Эллиптические уравнения для мер Шапошников Станислав Валерьевич

Неравенство Харнака

При получении нижних оценок для плотностей решений эллиптических уравнений для мер ключевую роль играет неравенство Харнака. Здесь мы исследуем зависимость константы в неравенстве Харнака от коэффициентов эллиптического уравнения. Для этого приходится воспроизводить основные этапы доказательства теоремы 8.18 в [7]. Отметим, что в замечании к теореме 8.20 из [7] указана нужная нам зависимость константы от коэффициентов уравнения, но без обоснования.

При указанных условиях функция и имеет локально гельдерову версию, в частности, эта версия локально ограничена на, ft (см. теорему 8.22 в [7]). Вместе с нашими предыдущими оценками это дает (1.2.4) дляг% вместо и с постоянной требуемого вида, не зависящей от є, в случае R = 1, у = 0. Полагая є — 0, получаем нужную оценку и для н. Случай R 1 сводится к рассмотренному случаю заменой переменных ж = у + ii!z. Функция v(z) = м(у + зі?) удовлетворяет уравнению d2i(a jdz.v-Rbiv) = 0. Поэтому В надо заменить на BR, а постоянные у и а оставить без из менения. Теорема доказана. Отметим, что идея и метод доказательства неравенства Харнака будет нами использоваться в третьей главе.

Используя неравенство Харнака, мы получим нижние оценки для плотности д решения эллиптического уравнения для мер. Пусть неотрицательная локально конечная борелевская мера /и, удовлетворяет уравнению (1.3.1), причем, функции [Л(ж) и 4(ж)_1 локально ограничены, аи Є W QR1 ), для некоторого р d, коэффициент Ъ = (Ъг) - локально ограниченное векторное поле. Согласно доказанному в [26], при указанных условиях на коэффициенты А и b мера її задается плотностью д Є W (M ) относительно меры Лебега. В частности, функция д обладает непрерывной версией. Интересно сравнить полученные нижние оценки с верхними оценками из работ [34] и [27]. Предположим, что вероятностная мера/І с плотностью д удовлетворяет уравнению (1.3.1), причем отображения А и А-1 равномерно ограничены, а%3 равномерно липшицевы и при некотором р d имеет место включение 6 Є 1?(ц)- Пусть дана положительная функция Ф Є W (Rd).

Предположим, что вероятностная мера ц на Rd удовлетворяет эллиптическому уравнению (1.3.1). Предположим также, что существует неотрицательная функция. V Є С2 (Ж ) такая, что limix_ +oo V(x) = +оо.

С помощью полученных оценок можно указать эффективно проверяемые условия принадлежности к 1Р((л) логарифмического градиента VQ/Q меры /І. В случае р — 2 простые достаточные условия получены в работах [22], [23]. Первый общий результат для р 2 недавно установлен в работе [34]. Найденное ниже условие усиливает этот результат, поскольку мы не требуем дифференцируемости коэффициента сноса и используем меньшую регулярность коэффициента диффузии (в работе [34] предполагается, что atj Є C3(Rd) и 6 Є C2(Rd)). Ослабление условий на коэффициенты стало возможным из-за того, что здесь, в отличие от [34], не используются методы теории нелинейных уравнений. Пусть LP{ji) - пространство всех измеримых функций, которые интегрируемы в степени р относительно меры {і с непрерывной положительной плотностью на W1. Обозначим через Wl,p(fi) соболевское пространство функций, которые принадлежат пространству LP(fi) вместе с их обобщенными частными производными первого порядка. Доказательство. Можно считать, что в 3. Согласно [26], при указанных условиях fi имеет положительную непрерывную ПЛОТНОСТЬ Q из класса Wl (Md).

