Классификация пространств непрерывных функций на некоторых линейно упорядоченных пространствах Трофименко Надежда Николаевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Топологическая классификация пространств 5х [1,а] 14

2 Пространства непрерывных функций, заданные на «длинных прямых Зоргенфрея» 24

3 Пространства непрерывных функций, заданные на «длинных прямых» 46

4 Общий вид функционалов на пространствах Cc(Sa) и Cc{Sx[l,a\) 57

Заключение 72

Список литературы

• Топологическая классификация пространств 5х [1,а]
• Пространства непрерывных функций, заданные на «длинных прямых Зоргенфрея»
• Пространства непрерывных функций, заданные на «длинных прямых»
• Общий вид функционалов на пространствах Cc(Sa) и Cc{Sx[l,a\)

Введение к работе

Актуальность проблемы.

Пространства непрерывных функций С(Х) это классический объект в топологии и функциональном анализе. В последние годы активно изучаются свойства пространств непрерывных функций С_Р(Х), наделенных топологией поточечной сходимости. В частности, большое внимание уделяется вопросам классификации пространств непрерывных функций. Полная классификация получена для банаховых пространств непрерывных функций С (К), заданных на метризуемых компактах К. В 1966 А. А. Милютин¹ доказал, что для любого несчетного метрического компакта К пространство С (К) изоморфно пространству С[0,1]. В 1960 году С. Бессага и А. Пелчинский² дали полную изоморфную классификацию пространств непрерывных функций на счетных метризуемых компактах или, что то же самое на счетных отрезках ординалов. Первый шаг по классификации банаховых пространств на несчетных отрезках ординалов сделал З. Семадени³. Он показал, что для первого несчетного ординала ш\ при различных п Є N пространства С[1, ил п] не являются изоморфными. Из теорем С. Бессаги, А. Пелчинского и З. Семадени следует полная классификация банаховых пространств непрерывных функций для всех ординалов, не превосходящих uj_vuj. В работах СП. Гулько, А.В. Оськина⁴ и СВ. Кислякова⁵ изоморфная классификация пространств С[1, а] была продолжена на произвольные отрезки ординалов [1,а]. Для пространств непрерывных функций, заданных на отрезках ординалов и наделенных топологией поточечной сходимости, полная линейная гомеоморфная классификация была получена в работе СП. Гулько⁶.

Для неметризуемых пространств вопросы классификации не столь хорошо изучены. В частности, не полностью изучен вопрос о классификации пространств непрерывных функций на линейно упорядоченных пространствах.

¹ Милютин А. А. Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1966. Вып. 2. С. 150-156.

²Bessaga С, Pelczynski С. On isomorphic classification of spaces of continuos functions// Studia Math. 1960. V. 19. P. 53-62.

³Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian product//Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Math. Stron. et Phys. 1960. V. 8. P. 81-84.

⁴Гулько СП., Осъкин А.В. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах. Функциональный анализ и его приложения. 1975. Т. 9. № 1. С. 61-62.

⁵Кисляков СВ. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ордина-лах//Сиб. мат. журнал. 1975. Т. 16. С. 293-300.

⁶ Гулько С. П. Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на орди-налах//Вестник томского государственного унив-та. 2003. № 280. С. 34 - 38.

В настоящей работе рассматриваются некоторые частные случаи таких пространств, а именно, пространства непрерывных функций, заданные на «длинных прямых» и на «длинных прямых Зоргефрея» и проводится их линейная гомеоморфная классификация. Понятие «длинные прямые» впервые был введено в работе П.С. Александрова и П.С. Урысона⁷, определение «длинные прямые Зоргефрея» вводится по аналогии в данной работе.

Топологические свойства прямой Зоргенфрея используются при решении различных задач топологии и функционального анализа. При изучении топологических пространств всегда актуальным является вопрос их го-меоморфной классификации. Используя топологическую классификацию отрезков ординалов, в диссертации получена гомеоморфная классификация «длинных прямых Зоргефрея» S_a и произведений S х [1, а], где а -произвольный ординал.

Классической задачей функционального анализа является задача об общем виде функционалов на пространствах непрерывных функций с различными топологиями. Начало систематическому исследованию такого рода задач положил Ф. Рисс⁸. В 1909 году он доказал теорему об общем виде функционала на пространстве непрерывных функций С[а,Ь]. В 1984 г., в то время как интенсивно развивалась теория пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости, А.В. Архангельский⁹ доказал теорему об общем виде функционала на пространстве С_Р{Х). В работе, используя результаты З. Семадени, А. Пелчинского, получен общий вид функционалов на пространствах непрерывных функций, наделенных топологией компактной сходимости и заданных на произведениях S х [1,а], где а - произвольный ординал, на «длинных прямых Зоргенфрея» и на произведениях прямых Зоргенфрея Sⁿ, п Є N.

Из вышесказанного следует, что рассматриваемая в данной работе тематика является широко известной и актуальной.

Целями работы являются:

- топологическая классификация произведений прямой Зоргенфрея на
произвольные отрезки ординалов;

- линейная гомеоморфная классификация пространств непрерывных функ
ций, заданных на «длинных прямых Зоргенфрея» с топологиями поточеч-

⁷Александров П. С, Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических пространствах. М.: Наука. 1971. 144 с.

