема вложения разных метрик

Введение к работе

Актуальность темы.Настоящая работа посвящена изучению некоторых классов функций нескольких переменных. При этом основное внимание уделяется получению для этих классов конструктивных характеристик и теорем вложения.

Впервые задачу о наилучшем приближении функций поставил в середине прошлого века П.Л. Чебышев¹.

В начале 20 века в работах Лебега, Валле-Пуссена, Джексона и С.Н. Бернштейна возник вопрос о получении конструктивных характеристик для функций, обладающих теми или иными структурными свойствами (дифференцируемостью, условием Липшица, и т.п.); то есть возник вопрос о получении для этих функций порядка их наилучшего приближения при помощи тех или иных агрегатов.

В дальнейшем ответу на этот вопрос было посвящено большое число работ. Однако и до настоящего времени в этом направлении имеется целый ряд нерешенных задач.

Хотя получение конструктивных характеристик для тех или иных классов функций представляет самостоятельный интерес, в данной работе они, кроме того, играют существенную роль при доказательстве теорем вложения.

Первая теорема вложения была доказана Харди и Литтлвудом в 1927 году.

Начало общей теории вложения пространств функций многих переменных было положено в 30-х годах С.Л. Соболевым, который рассматривал пространства ТУ-функций, имеющих ограниченные производные.

¹ Чебышев П. Л. Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением функций // ПСС Чебышева. 1947. № 2. С. 152—236; Чебышев П. Л. Теория механизмов, известных под именем параллелограммов // ПСС Чебышева. 1947. № 2. С. 23—51.

²Lebesgue Н. Sur la representation approchee des fonctions // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1908. No. 26. Pp. 325-328.

³ Vallee Poussin C. J. d. 1. Note sur ['approximation par un polynome d’une fonction
dont la derivee est a variation bornee // Bull. Soc. Math. Belgo. 1908. No. 3. Pp. 403—410.

⁴ Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze
rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung.
Gottingen : Dieterich, 1911.

⁵ Бернштейн С. О наилучшемъ приближеніи непрерывныхъ функцій посредствомъ
многочленовъ данной степени // Сообщ. Харьков, матем. общ. Вторая сер. 1912. С. 49—
194.

^Hardy G. Н., Littlewood J. Е. A convergence criterion for Fourier series // Math. Z. 1928. Vol. 28, no. 4. Pp. 612-634.

⁷ Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / под ред. О. А. Олейник. 3-е изд. Москва : Наука, 1988. 336 с.

Принципиально новый вклад в развитие этой теории был сделан СМ. Никольским⁸, создавшим теорию вложения Н-классов и привлекшим для её исследования конструктивные характеристики рассматриваемых классов.

С этого времени теория вложения начинает быстро развиваться. Вводятся и изучаются новые классы функций, интерес к которым вызван как различными задачами математической физики, так и естественными обобщениями изученных ранее пространств.

В 1963 г. С. М. Никольским и Н. С. Бахваловым были введены в рассмотрение й'Д^-классы функций с доминирующим смешанным модулем гладкости. Для этих классов функций уже не удавалось найти конструктивные характеристики в терминах приближения функций полиномами и поэтому СМ. Никольский предложил новый метод исследования таких функций: он предложил заменить теоремы о конструктивных характеристиках теоремами о представлении функций рядами из тригонометрических полиномов. В дальнейшем этим методом исследовались и некоторые другие классы функций с доминирующим смешанным модулем гладкости.

Однако попытка доказать этим методом теоремы вложения для некоторых классов функций (смешанный модуль гладкости которых удовлетворяет другим условиям) либо не приводит к цели, либо приводит к результатам, которые уже не являются точными. Поэтому встал вопрос об изучении таких классов функций каким-либо другим методом. М.К. Потаповым было предложено изучать такие классы функций при помощи приближения углом.

Цель работы. При помощи приближения углом получить конструктивные характеристики и с их помощью теоремы вложения разных метрик

⁸ Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их приме
нение в теоремах вложения в смешанной норме // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1951.
№ 38. С. 191—202.

⁹ Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетво
ряющей кратному условию Гельдера // Сиб. матем. журн. 1963. № 6. С. 1342—1364.

¹⁰ Бахвалов Н. С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограничен
ными производными // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1963. № 3. С. 7—16.

