Содержание к диссертации
Введение
1 Задачи о наименьшем уклонении 14
1.1 Примеры оптимизации 14
1.1.1 Обращение симметричной матрицы 14
1.1.2 Задача на собственные значения 15
1.1.3 Явные методы Рунге-Кутты 15
1.1.4 Другие приложения 16
1.2 Анализ оптимизационных задач 16
1.3 Чебышёвские подпространства 18
1.4 Задача Лебедева 19
2 Чебышевское представление многочленов 21
2.1 Вещественные гиперэллиптические кривые 22
2.1.1 Пространство гомологии и решётка 23
2.1.2 Пространство дифференциалов на кривой 25
2.2 Многочлены и кривые 25
2.2.1 Устойчивость чебышёвского представления 27
3 Представления пространства модулей 28
3.1 Четыре определения 28
3.1.1 Пространство Тайхмюллера 29
3.1.2 Деформационное пространство клейновой группы 29
3.1.3 Пространство лабиринтов 30
3.2 Вспомогательные результаты 31
3.2.1 Фундаментальная группа пространства модулей 31
3.2.2 Пространство модулей - орбиты группы Mod 32
3.2.3 Топология деформационного пространства 33
3.2.4 Группа разветвлённого накрытия х(и) 33
3.2.5 Действие модулярной группы на группе (5 35
3.2.6 Эквивалентность лабиринтов 36
3.2.7 Квазиконформная деформация 37
3.3 Эквивалентность представлений 38
3.3.1 Изоморфность Тдк и Q* 39
3.3.2 Изоморфность Тдк и Щ 42
3.3.3 Изоморфность CgiiGg 45
4 Разбиение пространства модулей на клетки 46
4.1 Кривые и деревья 46
4.1.1 Слоения и глобальная функция ширины 46
4.1.2 Граф Г кривой М 47
4.1.3 Характеристики графа Г 48
4.1.4 Свойства графа кривой, 48
4.1.5 Восстановление кривой М по ее графу Г 50
4.2 Координатное пространство графа 53
4.2.1 Координатное пространство в пространстве модулей 54
4.3 Классификация экстремальных многочленов 58
5 Уравнения Абеля 61
5.1 Отображение периодов 62
5.1.1 Гомологическое расслоение и перенос циклов 62
5.1.2 Расслоение дифференциалов и отображение периодов 63
5.1.3 Свойства отображения периодов 63
5.2 Уравнения Абеля на пространстве модулей 66
5.3 Образ отображения периодов 68
6 Вычисления в пространстве модулей 73
6.1 Теория функций в модели Шоттки 74
6.1.1 Линейные тэта ряды Пуанкаре 74
6.1.2 Сходимость линейных рядов Пуанкаре 75
6.1.3 Организация суммирования рядов Пуанкаре 77
6.1.4 Автоморфные функции и их струи 79
6.2 Вариационная теория -. 81
6.2.1 Зависимость дифференциалов от модулей 81
6.2.2 Вариации абелевых интегралов 82
6.2.3 Квадратичные тэта ряды Пуанкаре 84
6.2.4 Формулы Хейхала 85
6.2.5 Базис квадратичных тэта рядов Пуанкаре 87
6.3 Вычисление многочленов 89
6.3.1 Параметрическое представление 89
6.3.2 Уравнения Абеля в пространстве Gg 90
6.3.3 Схема алгоритма 91
6.4 Открытые вопросы 92
Заключение 93
Литература 95
- Анализ оптимизационных задач
- Устойчивость чебышёвского представления
- Фундаментальная группа пространства модулей
- Координатное пространство в пространстве модулей
Введение к работе
В начале 1850-х годов П.Л.Чебышёв совершил поездку в Англию для ознакомления с высокими технологиями того времени. Вернувшись в Россию, он занялся чисто инженерной задачей о минимизации трения в шарнирах параллелограмма Уатта, передававшего вращение от паровой машины на колёса. Следствием исследований стала замена парал-лелограммного механизма на кривошипно-шатунный, использующийся по сей день. Как сопутствующий продукт технического прогресса были открыты многочлены Чебышёва, вошедшие с тех пор во все учебники и названные Ж.Бертраном ип miracle d'analyse. Именно эти многочлены оказались решениями простейших задач об условной минимизации на пространстве вещественных многочленов
{Pn(i) = fc/}^r+1 (0.1)
величины уклонения
||P„||E:=max|Pn(x)|,
Е - компакт на вещественной оси. За минувшие полтора века паровые машины вышли из употребления, однако интерес к задачам о "наименьшем уклонении сохранился [13, 50]. В наши дни он связан, например, с оптимизацией численных алгоритмов [93, 39] и обработкой сигналов [4, 73]. Приведём примеры типичных задач.
Задача А: Пусть Е - совокупность нескольких вещественных отрезков. Минимизировать норму \\Рп\\е многочлена при заданных линейных связях на его коэффициенты со,сі, ...,сп. Задача Е.И.Золотарёва [50] соответствует Е = [—1,1] и нескольким заданным старшим коэффициентам многочлена.
