Классификация задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме Киясов Сергей Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Основные понятия и некоторые вспомогательные результаты 17

1. Задача линейного сопряжения для n – мерного вектора 17

2. Общая характеристическая система сингулярных интегральных уравнений 26

3. Сингулярные интегральные уравнения с n ядрами 40

2 Классификации задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме 62

1. Некоторые представления матриц-функций второго порядка 62

2. Структура множества кусочно-мероморфных решений однородной задачи линейного сопряжения для двумерного вектора 67

3. Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного вектора по кусочно-мероморфному решению задачи 76

4. Некоторые классы задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи

5. Некоторые классы общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме 104

6. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений с двумя ядрами, разрешимых в замкнутой форме 129

7. Некоторые классы задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные свойствами решений общей двумерной характе ристической системы сингулярных интегральных уравне ний 142

3 Классификации задач линейного сопряжения для трех мерного вектора, разрешимых в замкнутой форме 156

1. Некоторые представления матриц-функций третьего порядка 156

2. Структура множества кусочно-мероморфных решений однородной задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора 167

3. Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора по двум решениям соответствующей системы задач дробно линейного сопряжения 185

4. Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора по двум решениям задачи 190

5. Некоторые классы задач линейного сопряжения для трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи 224

6. Классы задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме, определенные свойствами решений общей трехмерной характеристической системы сингулярных интегральных уравнений и сингулярного интегрального уравнения с тремя ядрами 244

4 Оценки частных индексов и построение приближенной факторизации одного класса матриц-функций второго порядка 263

1. Оценки частных индексов матриц-функций второго по рядка 263

2. Зависимость частных индексов матрицы-функции второго порядка от умножения ее слева и справа на диагональные матрицы-функции diag{t,1} и diag{1/t,1} соответственно 269

3. Достаточные условия равенства нулю частных индексов одного класса матриц-функций второго порядка и построение их приближенной факторизации 273

Заключение 292

Литература

• Общая характеристическая система сингулярных интегральных уравнений
• Некоторые классы задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи
• Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора по двум решениям соответствующей системы задач дробно линейного сопряжения
• Зависимость частных индексов матрицы-функции второго порядка от умножения ее слева и справа на диагональные матрицы-функции diag{t,1} и diag{1/t,1} соответственно

Введение к работе

Актуальность темы. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков, в основном советской (российской) математической школы, теория задачи линейного сопряжения для кусочно-аналитического вектора (векторно-матричная краевая задача Римана, граничная задача Гильберта, краевая задача Римана-Гильберта для нескольких неизвестных функций) при различных предположениях относительно гладкости контура уже к концу прошлого века приняла вполне законченный вид. Результаты этой работы для случая кусочно-гладких контуров и кусочно-гёльдеровских матриц-функций изложены в известных монографиях Н.П. Векуа, Н.И. Мусхелишвили, в работах Ф.Д. Гахова, Б.В. Хведелидзе. С конца 1950-х годов развитие теории задачи линейного сопряжения, в связи с исследованием систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и систем уравнений Винера-Хопфа, привело к постановке задачи для новых, а также более широких классов матриц-функций. Не ставя своей целью описать всю обширную библиографию вопроса, остановимся лишь на результатах, близких к теме данного исследования.

За прошедший период была изучена задача линейного сопряжения для матриц-функций с элементами из винеровского кольца (И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крейн), задача линейного сопряжения для непрерывных (И.Б. Симоненко) и кусочно-непрерывных матриц-функций (И.Ц. Гохберг, М.Г. Крупник, Г.Ф. Манджавид-зе). Был получен ряд результатов для измеримых ограниченных матриц-функций (И.И. Данилюк, И.Б. Симоненко, R.G. Douglas). Связь между задачей дробно-линейного сопряжения и задачей линейного сопряжения для двумерного вектора была впервые установлена А.Ш. Габиб-Заде. Рассматривалось также расширение класса контуров и получение достаточных условий ограниченности на них сингулярного интеграла (Б.А. Кац, М.Н. Монахов, Р.Б. Салимов, Е.В. Семен-ко, А.П. Солдатов, Н. Усманов, Б.В. Хведелидзе, М.Б. Холикова, П.Л. Шабалин, М.А. Шешко). В большинстве из этих работ вопрос построения канонической матрицы задачи линейного сопряжения был заменен эквивалентной задачей факторизации матрицы-функции. При этом выяснилось, что даже в случае непрерывной невырожденной матрицы-функции G(t) факторизация с непрерывными множителями G^±(t) существует не всегда. Это, с одной стороны, сделало актуальной задачу отыскания новых классов матриц-функций, допускающих факторизацию с непрерывными множителями (М.С. Будяну, И.Ц. Гохберг), а, с другой стороны, привело к формированию понятия факторизации в классах L_p, 0 < p < . Оказалось, что в случае непрерывных невырожденных матриц-функций эта факторизация не зависит от выбора p, однако уже для кусочно-непрерывных матриц-функций та-

кая зависимость имеет место. Эти и ряд других вопросов, связанных с задачей факторизации в различных классах матриц-функций и контуров, рассмотрены в монографиях Г.С. Литвинчука и И.М. Спитковского и K.F. Giancey и I.Z. Gohberg.