¹¹ Потапов М. К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math. balk. 1972. № 2.
С. 183—198; Потапов М. К. Теоремы вложения в смешанной метрике // Тр. Матем.
ин-та АН СССР. 1980. № 156. С. 143—156; Потапов М. К. О приближении углом //
Ргос. Conf. on Constructive Theory of Functions (Approximation Theory). 1969. Budapest:
Akad. Kiado. 1972. C. 371—399; Потапов M. К., Симонов В. В. О соотношениях между
модулями гладкости в разных метриках // Вестник московского университета, Серия
1 Матем. Механ. 2009. № 3. С. 36—43; Потапов М. К., Симонов Б. В., Тихонов С.
Теоремы вложения классов С.М.Никольского // Современные проблемы анализа и пре
подавания математики, Материалы Международной научной конференции, посвящен
ной 105-летию академика С.М.Никольского. Изд-во МГУ, 2010. С. 33—34; Potapov М.,
Simonov В., Tikhonov S. Mixed Moduli of Smoothness in L_p, 1 < p < oo // Surveys in
Approximation Theory. 2013. No. 8. Pp. 1—57; Потапов M. К., Симонов Б. В., Тихонов
С. Дробные модули гладкости. Москва : МАКСПресс, 2016. 338 с.

и измерений для классов функций, представляющих из себя обобщение классов Н и SH Никольского.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Получены оценки приближений углом и модулей гладкости для функций распасовки.

2. Получены конструктивные характеристики обобщённых классов Никольского SH{pi,p2,oi\,a.2, /Зі, /З2) ^и ^^Н^иря помощи приближений углом.

3. Для указанных классов функций получены теоремы вложения разных метрик.

4. Для указанных классов функций получены теоремы о следах.
Методология и методы исследования. В работе используются

различные методы функционального анализа и теории приближений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в функциональном анализе и теории приближений, теории дифференциальных уравнений с частными производными и в теории интегральных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

4. семинаре механико-математического факультета по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством профессора М. К. Потапова, профессора В. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко, профессора М. И. Дьяченко (2012-2017 г., неоднократно)

5. XIX международной научной конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", 9-13 апреля 2012;

6. XXI международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", 7-11 апреля 2014;

7. международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", Россия, Тула, 15-19 сентября 2014;

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 — в трудах механико-математического факультета 2 — в тезисах докладов. Список работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объем диссертации 115 страниц текста с 24 рисунками. Список литературы содержит 23 наименования.

Теорема о распасовке функций

Следовательно Ц/jJlp с Ц/Ц , Vii Є (1,..., n). Покажем, что \\f%1,...,ik+1\\p CwWfWp, V(ib ... ,ik+i) С (1,.. . ,n), где постоянная сів не зависит от /, считая истинными аналогичные утверждения для всех функций представления (1.1), зависящих не более, чем от к переменных, где к Є (1,..., п — 2).

Так как (по предположению) все вычитаемые функции и постоянная /о в формулах (1.2) удовлетворяют соотношениям 1), то остается проверить, что первый член в соответствующей формуле (1.2) также удовлетворяет этому неравенству. Рассмотрим , ч 2тг 2тг / і \ п—к—1 п п I — J / ... / fdxik+2...dxi о о Применяя лемму 1.3, получим \Р) где Cyj не зависит от /. Таким образом, доказано, что /ib...,ifc+1p с Ц/Ц , V(ii,... ,ik+i) Q (1, ,п), V А; Є (1,... ,n — 2), где c\g не зависит от /.

Так как / Є Lp и для всех функции представления (1.1), зависящих не более чем от (п — 1) переменных, выполнено соотношение 1), то, пользуясь формулой (1.2) для Д...,п, получаем, что Д...,пр Ci9/p, где сі9 не зависит от /. Таким образом, доказана справедливость соотношений 1) утверждения теоремы 1.1. Докажем справедливость соотношений 2) утверждения теоремы 1.1. 2тг Покажем, что J fi1dxi1 = 0, Vii Є (1,...,п). Применяя определение /j15 о имеем 2тг _ 2тг 2тг / /І ЖІ! = f — J / ... / fdxi ...dxn- 27г/о = 27г(/о - /о) = 0. 2тг 2тг Покажем, что J f%u... s+1dx4 = ... = f fib...,ia+1dxia+1 = 0, 0 0 V(i1,.. . ,is+1) С (1,.. . ,п), считая, что аналогичное утверждение доказано для всех функций представления (1.1), зависящих не более, чем от s переменных, где s Є (1,..., п — 2). 2тг Сначала проверим, что J fi . i dx = 0. 0 Пользуясь формулой (1.2) для /j1;...;js+1, получим 2тг 2тг / 2тг 2тг 1 J Au... s+1dxH = J I—J J ... J fdxia+2... dxln -f0- 2 їгп 0 \ 0 0 =1 s+1 J2-1 s+1 Із — 112 — 1 32 =2 j 1 =1 js-l = S-1 J2=2jl =1 S+1 J3-1J2-1 \ js=s J2=2ji=1 / Так как по предположению интегралы по dx{1 от всех функций правой части, зависящих от ж , равны...= / fi,...,ndxn = 0. о о Таким образом, доказана справедливость соотношений 2) 1.3 Приближение углом членов распасовки

Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1, для функций представления (1.1) и V/j. Є NU {0} справедливы соотношения: (l,...,n), где постоянные C2o и C21 we зависят от f и l{.. Доказательство. Докажем справедливость соотношения 1).