Задача Б: Найти максимальный отрезок Е — [0, t], t > 0, для которого единичный шар {Рп : \\Рп\\е < 1} пространства (0.1) пересекается с плоскостью коразмерности г, образованной многочленами, приближающими в нуле ехр(—х) с порядком г— 1. Задача (В.И.Лебедева) возникает при построении устойчивых явных схем (г — 1)-го порядка точности для интегрирования жёстких (stiff) систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численное решение подобных экстремальных задач при практически интересных степенях п « 1000 известно своей трудностью. Существующие на сегодняшний день алгоритмы Ремеза [44, 94, 83], Лебедева [91], Пехерсторфера-Шифермайра [101], методы выпуклого программирования [45, 50] требуют больших вычислительных затрат по следующим причинам, (і) Решение ищется итерациями в пространстве высокой (порядка п) размерности и (ii) норма многочлена - негладкая и трудновычисляемая функция его коэффициентов.
От этих недостатков свободен классический подход, при котором решение принято давать в виде явной формулы [43]. Сто пятьдесят лет назад электронных цифровых машин
не существовало, поэтому итерационные методы решения не считались удовлетворительными. Первые задачи о наименьшем уклонении были решены в терминах параметрических выражений (П.Л.Чебышёв [57], 1853 и Е.И.Золотарёв [22], 1868 ):
Тп(и) :— cos(nu); х(и) := cos(u), ибС, (0.2)
Zn{u) := I
H(a + u)
H(a - и)
+
Н{а - и)
Н(а + и)
(0.3)
snV)W(a) ие sn^(«) — sn2(a)
где Н(-) - эллиптическая тэта функция в (устаревших) обозначениях Якоби [52], sn(-) - эллиптический синус того же модуля А; Є (0,1), фазовый сдвиг a := тпК(к)/п, га = 1,2, ...,п — 1, К (к) - полный эллиптический интеграл модуля к. Эти параметрические формулы можно понимать так. Функция х(и) является автоморфной относительно группы 65, разрывно действующей в комплексной плоскости. Многообразие орбит С/(5 является сферой Римана в первом случае и тором - во втором. Выражения для Тп(и), Zn(u) корректно определены па соответствующих факторах и оказываются многочленами степени п от переменной х. Как видим, классические решения связаны с алгебраическими кривыми небольшого рода д = 0,1, а сложность их вычислений не зависит от степени п многочлена.
Новизна предлагаемого подхода к задачам наименьшего уклонения в равномерной норме - это поиск решения не во всем пространстве многочленов (0.1), а на некоторых его маломерных подмногообразиях. Открытый П.Л.Чебышёвым принцип альтернанса [13, 50], в дальнейшем объясненный выпуклым анализом, говорит о типичности следующей ситуации. Подавляющее большинство критических точек решения Т(х) - простые со значениями ±||Т(х)||; и лежат на множестве Е. Такие многочлены весьма специфичны и заполняют в пространстве (0.1) многобразия малой размерности. Вот геометрическая интерпретация. Решению экстремальной задачи соответствует касание (линейного) многообразия, описывающего в пространстве (0.1) ограничения задачи, и сферы, образованной многочленами одинаковой нормы. Шар, порождённый равномерной нормой, есть выпуклый криволинейный многогранник: его граница не является гладкой, но разбита на гладкие грани разных размерностей. Маломерные грани шара являются его наиболее выступающими частями и неудивительно, что касание различных плоскостей и этих граней осуществляется наиболее часто. Так, у старого чемодана наиболее истёрты углы; карандаш падает на пол как правило острием, а не плашмя и т.д. Напротив, многомерные грани шара являются линейчатыми многообразиями и могут касаться линейных многообразий по континууму - соответствующая задача на минимум не будет однозначно разрешима. Мы покажем, что многочлены, наиболее часто встречающиеся среди решений задач наименьшего уклонения, имеют описаный выше вид. Эти наблюдения приводят к следующему определению:
Вещественный многочлен Р(х) назовем (нормированным) g-экстремальным многочленом, если все его критические точки, за исключением g из них, простые со значениями ±1. Параметр g этого определения (= количество исключительных критических точек) подсчитывается по формуле
д= ord Р'{х) + [lord Р'(х)], (0.4)
х: Р{х)ф±Х х: Р(х)=±1 г
где ord Р'(х) - порядок нуля производной многочлена Р в точке х єС, [] - целая часть числа. Многочлены с параметром экстремальности д = 0 и д = 1 были открыты полтора века назад и известны как многочлены Чебышёва и Золотарёва соответственно. Графики нескольких 2-экстремальных многочленов приведены на рис. 6.3. В приложении к задачам о наименьшем уклонении важны многочлены с небольшим д.
Цель диссертации - описание, параметризация и эффективное вычисление ^-экстремальных многочленов.
Идейно и технически предлагаемый подход к решению задач о наименьшем уклонении в равномерной норме более сложен, чем упомянутые ранее. Выгода же его в том, что сложность вычисления решения по явным аналитическим формулам не зависит от степени п многочлена, что ясно видно для классических формул Чебышёва и Золотарёва. Вместе с тем, объём вычислений быстро растёт вместе с параметром д, поэтому естественная область применения этого метода - большая степень п решения при малом числе связей на его коэффициенты и малом числе компонент множества Е.
Многочлены, а также рациональные и алгебраические функции, с небольшим числом критических значений - классический предмет математического исследования, находящийся на стыке непрерывного и дискретного. Одна традиция в этих исследованиях восходит к А.Гурвицу ([89], 1891) и связана с перечислением разветвлённых накрытий над сферой, изучением стратов возникающего дискриминантного множества, отображения Ляшко-Лойенги, парами Белого и детскими рисунками Гротендика. Этот подход интенсивно развивается в последнее время московской математической школой - см. комментарии и библиографию к задаче 1970-15 в "Задачах Арнольда" [5], также диссертацию [28]. Так, в работе [106] изучаются многочлены с двумя конечными критическими значениями - многочлены Шабата - и их приложения к теории чисел.