Задача построения приближенной факторизации матрицы-функции и вычисления ее частных индексов, а также эффективно проверяемых оценок для них в общем случае не решена. Нет даже устоявшегося определения приближенной факторизации, что, в первую очередь, связано с неустойчивостью частных индексов и факторизационных множителей при малых изменениях матрицы-функции, а также с неоднозначностью определения крайних факторизационных множителей. Это обстоятельство порождает принципиальные трудности в теории факторизации матриц-функций и теории разрешимости соответствующей задачи линейного сопряжения. Речь идет о проблеме вычисления частных индексов, эффективно проверяемых достаточных условий их устойчивости (вычисления дефектных чисел задачи линейного сопряжения) и задаче построения приближенной факторизации матрицы-функции (нахождения приближенного решения задачи линейного сопряжения и системы сингулярных интегральных уравнений). К результатам, полученным в этом направлении, следует отнести работы Б.В. Боярского, И.Э. Вербицкого, И.Ц. Гохберга, В.Д. Диденко, В.А. Золотаревского, В.П. Кадушина, М.Г. Крейна, Н.Я. Крупника, Г.С. Литвинчука, Г.Ф. Манджавидзе, И.М. Спитковского, Н.Я. Ти-хоненко, И.Т. Хабибуллина, Г.Н. Чеботарева, А.Г. Шагалова, Ю.Л. Шмульяна, M. Rabindranathan и других.

К сожалению, в настоящее время имеется сравнительно немного примеров матриц-функций, факторизация которых либо их приближенная факторизация строится с той же степенью эффективности, как это сделано Ф.Д. Гаховым при решении скалярной задачи линейного сопряжения, и нет никаких оснований полагать, что это может быть сделано в общем случае. Поэтому важной задачей является отыскание классов матриц-функций, для которых поставленные вопросы могут быть решены положительно, и тему диссертации следует считать актуальной.

Степень разработанности темы. Прежде чем приступить к анализу результатов, непосредственно связанных с темой диссертации, приведем предложенную В.М. Адуковым в его докторской диссертации терминологию, связанную с понятием эффективного решения задачи и явного решения задачи (решения задачи в замкнутой форме или в квадратурах). Под последним В.М. Адуков понимает сведение задачи факторизации к решению конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, матрицы которых выписываются в замкнутой форме (в квадратурах), а само число таких систем должно быть определено заранее. Так, первый результат решения задачи факторизации в замкнутой форме был полу-

чен Ф.Д. Гаховым, который заметил, что его формула для решения скалярной задачи непосредственно переносится на матричный случай для функционально-коммутативных матриц-функций, таких, что G(ii)G(i₂) = G(i₂)G(ii) при любых точках t_b t₂ контура. Другим случаем, когда задача факторизации была решена явно, является случай матричных многочленов. Сюда же следует отнести и метод К.М. Расулова сведения задачи линейного сопряжения для строго невырожденной матрицы-функции к системе одной скалярной и п - 1 обобщенных скалярных задач Римана, которые, в случае, когда элементы всех строк матрицы-функции, кроме одной, являются рациональными функциями, решаются в замкнутой форме. Если же найден алгоритм решения задачи за конечное число шагов (заранее неизвестное), то такое решение задачи предлагается считать лишь эффективным.

К эффективным результатам, кроме уже перечисленных, следует отнести решение задачи факторизации мероморфных матриц-функций методом отщепления нулей, являющимся по сути аналогом метода Ф.Д. Гахова построения нормальной матрицы. Следует также отметить результат В.Г. Кравченко и А.М. Николайчу-ка, показавших, что если какой-либо минор га - 1 - го порядка матрицы-функции порядка га профакторизован, то факторизация самой матрицы-функции сводится к решению интегрального уравнения специального вида относительно одной неизвестной функции. Для матриц-функций второго порядка, хотя бы один из элементов которой не вырождается на , этими авторами были получены формулы, связывающие ее частные индексы с размерностью ядра фредгольмова и интегрального оператора, который строится по данной матрице-функции эффективно.

Задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами или с кусочно-непрерывной матрицей-функцией определенной подстановкой приводится к задаче с непрерывной матрицей-функцией, и может быть построена каноническая система решений задачи определенного класса. В некоторых случаях задачу с кусочно-непрерывной матрицей удается свести к скалярной задаче на римано-вой поверхности. Так, Э.И. Зверовичем было показано, что задачу, рассмотренную Г.П. Черепановым, можно свести к скалярной задаче на га - листной римановой поверхности. При этом установлены глубокие связи между задачей Римана для одной пары функций на римановой поверхности и соответствующей задачей для га пар функций на плоскости с матричным коэффициентом подстановочного типа (Э.И. Зверович, Л.И. Померанцева). Здесь следует отметить работы В.Е. Круг-лова, в которых матрица подстановок порождает абелеву группу. Им же исследована факторизация некоторых классов матриц-функций подстановочного типа, не являющихся функционально-коммутативными. Задача факторизации матриц-функций подстановочного типа, не являющихся функционально-коммутативными,

рассматривалась также Л.П. Примачуком. Cпециальный класс матриц-функций второго порядка, которые умножением слева и справа на рациональные матрицы приводятся к треугольным матрицам-функциям, был рассмотрен И.М. Спитков-ским и А.М. Ташбаевым. Этот результаты лег в основу исследования T. Ehrhardt, F.O. Speck по классификации матриц-функций второго порядка, допускающих такие преобразования.

Оценивая результаты построения факторизации матрицы-функции в замкнутой форме, к уже отмеченным следует отнести применение разработанного В.М. Адуковым метода индексов и существенных многочленов конечной последовательности комплексных чисел или матриц к последовательности моментов матрицы-функции G~^l{t) относительно контура Г для вычисления индексов и явного построения факторизационных множителей аналитической и кусочно-аналитической матрицы-функции. Случай мероморфных и кусочно-мероморфных матриц-функций приводится к аналитическому и, в этом смысле, решение задачи линейного сопряжения для мероморфных матриц-функций также может быть получено в замкнутой форме. К этим результатам примыкает и результат построения факторизации треугольных и блочно треугольных матриц-функций с факторизуе-мыми диагональными блоками, а также матриц-функций второго порядка с меро-морфной строкой и строго невырожденных матриц-функций, у которых все строки, кроме последней, мероморфны. Отметим также, что В.М. Адуковым решена задача приближенной факторизации аналитической матрицы-функции и установлена связь между задачей матричной аппроксимации Паде и задачей факторизации блочно-треугольной матрицы-функции специального вида. Здесь следует также отметить работы А.И. Аптекарева, В.Г. Лысова, СП. Суетина, Д.Н. Тулякова, в которых ассимптотика решения матричной краевой задачи Римана-Гильберта применяется при доказательстве сильной ассимптотики аппроксимаций Эрмита-Паде, при изучении ассимптотики ортогональных многочленов и ассимптотиче-ских свойств полиномов Паде.

Цели и задачи. Целью данного исследования является разработка методов выделения новых классов Я–непрерывных матриц-функций второго и третьего порядков (непрерывных по Гёльдеру), заданных на простом гладком замкнутом контуре, для которых удается решить соответствующую задачу линейного сопряжения в классе кусочно-аналитических вектор-функций в замкнутой форме, а также (в случае матриц-функций второго порядка) - метода построения их приближенной факторизации. Основными задачами исследования являются:

1. Обоснование возможности решения задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора в замкнутой форме при наличии одного, соответ-

ственно двух частных кусочно-мероморфных решений задачи.

1. Описание структуры множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора.

2. Выделение классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенных структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи.

4. Выделение классов общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме.

5. Выделение классов сингулярных интегральных уравнений с двумя и тремя ядрами, разрешимых в замкнутой форме.

6. Выделение классов задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме, определенных свойствами решений общей двумерной и трехмерной характеристической системы сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с двумя и тремя ядрами.

7. Получение оценок для частных индексов и построение приближенной факторизации достаточно общего класса матриц-функций второго порядка.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Получены представления для матриц-функций второго и третьего порядков и выделены классы соответствующих матриц-функций, допускающих эффективную факторизацию.

Приведен явный вид вектор-функций канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора при наличии одного, соответственно двух частных кусочно-мероморфных решений задачи.

Изучена структура множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора и выделены соответствующие классы задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Исследована общая характеристическая система сингулярных интегральных уравнений. Отмечено, что эквивалентной этой системе задаче линейного сопряжения соответствует целое семейство общих характеристических систем, зависящее от n H–непрерывных функций, которыми в ряде случаев можно распорядиться так, что удается отыскать некоторое решение системы, что позволило в соответствующих главах работы для случая двумерных и трехмерных общих характеристических систем выделить классы эквивалентных им задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Построена теория сингулярных интегральных уравнений с n ядрами, которая в

дальнейшем применяется для выделения при n = 2 и n = 3 классов таких уравнений и эквивалентных им задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Получены оценки для частных индексов гельдеровских матриц-функций второго порядка, условия равенства нулю частных индексов достаточно общего класса матриц-функций второго порядка и построена их приближенная факторизация.

Теоретическая и практическая значимость. Работа в основном носит теоретический характер. Ее результаты могут служить также новым методом решения задачи линейного сопряжения для треугольных, мероморфных и других матриц-функций второго и третьего порядков, если известно одно соответственно два частных решения задачи.