Для данного є 0 существуют функции Т Є Lp,... , Т п Є L , каждая из которых является тригонометрическим полиномом соответственно порядка іУі по переменной Х{, такие, что 1/-Ё ,.. (/к+е «=1 В равенствах (1.3) для: — TVl - из T вычитаются постоянная /о и все функции представления (1.1), не зависящие от х\, — Тщ - из Т вычитаются все функции представления (1.1), зависящие от Х\, НО НЄ ЗаВИСЯЩИе ОТ Я?2, — Тщ - из Т вычитаются все функций представления (1.1), зависящие от Х\ И Я?2, НО НЄ ЗаВИСЯЩИе ОТ ЖЗ) — TVk - из ТІ вычитаются все функций представления (1.1), зависящие от Жі,... , Xk-i, но не зависящие от Xk, — TVn_1 - изТ _ вычитаются все функций представления (1.1), зависящие от Жі,... , хп-2, но не зависящие ОТ Хп-\. — TVn - из ТІ вычитаются все функций представления (1.1), зависящие от Жі,... , хп-\, но не зависящие от хп. Так как постоянная /о и все функции представления (1.1), не зависящие от Х\, являются по переменной Х\ тригонометрическими полиномами порядка О, то TVl является тригонометрическим полиномом порядка i \ по переменной Так как все функции представления (1.1), не зависящие от ж&, к Є (2,.. . ,п) и зависящие от х\,. .. ,ж&_і, являются по переменной Xk тригонометрическими полиномами порядка 0, то TVk является тригонометрическим полиномом порядка щ по переменной Xk п

Рассмотрим 2,ТЩ. Подставим вместо Тщ их явный вид из равенств (1.3), сгруппируем вместе функции одинакового количества переменных, и, учитывая, что в совокупности правых частей равенств (1.3) содержатся постоянная /о и все функции представления (1.1), кроме /і;...;П) получим Yvi...vn\J )р S Yvi...vr\jl,...,n)p Для данного є 0 существуют функции Т Є L ,... , Т Є L , каждая из которых является тригонометрическим полиномом соответственно степени іУі по переменной Х{, такие, что

Так как постоянная /о и все функции представления (1.1), не зависящие от Х\, являются по переменной Х\ тригонометрическими полиномами порядка О, то TVl является тригонометрическим полиномом порядка i \ по переменной Так как все функции представления (1.1), не зависящие от ж&, к Є (2,... ,п), и зависящие от х\,... ,ж&_і, являются по переменной Xk тригонометрическими полиномами порядка 0, то TVk является тригонометрическим полиномом порядка щ п0 переменной х п Рассмотрим 2,ТЩ. Подставим вместо Тщ их явный вид из равенств (1.6), «=1 сгруппируем вместе функции одинакового количества переменных, и, учитывая, что в совокупности правых частей равенств (1.6) содержатся постоянная /о и все функции представления (1.1), кроме /і;...;П) получим

Модули гладкости членов распасовки

Это неравенство означает, что ряд Ту(жі,ж2) сходится к некоторой г=0 j=0 функции /і(жі,ж2) при любом фиксированном ж і Є [0,27г] в смысле LP2. Но тогда [22, стр. 14] /і(жі,ж2) = /(жі,ж2) почти всюду. Изменим функцию /і (жі,ж2) на множестве 2-мерной меры 0 так, чтобы она была определена в точках (0,ж2). Полученную функцию обозначим /ц(жі,ж2). Осталось проверить, что функция 2(ж2) = /п(0,ж2) определяет след функции /(жі,ж2) на ОСИ ОХ 1 Свойство 1 определения следа функции выполнено, так как fn(xhx2) = f(xhx2) почти всюду и (р2{х2) = /п(0,ж2) Как показано выше, /ц(жі,ж2) Є LP2 для любого фиксированного Х\ Є [0,27г]. Это означает, что свойство 2 определения следа функции также выполнено.