Другая традиция в исследованиях восходит к П.Л.Чебышёву ([57], 1853), а по существу к Н.Абелю ([64], 1826). Она связана с изучением уравнения Пелля1 с полиномиальным коэффициентом, разложениями в цепные дроби и условиями вырождения гиперэллиптических интегралов, при которых они выражаются через логарифмы. Обзор этого направления можно найти в [46, 49]. Характерной особенностью этой второй традиции являются эффективные вычисления и связь с приложениями. Учитывая приведённую в начале работы мотивацию, мы избираем второй подход и хотим довести его до эффективных компьютерных расчётов [113, 115].
Программа Чебышёва В работе [57] П.Л.Чебышёв отмечает, что решения сформулированных им задач на минимум удовлетворяют уравнению Пелля (=Ферма-Абеля), решение которого он предлагает искать в виде косинуса от гиперэллиптического интеграла. При этом необходимо, чтобы этот интеграл выражался через логарифмы. Соответствующий критерий (хотя и не конструктивный) давал остроумный метод Абеля. Для эллиптических интегралов эта программа исследований была намечена самим П.Л.Чебышевым, и полностью выполнена его учеником Е.И.Золотарёвым в 1868-1877 годах [22,23]. Следующее крупное продвижение по реализации чебышёвской программы принадлежит Н.И.Ахиезеру, применившему в этих задачах язык геометрической теории функции комплексного переменного. В 1928 году Н.И.Ахиезер предложил [6] для решения задачи Золотарёва с тремя
1Диофантово уравнение Р2 — DQ2 = 1, где D - заданный целый коэффициент, а целые Р и Q нужно найти, "изучалось У.Броункером (1657), П.Ферма и Дж.Валлисом. Л.Эйлер по недоразумению связал его с именем Дж.Пелля" [35]. Н.Абель первым рассмотрел [64] то же уравнение с коэффициентом D{x) -многочленом. Автор работ [91, 92] предлагает называть последнее уравнение именами Ферма и Абеля
фиксированными коэффициентами использовать анзатц, включающий функции Шоттки кривых рода д = 2. Применение анзатца не было однако полностью обосновано. Например, не была выяснена разрешимость системы трансцендентных уравнений (Абеля) по определению параметров анзатца. Методология этой работы основывалась на аппарате функций Грина надлежаще разрезаной плоскости, что затемняло связь задачи с алгебраическими кривыми. К сожалению, Н.И.Ахиезер в дальнейших исследованиях [7, 9] по теории приближений ограничился применением эллиптических функций, т.е. по сути использовал многочлены Золотарёва.
В последние 15 лет мы наблюдаем возобновление интереса к эллиптическим функциям, теорию которых Ф. Клейн назвал жемчужиной математики XIX века [24]. Интерес этот возник в теории экстремальных и ортогональных многочленов [38, 92, 100], в алгебро-геометрическом подходе в теории интегрируемых систем и рассеянием на двояко-периодических потенциалах [75, 80, 81], комплексно геометрической теории одномерных интегральных уравнений [118, 119]. Работы по реализации геометрического подхода к задачам о наименьшем уклонении в случае рода д > 1 ограничивались до сих пор кривыми с точками ветвления, лежащими на вещественной оси либо окружности [46].
Большой объем знаний, накопленый математиками об алгебраических кривых и их деформационных пространствах позволяет сегодня использовать эти объекты для реальных вычислений. Здесь следует назвать прежде всего пионерские работы А.И.Бобенко ([15], 1986) по нелинейным волнам. Ключом к численному анализу на пространстве модулей алгебраических кривых служит теорема этого автора о том, что вещественные кривые можно униформизовать специальными группами Шоттки &, линейные тэта-ряды Пуанкаре которых сходятся абсолютно и равномерно на компактах в области разрывности группы. Для общих групп Шоттки такой факт неверен (А.Пуанкаре даже считал что это неверно всегда) - историю вопроса и обзор результатов см. в [65, 97].
Анализ оптимизационных задач
В начале 1850-х годов П.Л.Чебышёв совершил поездку в Англию для ознакомления с высокими технологиями того времени. Вернувшись в Россию, он занялся чисто инженерной задачей о минимизации трения в шарнирах параллелограмма Уатта, передававшего вращение от паровой машины на колёса. Следствием исследований стала замена парал-лелограммного механизма на кривошипно-шатунный, использующийся по сей день. Как сопутствующий продукт технического прогресса были открыты многочлены Чебышёва, вошедшие с тех пор во все учебники и названные Ж.Бертраном ип miracle d analyse. Именно эти многочлены оказались решениями простейших задач об условной минимизации на пространстве вещественных многочленов Е - компакт на вещественной оси. За минувшие полтора века паровые машины вышли из употребления, однако интерес к задачам о "наименьшем уклонении сохранился [13, 50]. В наши дни он связан, например, с оптимизацией численных алгоритмов [93, 39] и обработкой сигналов [4, 73]. Приведём примеры типичных задач.