Методология и методы исследования. В работе применяются как классические методы теории функций комплексного переменного и теории линейных систем сингулярных интегральных уравнений, так и предложенные автором методы классификации задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме, к которым условно можно отнести следующие:

Метод матричных представлений матриц-функций второго и третьего порядков.

Метод интегральных тождеств, основанный на частном случае формулы перестановки порядка интегрирования в повторном особом интеграле.

Метод выделения классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанный на структуре множества кусочно-мероморфных решений задачи.

Метод выделения классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанный на свойствах решений общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Явные формулы вектор-функций канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора при одном соответственно двух известных частных решениях задачи.

2. Теоремы о структуре множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора.

3. Теория общей характеристической системы сингулярных интегральных уравнений и метод, позволяющий отыскивать ее частные решения, не переходя к эквивалентной задаче линейного сопряжения.

4. Теорема об эффективной разрешимости сингулярных интегральных уравнений с n ядрами.

5. Классификация задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанная на свойствах решений двумерных и трехмерных общих характеристических систем и сингулярных интегральных уравнений с двумя и тремя ядрами.

6. Оценка для частных индексов матриц-функций второго порядка.

7. Формулы приближенной факторизации достаточно общего класса матриц-функций второго порядка

Апробация работы. По результатам диссертации 2 декабря 2015 года был сделан обзорный доклад на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН В.В. Напалкова (Уфа, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН), на международных Казанских летних научных школах-конференциях в 2011, 2013, 2015 годах, на международных конференциях «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2015, 2016), на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2000), на школе-конференции «Теория функций, ее приближения и смежные вопросы», посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань, 1999), на школе-конференции «Алгебра и Анализ», посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997), а также неоднократно на итоговых научных конференциях Казанского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 22 публикациях, из которых 11 публикаций – в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов докторских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 310 страниц и состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы из 135 наименований. В работе используется двойная нумерация по разделам каждой главы. Поэтому при ссылках на соответствующие формулы другой главы это специально оговаривается.

Общая характеристическая система сингулярных интегральных уравнений

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Получены представления для матриц-функций второго и третьего порядков и выделены классы соответствующих матриц-функций, допускающих эффективную факторизацию. Приведен явный вид вектор-функций канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора при наличии одного, соответственно двух частных кусочно-мероморфных решений задачи.

Изучена структура множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора и выделены соответствующие классы задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Исследована общая характеристическая система сингулярных интегральных уравнений. Отмечено, что эквивалентной этой системе задаче линейного сопряжения соответствует целое семейство общих характеристических систем, зависящее от n H–непрерывных функций, которыми в ряде случаев можно распорядиться так, что удается отыскать некоторое решение системы, что позволило в соответствующих главах работы для случая двумерных и трехмерных общих характеристических систем выделить классы эквивалентных им задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Построена теория сингулярных интегральных уравнений с n ядрами, которая в дальнейшем применяется для выделения при n = 2 и n = 3 классов таких уравнений и эквивалентных им задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Получены оценки для частных индексов гельдеровских матриц-функций второго порядка, условия равенства нулю частных индексов достаточно общего класса матриц-функций второго порядка и построена их приближенная факторизация.

Теоретическая и практическая значимость. Работа в основном носит теоретический характер. Ее результаты могут служить также новым методом решения задачи линейного сопряжения для треугольных, мероморфных и других матриц-функций второго и третьего порядков, если известно одно соответственно два частных решения задачи.

Методология и методы исследования. В работе применяются как классические методы теории функций комплексного переменного и теории линейных систем сингулярных интегральных уравнений, так и предложенные автором методы классификации задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме, к которым условно можно отнести следующие:

Метод матричных представлений матриц-функций второго и третьего порядков. Метод интегральных тождеств, основанный на частном случае формулы перестановки порядка интегрирования в повторном особом интеграле. Метод выделения классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанный на структуре множества кусочно-мероморфных решений задачи.

Метод выделения классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанный на свойствах решений общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений. Основные положения диссертации, выносимые на защиту. 1. Явные формулы вектор-функций канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора при одном соответственно двух известных частных решениях задачи. 2. Теоремы о структуре множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора. 3. Теория общей характеристической системы сингулярных интегральных уравнений и метод, позволяющий отыскивать ее частные решения не переходя к эквивалентной задаче линейного сопряжения. 4. Теорема об эффективной разрешимости сингулярных интегральных уравнений с n ядрами. 5. Классификация задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанная на свойствах решений двумерных и трехмерных общих характеристических систем и сингулярных интегральных уравнений с двумя и тремя ядрами. 6. Оценка для частных индексов матриц-функций второго порядка. 7. Формулы приближенной факторизации достаточно общего класса матриц-функций второго порядка