Остается проверить свойство 3, то есть надо проверить, что h = /(жі,Ж2) - 2 2)L - О при \х\\ — 0. Оценим 1\. Заменяя f(xi,x2) и (/?2(ж2) на сходящиеся к ним в смысле LP2 ряды, получаем, что для любого фиксированного Х\ Є [0,27г] и V7V Є N U {0} выполнены неравенства 00 00 Ji ЕЕ ш х2) -т13{о)Х2)\\Р2 г=0 j=0 ЛГ оо ЕЕит ь 2)-ту(о,Ж2)Р2+ г=0 j=0 00 00 + Е ЕИТУ 1 Ж2)-Ту(0,Ж2)р2=/2 + /3. г=ЛГ+1 j=0 Теперь оценим 12 и /з- Учитывая неравенства (2.5) и (2.4) получаем, что для любого фиксированного Х\ Є [0,27г] выполнены неравенства 00 00 с28 J2 J2T/P1Y PhP2 :2 -l,2J-l(/)pi,p2 , г=ЛГ+1 j=0 i=N+l j=0 где постоянные С27 и С28 не зависят от /, N, Х\ И Ті..

Поскольку разность Tij{x\ x2) (О, ) есть тригонометрический полином, то, применяя неравенство Никольского [21], получим, что Уж і Є [0,27г] выполнено неравенство \Тфъх2) -Тг,(0,х2)\\Р2 с292г \\Тфъх2)-Тг,(0,х2] \Р1,Р2 (2.6) где постоянная с2д не зависит от /, Т{. и Х\. Применяя теорему Лагранжа о среднем значении, получим, что для любого Х\ Є [0,27г] д Tij{Xi,X2, дх\ Ту(жьж2) -Тгз(0,х2)\\РъР2 \хі\ Pl,P2 Воспользовавшись неравенством Бернштейна-Никольского [21], для любого Х\ Є [0,27г], получим д 1 ij[Х\ JX2J дх\ \Pl,P2 с:і02г\\Тгі(хі,х2 PUP2 где постоянная Сзо не зависит от Т{. и Х\. Таким образом, получаем, что выполнено неравенство \\Тгз{хл,х2) -Тг](0,х2)\\Р2 с3іжі2гТу(жі,ж2 ІР1,Р2 (2.7) где постоянная сзі не зависит от Т{. и Х\. Учитывая неравенства (2.6), (2.7) и (2.4), для любого Х\ Є [0,27г] имеем N оо I2 2 (1+ C32 -l,2,-l(/W2 i=0 j=0 N c,2\Xl\2Nj2J2T/plY - - p i=0 3=0 00 C32 12w 2 y2,_lj2J_1(/)PbP2 с32\хг\2мІ, i=0 j=0 где постоянная С32 не зависит от /, N и Х\. Таким образом, получаем, что 00 h c [\Xl\2Ni+ J2 E2 M -i,2,-i(/k. г=ЛГ+1 j=0 где, как следует из вышеизложенного, постоянная Сзз не зависит от /, N и Х\. Так как по условию леммы / оо, то для любого є 0 существует такое N = N(e), что 00 00 г=ЛГ+1 j=0 33 Для выбранного N возьмем Х\ такие, что \х\\ 2с 2NJ, тогда 1\ + = е. Таким образом, получаем, что для любого є 0 можно выбрать такое N = N(e), что для любого Х\ такого, что \х\\ 2с 2JV/ имеем І\ е. Это означает, что 1\ — 0 при жі — 0. Этим завершается проверка 3-го свойства следа функции. Теперь докажем последнее утверждение леммы. Рассмотрим ряд оо ЛГ-1 У ] У ] Tij{x\ X i). Повторяя рассуждения аналогичные тем, что приведены в на г=0 j=0 чале доказательства получаем, что для любого фиксированногоХ\ Є [0,27г] этот ряд сходится в смысле LP2 к некоторой функции Q(x\,X2). Так как Tij{x\ X2) являются тригонометрическими полиномими порядка 2 — 1 по Х\ и 2J — 1 по Х2, то 0(х\}Х2) является тригонометрическим полиномом порядка 2 — 1 по переменной Х2 при любом фиксированном Х\ Є [0,27г]. Изменим функцию 0(жі,Ж2) на множестве 2-мерной меры 0 так, чтобы она была определена в точках (0, 2). Полученную функцию обозначим 0і(жі,Ж2)- Тогда ві(0,Ж2) тригонометрический полином порядка 2 — 1.