⁸Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу // Ф. Рисс, Б. Сёкефальди-Надь. М.: Мир, 1979, 580 с.

⁹Архангельский А.В. О линейных гомеоморфизмах пространств функций // ДАН СССР. 1982. Т. 264, № 6. С. 1289-1292.

ной и компактной сходимости;

топологическая классификация «длинных прямых Зоргенфрея»;

линейная гомеоморфная классификация пространств непрерывных функций, заданных на «длинных прямых» и наделенных топологией поточечной сходимости;

вывод формулы общего вида функционала на пространствах непрерывных функций, наделенных топологией компактной сходимости и заданных на произведениях S х [1,а], где а - произвольный ординал, на «длинных прямых Зоргенфрея» S_a и на произведениях прямых Зоргенфрея S*¹, пє N.

Методы исследования. В работе используются методы топологии и функционального анализа: метод разложения Пелчинского пространств непрерывных функций в произведение, метод трансфинитной индукции, арифметика порядковых чисел.

Научная новизна. Основные результаты диссертационного исследования, полученные автором, являются новыми и определяются следующими положениями, выносимыми на защиту:

Проведена топологическая классификация произведений S х [1,а], где а - произвольный ординал.

Проведена линейная гомеоморфная классификация пространств непрерывных функций, заданных на «длинных прямых Зоргенфрея» и наделенных топологиями поточечной и компактной сходимости;

Проведена топологическая классификация «длинных прямых Зоргенфрея».

Проведена частичная линейная гомеоморфная классификация пространств непрерывных функций, заданных на «длинных прямых» и наделенных топологией поточечной сходимости.

Получен общий вид функционала на пространствах непрерывных функций, наделенных топологией компактной сходимости и заданных на произведениях прямой Зоргенфрея на произвольные отрезки ординалов, на «длинных прямых Зоргенфрея» S_a и на произведениях прямых Зоргенфрея Sⁿ, п Є N.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут использоваться в научных исследованиях и спецкурсах для студентов и аспирантов механико-математических факультетов, специализирующихся по топологии и функциональному анализу. Используемые методы исследования данной работы могут быть полезны при исследовании свойств пространств непрерывных функций, заданных на линейно упорядоченных топологических пространствах.

Достоверность и обоснованность всех полученных результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование в форме теорем.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались на научном семинаре кафедры теории функций ММФ ТГУ (руководитель профессор СП. Гулько) и докладывались на научных конференциях:

1. Международная (44-й Всероссийская) молодежная школа-конференция «Современные проблемы математики и ее приложений», 27 января - 2 февраля 2013 г.

2. IV Международная молодежная научная конференция «Актуальные проблемы современной механики сплошных сред и небесной механики». Томск 17-19 ноября 2014 г.

3. 53-я международная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 11-17 апреля 2015 г.

4. 54-я международная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 16-20 апреля 2016 г.

Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в восьми работах, в том числе четыре работы в журналах из перечня ВАК [1-4].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и списка обозначений. Работа изложена на 76 страницах. Список литературы включает 25 наименований, в том числе 4 работы автора по теме диссертации.

Топологическая классификация пространств 5х [1,а]

Следовательно, существует точка (жо,бо ) Є 5 х {w} такая, что ( {і}и{ьу);н, Таким образом, для любого п Є N существуют номера in, jn такие, что (Жо,п)є(с п, п), (1.1) для всех п Є N. Так как р - гомеоморфизм, то lim (р(хо,п) = (р(хо,ш). п— оо Переходя к подпоследовательности, можно считать, что если к п, то (р(хо,п) (р(хо,к) для любых п к. Ясно, что выполняется условие р(хо,п) р(хо,ш) и р{хо,п) р{х0,к) р{хо,ш) для любого п Є N. Для некоторых i,j Є N существует номер гп такой, что (р(хо,п) Є /f и ір(хо,к) Є /f и /f П Zf = 0, к ф п. Кроме того, выполняется неравенство l\ /? ... i ... фо,ш). Следовательно, для любой последовательности {l/nj Li, Уп Ц получаем, что \imyn = p(x0,u}) (1.2) к— oo В силу равенства 1.1 точка (х0,п) Є (с и, і и), то существует число єп такое, что (ж0 + п,п) Є (с? „ ,d? 4 ), п Є N. Очевидно, что точки (Х0 + Єп, П) Ап оо (Ж0, ) в пространстве S х [1,о;], а образы этих точек tp(x0 + єп,п) Є if, п Є N, и по (1.2) р(х0 + ( ( 0,Cj). Таким образом, получили противоречие с непрерывностью (/?-1. П Следствие 1.3. Пространства S и S х [1, о;] we являются гомеоморф-ными. Используя теорему 1.4 и следствие 1.3, получаем следующий результат. Следствие 1.4. Пространство 5х[1,ш] ме гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства S. Данное утверждение следует из того, что любое замкнутое подпространство прямой Зоргенфрея без изолированных точек гомеоморфно S [20], а при гомеоморфизме 5х[1,ш] в5, образ пространства S х [1,ш] является пространством без изолированных точек.

