Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Вычисление коэффициента линейности 18
1. Чебышевские подпространства в С [К] 18
2. Подпространство констант в if (С) 26
3. Одномерные подпространства в /J 37
Глава II. Исследование свойств отображения Штейнера с помощью коэффициента линейности 45
1. Коэффициент линейности выборки из метрической проекции 45
2. Отображение Stn и соответствующий ему оператор метрического проектирования 48
3. Отображение St3 в общих банаховых пространствах 51
4. Липшицевость отображения St3 на нормированной плоскости 56
5. Липшицевость выборок из отображения Stn при п 4 65
- Подпространство констант в if (С)
- Одномерные подпространства в /J
- Отображение Stn и соответствующий ему оператор метрического проектирования
- Липшицевость отображения St3 на нормированной плоскости
Подпространство констант в if (С)
Тогда ненулевые компоненты Zi, Z2, 3 суммы квазиортогональ ных элементов лежат на прямых а, Ь и с соответственно (рис. 2), и их невозможно накрыть сектором раствора 7г/3 с вершиной в нуле. Пусть g1 = ( rbr2e ,r3e ) , g2 = (Sle ,s2e + ),s3e + ) ) , где (ре [0,7Г] и7-J,SJ 0, J = 1,2,3.
Предположим, что есть сектор Si раствора 7г/3 с вершиной в 0, в котором лежит компонента Z\ вектора q4q2. При этом биссектриса сектора Si лежит в секторе Sbiss (рис.3). Действительно, как в случае а), так и в случае б) биссектриса не может опуститься вниз от компоненты q\ и подняться вверх от компоненты q\ больше чем на 7г/б (иначе Si не пересекается с сектором q\0qf и не содержит q\ + q2). Компонента же Z3 суммы ql + q2 попадает в открытый сектор S3 = qlOql, отделенный от сектора biss по крайней мере углом 7г/б. Поэтому компонента Z3 не лежит в секторе S\. 3. Пусть g1 = n,r2e%r3e , g2 = Sle , s2e \0, где p Є [0,2тг), ф Є [2тг/3,7г] и r si,s2 0, j = 1,2,3. Возможны случаи: 1) if Є [0,тг) П (тг,2тг). Предположим, что есть сектор S3 раствора тг/3 с вершиной в 0, в котором лежит компонента Z3 вектора ql + q2. На рисунке 4 обозначен сектор SUss, в котором лежит биссектриса сектора S3. Если ер Є [0,7г) П [57г/3, 27г), то сумма компонент q\ и д2 лежит в открытом секторе S и отделена от сектора Sbiss углом, большим чем тт/6. В этом случае компонента Z\ вектора ql + q2 не попадает в сектор S%. Если же ір Є (7Г, 57г/3), то в открытом секторе S лежит компонента ql, а значит, — и компонента Z2 суммы квазиортогональных элементов q1 -\- q2. Тогда Z2 отделена от сектора Sbiss углом, большим тг/6, и не попадает в сектор S3. 2) ср = тт. В этом случае компонента Zi суммы g1 + д2 лежит на прямой а, компонента Z2 лежит в секторе S2, а Z% — на луче Ъ (см. рис.5), Zj 7 О, j = 1,2,3. Поэтому ZbZ2 и Z3 нельзя накрыть сектором раствора тг/3 с вершиной в начале координат. 1) у? Є [0, тг). Предположим, что есть сектор Si раствора тг/3 с вершиной в 0, в котором лежит компонента Z\ суммы q1 + q2. Без ограничения общности, биссектриса этого сектора образует с компонентой q\ меньший евклидов угол, чем с компонентой q\. На рисунке 6 обозначен сектор Sbiss, в котором лежит биссектриса сектора Sb Действительно, биссектриса не может опуститься вниз от компоненты q\ больше чем на тт/6 (иначе Si не пересекается с сектором q{0qj и не содержит q\ + q2) и не может подняться вверх от q\ больше чем на 7г/2 (иначе ее угол с компонентой q\ меньше, чем сq{). Тогда компонента Z2 = q\ вектора ql+q2 отделена от сектора Suss углом, большим 7г/б, а значит, Z2 не попадает в сектор S\. 2) (р = тт. Тогда ненулевые компоненты вектора ql + q2 = (гі — очевидно, не попадают в один сектор раствора 7г/3 с вершиной в нуле.