Поэтому, применяя неравенства (2.5) и (2.4), имеем 00 00 Y2N_1(lf2(x2))P2 2(Ж2) -ві(0,Ж2)Р2 2 2\\Тг3(0,Х2)\\р2 i=0 j=N 00 00 00 С34 Е2 М1 (Ж1 Ж2)р1 Р2 С35 2 У2-1,2,-1](/к,р2, г=0 j=N i=0 j=N где постоянные Сз4 и Сз5 не зависят от f и N. Лемма 2.6 доказана полностью. Лемма 2.7. Пусть f Є L , тогда если 2P2Y2 1 -12 2 -1 (f)P1P2 f1=0 i/2=0 mo функция f(x1,X2) имеет на оси Ox1 след ip1(x1), принадлежащий LP1. При этом VTV1 Є N U {0}наилучшее приближение функции р{х1) удовлетворяет неравенству 00 00 Y2N1 -1{if1 )p1 с36 Yl J22"2 2 Y2 1 -1,2 2 -1 (f)P1P2 , v1=N1 i/2=0 где постоянная С36 we зависит от f и N1.

Лемма 2.7 доказывается аналогично лемме 2.6. Лемма 2.8. Для того чтобы функция f = f(x) Є Щ, где 1 р оо, г О, необходимо и достаточно, чтобы V/ Є N U {0} выполнялось следующее неравенство: Yi(f)p с37,/ + 1,г где постоянная С37 не зависит от I. Лемма 2.8 доказана в работе [19]. Лемма 2.9. Пусть f = f(x) Є Щ и выполнены следуюище условия 1 р оо, г 0; г 1, то f Є Яоо р Лемма 2.9 доказана в работе [19]. 2.2 Конструктивная характеристика класса SH(р1,Р2,«1«2,А$2, Теорема 2.1. Для того чтобы функция f Є SH(p1,p2,ct1,Gt2i/31,/32), где 1 Pi оо; CKJ 0, /ЗІ 0, і = 1,2, необходимо и достаточно, чтобы УІІ Є N U {0} выполнялись следуюище неравенства: ШЛР1,Р2 с38п+1у-и { = Х 2 (/1 + іг (/2 + г 1Р2 - 39 /, . -,4/1 /, . нчД где постоянные Сз8 и С39 не зависят от fa и fa.

Доказательство. Необходимость. Пусть / Є SH(pi,p2,ai,a2i/3i,/32), тогда, подставляя в оценки из леммы 2.1 оценки для модулей гладкости из определения класса SH(pi,p2,ai,a2i(3i,(32), имеем Y„(f)P1,,2 си (/.]Гп)йіИ С"С«(7ТГ1 вд)ии си.к2(/ ) wjbhp Р1,Р2 YhM)T1,n с м (/,i-lT,ulT j —L .- /3: где постоянные Се, С7, Cg, С\2 и Сі4 не зависят от fa и fa. Тем самым необходимость доказана.

Достаточность. Доказательство проведем для Yi1(f) (для Yi2(f) и Yi1i2(f) доказательства аналогичные). Пусть Wi Є N U {0} выполнено неравенство YV1(f) с?&, а1, где постоянная Сз8 не зависит от v\. Тогда, применяя лемму 2.1, для к\ с\\ имеем h k1-i ЧчУм (їП + Yv1\j)p1P2 — где постоянная с о не зависит от fa. Теорема 2.1 доказана. 2.3 Теоремы вложения разных метрик Теорема 2.2. Пусть f Є SH (рі,р2,а\,а2, 1, 2), где 1 Pi qi оо, — - — (ЗІ оц, і = 1,2, м выполнено одно из двух условий: Pi Qi 1) + % l, 1-1 + 2-2 1; 1 1_ 1 Л J _1 __ _P2 . 1 тогда f SH(q1,q2,a1 ,a2iP1 iP2 ) 2 e 1\ , «1-/?1 1 - ?1 / «1/ 2 \P2 ?2 a 1 = а1?1 a 2 = a2$2, f1 = A - ( - 11 ); /32 = &- (- 12 ). + tf 1 - 1 «2 /?1 «2 \P2 Pi 91 Условиям теоремы соответствуют пары чисел (/51,/?2); лежащие в области I, изображенной на рисунках 6-8. Область I меняется в зависимости от положе \Pi h

Конструктивная характеристика класса SH(p\}Р2,«ъ«2,АФ2)