Теорема 1.5. Пусть а - произвольный ординал. Тогда пространство S х [l,6 ja бо ] не гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства S х [1,бо а]. Доказательство. Доказательство проведем методом трансфинитной индукции. Пусть а = 0. Согласно следствию 1.4, пространство S х [1,ш] не гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства S. Предположим, что для всех (3 7 пространство S х [1,и и] не гомеоморфно никакому замкнутому подпространству пространства S х [1,бог]. Докажем, что предположение индукции выполнено для ординала 7- Предположим, что существует гомеоморфизм if : S х [1, ио1 ио\ S х [1, 6 Л] такой, что (p(S х [1, w7 -ш]) = F, где F - замкнутое подпространство в пространстве S х [1,о;7]. Рассмотрим точку (ж, и;7) Є S х { х 7}. Пусть ( (ж,бо 7) = (у, ). Покажем, что 5 = ш1. Предположим, что 5 ш1. Так как отображение (р

S x [1является непрерывным, то для любого є 0 и р 5 существует открыто-замкнутая открестность (х — Є\,х] х ( ,6 J7] С S х [1,бо 7 х ] такая, что (р((х-єі,х\ х ( ,w7]) С (у -є, у] х ( ,] как замкнутое подмножество в S х [1,о;7]. Из предложения 1.1 следует, что (х — є\, х] х [, w7] S х [1, w7]. Представим ординал 5 в следующем виде 6 = ш 1 щ + ... + а/т пто, где /3\ 02 ... (Зт} Пі,П2, ,пт Є N. Тогда по теореме 1.1, [1,] [l, /1 Пі]. Применяя теорему 1.3 получаем (р((х-єі,х\ х ( ,w7]) С (у -є, у] х (р,] С5х [1,] 5х [1, -пі] Sx [l, 1]. Следовательно, /?((ж — і,ж] х ( ,6 J7]) гомеоморфно вкладывается как замкнутое подпространство в S х [l, 1]. Так как (ж — Єі,х] х ( ,6 J7] П—т 00 оо,6 J7], то пространство S х [1,6 J7] гомеоморфно вкладывается в S х [l, 1], что невозможно, поскольку и)1 5 и131 п1, и значит, и)1 и/31+1 — и/31 . и_ Следовательно, 5 = UJ1 И, значит, ( (S1 х { х 7}) С S х {со1}. Аналогично можно доказать, что (p(S х {ш1 п}) С S х { х 7} для всех п Є N. Так как 5 х { х 7} замкнутое подмножество в5х [1, 7]. Игл (х ш1 -п) = (ж,бо 7-бо ). Точка (X UJ1 -UJ) Є 5х { х 7-бо }. Следовательно, р MJ (5 х {w7 п}) [_\ (S х {w7 UJ})\ cSx {ш1}. В силу того, что S х {ш1 п} 5 для любого п Є N

Следствие 1.5. Пусть а - произвольный ординал. Тогда пространства S х [1}ша UJ] и S х [1}ша] не являются гомеоморфными.

Следствие 1.6. Пусть а, [5 - произвольные ординалы и а [5. Пространства S х [1,а] S х [1,/3] тогда и только тогда, когда а [5 Доказательство. Пусть if : S х [1,а] — S х [1,/3] гомеоморфизм и (3 а. Представим ординалы а и (3 в виде [7] а = и)11 п1 + и)12 П2... + и)1т пт, /3 = uS1 -m1+uj52 m2 ... + UJSI гщ. Так как а /3, то 51 71 В силу того, что отображение (р гомеоморфизм и по предложению 1.1 получаем, что S х [1,6 J71 П1] S х [l, 1 m1]. В свою очередь по теореме 1.3 имеем S х [1,бо 71] S х [lju/1], где 51 71 Заметим, что в силу теоремы 1.5 неравенствоUJS1 UJ11-UJ невозможно. Следовательно, u/1 UJ11 UJ = UJ11+1 и 51 71 Тогда, uj61{rri1 + 1) w71(m1 + 1) UJ11 UJ. Таким образом, а [5 UJS1 т1 + UJS1 = ujd1(rri1 + 1) UJ11 UJ = а UJ. Последнее равенство верно, так как