Достаточные условия неединственности

Для всякого шара Uk существует такое число Сі (к) 0, что д(х) С\(к) для всех х Є Uk- Поэтому из неравенства (2.2.6) немедленно следует оценка Vw„2((/fc) Сг(А;), причем число Сг(&) не зависит от п. Так как supUk \ип\ 2М, то Ц пЦь2 ) Сз(к), где Сз(/с) также не зависит от п. Следовательно, для всякого шара Uk имеет место равномерная по п оценка 11 11 1.2(1) С {к). Выберем при к = 1 слабо сходящуюся в Wl,2{U\) последовательность {иП1}}. Далее, если уже выбрана слабо сходящаяся в W1,2(Uk) последовательность {иПкз}, то из неё выбираем последовательность, которая слабо сходится в W1,2(C4+i)- Переходя к последовательности {ип }, можно считать, что {ип} слабо сходится к некоторой функции и в Wl,2(Uk) для всякого к 1. Следовательно ип сходится по норме в L2{Uk) для всякого к 1. Пусть к 1 произвольное натуральное число. Фиксируем шар Uk, натуральное число I 2 + d/2 и числа к — 1 = si si-i ... SQ — к. Пусть Ubi - шар радиуса st с центром в точке х = 0. Ясно, что Uk-i С USi С Uk- Существует такое натуральное число TV = N(k), что для всех п N функция ип удовлетворяет уравнению L Un = —C ip на шаре Uk- Пусть п,т N. Тогда Cfj,(un — ит) = 0 на Uk- Согласно теореме 8.10 из [7]. имеет место оценка \\ип — ит\и +і,2(и,г+1) C(st,st+i,Q,а)\\ип - um\\Wl,2{uSi), (2.2.7) где W0,2(USo) := L2{Uk). Если последовательность {ип} сходится к и в Whl(UsJ, то согласно оценке (2.2.7), {ип} сходится к и в Wt+1 2(USt+1). Повторяя это рассуждение для 0 г I — 1 и используя теорему вложения С. Л. Соболева Wl 2(Uk-i) С C2(Uk-i), 2 I — d/2, получаем, что последовательность {un}n N равномерно сходится к и в C2{Uk-i) и, следовательно, и Є C2(Uk-i), supC/fc_1 \и\ 2М и L u = —С ір на шаре Uk-i- Так как к было выбрано произвольным образом, то для всякого шара U существует такое число N — N(U), что для всех п N функции ип Є СІ(U) и {un}n N сходится ки в Cl{U) и, более того, LpU = —Иір. Согласно лемме Фату и теореме Лебега об ограниченной сходимости, из неравенства (2.2.5) следует оценка / \Vu\2gdx / \V(p\2gdx-2 (a,V(p)udx. (2.2.8) JRd JR JR Поэтому функция и не может совпадать с функцией — ip + c ни для какой константы с, так как иначе из оценки (2.2.8) и условия / (a, V(p) dx = О JRd немедленно следовало бы неравенство / {a,V p)tpdx О, JRd вопреки условию теоремы. Положим г? = и+ір+ЗМ. Заметим, что v О, C v = 0 и v не константа. Отметим сходство условий этой теоремы с условием леммы 2.1 из [8].

Для того, что бы привести пример уравнения (2.1.1), имеющего, по крайней мере, два различных вероятностных решения, достаточно сделать следующее. Во первых, задать векторное поле а и функцию /?, удовлетворяющие условиям теоремы (2.2.1). Во вторых, фиксировать произвольную гладкую (C(Rd)) строго положительную функцию д, WQWL1 ) = 1. В третьих, вычислить векторное поле 6 по формуле (2.2.1). Тогда уравнение (2.1.1) с таким коэффициентом 6 имеет два различных вероятностных решения, одно из которых есть мера/і = cigdx, а второе -мера v = C2V/J,, где сі и С2 - нормирующие константы, функция v есть решение уравнения (2.2.2), которое существует согласно теореме 2.2.1. Приведем примеры таких а и ip, что div а = 0 и условия теоремы 2.2.1 выполняются.