Положим К = — , тогда T.NivL{r- -± / hi С572 «=1 где постоянная С57 не зависит от N{u. Очевидно, что такие же оценки верны для каждой 7/д,... , 7/;ст _ Так как // = 7/д + ... + 7/;ст _ ; то, пользуясь полученными оценками, имеем h с582 где постоянная С58 не зависит от Nj. Так как оценка для каждого // не зависит от /, то оценка правой части равенства (3.12) будет такой же, а именно 00 00 00 00 t Е Е Е-ЕП2 - - -1 ft-.(ft vix=Nix vis=Nis vjx= vjt=0u=l E Ъи(г- -± ) _ -E .ir c592 «=! c592 «=1 где постоянная C59 не зависит от А и. Подставляя полученную оценку в неравенство (3.11), имеем тр / ENiu(r п-т где постоянная С59 не зависит от Niu. Так как /n,...,Wb...Jt Є L, то её след iPi1,...,ia,j1,...jt(xil,. .. ,жів) Є . Поэтому, применяя лемму 3.3, получим оценки для всех углов размерности меньшей, чем s: ENku У2 І-І,...,2 -І( І,..,ЬЛ,..Л( І5--- Ь))Р С6І2 «=1 тр , (3.13) V(&i,... ,&/) Є (іі,... ,is), V/ Є (1,.. . , s), постоянная сві не зависит от Щи. Пользуясь неравенствами (3.13) и применяя теорему 3.1, получим, что Теперь рассмотрим подслучай, когда s га и t+s т. Рассмотрим неравенство (3.11) при Nim+1 = ... = Nis = 0, получим 2Nii-l,...,2Nim-lfi7...fi\(Pxi1,---,xis,xJ1,...,xJt{Xi1} . . . ,XiJ)p S 00 00 00 00 00 00 t С5зЕ E E -EE-EIK v4=N4 vim=Nimvim+l=Q vis={)vh={) vjt={)u=l X 2" i-l,...,2 -1,2 1 -1,...,2"л-і(/)р (3-14) где постоянная C53 не зависит от TVj. и /.

Разобьем сумму, стоящую в правой части неравенства (3.14), следующим образом: оставим неизменными суммы по 1 15... ,z s и разобьём каждую из сумм по fj1,.. . , z/jt на две суммы (от 0 до К и от К + 1 до оо, где ІІГ — произвольное натуральное число). Получим 00 00 00 00 00 00 t Е Е Е -EE-EIK X 2 1 -1,...,2 -1,2 1 -1,...,2"л-і(/)р = = Jo + ... + J/ + ... + Jt, (3.15) где J\ - сумма всех сумм, в которой / пределов суммирования (по гл,15... ,ZA,J берутся от К + 1 до оо.

Рассмотрим J[. Так как J\ - сумма всех сумм, где / пределов суммирования берутся от К + 1 до оо, то Ji состоит из С\ сумм, а именно J/ = J/д + ... + JifiY1-Рассмотрим одну из этих сумм J/д: Е Е -Е Е - Е E-EIK iyh=Nh Vim=Nimvim+1=Q vis={)vh=K+l Vj=K+lvJl+l={) vjt={)u=l X Y fn -l,...,2"is -l,2 i -l,...XJt -1W )p Применяя оценку приближения (s + ()-мерным углом большим приближением (s + /)-мерным углом, получаем 00 0000 0000 оо К К t Е- Е Е -Е Е - Е Е-ЕП х iyh=Nh vim=Nim "іт+1=0 via=Oi/h=K+l i/Jt=K+lvJl+1=0 vjt=0 u=l X 2" i-l,...,2 -1,2 1 -1,...,2" -l(/)p- (3-16) 103 Найдём оценку для l 1-i 2 -1 2 1-1 2Uji-i(f)p- Оценим (/ + й)-мерный угол сверху одномерными углами по переменным Xim+1,. .. ,X{s , а именно 2" 1 -1,.„,2" - -l,2"1 i -l,...,2"Jt -1 (/)р - 2"«-і(/)р? U Є (Wb ) Применяя к правой части теорему 3.1, имеем Y2Ui1-l,...,2Uia -l,2"J1 -l,...,2"JJ-l(/)p C622_Z/"r, Vw Є (Іт+1, ,І3), где постоянная CQ2 не зависит от z/M. Перемножая полученные неравенства и извлекая корень степени (s — m), имеем для s т VA Г м=т+1 где постоянная Свз не зависит от v u. Оценивая (/ + й)-мерный угол сверху m-мерными углами по переменным Х1, . . . ,Хіт,Х ,. . . ,XJn ПОЛУЧИМ 1 -1,...,2 -1,2 1 -1,...,2 -і(Яр — 2 1 -1,...,2 т-і(/)р5 V(fcb...,fcm) с (ii,...,im,ji,...,j/). Применяя теорему 3.1, получаем 2"1 -1,...,2" —1,2 1 -1,..-Xjl -1 v/ )Р — где постоянная CQ не зависит от v u. Перемножая полученные неравенства и извлекая корень степени С, t, имеем т I Yr1 -l s-lX1 -i,...Xn-l(f)P СббП2" 1 П2" 1 (ЗЛ8) где постоянная Св5 не зависит от v u.