Пусть Е - совокупность нескольких вещественных отрезков. Минимизировать норму \\РП\\Е многочлена при заданных линейных связях на его коэффициенты со,сі, ...,сп. Задача Е.И.Золотарёва [50] соответствует Е = [—1,1] и нескольким заданным старшим коэффициентам многочлена.
Найти максимальный отрезок Е — [0, t], t 0, для которого единичный шар {Рп : \\РП\\Е 1} пространства (0.1) пересекается с плоскостью коразмерности г, образованной многочленами, приближающими в нуле ехр(—х) с порядком г— 1. Задача (В.И.Лебедева) возникает при построении устойчивых явных схем (г — 1)-го порядка точности для интегрирования жёстких (stiff) систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Численное решение подобных экстремальных задач при практически интересных степенях п « 1000 известно своей трудностью. Существующие на сегодняшний день алгоритмы Ремеза [44, 94, 83], Лебедева [91], Пехерсторфера-Шифермайра [101], методы выпуклого программирования [45, 50] требуют больших вычислительных затрат по следующим причинам, (і) Решение ищется итерациями в пространстве высокой (порядка п) размерности и (ii) норма многочлена - негладкая и трудновычисляемая функция его коэффициентов.
От этих недостатков свободен классический подход, при котором решение принято давать в виде явной формулы [43]. Сто пятьдесят лет назад электронных цифровых машин не существовало, поэтому итерационные методы решения не считались удовлетворительными. Первые задачи о наименьшем уклонении были решены в терминах параметрических выражений (П.Л.Чебышёв [57], 1853 и Е.И.Золотарёв [22], 1868 ): где Н(-) - эллиптическая тэта функция в (устаревших) обозначениях Якоби [52], sn(-) - эллиптический синус того же модуля А; Є (0,1), фазовый сдвиг a := тпК(к)/п, га = 1,2, ...,п — 1, К (к) - полный эллиптический интеграл модуля к. Эти параметрические формулы можно понимать так. Функция х(и) является автоморфной относительно группы 65, разрывно действующей в комплексной плоскости. Многообразие орбит С/(5 является сферой Римана в первом случае и тором - во втором. Выражения для Тп(и), Zn(u) корректно определены па соответствующих факторах и оказываются многочленами степени п от переменной х. Как видим, классические решения связаны с алгебраическими кривыми небольшого рода д = 0,1, а сложность их вычислений не зависит от степени п многочлена.
Новизна предлагаемого подхода к задачам наименьшего уклонения в равномерной норме - это поиск решения не во всем пространстве многочленов (0.1), а на некоторых его маломерных подмногообразиях. Открытый П.Л.Чебышёвым принцип альтернанса [13, 50], в дальнейшем объясненный выпуклым анализом, говорит о типичности следующей ситуации. Подавляющее большинство критических точек решения Т(х) - простые со значениями ±Т(х); и лежат на множестве Е. Такие многочлены весьма специфичны и заполняют в пространстве (0.1) многобразия малой размерности. Вот геометрическая интерпретация. Решению экстремальной задачи соответствует касание (линейного) многообразия, описывающего в пространстве (0.1) ограничения задачи, и сферы, образованной многочленами одинаковой нормы. Шар, порождённый равномерной нормой, есть выпуклый криволинейный многогранник: его граница не является гладкой, но разбита на гладкие грани разных размерностей. Маломерные грани шара являются его наиболее выступающими частями и неудивительно, что касание различных плоскостей и этих граней осуществляется наиболее часто. Так, у старого чемодана наиболее истёрты углы; карандаш падает на пол как правило острием, а не плашмя и т.д. Напротив, многомерные грани шара являются линейчатыми многообразиями и могут касаться линейных многообразий по континууму - соответствующая задача на минимум не будет однозначно разрешима. Мы покажем, что многочлены, наиболее часто встречающиеся среди решений задач наименьшего уклонения, имеют описаный выше вид. Эти наблюдения приводят к следующему определению:
Вещественный многочлен Р(х) назовем (нормированным) g-экстремальным многочленом, если все его критические точки, за исключением g из них, простые со значениями ±1. Параметр g этого определения (= количество исключительных критических точек) подсчитывается по формуле где ord Р (х) - порядок нуля производной многочлена Р в точке х єС, - целая часть числа. Многочлены с параметром экстремальности д = 0 и д = 1 были открыты полтора века назад и известны как многочлены Чебышёва и Золотарёва соответственно. Графики нескольких 2-экстремальных многочленов приведены на рис. 6.3. В приложении к задачам о наименьшем уклонении важны многочлены с небольшим д.
Идейно и технически предлагаемый подход к решению задач о наименьшем уклонении в равномерной норме более сложен, чем упомянутые ранее. Выгода же его в том, что сложность вычисления решения по явным аналитическим формулам не зависит от степени п многочлена, что ясно видно для классических формул Чебышёва и Золотарёва. Вместе с тем, объём вычислений быстро растёт вместе с параметром д, поэтому естественная область применения этого метода - большая степень п решения при малом числе связей на его коэффициенты и малом числе компонент множества Е.
Многочлены, а также рациональные и алгебраические функции, с небольшим числом критических значений - классический предмет математического исследования, находящийся на стыке непрерывного и дискретного. Одна традиция в этих исследованиях восходит к А.Гурвицу ([89], 1891) и связана с перечислением разветвлённых накрытий над сферой, изучением стратов возникающего дискриминантного множества, отображения Ляшко-Лойенги, парами Белого и детскими рисунками Гротендика. Этот подход интенсивно развивается в последнее время московской математической школой - см. комментарии и библиографию к задаче 1970-15 в "Задачах Арнольда" [5], также диссертацию [28]. Так, в работе [106] изучаются многочлены с двумя конечными критическими значениями - многочлены Шабата - и их приложения к теории чисел.