Апробация работы. По результатам диссертации 2 декабря 2015 года был сделан обзорный доклад на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН В.В. Напалкова (Уфа, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН), на международной Казанской летней научной школе-конференции в 2011, 2013, 2015 годах, на международных конференциях "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2015, 2016 годы), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000), на школе-конференции "Теория функций, ее приближение и смежные вопросы," посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань, 1999), на школе-конференции "Алгебра и Анализ," посвященной 100-летию со дня рож

Некоторые классы задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи

Обозначим через (fio(z) решение этой задачи, имеющее порядок —ж на бесконечности (каноническая функция задачи (3.28) ([22], с. 109). Тогда функции p0(t) = (ip+(t) + ро WKW/AoW образуют полную систему линейно независимых решений однородного уравнения Ьцр(і) = 0, а кусочно-аналитическая вектор-функция wi(z) с предельными значениями на Г компонент w[+{t) = PlkjajtpoW, w{-{t) = QlkjOtjipoKt), j = їй, (3.29) в которых otj(t), j = l,n определены в (3.24), будет решением задачи линейного сопряжения (1.3) с матрицей-функцией (3.22) порядка -к на бесконечности. Так как не существует решения этой задачи, порядок которого на бесконечности ниже порядка решения wi(z), возьмем эту вектор-функцию за первую функцию w1M(z) канонической системы решений задачи (1.3), (3.22) (частный индекс кх = к). Не ограничивая общности, можно считать, что первая компонента этой вектор-функции имеет на бесконечности порядок, равный -к. Так как wi (z) определяется с точностью до мультипликативной постоянной, будем считать, что у вектор-функции zxw1M(z) значение первой компоненты на бесконечности равно 1. Тогда для нахождения остальных функций канониче ской системы решений Wj; (z), j = 2,п задачи рассмотрим уравнение (3.25), правую часть которого возьмем в виде f\(t) = 2a\(t). Вводя на Г функции ip+(t) = P[A0arV]W " 1, P"W = Q[AoarV]W + 1, по решению ф) задачи (3.28), ограниченному на бесконечности (ty?(oo) = 1), предельные значения на Г компонент решения задачи линейного сопряжения (1.3), (3.22) запишем по формулам wl+(t) = PlkjOtjipl J к, wkk+{t) = Рікшу] - 1; w[-(t) = Q[kjOLjip]{t),j + к, wkk (t) = Qikjajtpjit) + 1, k = 2,n;j = l,n, в которых a3{t), j = l,n также определены в (3.24). Покажем, что построенные вектор-функции wk{z), к = 2,п дополняют построенную выше вектор-функцию wi(z) до канонической системы решений задачи. Докажем сначала, что построенная система решений w1(z),w2(z),...,wn(z) будет нормальной. Предположим противное. Пусть z0 - точка области D+(D ), в которой определитель матрицы-функции, составленной из построенных решений, обращается в нуль. Значит, найдется нетривиальный набор постоянных chc2,... , сп такой, что вектор-функция w(z) = (ciwi( ) + c2w2(z) + cnwn(z))/(z - 2b) (3.31) есть кусочно-аналитическое и исчезающее на бесконечности решение однородной задачи линейного сопряжения с матрицей-функцией (3.22). Так как вектор-функции zkwi(z), к = 0, г-1 образуют полную систему линейно независимых решений данной задачи, исчезающих на бесконечности, получаем тождество ciwi( ) + c2w2(z) + cnwn(z) = (z- z0) J2 dkzk i{z), (3.32) ;=0 где dk, к = 0,x-1 - некоторые постоянные. Нетрудно видеть, что главная часть на бесконечности вектор-функции, стоящей в левой части (3.32), в силу (3.29), (3.30) есть вектор (0,с2,... ,сп), а в правой части, согласно сделанному предположению о порядке первой компоненты вектор-функции wi(z), этот вектор имеет первую компоненту, равную d„-i. Поэтому dH-i = 0. Но тогда правая часть (3.32) исчезает на бесконечности. Откуда вытекает, что с2 = 0,... , сп = 0. Так как не существует решения задачи линейного сопряжения (1.3) с матрицей-функцией (3.22), порядок которого на бесконечности ниже -к, из (3.31) заключаем, что и с\ = 0. Если предположить, что точка ZQ Є Г, то соответствующее утверждение можно получить, воспользовавшись рассуждениями, аналогичными изложенным в ([15], с.29) и дающими обоснование представления (3.31) в этом случае. Построенная система решений будет канонической, так как на бесконечности порядок -я определителя матрицы-функции, составленной из построенных решений, равен сумме порядков его столбцов. Таким образом, факторизация матрицы-функции (3.22) в этом случае может быть получена в замкнутой форме. Пусть х = 0. Тогда систему п решений задачи линейного сопряжения с матрицей-функцией (3.22) определим также согласно формулам (3.30), в которых индекс к уже принимает значения к = 1,п. Если предположить, что функция (3.31) будет решением задачи, исчезающим на бесконечности, придем к нетривиальной разрешимости однородного уравнения (3.25) в случае нулевого индекса.