Зафиксируем произвольное є Є (0, ). Возведем в степень е левую и правую часть неравенства (3.17), а в степень (1-е) — левую и правую часть неравенства (3.18) , получим V; ТЕ -V, ги ги s—m y2 1 -l,...,2 S-l,2 1 -l,...,2 _l(/)p Сбб _Q 2" и=т-\-1 т I 5V 1 -i,.. -i, 1 -i,...y -i(/)i" П2""-"1"" П2"" 1"1"" м=1 м=1 104 где постоянные CQQ И Сб7 не зависят ОТ V,[u И Vju. Перемножив полученные неравенства, имеем 2"п -1,...,2" -lXJ1 -1,-,2 -1 (/ )р — m s / с68 J] 2 - " J] 2 - J]2 - r(1-e№, м=1 и=т-\-1 и=\ где постоянная Св8 не зависит от z/ju и ZA,M. Подставляя полученную оценку в неравенство (3.16), имеем для у. 1+т тр(1—є) Jl,l 0000 0000 оо К К t "Зи v X оо Е ... Е Е Е Е Е-ЕП2 v4=N4 vim=Nimvim+l=Q vis=0 Vjl=K+l Vj=K+lvJl+l={) vjt={)u=l mП2 Viu l-\-m V -є) sП2 -Щ u=\ m M=m+1 I П2 u=\ c69n2" ri (1") x 2 -1К 1-Н2к m CegJJ2 IT 1- x 2 -mKir {1-)- \ u=l Отметим, что постоянная CQQ В полученном неравенстве не зависит от N{ и К, но зависит от є, причём так как при є — 0 ряд 00 S s-m — (ЗО Е Е П 2-"" то и постоянная стремится к бесконечности, т.е. CQQ = CQQ(S) — оо при при

Теорема вложения разных метрик

Найдём оценку для l 1-i 2 -1 2 1-1 2Uji-i(f)p- Оценим (/ + й)-мерный угол сверху одномерными углами по переменным Xim+1,. .. ,X{s , а именно 2" 1 -1,.„,2" - -l,2"1 i -l,...,2"Jt -1 (/)р - 2"«-і(/)р? U Є (Wb Л) Применяя к правой части теорему 3.1, имеем Y2Ui1-l,...,2Uia -l,2"J1 -l,...,2"JJ-l(/)p C622_Z/"r, Vw Є (Іт+1, ,І3), где постоянная CQ2 не зависит от z/M.

Перемножая полученные неравенства и извлекая корень степени (s — m), имеем для s т VA Г м=т+1 где постоянная Свз не зависит от v u. Оценивая (/ + й)-мерный угол сверху m-мерными углами по переменным Х1, . . . ,Хіт,Х ,. . . ,XJn ПОЛУЧИМ 1 -1,...,2 -1,2 1 -1,...,2 -і(Яр — 2 1 -1,...,2 т-і(/)р5 V(fcb...,fcm) с (ii,...,im,ji,...,j/). Применяя теорему 3.1, получаем где постоянная CQ не зависит от v u. Перемножая полученные неравенства и извлекая корень степени С, t, имеем т I Yr1 -l s-lX1 -i,...Xn-l(f)P СббП2" 1 П2" 1 (ЗЛ8) где постоянная Св5 не зависит от v u. Зафиксируем произвольное є Є (0, ). Возведем в степень е левую и правую часть неравенства (3.17), а в степень (1-е) — левую и правую часть неравенства (3.18) , получим и=т-\-1 т I 5V 1 -i,.. -i, 1 -i,...y -i(/)i" П2""-"1"" П2"" 1"1"" м=1 м=1 104 где постоянные CQQ И Сб7 не зависят ОТ V,[u И Vju. Перемножив полученные неравенства, имеем 2"п -1,...,2" -lXJ1 -1,-,2 -1 (/ )р — m s / с68 J] 2 - " J] 2 - J]2 - r(1-e№, м=1 и=т-\-1 и=\ где постоянная Св8 не зависит от z/ju и ZA,M. Подставляя полученную оценку в неравенство (3.16), имеем для у. 1+т тр(1—є) Jl,l 0000 0000 оо К К t "Зи v X оо Е ... Е-ЕП2 v4=N4 vim=Nimvim+l=Q vis=0 Vjl=K+l Vj=K+lvJl+l={) vjt={)u=l mП2 Viu l-\-m V -є) sП2 -Щ u=\ m M=m+1 I П2 u=\ c69n2" ri (1") x 2 -1К 1-Н2к m CegJJ2 IT 1- x 2 -mKir {1-)- \