Доказательство. В силу предложения 1.1 мы можем считать, что г] = uja п, а {; = UJ13 т. Предположим, что существует гомеоморфизм (р : R х [1,иа п] — R х [1,и/ т]. Расссмотрим компакт F = {1} х [1,иа п] С Rx [l,6 ja п] гомеоморфный отрезку ординалов [1,и/ п]. Пусть 7Г : R х [1,UJP т] — [1,и/ т] - отображение проектирования 7г(г/, 7) = 7- Для доказательства теоремы достаточно показать, что отображение (7Г о ( )_р : F — [1,0; т] является гомеоморфизмом. Поскольку (7Г о V )F непрерывное отображение компакта, то достаточно показать, что отображение является биекцией F на отрезок [1,и/ т]. Рассмотрим точки (1,7)? (1? 5) Є f, 7 / Если (7Г о у)(1,7) = (7Г о у)(1, (5) = г, то это означает, что (/9(1,7) = (2/?r) а (l? ) = (z?r)- В силу связности прямой R, (p(R х {7}) С R х {г} и р(К х {5}) с R х {т}. Но это невозможно, так как ( _1(Ж. х {г}) - связное множество. Таким образом, тго(р - инъективное отображение. Докажем теперь, чтоtp(F) = [l,ojP-m\. Пусть т Є [1, со13 тп]. Поскольку (р - гомеоморфизм, то существует точка (ж,7) Є R х [1}ша п] такая, что ip(x f) = (0,г). В силу связности множества ip(R х {7}) cRx {г} и, следовательно, (/9(0,7) = (2/?г) Для некоторого у Є R. Но тогда (7Г о ( )(0,7) = т. Таким образом, 7Г о if является биекцией компакта F на отрезок ординалов [1, or т].

Пространства непрерывных функций, заданные на «длинных прямых Зоргенфрея»

Для любой непрерывной функции ж Є Cp(S\.n) выполнены условия \x(tn) — x(t)\ Єо для некоторого п Є N или ж( ) — ж() Єо для некоторого А / + 7, т. е. \fn(x)\ єо или \f (x)\ SQ. Так как \fn(g)\ о для всех п Є N и \f (g)\ Єо для всех А / + 7, то в силу неравенств (2.7) и (2.8) функцияg Е1. Таким образом, равенство (2.19) доказано.

Докажем равенство (2.5). Пусть у Є М\.п. Рассмотрим произвольное семейство функционалов {ді}ієі С Lp(S\.m), \1\ А. Поскольку у Є МА.П, то для семейства функционалов {/г}гЄі = {Т #г}гЄі Є Lp{S\.n) существует непрерывная функция х Є Cp(S\.n) такая, что (f 9i )(x) = (f 9i )(y) для любого і Є X. Отсюда, по определению отображения Т получаем, что дг(Тх) = дг(Ту) для любого і Є I. Так как Тх = Тх Є Cp(S\.m), то Ту Є M\.m. Значит, Т(М\.п) С М\.т. Аналогично доказывается обратное включение, если в доказательстве вместо отображения Т рассмотреть отображение (Т ) = (Т ) : Lp(S\.n) — Lp(S\,m). Из равенства (2.5) имеем Мх.т = f (МА.„) = T(Cp(Sx.n) 0 span{XA1, , ХхЛ) = f (Q,(S,A.n))eT(span{xA1, ,XAJ) Q,(S,A.m)eT(span{xA1, ,XAJ) = Cp(Sx.m) 0 span{f(xA1), ,T(XAJ}-С другой стороны, по определению Mx-m = Cp(Sx.m) 0 spanJXA1, , XAm} Из последних двух равенств, учитывая, что все дополнения к пространству Cp(Sx-m) в пространстве Mx-m являются алгебраически изоморфными, заключаем что spanJXA1, , XAm } span{f (ХА1 ),, Т{ххп)} Но это невозможно, так какп m и функции Т(хх1 ) , Т(ххп) линейно независимы в m-мерном пространстве span{xA15 Xxm} Пусть Y1 - семейство попарно непересекающихся топологических пространств и Y = (J) Y1 - их топологическая сумма. Тогда известно, что CP{Yi) ПОД) Определение 2.1. Произведением пространств О (Ку) ио типу CQ называется подпространство 9 = І9 } еА Є П Cp(l y) : Ує 0 лш-во{7 : sup \g7(t)\ є} конечно 7ЄА ІЄУ7 J в произведении Yi Cp(Yy). Будем обозначать его через (Y[ Cp(Yy))Co. 7ЄА jA Из этого определения следует, что для любого элемента g Є ( П Cp(Yy))Co множество {7 : sup \g (t)\ = 0} счетно. 7ЄА teY7 Нетрудно видеть также, что ( Y[ СрС у)) линейное подпростран-ство в YI Ср( у) и 7ЄА (П CP(YI))C0 І9 Є Ср(фУ ) Ve 0 {7: sup \g(t)\ є} конечно 7ЄА [ 7ЄА ІЄУ7 Если М7 С Ср(Х) для любого 7 Є А то произведение (ГХуЄА у) определяется аналогично 2.1. Отметим некоторые свойства пространства S и Cp{Sa). Предложение 2.1. Длл пространств Sa и Cp(Sa) справедливы следующие свойства: 1. Любой компакт в пространстве Sa подобен некоторому отрезку ординалов [1,7?] и отображение подобия является гомеоморфизмом; 2. Если К - непустой компакт в пространстве Sa, то существует непрерывная ретракция г : Sa — К; 3. Если X - дополняемое подпространство в Cp(Sa), то все дополнения к пространству X линейно гомеоморфны. Доказательство. Докажем, первое свойство. Пусть К - компакт в Sa. Поскольку Sa - линейно упорядоченное множество, то и К С Sa также является линейно упорядоченным множеством. Рассмотрим произвольное подмножество А С К и покажем, что А имеет минимальный элемент. Положим 70 = min{ f Є [1,а] : А П Yy = 0}. Если 70 _ предельный ординал из отрезка [1,ск], то Yl0 = 70 и 70 минимальный элемент множества А. Если 70 непредельный ординал, то есть 70 = С + 1 Для некоторого Є [1,а], то У +і = (0,1] и К П У +і -счетный компакт. Если множество А П У +і не имеет минимального элемента, то существует последовательность t\ t tn ..., tn Є А П 1 +і, не имеющая предельной точки в К, что противоречит компактности К. Таким образом К - вполне упорядоченное подмножество линейно упорядоченного множетства Sa и, значит, существует отображение подобия (р : К — [1,77], где ц - некоторый ординал. Отображение if является непрерывным. Действительно, если точка to Є К и to не является изолированной в К: то существует последовательность t\ 2 tn ..., tn Є К, tn — to- Поскольку if - подобие, то Lp{ti) p(t2) ... p{tn) ... p(t0). Если 7o = supncp(tn) p(t0), то мы получаем противоречие с тем, что отрезок [( -1(7о), to] содержит точку tn для некоторого п Є N, но (p(tn) [7о? ty o)]- Следовательно, supn(p(tn) = (p(to)} то есть (fi(tn) — (p(to) в пространстве [1,77]. Поскольку К - компакт и отображение (р - непрерывная биекция, то р - гомеоморфизм К на отрезок ординалов [1,77].