Устойчивость чебышёвского представления
Напомним ряд понятий из геометрии вещественных гиперэллиптических кривых [37]. Компактная комплексная кривая Мс рода д называется гиперэллиптической, если она допускает конформную инволюцию J с2д + 2 неподвижными точками. При д 1 такая инволюция единственна (если она есть), при д — 0, 1 инволюций J бесконечно много. Кривая Мс называется вещественной, если она допускает антиконформную инволюцию J (отражение). Независимо от рода, антиконформных инволюций может быть несколько, поэтому следует рассматривать пару (Мс, J). Посмотрим, как взаимодействуют эти понятия. Если кривая Мс допускает гиперэллиптическую J и антиконформную J инволюции, то при д 1 они коммутируют (JJJ - другая гиперэллиптическая инволюция). При д = 0, 1 это вообще говоря не так и мы потребуем, чтобы J J = J J. Перестановочность инволюций означает, что J действует на CPi = Mc/J. Антиконформная инволюция сферы Римана меняет местами внешность и внутренность своей изометрической окружности. Точки самой изометрической окружности либо неподвижны (как у Jx = 1/х), либо переходят в противоположные точки (как у Jx = —1/х). Таким образом, вещественные гиперэллиптические кривые распадаются на два класса: те, у которых фактор MC/{J, J) ориентируем (=диск) и те, у которых он неориентируем (=проективная плоскость). Далее мы рассматриваем только первый класс - вещественно ориентируемые гиперэллиптические кривые.
Поднимем окружность, неподвижную при действии J, со сферы на кривую Мс. Мы получим на кривой вещественные овалы, неподвижные при действии J на Мс и ковещест-венные овалы, неподвижные при действии JJ. Если на указанную неподвижную окружность сферы проецируются 2к, к = 0,1, .., ? + 1, точек ветвления (=неподвижные точки инволюции J) кривой, то при к 0 на Мс будет ровно к вещественных и к ковещест-венных овалов, проекции которых на неподвижную окружность перемежаются. Случай к = 0 выпадает из общей картины: при чётном д будет только один овал, вещественный или ковещественный; при нечётном д будет два одноимённых овала.
Вещественно ориентируемые гиперэллиптические кривые имеют удобную алгебраическую модель (2.1), в которой все точки ветвления es различны и образуют симметричный относительно вещественной оси дивизор ветвления е := {еа}Д і . На рис. 2.1 жирными линиями обозначена система разрезов Л на С \ е, во внешнести которых функция иг(х) допускает однозначную ветвь. Кривую М(ё) можно представить себе как два листа С \ Л, склееные крест накрест по разрезам. Компактификация Мс кривой (2.1) получается добавлением пары точек на бесконечности: оо+ на верхнем листе и оо_ иа нижнем. В этой модели гиперэллиптическая и антиконформная инволюции имеют вид J(x,w) := (x,—w); J(x,w) := (x,w). При таком выборе J проколы оо± лежат на вещественном овале и топологический инвариант к вещественной кривой М можно определить как число её кове-щественных овалов.
На кривой М есть два прокола оо±, поэтому к привычным 2д независимым 1-циклам следует добавить цикл, огибающий один из проколов (любой). На (2д-Ы)-мерном вещественном пространстве гомологии Ні(М ,Ж) естественно действует антиконформная инволюция J, расщепляя его в сумму собственных подпространств Н (М; Ж), отвечающих собственным числам ±1. Чётные 1-циклы С удовлетворяют равенству JC = Си образуют подпространство Ні(М;Ш). Нечётные 1-циклы С, определяемые условием JC = —С, дают подпространство Нї(М; R). Примеры д чётных и д+l нечётных циклов на кривой М в случае к 0 показаны на рисунках 2.1а, 2.16 соответственно (прерывистая линия означает, что контур проходит по нижнему листу). Сумма Coo := CQ + Сї + С2 + ... + С гомологична циклу, окружающему прокол кривой на бесконечности и порождает выделенное одномерное подпространство Н (М) в Нї(М). Первые к — 1 чётных циклов С , С, С _х и первые к нечётных циклов CQ ,Сї, ...,С _г рисунка выбраны канонически - это соответственно суммы нескольких вещественных овалов кривой и ковещественные овалы. Для оставшихся д — к + 1 циклов каждого набора естественного выбора не существует, с этой проблемой мы ещё столкнёмся.
Лемма 2 При к 0 циклы Cf, s = 1,... ,д, и С , s = 0,1,..., д, рисунка 2.1 образуют базисы в соответстветствующих пространствах Н (М,Ш), а также в решётках Hf{M,Ъ) := H±(M,R) П #i(M, Z).
Доказательство: Рассмотрим пространство Н\{МС, {оо±}; Z) относительных гомологии, образованное 1-цепями компактной поверхности, граница которых лежит в проколах М. Относительные 1-циклы мы будем считать функционалами над Ні(М;Ш), целочисленными над решёткой H\{M;7L). Соответствующее спаривание даёт форма пересечений [17,53].