Поскольку сумма ql + q2 = (si + q\, q\,q\) = {ZUZ2, Z3) не содержит нулевых компонент, то ql, ql не равны нулю. При этом угол между направлениями ql и ql составляет по крайней мере 27г/3, а значит, Z\,Z2, Z% нельзя накрыть сектором раствора 7г/3 с вершиной в нуле.
Рассмотренные случаи охватывают все возможные комбинации квазиортогональных элементов ql и q2 с точностью до поворота вокруг начала координат, перестановки компонент местами, симметрии относительно горизонтальной оси, замены q1 на q2 и наоборот. Поэтому для ненулевых компонент Zi,Z2,Zz суммы ql + q2 справедливо, что точки Zi,Z2,Zz невозможно покрыть сектором раствора 7г/3 с вершиной в начале координат.
Оценим снизу коэффициент линейности оператора PD. Для этого разберем различные случаи строения вектора ql+q2 = (Z\, Z2, Z3), применяя неравенство p{ql+q2,D)/\\ql+q% f{ql + q2)/{\\ql+q2U\f\\00) ,справедливое для всякого функционала / из аннулятора DL С / . Точки на плоскости С ниже будем рассматривать как радиус-векторы, исходящие из начала координат.
Одномерные подпространства в /J
Заметим, что в работе автора [57], где была сформулирована данная теорема (без доказательства), была допущена ошибка - утверждение распространялось на произвольные выборки, а также был приведен неверный критерий: Х(р) = 1 тогда и только тогда, когда выборка р линейна. В отличие от случая однозначного оператора Ру этот критерий неверен в одну сторону: из линейности однородной и аддитивной по модулю У выборки р следует Х(р) = 1 (поскольку тогда для любых квазиортогональных элементов qi, д 2 выполнено \\qi+q2-p(qi+q2)\\/\\qi+q2\\ = l i+ -рЫ-рЫИ/lki+Ы1 = \\qi +92ІІ/Ікі +92ІІ = 1), а обратное, вообще говоря, неверно. Построим соответствующий пример.
Пусть в трехмерном координатном пространстве Oxyz задан единичный шар В в виде цилиндра, ось которого совпадает с осью Oz. Построим на боковой поверхности цилиндра замкнутую гладкую центрально-симметричную кривую L, пересекающую каждую образующую ровно в одной точке и не лежащую в плоскости. Пусть также угол наклона к плоскости Оху всякого радиус-вектор элемента на кривой L и всякого касательного вектора к кривой L ограничен некоторым малым углом а.
Для оператора метрической проекции на прямую Z := {х = у = 0} определим однородную и аддитивную по модулю Z выборку р: сопоставим всякому элементу кривой L точку (0,0, 0) и доопределим отображение по однородности и аддитивности по модулю Z. В силу того, что кривая L не плоская, выборка р нелинейна. Чтобы коэффициент линейности выборки р был равен 1, необходимо и достаточно, чтобы для любых элементов а, Ь Є р 1 ((0,0,0)) сумма а + Ь попадала на боковую поверхность гомотетично раздутого цилиндра В, а значит длина проекции а + Ь на прямую Z не превышала бы длины проекции а+Ь на плоскость Оху, умноженной на некоторую константу М 0. Это равносильно тому, что на поверхности Ж := ((0,0,0)) всякая хорда имеет не слишком большой угол наклона к горизонтальной плоскости.