Фиксируем а и для различных функций ip\ и (2, удовлетворяющих условиям теоремы 2.2.1, построим согласно этой теореме решения V\ и г 2 54 Теорема 2.2.1 гарантирует, что 1, г?і и 1,172- пары линейно независимых функции. При каком условии на ірі и (/ можно утверждать, что функции 1, v\ и 172 линейно независимы? Следующая теорема, в частности. отвечает и на этот вопрос. Теорема 2.3.1. Пусть п I. Предположим, что существуют такие функции pi, fi2, Лг+і класса C (M.d), что для каждой из них выполнены условия теоремы, 2.2.1, и V\_, 1)2, -, I7n+i решения уравнения (2.2.2), построенные при помощи этих (функций согласно гпеореме2.2.1.

Пусть и = ипП- YH=iakUk и tp = (рп+1 - Тл=іак Рк- Как в теореме 2.2.1, построим для каждого 1 і п + 1 последовательности уц и, соответственно, последовательность щ = уц — (ft- Повторяя рассуждения теоремы 2.2.1, выбираем последовательность функций uiti3. такую, что для всякого шара U С Rd существует такое число N = N(U), что для всех j N функции и ц Є C$(U) и {uyj jv сходится к мі в Cl{U). Далее, если уже выбрана такая последовательностьщ ., что для всякого шара U С Rd существует такое число TV = N(U,i), что для всех j N функции Uij, є СІ(U) и {wi, }j iv сходится к щ в С(и), то как в теореме 2.2.1 выбираем из последовательности {ui+i,ij}j i последовательность функций iti+i 1 , которая сходится к Wj+i-

Этот пример легко обобщить на любое число функций (pi. Более того, можно привести пример уравнения (2.1.1). у которого существует счетная последовательность линейно независимых вероятностных решений, в частности, пространство ограниченных решений такого уравнения бесконечномерно. Для этого достаточно найти такую последовательность неотрицательных ограниченных решений {г і}і і уравнения (2.2.2), что функции 1, {vi}i i линейно независимы. Согласно сказанному выше (см. теорема 2.3.1 и замечание 2.3.3). следует задать поле а с div а = 0 и семейство функций {(fi}ieN, удовлетворяющих условиям теоремы 2.2.1, причем таких, что при каждом п для функций i, ipi,..., ipn\-i выполняется условие (2.3.3).

Положительность плотности решения

В компактном случае всегда существует инвариантная вероятностная мера. В случае всего пространства W1 требуются дополнительные условия. Просто формулируемые достаточные условия весьма общего вида были предложены Р.З. Хасьминским3. В теории эллиптических уравнений решения уравнения (1) для функций (т.е. фактически для плотностей мер fj,) изучались под названием „сопряженных решений", см. работы4,5. Такие решения существенно отличаются по своим свойствам от решений обычных дивергентных или недивергентных эллиптических уравнений. Например, даже в одномерном случае с гельдеровыми коэффициентами решение может быть лишь гельдеровым и не иметь первой производной. В последние 15 лет уравнения L /i = 0 активно исследовались В.И. Богачевым, Н.В. Крыловым, М. Рёкнером, В. Штаннатом, G. Metafune, D. Pallara, A. Rhandi (см. работы6 7 8 9-10 11 12 13 14 15).

Уравнение (1) позволяет исследовать диффузионные процессы с сингулярными коэффициентами. Как было установлено В. Штаннатом13 14, изучение этого уравнения без каких-либо предположений о существовании диффузионного процесса с производящим оператором L оказывается полезным для построения такого процесса. Таким образом, вероятностные решения уравнения L /x = 0 являются исходным пунктом построения и исследования диффузионного процесса, особенно в случаях сингулярных коэффициентов. Кроме того, такие уравнения появляются при исследовании бесконечномерных диффузий как уравнения на конечномерные проекции инвариантных мер (см.6 10). При этом коэффициент b оказывается очень сингулярным, и единственное, что можно утверждать о нем - интегрируемость относительно решения. Сингулярность коэффициентов делает неприменимыми классические результаты из теории эллиптических уравнений в частных производных.