Нетрудно найти относительные 1-циклы Cj, для которых Cj о С — SjS, j, s = 0,..., д. Каждый такой относительный цикл Cj выходит из со+ и доходит по верхнему листу С\Л до точки ветвления, после чего по нижнему листу уходит в со_. Существование биортого-нального базиса функционалов означает линейную независимость циклов С , s = 0,... ,д в евклидовом пространстве Щ(М,К). Аналогично, циклы С+, s = 1,...,д линейно независимы в пространстве Я+(М, R). Поскольку 2д + 1 dim Н {М) + dim iff (М) = dim#i(M) = 2g + 1, то перечисленные 1-циклы образуют базисы в подпространствах чётных и нечётных гомологии проколотой кривой.
Всякий целый нечётный цикл С можно разложить по базису С . Коэффициентами этого разложения будут целые числа Cs о С-, поэтому рассмотренный базис является и базисом решётки Щ{М,Ж). Для чётных циклов рассуждение аналогично. Сужение формы пересечений на подпространства Н±(М) тривиально: инволюция «7 меняет ориентацию, откуда J С о J С = —С о С, С, С Є НХ(М, Ж). Лишь следующие элементы матрицы пересечений во введённом базисе гомологии не равны нулю:
Для исследования чебышёвской конструкции важна подрешётка Ьм решётки нечётных циклов, порожденная элементами 2CQ, 2Cf,..., 2С _Х\ С, С +1,..., С . При k = 0 решётки Ьм и Щ{М, /І) совпадают, а при к 0 решётку Ьм "бескоординатно" описывает Лемма 3 Если к 0, то следующие две решётки совпадают с Ьм : 1) Проекция решётки 2Н\(М,Щ на подпространство Нї(М,Ш) вдоль Ні(М,Ш). 2) Циклы Нї(М,Ж), имеющие чётный индекс пересечения с каждой компонентой вещественных овалов М (проколы на бесконечности разрывают один из вещественных овалов).
Фундаментальная группа пространства модулей
Построим требуемое отображение / сначала вблизи отмеченного элемента 0. Оно будет отображать фундаментальную область 7(0) на фундаментальную область переменного элемента Q с координатами {с3, rs}f=1 и {c2,r}f=1 в деформационном пространстве и уважать граничные отождествления. Свойство эквивариантности (3.16) позволит продолжить это отображение на всю область разрывности, а по непрерывности - и на предельное множество отмеченной группы. Нужное отображение можно составить из 2д простых "блоков" двух описываемых ниже типов.
Построение: 1) Всякую окружность С3, s = 1,... ,д, можно окаймить лежащими в 72.(0) \ {1} вертикальными полосами как на рис. 3.6а. Сжимая одну из полос в горизонтальном направлении и настолько же растягивая другую, получим квазиконформную деформацию / фундаментальной области, тождественную снаружи этих двух полос и совпадающую с горизонтальным (конформным) сдвигом между полос. Величина этого сдвига равна вариации модуля с3; вариации остальных модулей нулевые.
2) Всякая окружность Са, s = 1,... ,д, является внутренней границей концентрического кольца, целиком лежащего в области 7(0) \ {1} как на рис. 3.66. Радиально (но неравномерно) растягивая/сжимая это кольцо так, чтобы его внешняя граница оставалась неподвижной, и полагая / равным тождественному отображению вне кольца, получим требуемую деформацию фундаментальной области. Вариация га однозначно связана с вариацией внутреннего радиуса кольца, как и вариация с3 при s к; вариации остальных модулей нулевые.
Итак, для двух близких точек 0, 0 деформационного пространства найдётся движение / Є QC(M), переводящее одну точку в другую: / (9, я0) = (Q,x ), где накрытие х(и) фиксировано заранее, а х?(и) определяется деформацией /. Если же точки расположены далеко, то используя компактность соединяющего их пути, можно найти конечную последовательность близких точек 0, 01,..., 0n := 0 связанных при помощи явно построенных выше квазиконформных деформаций f8 (Qs, XS) = (Qs+1,x ), где накрытия xs{u) фиксированы заранее, а х?"{и) определяются деформацией f3. Накрытия xs+1(u) и х (и) согласованы с одной и той же группой, поэтому различаются на афинное движение а3 Є 2lj. По лемме 10.2 о составной деформации, квазиконформное отображение /n_i.. .otifiaofo будет деформировать выделенный элемент 0 в произвольно заданный 0: Доказательство теоремы 8: Корректность и инъективность отображения Тдк(е) — Qg была установлена в леммах 11, 12; сюръективность - в лемме 13. Непрерывность биекции Тдк: «-» Qg относительно метрики Тайхмюллера в Тдк и топологии клетки Qk вытекает из конструкции прямого и обратного отображений, см. также формулу (3.19) для инфинитезимальных квазиконформных преобразований, щ
Найденное в лемме 12 действие модулярной группы на деформационном пространстве нетрудно записать в координатах {c5,ra}f_x. Скручивания Дэна на полоборота по контурам, охватывающим пару проколов на полуплоскости (см. рис. 3.2 б), порождают модулярную группу [70] и действуют на образующие клейновой группы 0 следующим образом на остальные образующие скручивание (3s-k действует тривиально. Средствами школьной геометрии можно показать что такая замена образующих не выводит за пределы нашего деформационного пространства. Преобразование (3.17) похоже на представление Арти-на группы кос в группу автоморфизмов свободно порождённой группы. Как мы сейчас увидим, это не случайно - модулярная группа Mod(e) является группой кос, а (3.17) описывают скольжения универсальной накрывающей пространства модулей.