Нетрудно видеть, что если хорда ab поверхности W не проходит над точкой (0,0,0), то в некоторой точке на W найдется касательная плоскость, параллельная аЪ. В силу условий на кривую L угол между касательной плос костью в произвольной точке поверхности W и плоскостью Оху мал. Поэтому угол наклона хорды ab заведомо отделен от вертикального.
Если же хорда аЬ проходит над точкой (0,0,0), то в силу центральной симметричности поверхности W точка (0,0, 0) принадлежит хорде, и угол наклона хорды совпадает с углом наклона некоторого радиус-вектора кривой L и, следовательно, ограничен.
Таким образом, из равенства единице коэффициента линейности однородной и аддитивной по модулю подпространства выборки не следует линейность этой выборки.
Будем говорить, что действительное банахово пространство (X, ) обладает свойством существования точки Штейнера для заданного п 3, если для произвольного набора {хи ..., хп} множество точек Штейнера seX: У -s= inf y \\xk-x\\ - xGX J- k=l k=l St(xh...,xn)= se xGX непусто. Всякое рефлексивное (в частности, конечномерное) банахово пространство обладает этим свойством. Примеры несуществования точек Штейнера приведены в [17, 54, 32, 47, 11].
Следующая лемма дает критерий принадлежности элемента пространства X множеству St(m,..., хп) точек Штейнера.
Лемма 2.А [27]. Пусть х1}..., хп Є X. Элемент у Є X принадлежит множеству St(xu...,xn) тогда и только тогда, когда найдутся такие функционалы /ь ... , fn Є X , что 1) Y2=\fk = 0; 2) max Д = 1; 3) fk(xk-y0)= \\xk-y\\. Рассмотрим отображение Stn пространства Xn = X x x X (n раз) с n нормой (жі,...,жп)п = EM, сопоставляющее набору {хи...,хп} множество St(xu...,xn). Такое отображение будем называть отображением Штейнера п точек.
Отображение PD, сопоставляющее набору {хи...,хп} множество PD(xh ..., хп) = {(s,... , s): s Є St(m,..., хп)}, является оператором метрического проектирования пространства Хп на его диагональное подпространство D = {(x,...,x):xeX}, т.е. всякий элемент из PD(xh ..., жп) - ближайший для набора {xh ..., хп} в D. Для каждого п диагональное подпространство D свое, и было бы правильнее писать Dn вместо D, но мы всюду в дальнейшем будем писать просто D во избежание громоздких обозначений (всякий раз будет ясно, о каком п идет речь).
Всякая выборка stn: Хп -+ X из отображения Штейнера (st„(a;i,..., хп) Є St(m,..., хп) для любых xh ..., хп Є X) порождает выборку р из отображения PD: р(хъ ... , хп) = (s,..., s), где s = stn(a?i,..., хп). Если выборка р удовлетворяет условию Липшица с константой К, то константа Липшица А; = sup{stn(a;) - st„(y)/a; - у\\п: х,у Є Хп, х ф у} исходной выборки stn не превосходит К/п.
Если множество St(xh...,xn) одноточечно для всякого набора {жь...,жп}, то диагональное подпространство D является чебышевским в Хп, метрическая проекция PJJ однозначна, всякая выборка р совпадает с PD и выборочный коэффициент линейности Х(р) равен коэффициенту линейности \{PD).
Отображение Stn и соответствующий ему оператор метрического проектирования
Сфера Sg сопряженного пространства состоит из кривых Г1,Г2,Г3,Г4,Г5,Г6 (рис.13б): Г1 = {Г1( ) = (cos ,sin ): t Є [0,тг/2]}; Г2,Г3 — некоторые кривые, точки которых соответствуют функционалам, опорным к сфере Ss в точках кривых 72 73, концами кривой Г2 являются точка Г1(7г/2) и некоторая точка fa, соответствующая функционалу, опорному к сфере Ss в точке а := 72(Зтг/4), концы кривой Г3 - точки fa и (-1,0); Г4,Г5,Г6 — кривые, симметричные Г1,Г2,Г3 относительно нуля.