Докажем свойство 2. Для произвольного непустого компакта К С Sa определим ретракцию г : Sa — К по формуле t, если/: G К; r{t) = { min{k Є К : k at}, если/; ф Кnt k0 = тах{к : к Є К}; ко, если/ Knt ко = тах{к : к Є К}. Нетрудно видеть, что отображение г - непрерывно иг2 = г. Докажем свойство 3. Рассмотрим операторы (I — Р)\м М N и (I — Q)\N : N М и покажем, что ((I - Р) о (I - Q))\N = IN и ((I-P)o(I-Q))\M = M. Пусть п Є N. Тогда (I-P)\MO(I-Q)\N(TI) = (I-P)(n-Qn) = n-Qn-Pn+(PoQ)n = n-Qn. Так как Рп = О, Qn Є X и, значит, P(Qn) = Qn, получаем, что ((I - Р) о (I - Q))(n) = п. Второе равенство доказывается аналогично. Из этих равенств следует, что отображение (/ — Р)\м является непрерывной линейной биек-цией подпространства М на подпространство N и ((/ — Р)\м) 1 = (I — Q)\N: ТО есть пространства М и N линейно гомеоморфны. П Теорема 2.2. Пусть ш\ а [5. Пространства Cp(Sa) и Cp(Sp) линейно гомеоморфны тогда и только тогда, когда пространстваСр[1, а] и Ср[1,(3] линейно гомеоморфны.

Доказательство. Необходимость. Пусть Т - линейный гомеоморфизм пространства Cp{Sa) на пространство Cp(Sp), где а (3. Предположим, что пространства Ср[1,а] и Ср[1,/3] не являются линейно гомео-морфными. Отождествляя точку t = 1 Є Y1 с точкой 7i можно считать, что компакт [1,/3] С Sp. Положим L = supp[l,/3] С Sa, где supp[l,/3] = [J suppT (57. Известно [3], что подмножество L С Sa яв 7Є[1,/3] ляется компактом и обладает свойством: если/ь=0,тоТ/М]=0. (2.9) Поскольку компакт L является вполне упорядоченным множеством в пространстве Sa и, значит, подобен некоторому отрезку ординалов [1,77]. В силу компактности L, отображение подобия является гомеоморфизмом компакта L и отрезка ординалов [1, rj\, наделенного порядковой топологией. Следовательно,

Cp[l,rj\ Cp(L). (2.10) Поскольку компакты в пространстве иа являются ретрактами, то существует непрерывный оператор продолжения U : CP(L) — Cp(Sa), действующий по формуле Ux = х о г для любого х Є CP(L). Это означает, что пространства Cp(Sa) и Cp(Sp) можно представить в виде

Cp(Sa) = Cp(Sa,L) х CP(L) и Cp(Sp) = Cp(S [1,(3]) x Cp[1,/3], где Cp(Sa,L) - подпространство всех непрерывных функций х Є Cp(Sa,L) таких, что х\= 0. В силу свойства (2.9), пространство T(Cp(Sa, L)) содержится в пространстве (7 (5/?, [1, /3]). Кроме того, отображение Р : Cp(Sa) — Cp(Sa,L), действующее по формуле Рх = х — U(X\L) = х — X\L Г является непрерывным проектором. Следовательно, пространство Cp(Sa,L) является дополняемым в пространстве Cp(Sa), а, значит, и пространство T(Cp(Sa,L)) является дополняемым в пространстве С? (5/?, [1,/3]). Следовательно, существует замкнутое подпространство Z С Cp(S/3, [1,/3]) такое, что

Пространства непрерывных функций, заданные на «длинных прямых»

Тогда на замкнутом множестве LT.a \ G функция y\bT.a\G непрерывна. Следовательно, по теореме Титце-Урысона функцию существует непрерывная функция х Є Cp(LT.a) такая, что х{и) = у (и) для всех и Є LT.a \ G.