Доказательство: В лемме б мы установили, что пространство модулей %к -это фактор Тдк(е) по действию модулярной группы. Покажем, что Mod(e) действует на пространстве Тайхмюллера 1) свободно и 2) разрывно, а потому проекция Тдк{-) — Tig является накрытием. Это накрытие будет универсальным, поскольку пространство Тдк = Qg является клеткой по лемме 7. Соответственно, группа скольжений Mod(e) накрытия изоморфна фундаментальной группе пространства модулей, которая по лемме 5 изоморфна группе кос Вгд-к+1 1) Пусть для представителя h Є QC(1HI, е) модулярной группы найдется такое движение / Є QC(M), что fh Є afQC(H., e) с некоторым а Є 21+. Тогда а/е = /е и, раз 21х свободно действует на множестве дивизоров, a = id, откуда h Є QC(IHI, е). Тем самым, h представляет единичный элемент модулярной группы. 2) Преобразования модулярной группы это изометрии пространства Тайхмюллера, поэтому разрывность действия Mod(e) следует из дискретности её орбит. Мы помним из п. 3.1.1, что всякую орбиту модулярной группы заменой выделенного дивизора е можно изометрично перевезти в орбиту, проходящую через выделенную точку [id] пространства Тайхмюллера. Итак, пусть последовательность hn Є QC(H., е) такова, что деформации образующих отмеченной группы сколь угодно малы: G n — G, 5 = 0,..., д. Деформация образующих, вычисленная в (3.14), имеет вид Ggn = hn Gs. Выберем в области разрывности отмеченной группы точку и с тривиальной изотропной группой (например, и = 1). Сходимость G nu — Gsu влечёт hn-Gs — Gs начиная с некоторого п. По теореме 6, тривиальное действие hn на группе означает, что hn представляют единичный элемент модулярной группы, я Отождествление пространства Тайхмюллера с универсальной накрывающей простран ства модулей и с деформационным пространством специальной клейновой группы порож дает две системы локальных координат в Тдк. Во первых, это глобальные координаты (Cs,rs)gs=i в Gg, пробегающие клетку. Во вторых, координаты в Tig, связанные с точками ветвления. Связь между двумя системами координат даёт с Теорема 10 Отображение Икд — Qk вещественно аналитично в локальных координатах. Матрица Якоби этого отображения невырождена, а её элементы эффективно вычисляются с помощью квадратичных рядов Пуанкаре. Доказательство: Для записи нашего отображения в локальных координатах нужно деформировать образующие отмеченной группы при помощи локального сечения (3.4) проекции из леммы 6. Достаточно исследовать отображение вблизи выделенного дивизора е и, если это необходимо, сменить выделенный дивизор вместе с отмеченной группой при помощи леммы 10.2 о составной деформации. За локальные координаты в окрестности отмеченной точки пространства модулей Tig примем независимые вещественные и мнимые части комплексных точек Єї, Є2, ..., e2s, образующих вместе с ±1 простой дивизор ветвления е s е. Неподвижные точки деформированных с помощью /(е, х) образующих отмеченной группы задают отображение {es}a=i — {ся, ra}f=1 в малой комплексной окрестности точки {e }2, : Симметричным дивизорам е в 2д—мерной комплексной окрестности соответствует вещественная 2 -плоскость и вещественные модули с3, г5 0. Мы утверждаем, что: 1) комплексное отображение {е,} ! - {са, r-Jf-j голоморфно, 2) его матрица Якоби явно вычисляется и 3) невырождена. 1) Коэффициент Бельтрами /х(е, х) функции (3.4) голоморфно зависит в пространстве Loo(C) от компонент е. Такой же будет зависимость от е и коэффициента р,(е, и) := ц(е,х)х(и)/х(и), заданного уже на области разрывности ї (0 ). По известной теореме [1], зависимость квазиконформного отображения /(е, ) от параметров е будет аналитической. В частности, голоморфны все функции v(e) := /(е, v), v Є {fix G}f=1, линейными комбинациями которых являются сл(е), ra(e).
Координатное пространство в пространстве модулей
Проведём рассуждения на примере графа рисунка 4.46. Для других графов [Г] используемый ниже прямой метод отличается только вторым шагом, зависящим от комбинаторики графа. В главе 5 мы предложим ещё одно доказательство о вложении координатного пространства графа в пространство модулей, основанное на теореме о неявной функции.
Шаг 1. Отметим точку пространства Л[Г] с координатами {W(V),H(R)}V,R, которой в пространстве модулей соответствует нормированный дивизор ветвления е Э {±1}, граф Го на плоскости переменной х и дифференциал drj0, привязанный к кривой М0. Для точек того же пространства с координатами {W(V),H(R)}V,R, близких к отмеченной, мы определим отображение гребенчатых областей f({W, Н}; rj) : {Г0} — Е{Г}. Это отображение (г) равномерно растягивает/сжимает в вертикальном направлении полосы, ограниченные горизонтальными прямыми, проведёнными через узлы rf(v) :— W(v) + iH(v) ±г 0 на границе гребенчатой области, и на этом фоне (п) сдвигает малые окрестности узлов 77(г») в горизонтальном направлении.