Если к 0, то для союзного с (3.20) уравнения, правая часть которого взята в виде (3.9), каноническая система решений соответствующей союзной задачи линейного сопряжения строится как в случае положительного индекса.

Рассмотрим теперь уравнение (3.27). В случае к 0, формулы (3.29), (3.26), в которых tpo(t) - решение однородного уравнения Li2tp(t) = 0, как и выше, полученного по решению скалярной задачи (3.28), определяют предельные значения на Г совпадающих компонент вектор-функции wi (z) канонической системы решений задачи линейного сопряжения с матрицей-функцией (3.22), (3.26). Для нахождения остальных вектор-функций канонической системы решений Wj; (z), j = 2,п этой задачи рассмотрим уравнения L2 Pj(t) = 2k l{t)a]{t)k]{t), j = %й. Тогда формулы (3.30), в которых p(t) следует заменить на ipj(t), j 2,п, определят предельные значения на Г компонент искомых вектор-функций. Обоснование этого утверждения, а также исследование случаев я=0их 0 проводятся аналогично. Предположим теперь, что в уравнении (3.1) коэффициент a0(t) и коэффициенты ai{t), где индекс і принимает значения гъ ... , im, а также коэффициенты kj{t) с индексами jb...,jn_m (гк ф jh к = l,m, I 1,п - ш), не имеют нулей на контуре. Переобозначив, если это необходимо, коэффициенты уравнения (3.1), будем считать, что этому усло вию удовлетворяют коэффициенты ai(t), і = 0,m и kj(t), j = m + l,n. Тогда, полагая в (3.20), (3.21)

Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора по двум решениям соответствующей системы задач дробно линейного сопряжения

Из представления (1.8), (1.9), в частности, получаем, что если отношение д2і/ди есть предельное значение на Г функции, аналитической в D+, либо отношение ди/дп есть предельное значение на Г функции, аналитической в D и исчезающей на бесконечности, либо главная часть этой функции на бесконечности есть полином, степень к которого удовлетворяет неравенству к + 2кп -х 0, то матрица-функция G0(t) становится треугольной и матрица-функция G{t) факторизуется эффективно.

Если все элементы gij(t),i,j = 1,2 не имеют нулей на контуре, то, рассматривая матрицы-функции FG(t), G(t)F, FG(t)F, получим для G(t) еще три представления вида (1.8), (1.9), позволяющие сформулировать соответствующие утверждения о ее эффективной факторизации. Так, для матрицы-функции G{t)F условие аналитической продолжимости отношения #21/#іі в область D+ переходит в условие такой продолжимости отношения #22/#12, а сформулированное условие для отношения #12/#ц переходит для матрицы-функции FG(t)F в соответствующее условие для отношения #21/#22 Замечание 2.1. Полученные условия фактически означают, что можно указать матрицы-функции H+(t) соответственно H (t) с элементами, аналитически продолжимыми в соответствующие области -такие, что матрица-функция H+(t)G(t) или G(t)H (t) становится треугольной. В следующих разделах этой главы будет показано, что достаточно требовать лишь принадлежности соответствующих отношений классам М+ или М , и приведен метод построения канонической системы решений задачи (1.2) по ее кусочно-мероморфному решению. Отметим также, что полученные в этом случае утверждения представляют собой некоторое обобщение аналогичного утверждения в упомянутой выше работе [125] для случая, когда эти отношения являются рациональными функциями.

Пусть w(z) = ( w1(z),w2(z) ) кусочно-мероморфное решение задачи (1.2). Введем следующее определение Определение 2.1. Будем называть решение w(z) задачи линейного сопряжения (1.2) решением с парой (Ai(), А2()), если на Г Zt=W) =Xl{t) tf=W) = Xl{t)- (2.1)

В этом определении, как было предложено в конце раздела 1 первой главы, мы полагаем, что компонента А , к = 1,2 этой пары функций равна тождественному нулю, неограничена или является неопределенной, что обозначается, соответственно, как 0, оо, 0/0, если wk+(t) = 0, wk (t) = 0 или wk±(t) = 0; к = 1,2, t Є Г. Заметим, что условие существования решения задачи (1.2) с такой компонентой пары (2.1), которую мы назовем вырожденной, за исключением решения w(z) = 0, возможно лишь, когда матрица-функция (1.1) будет диагональной, треугольной либо приводится к таковой, как отмечено в замечании предыдущего пункта. Во всех этих случаях решение задачи линейного сопряжения может быть записано в замкнутой форме. Поэтому на случаях существования решения задачи (1.2) с вырожденной парой (2.1) мы не останавливаемся.