Тогда в силу (3.2) fi(x) = fi(y) для любого і Є X, то есть у Є Ма. П Отметим некоторые свойства функций ж Є Ма Предложение 3.3. Пусть х Є Ма. Тогда 1. если гіо = (т (7 + 1), 0) Є Га; то сущестует ординал г], 0 г] г такой, что функция х постоянна на интервале ((г 7 + Т), 0), (г (7 + 1),0)) м; следовательно, существует limu Uo-oX(и) = х(щ — 0); 2. для любого є 0 существует лишь конечное число точек щ Є Га таких, что \х{щ) - lim х(и)\ є и— UQ-0 и, следовательно, функция х может быть разрывна не более чем в счетном числе точек. Доказательство. Утверждение (1) следует из того, что точка (г (7 + 1), 0) = (г 7 + т, 0) не конфинальна ш. Для доказательства утверждения (2) предположим, что существует счетное число точек {мп} 1 С Га таких, что \х{ип) - lim х{ип)\ е. (3.3) и— ип- 0

Пусть мп = (т-(7п+1), 0), 7п ск, п Є N. Так как отрезок ординалов [1, ск] компактен, то множество ординалов {7n} L1 С [1,ск] имеет предельную точку 70, которая конфинальна ш. Но тогда точка (г 70,0) Га, но функция х будет в этой точке разрывна в силу неравенства (3.3). В силу предложения (3.2) это противоречит тому, что функция х Є Ма.

Далее, для доказательства теоремы 3.1 мы построим подпространство Еа С Ма такое, что Еа П Cp(LT.a) = {0} и Еа линейно гомеоморфно С0(Та). Для этого рассмотрим функции /7 Є ШЬта ! 1 -2t, если и= (т (7 + 1), )и0 t 1; 0, в остальных случаях. Очевидно, что функция /7 непрерывна во всех точках и Є Ьт.а, кроме точки щ = (т (7 + 1), 0) и 1 = /7(м7) = lim /7(м) ф lim /7(м) = 0, и— vn-\-0 и— и7- 0 В сиду предложения (3.2) функции /7 Є Ма для любого 7 о/.. (В случае а = т,1т = Х(г-г,0)-) оо Z г=1 Для любой последовательности вещественных чисел Л = {А } 1 Є Q0 и любой последовательности функций {/7} 1 С Ма рассмотрим функцию оо Е Л- (3-4) Так как функции N zN = Хг- 1Ъ є Ма г=1 равномерно сходятся к функции z, то функция z непрерывна во всех точках и Є LT.a, за исключением точек иъ = (т (7« + 1), 0), а в точках иъ функция z непрерывна справа. Следовательно, по предложению (3.2) z Є Ма. Поскольку точки и1п неконфинальны ш, то Ит 0EAi Z7iM) = Ит 0Хп ЦП{Ц) = (3-5) и— и /п —О и—їи /п —и г=1 Положим Еа = f Ц : А = {AJg1 Є с0, {7,}1 С [1,«). г=1 (В случае а = т, {7І}І 1 С [1,т].) Нетрудно видеть, что Еа С Ма - линейное подпространство, ЕаГ\Ср(Ьт.а) = {0} и отображение Ф : С0(Га) — Еа: определенное формулой оо оо ф(ЕА - ) = ЕА - (3-е) г=1 г=1 является линейным гомеоморфизмом пространства С0(Га) на Еа. Предложение 3.4. Ма = Ср(Ьт.а) 0 Еа.