Вектор fa направлен под углом 37г/4 к оси Ох, поскольку касательная к сфере Ss в точке а (параллельная ядру функционала fa), имеет угол наклона тг/4. Евклидова длина fa близка к у/2, поэтому норма /а + /ь близка к 1, и найдется близкий к fb функционал fv Є S s, для которого \\fa + /Ь/ = 1 ( Л - h II - 0 при 6 - 0). Соответствующий функционалу /Ь/ вектор 6 Є близок к 6, и а +
По лемме 2.2 получаем Л(Рр) е. Теперь с учетом леммы 2.1 получаем оценку для константы Липшица отображения Штейнера, что и требовалось. c) Построим соответствующий пример. В качестве сферы S{X ) сопряженного пространства возьмем „стадион“, изображенный на рис. 14а (2 отрезка и 2 полуокружности). Сфера S(X) поляра к S(X ) изображена на рис. 14б. Ясно, что X — строго выпуклое негладкое пространство.
Для тройки функционалов /ь/2,/з Є S(X ), отмеченных на рисунке, очевидно выполнено равенство /і + /2 + /з = 0, поэтому по лемме 2.A точки Ж1,ж2,жз = 0 образуют тройку с St3(zi,Z2,z3) = {1.
Если взять фукционал дг Є (Х ), достаточно близкий к /3, (см. рис. 14а) и такой фукционал д2 Є 5"(Х ), близкий к /2, что сумма ординат #2 и #3 равна -1, то на верхнем отрезке сферы S(X ) найдется такой функционал gi, что gi + g2 + #3 = 0. По лемме 2.A точки yx = 0, y2 (y2 и ж2 выбираются на своих лучах так, чтобы х2 - у2 = х{) и у3 Є 5(Х) образуют тройку со St3(yi,3fc,y3) = {0}.
Элементы gi = (жі,ж2,жз) ид2= (уиУ2,Уз) квазиортогональны подпро странству и р((хихи-у3),Р) p{qi-q2,D) \\q1-q2h (жі,жі,-Уз)ІІз (жі,жі,-уз - (жі,жі,жі) з -Уі-жі "v у v Л = - — - 0, З з когда дз — /з (а вместе с этим у% —Жі).
Таким образом, А(Рс) = 0, и (однозначное в силу леммы 2.B) отображение St3 не липшицево по теореме А из введения.
Теорема доказана. 5. Липшицевость выборок из отображения Stn при n 4. Точка x Є б (Х) называется достижимой точкой, если найдется такой функционал / Є J(x), что {у : /(у) = 1} П S(X) = {х}.
Теорема 2.5. Пусть X - банахово пространство, dimX 2, є 0. Если сфера б (Х) содержит две различные достижимые точки на расстоянии не больше е, то для каждого чётного п 4 и для всякой выборки р из отображения PD : Хп D верна оценка Х(р) 2є/п. Как следствие, всякая липшицева выборка из отображения Stn имеет константу Липшица не меньше 1/(8є)-3/(2п).
Доказательство. Пусть п = 2Ц)2,а,6є б (Х) - достижимые точки, \\а — Ь\\ е. Рассмотрим следующие элементы qi,q2 Є Xа:
Из этих соотношений следует, что /a, fb Є J{s). Точки a, 6 — достижимые, то есть a, b — единственные вектора из S(X), на которых /а, / достигают своей нормы соответственно. Получается, что s коллинеарен а, и s коллинеарен 6, что невозможно (а Ь). Полученное противоречие показывает, что Рв{я_к) = {0}. Таким образом, для всякой выборки р Є PD имеем p(qk) = 0, к = 1,2, и п—2 п л, л p(gi+g2,) (6,6,Sr )-(Sr )n 2є Ікі + 92Іп (&,&,a, ...,a)n п п-2 Оценка константы Липшица всякой выборки из отображения Stn следует из доказанного в силу леммы 2.1. Теорема доказана.