Очевидно, если w(z) решение задачи (1.2) с парой (Ai( ), X2(t)), то r(z)w(z), где r(z) рациональная функция без полюсов на Г, будет решением этой задачи с той же парой (Ai(), А2()). Легко видеть, что множество всех кусочно-мероморфных решений задачи (1.2) представляет собой двумерное векторное пространство над множеством рациональных функций без полюсов на Г, базисом которого является любая каноническая система решений w1 xiw = Kx W M) , w2 xaw = КХ2М,ЦХ2М) , Н\ K i, К\ + 2 = Ж ( -суммарный индекс матрицы-функции (1.1)). Пусть wl(z),w2(z) два кусочно-мероморфных решения задачи (1.2). Выясним, когда они будут решениями этой задачи с одной и той же невырожденной парой (2.1). Если \k(t) = wk+(t)/wk-(t) = wk2+(t)/wk2-(t), к = 1,2, то, в силу ограниченности компонент этих решений на контуре, w2(z) = rk(z)wk(z), где rk{z), ft = 1,2 - рациональные функции. Подставляя выраженные отсюда предельные значения w\±{t)) ft = 1,2 в краевые условия (1.2), записанные для w2(z), получим, что wi(z) является также решением задачи линейного сопряжения с матрицей-функцией 92l{t)/r(t) 022М flW Значит, на Г (Gi(t) - G(t)) w{(t) = 0 или g12(t)(r(t)-l) Wi p2iW(i-/"W)AW о О gl2{t){r{t) - I) (t) = о, t є г. g21(t)(l-r(t))/r(t) 0 Поэму определитель det {Gi{t) - G{t)) = = 9i2(t)92i(t)(r(t) - lf/r{t) EO.iGT. Таким образом, решения задачи (1.2) wi(z) и w2(z) могут оказаться решениями с одной и той же невырожденной парой (Ai(), А2()) лишь в следующих случаях: 1. g12(t) = 0, Є Г; 2. 021 ( ) = 0, Є Г; 3. g12(t) = 0, Є Гь 02і(О = 0, t Є Г2, Гі U Г2 = Г; 4. 9i2(t)=92i(t) = 0, ІЄГ; 5. w2(z)=r(z)wl(z). В случае 4 G{t) диагональная матрица-функция, поэтому любое другое решение имеет вид w2(z) = ( ri(z)ifJ(z),r2(2;)K;f(z) ) и все решения задачи будут решениями с парой (gn(t)} g22(t)). Случай 5 является очевидным. Покажем, что и в оставшихся случаях w2(z) = r(z)wi(z). Действительно, в случае 1 все решения задачи имеют первую компоненту пары (2.1), равную w\+{t)/w\-{t) = w\+{t)/w\-{t) = gn(t). Перепишем второе краевое условие (1.2) в виде ЦЖ = д тЦЖ + д jt\ к = 12. w2k (t) w2k-(t) Рассматривая разность этих выражений при& = 1и; = 2и учитывая совпадение для рассматриваемых решений компонент пары (2.1), а также ограниченность компонент решений на контуре, заключаем, что w22-(t)lwl-(t) = w\-(t)/w\-(t) = w\+(t)/w\+(t) = r(t). Значит, w\+(t) = r(t)w{+(t), w\ (t) = r(t)w\ (t), w2 (t) = r(t)w\ (t). Но тогда из второго краевого условия (1.2) следует, что wl+(t) = r(t)w2+(t).

Случай 2 исследуется аналогично.

В случае 3 в силу условия det G(t) Ф 0, t Є Г следуют неравенства gn(t) ф 0, g22(t) ф 0, t Є Г, и для матрицы-функции FG(t)F(F перестановочная матрица) компоненты решений wi(z), w2(z), а также компоненты пары (2.1) меняются местами. Поэтому для этой матрицы-функции реализуется лишь случай 5, и наше утверждение остается справедливым.

Отметим, что в соответствующем разделе главы 3 описание структуры множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения становится более содержательным.

Зависимость частных индексов матрицы-функции второго порядка от умножения ее слева и справа на диагональные матрицы-функции diag{t,1} и diag{1/t,1} соответственно