Доказательство. Включение Ср(Ьт.а) 0 Еа С Ма очевидно, так как оба пространства входят в Ма. Пусть теперь функция х Є Ма. По предложению (3.3) существует лишь счетное число точек иъ, в которых функция х не является непрерывной, причем иъ Є Га для любого і Є N и в этих точках функция х непрерывна справа. Положим ш(х,иъ) = х(иъ) — \\ти и _0X(U). Тогда по предложению (3.3) Hindoo 6 j(ж, w7i) = 0 и, следовательно, функция z = YltL1 ш(хі иъ) ЦІ Є Ма. Рассмотрим функцию оо у = х- 2и(х,иъ) -1ъ = х- Z г=1 В силу равенства (3.5) Игл у (и) = lim х(и), и— и п —0 и— и7п —0 а у(и1п) = х{и1п) - ш(х,и1п)11п(щп) х{и1п) - {х{и1п) - lim х{и)) = lim х{и), и— uln— 0 и— uln— 0 то есть функция у непрерывна слева в точках и1п. Поскольку функция у Є Ма и непрерывна слева в точках и1п1 п Є N, получаем, что у Є Cp(LT.a). Итак, х = у + z, где у Є Cp(LT.a), a z Є Ea. Единственность такого представления следует из того, что Cp(LT.a) П Еа = {0}.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует линейный гомеоморфизм Т пространства Ср(Ьт./з) на пространство Cp(LT.a): (3 а. Поскольку пространства Ср(Ьт./з) и Ср(Ьт.а) всюду плотны в пространствах ШЬта и ШЬт/3 соответственно, то линейный гомеоморфизм Т может быть продолжен до линейного гомеоморфизма Т пространства ШЬт/3 на пространство ШЬта [17]. Известно [2], ЧТО СОПрЯЖеННЫМ К ПрОСТраНСТВсіМ Cypy±jT.a) и Ж. та является пространство Lp(LT.a) состоящее из функционалов вида где pk Є Ш \ 0 и 5tk(x) = x{tk) для любого х Є MLra, к = 1,... ,п. Покажем, что Т{Мр) = Ма. Пусть функция у Є Мр. Рассмотрим произвольное семейство функционалов { ?«}«/ Є Lp(LT.a), где \1\ \т\. По определению множества Мр для семейства функционалов {fi}iei = {Т ді}іЄх Є Lp(LT.p) существует непрерывная функция х Є Cp(LT.p) такая, что ({T 9i})(x) = ({f 9i})(y) для любого і Є X. Отсюда, по определению отображения Т : Lp(LT.a) — Lp(LT.p) получаем, что ді(Т(х)) = ді(Т(у)) для любого і Є I. Поскольку Т(х) Є Cp(LT.a), то функция Т(у) Є Ма. Таким образом, Т(Мр) С Ма. Аналогично доказывается обратное включение, если вместо отображения Т рассмотреть отображение (Т ) : Lp(LT.p) — Lp(LT.a). Рассмотрим пространство Еуз С Мр. Поскольку Ер гомеоморфно Со(Тр) (3.6), то отображение U = Т о ф является линейным гомеоморфизмом пространства Со(Г#) в Ма, причем /(Г#) П Cp(LT.a) = {0}.

Обозначим через х7, 0 7 Д характеристическую функцию точки щ = (г(7 + 1),0) Є Тр. Заметим, что для любой последовательности различных точек 7п С [0, (3) и для любой последовательности скаляров спЄІ последовательность функций сп х7п Є Со(Г#) поточечно сходится к нулю. Следовательно, и последовательность U{cn-x n) 0 поточечно. Для любого 0 ц а рассмотрим точку щ = (т(г) + 1),0) Є Га и множество

Л = {7: (С/(Х7)Ж) 0}, О г] а. Нетрудно видеть, что множество Ац является конечным для любого г] Є [0, а). Далее рассмотрим множество А$ = ІХєЮа) А? (— [0,/3). Ясно, что \Ао\ = \а\. Так как а и (3 - начальные ординалы и по предположению \/3\ \а\, то [0,/3) \ Ао\ = \/3\. Если 7 Є [0,/3) \ А), то (Х7)1га = 0- Таккак?7(х7) Є Ma\Cp(LT.a), то для любого 7 Є [0,/3)\Л0 функция 7(х7) разрывна слева хотя бы в одной точке щ из множества Га. Для каждой точки щ Є Га определим множество Вц = {7 Є [0, /3) \ Ло : U{xi) разрывна слева в точке щ}. Ясно, что что противоречит 3.7. Следовательно, существует ординал 7]о [0, а) такой, что ІД0І Щ. Пусть {7n} Li С Ду0. По определению BV0: все функции (х7п) разрывны слева в точке ищ и 11{х1п){ищ) = 0. Так как функции U(x-/n) непрерывны на промежутке ((г т)о,0), (т(г]о + 1),0)) и точкам = (т(г)о + 1),0) = (т-г]о + т}0) не конфинальна х , то существует точка (г г]о + Jn,0) Є ((г 7о, 0), (г(т7о + 1),0)), 5п т, такая, что и{ХъЖт Щ, 0), (г(77о + 1), 0)) = U(Xln)(r Vo + „, 0). Так как функция U(x-/n) разрывна в точке (т(г]о + 1),0), то 7(х7п)(т щ + 5П}0) = 0. Подберем константы сп так, что и(сп-х п)(т-гіо + 5п,0) = 1. Пусть #о = suPn п- Поскольку точка (т(г)о + 1), 0) не конфинальна о;, то т-щ+8о г(т7о + 1) и, следовательно, (т-г]о+5о,0) (т(г)о + 1),0). Отсюда следует, что и(сп-х-/п)(т 7о + о, 0) = 1 для любого п Є N, что противоречит тому, что функции сп Х7п поточечно сходятся к нулю. Таким образом, пространства Cp(LT.a) и Cp(LT.p) не являются линейно гомеоморфны. Теорема 3.2. Пусть а и [5 счетные или конечные ординалы. Тогда пространства Cp(La) и Ср(Ь/з) являются линейно гомеоморфными. Утверждение этой теоремы следует из того факта, что для любого счетного ординала а пространство La гомеоморфно отрезку [0,1] с естественной топологией.