Отметим, что постоянная CQQ В полученном неравенстве не зависит от N{ и К, но зависит от є, причём так как при є — 0 ряд 00 S s-m — (ЗО Е Е П 2-"" то и постоянная стремится к бесконечности, т.е. CQQ = CQQ(S) — оо при при Покажем, что при заданном є Є (0, ) и при г — выполнено неравен l + m mp(l— є) имеем ство г "о -) Используя сначала условие I t, & затем ограничение є / + m t + m (t + m)n mp(1 — є) mp(1 — є) mp(n — k + m) Так как t n — к.то —, "! , ч —. Следовательно, при є Є І0, 111) неравен — mp[n—k-\-m) — гар " ті \ і п j і ство г Т, \ выполняется при г —. mp\Y — є) L rap

Положим К = — , тогда Очевидно, что такие же оценки верны для каждого J/д,. .. , Jiycm Так как Ji = Ji,i + Ji,cm, то, пользуясь полученными оценками, имеем Ji С? » Y[ 2"w-(r(1-) Так как оценка для кадого J\ не зависит от /, то оценка суммы из равенства (3.15) будет такой же, а именно где постоянная С-JQ не зависит от N{., но зависит є и стремится к оо при є — 0. Подставляя полученную оценку в неравенство (3.14) (учитывая, что постоянная С5з не зависит от N{. и є), имеем 2Nii-li...i2Nim-lfii...fi\LPxil,...,xis,xJv...,xJt{Xin iXis))p S С71 X X lU где постоянна Cj\ не зависит от N{u и Oj\ — оо при є — 0. Так как t п — к, то n—k mp , тп 2Nii-l,...,2Nim-lfi7...fi\(Pxi1,---,xis,xJ1,...,xJt{Xi1} . . . ,XiJ)p S С71 _[_[2 u=l где постоянная C71 не зависит от А ., но зависит от є: Oj\ —00 при є — 0.

Так как /»b...,bJb...Jt Є L, то её след (Ль...,ЬЛ,...Л(жн, хіа) Є L, поэтому, используя лемму 3.3, получаем оценки для всех углов размерностей не превосходящих т: - Е „(кі-є)- ) V(/ci,... ,кі) Є (іі,... ,is), V/ = 1,... , m, где постоянная С72 не зависит от Л ., но зависит от є: С72 —оо при є — 0. 106 Так как полученное неравенство выполнено для любого є Є (О,— ), то Vr Є 0, г тр выполнено неравенство К. Е Nkur _11..,2 -1 1,.ЛЛ,.,л(3;Нг г8))р С73 2 «=! (3.19) V(A i,... ,кі) Є (іі,... ,is), V/ = 1,... ,m, где постоянная C73 не зависит от Л ., но зависит от є, точнее зависит от г : С74 — оо при г — . г . і о і тр Используя неравенства (3.19) и теорему 3.1, получаем п — к тр W.-,W!,xit) Є 5 Я; , Vr Є 0, г Подведем итог. При г — функции первой группы имеют следы представляющую из себя сумму следов каждой из функций представления (1.1) и постоянной /о- Покажем, что определённая таким образом функция ф(х ,.. . ,Х{к) и будет следом функции / на Rk Проверим свойство 1 определения следа функции. Выписывая представление (1.1) в точке (ЖІ15 ... ,Х{к,0,... ,0), получим

Так как каждая из функций в правой части равенства является следом соответствующей функции представления (1.1) в точке (ж ,... ,ж ,0,... ,0), то f(xi1}... ,Хік,0,... ,0) = ф(хі1}... ,Хік). Таким образом, свойство 1 определения следа выполнено.

Проверим свойство 2 определения следа функции. Так как каждая из функций представления (1.1) имеет след на Д&, то все они удовлетворяют свойству 2 определения следа, а именно для любых фиксированных а ., к + 1 j п, таких, что х? + ... + х? 6 (где 6 достаточно мало), каждая функция из представления (1.1) принадлежит Lp{k). Так как функция / является их суммой, то она принадлежит Lp{k) при любых фиксированных к +1 j п, таких, что х\ +. .. +xj 5 (где 5 достаточно мала). Таким образом, свойство 2 определения следа выполнено.