Заметим, что формулы (2.35), (2.40) можно было также получить как частный случай соответствующим образом записанных формул (2.29). Не останавливаясь на построении решений в случае, когда матрицы-функции (2.12), (2.18), (2.24) удовлетворяют одному из перечисленных выше требований, сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Для того, чтобы кусочно-мероморфные решения wi(z), w2(z) задачи линейного сопряжения (2.1) с Н-непрерывной на Г матрицей-функцией (1.1) были решениями с одинаковой невырожденной тройкой (2.2) должно выполняться одно из следующих условий: 1) необходимо и достаточно, чтобы w2(z) = r(z)wi(z), r(z) рациональная функция без полюсов на Г; 2) необходимо, чтобы g13(t) = g23(t) =0, отношения (2.7), (2.8) были функциями классов М и М+ соответственно, а при выполнении неравенств (2.9) эти условия будут также достаточными и при g32{t) ф 0 решения имеют вид (2.10), а при g3l{t) ф0- (2.11); 3) необходимо, чтобы gl2(t) = g32(t) = 0, отношения (2.13), (2.14) были функциями классов М и М+ соответственно, а при выполнении неравенств (2.15) эти условия будут также достаточными и при g23(t) ф 0, G32(t) ф 0 решения имеют вид (2.16), а при g2l(t) ф 0 - (2.17); 176 4) необходимо, чтобы g21(t) g31(t) 0, отношения (2.19), (2.20) были функциями классов M- и M+ соответственно, а при выполнении неравенств (2.21) эти условия будут также достаточными и при g13(t) = 0, G31(t) = 0 решения имеют вид (2.22),а при g12(t) = 0 – (2.23); 5) необходимо, чтобы выполнялось тождество (2.25), в котором входящие в него элементы отличны от тождественного нуля, а отношения (2.26), (2.27) были функциями классов M- и M+ соответственно. При выполнении неравенств (2.28) эти условия будут также достаточными и решения имеют вид (2.29); 6) необходимо, чтобы выполнялись условия (2.30), отношения g21(t)/g23(t), g31(t)/g32(t) и G13(t)/g11(t)g32(t), G12(t)/g11(t)g23(t) были функциями классов M- и M+ соответственно, а при выполнении неравенства g11(t) = 0, эти условия будут также достаточными и решения содержатся в формуле (2.29); 7) необходимо, чтобы выполнялись условия (2.31), отношения (2.32),(2.33) были функциями классов M- и M+ соответственно, а при выполнении неравенства (2.34) эти условия будут также достаточными и решения имеют вид (2.35); 8) необходимо, чтобы выполнялись условия (2.36), отношения (2.37),(2.38) были функциями классов M- и M+ соответственно, а при выполнении неравенства (2.39) эти условия будут также достаточными и решения имеют вид (2.40).

Замечание 3.1. Пункт 1) теоремы является очевидным для любой H–непрерывной матрицы-функции (1.1) и любого решения задачи (2.1), в том числе и с вырожденной тройкой (2.2). Поэтому в пунктах 2)– 8), полученных при различных дополнительных ограничениях на элементы этой матрицы-функции, решения w(z) = s1(z)w1(z) и w(z) = s2(z)w2(z) (s1(z),s2(z) – рациональные функции) будут решениями задачи (2.1) с одинаковыми тройками (2.2). Однако, w2(z) s(z)w1(z) ни для какой рациональной функции s(z) и пункты 2)–8) не являют 177 ся следствием пункта 1). Кроме того, пункты 2)-5) не вытекают друг из друга, так как в них определены решения задачи (2.1) с разными для каждого случая тройками. Пункты 6)-8) можно рассматривать как следствия 5) и приводятся для удобства их дальнейшего применения.

Случай обращения элементов матрицы-функции (1.1) и соответствующих алгебраических дополнений в нуль в конечном числе точек контура может быть исследован с привлечением теории краевой задачи Римана в исключительных случаях ([22], с. 130).

Не ставя перед собой цель описания всех условий существования решений задачи (2.1) с одинаковой вырожденной тройкой (2.2), остановимся лишь на некоторых из них. Пусть для решения wi(z) = {w\{z))w\{z))w\{z) ) компонента w\-(z) = 0,2 Є D . Ограничимся случаем выполнения неравенств Gi:i(t) ф 0, G2:i(t) ф 0, СззМ Ф 0. (2.41)

Тогда краевые условия (2.1) приводят к соотношению Gu(t)w\+(t) + G23(t)wf+(t) + G33(t)wl+(t) = 0, t є Г (2.42) и невозможности обращения в тождественный нуль в области D+ одновременно двух компонент wi+(z). Пусть w\+(z) = 0, z Є D+ и выполнены неравенства tfjiW o, Ы ) о, (2.43) то отношения (2.7), (2.8) будут функциями классов М и М+ соответственно, а решения задачи (2.1) с тройкой (-С23/#32, -GV&i, 0/0) имеют, при выполнении неравенств g:i2(t) ф 0, Gi:i(t) ф 0 (G2:i(t) ф0), ІЄ Г, (2.44) вид первого, соответственно второго, равенства (2.10) при s(z) = 0. Если выполняются условия Ял W = 0, gs2{t) ф 0 ( 31 {t) ф 0, g32{t) = 0), (2.45) 178 то w{ (z) = 0,z Є D (w{ (z) = 0, z Є D ) и отношение 92i(t)l9n(t) (9zi(t)19i2(t)) (2.46) - функция класса M+, а при выполнении на Г неравенств (2.47) 32() 0, gn(t) ф 0 или g2l{t) ф О, (рзій 0, gl2{t) ф 0 или g22{t) ф 0,), решения содержатся при s(z) = 0 во второй, соответственно первой формуле (2.10) ((2.11)). Отметим, что если эти формулы получать непосредственно, то от условий 032( ) Ф 0 и g31(t) ф 0 удается избавиться. Пусть w\+(z) = 0, z Є +. Рассуждая аналогично, получим, что при выполнении неравенств g2i(t) ф 0, 022(0 Ф 0 отношения