Общий вид функционалов на пространствах Cc(Sa) и Cc{Sx[l,a\)

Далее рассмотрим общий вид функционала на пространстве непрерывных функций CC{S х [1,о;]) с топологией компактной сходимости. Здесь а - произвольный ординал и отрезок ординалов [1,а] наделен стандартной порядковой топологией. В доказательстве предыдущей теоремы мы использовали тот факт, что все компакты на прямой Зорген-фрея являются счетными ретрактами. Если а - счетный ординал, то в пространстве S х [1,а] все компакты также являются счетными ретрактами, и, значит, теорема 4.1 верна для пространства CC{S х [1,а]). Если а - несчетный ординал, то компакт К С S х [1, а] не обязательно является ретрактом. Пример. Пусть Ко = {(— ,ол)}=\ С S х {aj\}. Тогда К = Ko[J({0} х [1,бо і]) С S х [1,бо і] не является ретрактом. Действительно, предположим, что существует ретракция г : S х [1,бо 1] — К. Тогда в силу непрерывности г для точек кп = ( ,ш1) С К существует окрестность (( r1 1, -1/] х (an,uj1\) такая, что г{{—} х (скта,о1]) = кп. I v Пусть «0 = supan. Тогда г(—,а0 + 1) = кп. п В силу непрерывности ретракции г(—, а0 + 1) - г(0, «0 + 1) = (0, а0 + 1). с другой стороны г(—,о?0 + 1) = кп. Таким образом, получили противоречие. Докажем аналогичную теорему об общем виде функционала пространства S х [1,а] на компакт К, не опираясь на существование ретракции. Теорема 4.3. Для любого элемента а Є l1(S х [1,а]) формула f(X)= J2 a{t)x{t) (4-13) іє5х[1,а] задает линейный непрерывный функционал на линейном топологическом пространстве CC(S х [1,а]). Верно и обратное: если f : CC(S х [1,ск]) — К. — линейный непрерывный функционал, то существует единственный элемент а Є l1(S х [1,а]) такой, что для любого х Є Cc(Sx[l,a]) /(ж) = а( )ж( ) (4.14) іє5х[1,а] Доказательство. Пусть а Є l (S х [1, а]) и у Є CC(S х [1,а]). Тогда j2Ht)y(t)\ Lj2Ht)\ ІЄ5 Последнее неравенство выполнено, поскольку \y(t)\ L для любого Є К. Так как а Є l\(S х [1, а]), то L ( ) оо. ІЄ5 В силу того, что ряд сходится, определение функционала является корректным. Линейность функционала / очевидна. Докажем его непрерывность. Пусть є 0, рассмотрим окрестность О(0, Kf, 6) = {у Є CC(S х [1,а]) : у( ) 6,Ш Є і }: где Тогда, для любой функции у Є 0(0, Kf,S) получаем, Е \a(t)\ что оо оо Є оо 5 ( М ) 1/Ы1 Є. J а(%() а() = n=l n=l n=l Пусть теперь / : CC(S x [1,o;]) — К. — линейный непрерывный функционал. Для є = 1 существует окрестность окрестность 0(0, Kf,S) = {х Є Ос(5 х [1,а]) : \x(t)\ 6,Vt Є Kf\ такая, что для любой функции х Є 0(0, Кf,6), \f(x)\ 1. (4.15) \KJ п х\к = 0, то в силу линейности функционала / получаем, что \f(nx)\ = n\f(x)\ 1. Следовательно, f(x) = 0. Это означает, что если функции ж, ж Є CC(S х 1,а]), то жк = х \к = /(ж) = /(ж ). (4.16) Если функция х\ к = 0, то \f(x)\ 1. Так как для любого п Є N функция

Рассмотрим нормированное пространство (C(Kf), .) с нормой \\у\\ = maxt&K\y(t)\. Поскольку прямая Зоргенфрея S - паракомпактное пространство [17] и отрезок ординалов [1,а] - компакт, то S х [1,а] - паракомпактное пространство [17]. Все паракомпактные пространства являются нормальными [17]. Тогда по теореме Титце-Урысона [17], существует непрерывное продолжение у. Для любой функции у Є C{Kf) определим функционал / : C(Kf) — К. по правилу / (у) = f(y). В силу формулы 4.16 это определение является корректным. Покажем, что Функционал / - линейный: /(да/1 + М = f(ay1 + М = f(ay1 + Рт) = af(y1) + Pf(y2) = а/Ы + М Ы Второе равенство выполено в силу формулы 4.16. Покажем, что / -непрерывный на пространстве (C(Kf), .). Поскольку функционал / является линейным, то достаточно показать его ограниченность. Пусть у Є C(Kf) и \\у\\ 1. Нетрудно видеть, что существует непрерывное продолжение у Є C(Sх [1, ск]) такое, что \(y)(t)\ 1 для любой точки t Є 5х [1,а]. Функция \ (y)(t)\ 5 и, следовательно, эта функция (у)() Є О(0, Kf, 5).Тогда по (4.15) (/(2(l/X ))! 1 И, следовательно, / (у) = f(y)\ 2g. Таким образом, функционал / является ограниченным.

Заметим, что компакт Kf С S х [1,а] является разреженным. Действительно, если мы рассмотрим произвольное подмножество А С Kf и его проекцию Р[1,«] : Л — [1,а], то множество P[1;Q,](A) имеет изолированную точку 70- Так как Kf П S х {70} счетный, то существует изолированная точка (&,70)- Нетрудно видеть, что эта точка является изолированной в множестве А.