Достаточные условия существования решения уравнения TLffi — 0 получены в работах Р.З. Хасьминского, В.И. Богачева и М. Рёкнера (см.3 8). При построении решения существенную роль играет априорная оценка W -HopMM решения эллиптического уравнения второго порядка на внутренней области Qf С Q через правую часть уравнения и І -норму решения на большей области Г2. Такая оценка доказывается в первой главе диссертации.

Единственность решения исследовалась В.И. Богачевым, М. Рёкне-ром, В. Штаннатом11. Ими были получены достаточные условия единственности, изучена взаимосвязь единственности решения уравнения и единственности инвариантной меры у соответствующей полугруппы, построен пример уравнения с единичной матрицей Л и гладким коэффициентом Ь, которое имеет по крайней мере два вероятностных решения. Однако оставалось неясным, при каких условиях появляется неединственность в случае гладких коэффициентов и какова может быть размерность симплекса вероятностных решений. Отметим также, что единственность и неединственность решений задач, связанных с эллиптическими уравнениями, исследовались О.А. Ладыженской16, Н.С. Надира-швили17, М.В. Сафоновым18. В.В. Жиковым19-20.

Важные результаты о регулярности решения получены В.И. Богачевым. М. Рёкнером и Н.В. Крыловым9. В частности, ими было установлено, что если отображения А и А-1 равномерно ограничены, aij Є W (Rd) и tf Є Llc(Rd) или b{ Є Lploc{/j,) для некоторого р d, то решение [і задается плотностью д Є Wl((№.d) относительно меры Лебега. Более того, если Ьг Є U}0C(M.d), то непрерывная версия д является строго положительной функцией, что немедленно следует из неравенства Харнака (см.21,22) для слабых решений эллиптических уравнений. В последнем утверждении даже при единичной матрице А нельзя заменить условие Ьг Є L oc(M.d) на условие Ьг Є Щос{ц) или даже на более сильное; условие Ьг Є Lrloc{fi) для всех г 1. Необходимость иметь условия строгой положительности в терминах интегрируемости сноса Ь относительно меры /І, а не меры Лебега, появляется при исследовании уравнений вида (1) как уравнений на конечномерные проекции решений слабых эллиптических уравнений для мер в бесконечномерных пространствах (см.6 10). Глобальные свойства решений исследовались в работах6,7 15 12.

Получить достаточные условия неединственности вероятностных решений эллиптических уравнений для мер с единичной матрицей диффузии и гладким сносом. Исследовать размерность симплекса вероятностных решений. Найти достаточные условия для строгой положительности непрерывной версии плотности решения в терминах интегрируемости сноса относительно решения. Получить оценки снизу на плотность решения без предположений о дифференцируемости сноса. Исследовать интегрируемость логарифмического градиента решения. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: 1. Для плотности д решения уравнения h fi = О получена оценка д(х) С1ехр(-С2\х\ 3+1) в предположении, что коэффициент диффузии А равномерно ограничен вместе с А-1, отображение А равномерно липшицево и функция \Ь(х)\ имеет мажоранту C(l + \xf). В качестве применения найдены эффективные достаточные условия для включения \Vg/g\ в класс LP{li). 2. Получены достаточные условия существования двух и более линейно независимых вероятностных решений уравнения L /i = 0 с единичной матрицей диффузии и гладким сносом b в предположении, что одно вероятностное решение уже известно. Кроме того, построен пример такого уравнения для мер, симплекс вероятностных решений которого бесконечномерен. 3. Доказано, что если А и А 1 равномерно ограничены, А равномерно липшицево, то экспоненциальная интегрируемость сноса Ьг относительно решения ji уравнения L // = 0 влечет существование у меры ц непрерывной строго положительной плотности относительно меры Лебега.