Следствие 2.2. В строго выпуклом пространстве X с dimX 2 не существует липшицевой выборки из отображения Stn при четном п 4. Действительно, в строго выпуклом пространстве все точки единичной сферы являются достижимыми, поэтому найдутся сколь угодно близкие достижимые точки, различные при dimX 2. Тогда по теореме 2.5 всякая выборка из Stn не является липшицевой.
Конечномерное нормированное пространство X называется полиэдральным, если его единичный шар является выпуклой оболочкой конечного числа точек. Следующее утверждение следует непосредственно из теоремы 2.1 работы [37] и предложения 2.3 работы [38].
Лемма 2.D. В полиэдральном пространстве X для всякого подпространства Y существует липшицева выборка из оператора Ру метрического проектирования.
Как следствие леммы 2.D и теоремы 2.5 в случае конечномерного пространства X и четного п 4 получаем критерий существования липшицевой выборки из отображения Штейнера.
Следствие 2.3. Пусть пространство X конечномерно, п 4 - четное число. Отображение Stn имеет липшицеву выборку тогда и только тогда, когда X - полиэдральное пространство.
Доказательство. Полиэдральность X влечет полиэдральность Хп: если единичный шар есть выпуклая оболочка точек е„ то единичный шар В(Хп) есть выпуклая оболочка точек (0,..., 0, е{, 0,..., 0). Теперь достаточность следует из леммы 2.D.
Докажем необходимость. Если X не полиэдрально, то по теореме Страше-вича (замкнутое выпуклое множество в М.п совпадает с замыканием выпуклой оболочки своих достижимых точек; см., напр., [25, гл.1, 4]) на S(X) имеется бесконечно много достижимых точек. Тогда в силу компактности S(X) найдутся сколь угодно близкие достижимые точки, и по теореме 2.5 всякая
Липшицевость отображения St3 на нормированной плоскости
Заметим, что следствие 2.3 получилось аналогичным критерию существования липшицевой выборки из чебышевских центров на классе ограниченных множеств в конечномерном нормированном пространстве, доказанному Ю.Ю.Дружининым [20].
Теорема 2.6. Пусть X - рефлексивное локально равномерно выпуклое банахово пространство с локально равномерно выпуклым сопряжённым X , dimX 2. Тогда для всякого нечётного п Ъ {однозначное) отображение Stn не является липшицевым.
Доказательство. Рассмотрим функционал / Є S{X ). Найдутся такие функционалы /ь /2 Є S(X ), что f\ + /2 = /. Обозначим за а, аъа2 элементы из S(X), на которых функционалы /,/ь/2 достигают нормы (используем теорему Джеймса).
Зафиксируем є 0. Для каждого і = 1,2 в секторе а0раг) двумерной плоскости (а, а,) выберем вектор Ъг настолько близко к вектору -аг, чтобы функционал & Є J(b{) удовлетворял неравенству & + /г\\ є/4 (это возможно в силу леммы 2.С). Тогда ІІ01+02 + /Ц ІІР1+/1+Р2 + /2ІІ ІІР1 + /1ІІ + ІІР2 + /2ІІ 7+7=" Теперь выберем функционалы з, 4 Є S{X ) так, чтобы #3+#4 = (2-е)-/. Единичные векторы, на которых функционалы #3,#4 достигают своей нормы, обозначим через &з? &4 соответственно. Рассмотрим следующие элементы 9i = (а,... , а, Ai 2i, А2а2, 0,... ,0), g2 = (0,..., 0,/іі&і,/і2&2,а,... ,а, &з, &4 /г-1 /г где неотрицательные коэффициенты Л», ДІ выбраны так, чтобы Хгаг + цгЪг = а, і = 1,2. При этом qi+q2 = (а,...,а, &3, М. 2А;—1 Покажем, что Рд(ф) = {0}, і = 1,2. В пространстве (X2fc+1) рассмотрим следующие функционалы: Fi = (/,.:.,///i,/2,r/,-:.,-/j, 2 = (rf,---,-f;9,9i,92,f,...J;93,94), к-1 к k-2 k-2 где g = — ( i + #2 + ?з + #4). Заметим, что 0 = \\ді + д2 + д:і + д4\\ = І01+02 + (2-є)-/ ІІ91 + 92+ /II + (1-Є)- ІІ/Ц - + 1-Є=1--. ІІУ у лІ ; ІШІ 2 2