Построение: Высоты H(v), v - узлы на границе Н\Г0, образуют сетку на отрезке [0, 7г]. Рассмотрим функции -домики Куранта «"() этой сетки, т.е. кусочно-линейное восполнение функции, равной единице в узле H(v) и нулю в остальных узлах сетки, см. рис. 4.6а). Определим параметрически зависящие от узлов v вещественные функции переменной 77, меняющейся в невозмущённой гребёнке: где ст(г?) - срезающая функция, равная единице в комплексной окрестности точки rj = О и носителем, малым по сравнению с расстояниями между различными узлами rf{v) на границе гребёнки; #() - ступенька Хэвисайда (равная единице для неотрицательного аргумента и нулю для отрицательного). Наконец, определим деформацию гребенчатой области, параметрически зависящую от точки координатного пространства 4[Г]: первое суммирование в формуле производится по различным узлам H(v) отрезка [0, 7г]; второе - по узлам v границы разрезаной вдоль Г полуплоскости. Приращения 5W(v)+ i5H{v) координат узлов на границе гребенчатой области вызваны смещениями 5W(V) H V) — W(V), 5H(R) := H(R) — H(R) точки в координатном пространстве графа. Приращения в (4.6), которые не равны тождественно нулю для графа на рисунке 4.46, это Лемма 18 При малом смещении {5H(R), SW(V)}V,R О координатном пространстве графа [Г] отображение f({W,H};n) квазиконформно отображает гребенчатую область Е{Го} на {Г} с сохранением граничных отождествлений и порождает отображение f({W, Я}; ) Є QC(M), для которого коммутативна диаграмма Доказательство: Отметим, что для узлов вертикального участка границы гребенчатой области приращения SW(v) = 0. Узлы, вертикальные и горизонтальные ребра границы области {Го} перейдут в одноимённые элементы границы гребенчатой области Е{Г}, построенной по новому набору весов {H(R)+SH(R), W(Y) + SW(V)}iiy при малых 5W(V). Старая гребенчатая область при этом будет квазиконформно отображаться на новую, а коэффициент Бельтрами fi{{W,H},rj) := Д//ч {{W,H}\rj) вещественно аналитически зависит от весов {W(V),H(R)}V,R в пространстве Ьоо(Е{Го}). Проверим перестановочность деформации гребёнки и склеивающих отображений (4.3) для (а) вертикальных и (б) горизонтальных участков границы.
На вертикальных рёбрах границы гребенчатой области склеивающее отображение (4.3), как и деформирующее (4.6), являются линейными функциями от мнимой части г). Поэтому перестановочность деформации и склейки достаточно проверить на концах этих рёбер. Пусть v+, i _ соответствуют узлу V Є Го, но лежат по разные стороны вертикального ребра графа, тогда б) Горизонтальный отрезок [T](V+),T)(V+)] границы гребенчатой области приклеивается к отрезку [r}{vt),n(v_)], если узлы и и v% лежат по одну сторону горизонтального ребра графа Г0, a vt и vi - по другую. Теперь H{vt) = H(vi), H{v%) = #(uj), W{v%) = W(v), W{v+) = WXU-) и перестановочность склейки с деформацией следует из вычислений: Вернёмся к доказательству теоремы 13. Естественно порождаемое деформацией гребёнок отображение верхней полуплоскости f({H,W};x) := 2(77) о /({Я, W};x) о rj(x) определено с точностью до афинных движений из 2lj. Будем поэтому считать, что движение /({Я, И7}; ) фиксирует точки множества {—1,1, со} и продолжим его зеркально в нижнюю полуплоскость. Коэффициент Бельтрами р,{х) := ii({W,H}-,rf(x))fp(x)/f\0(x) квазиконформной деформации / вещественно аналитически зависит от весов [W, Я}. Такой же будет зависимость переменных точек в образе отмеченного дивизора е := {—1,1, е,..., е } от точки координатного пространства графа [Г]. Деформацию е в линейном приближении определяет формула где = означает равенство с точностью до членов порядка 0{,v{5W(y))2 + 12R{SH(R))2); Qs(x)(dx)2 - элемент базиса (3.20) голоморфных в С\е квадратичных дифференциалов конечной площади. Продолжим равенство (4.9): здесь узлы v лежат на границе С\Г, а функции аэ"(-) и (Jv{-) С индексами v из нижней полуплоскости получены из соответствующих функций индекса v с помощью зеркальной симметрии. Продолжим преобразование интеграла При вычислении интеграла по границе графа Г0 следует учесть два обстоятельства: (г) функция г)(х) меняет знак при пересечении вертикальных рёбер графа Г0 и неизменна при пересечении его горизонтальных рёбер; (гг) сумма граничных значений слагаемого 12iio v)5H(v)3ev(Im т](х)) постоянна вдоль вертикальных рёбер графа. Так, в случае нагруженного графа рисунка 4.46 последний интеграл равен где dus := ((e)2 —1) 5( )/ ( ) dx - голоморфный дифференциал в комплексной плоскости, разрезанной вдоль графа Г0. Дифференциал dws меняет знак при гиперэллиптической инволюции J, поэтому беря во внимание выражения (4.7) для приращений 5H(vs), 1-цепь по которой интегрируется du)s можно заметить чётным циклом на кривой MQ. Коэффициенты разложения этого цикла по базису решётки чётных циклов (см. рис. 4.66) это как раз приращения высот Hi, Н?.