Функционалы F,n і = 1,2, принадлежат аннулятору пространства D, так как сумма компонент каждого из F{ равна нулю. Имеем Fi = max{/,/i,/2} = 1, F2 = тах{/,#,Ы,#2,#з,Ы} = 1. Также выполнено равенство Ft(qt) = \\Ft\\ \\дг\\, і = 1,2. Поэтому по лемме 2.A точка 0 Є PD{qi), і = 1,2, а в силу леммы 2.B множество Рв{дг) = {0}, % = 1,2. Построенные quq2 дают оценку на коэффициент линейности: X(PD) p(qi+q2,D) ІІ91+92ІІП (б а, 63, ь4) - (S7TTT7S)„ Ц63 - «II + ІІ&4 - «II a,... , a, 63, MIL n n l . . д n-2 В силу локально равномерной выпуклости пространства X при є - 0 функционалы 7з ?4 — /, так что по лемме 2.C имеем 63,&4 — «. Следовательно, (PD) = 0, так что по теореме А из введения отображение Рр, а значит и отображение Stn, не является липшицевым. Теорема доказана. Заключение.
Как показывают результаты диссертации, коэффициент линейности однозначного оператора метрического проектирования или выборок из этого оператора может эффективно вычисляться и оцениваться, а также применяться к исследованию липшицевости указанного оператора и связанных с ним отображений.
Так, выше коэффициент линейности был точно вычислен для одномерных чебышевских подпространств пространства С(К) непрерывных функций и достаточно точно оценен для диагональных подпространств /і-сумм X 0 0 X (в нескольких случаях вычислен точно), а также для подпространств пространства I. Во всех этих случаях оценки коэффициента линейности влекли новые нетривиальные оценки константы Липшица операторов метрического проектирования или выборок из него. В частности, в пространстве С (К) были улучшены оценки константы Липшица, полученные В.И. Бердышевым, в пространстве 1р фактически получилось описание одномерных подпространств с липшицевой метрической проекцией.
Указанные оценки коэффициента линейности для диагональных подпространств повлекли новые результаты в исследовании липшицевости отображения Штейнера. Для отображения St3 была доказана липшицевость в произвольном двумерном строго выпуклом гладком пространстве, для отображения Stn при п 4 доказано отсутствие липшицевой выборки во всех “хороших” пространствах. Эти результаты существенно обобщают теорему Ж.-П. Кахана для евклидовой плоскости.
В связи с полученными результатами естественно возникает ряд задач. 1) Ввести локальный коэффициент линейности метрической проекции и оценить с его помощью локальные константы Липшица в случае конечномер ных чебышевских подпространств в С{К) (оценки этих локальных констант получены в [39], см. также [34]). 2) Во всяком ли банаховом пространстве размерности п найдется чебы-шевское подпространство заданной размерности к п — 2, метрическая проекция на которое липшицева? То, что в каждом конечномерном банаховом пространстве есть чебышевские подпространства всех размерностей, доказано в [22]. 3) Существует ли липшицева выборка из отображения Stn в пространстве С при п 4? (При п = 3 существует [7].) Липшицево ли отображение Stn в пространстве Lp при п 3, р 1, 2? 4) Найти необходимые или достаточные условия существования липши-цевой выборки из St3 для трехмерных пространств. Эти задачи могут служить ориентирами при дальнейших исследованиях в данной области геометрической теории приближений.