Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Множества с не более чем двузначной метрической проекцией на нормированной плоскости 14
1.1. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения 14
1.2. Критерий гладкости нормированной плоскости в терминах не более чем двузначности метрической проекции 27
Глава II. Множества с не более чем двузначной метрической проекцией в трехмерном евклидовом пространстве 35
2.1. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения 35
2.2. 2-выпуклость множеств с не более чем двузначной метрической проекцией в трехмерном евклидовом пространстве при дополнительных ограничениях 39
Глава III. Ограниченно чебышевские и локально чебышев ские множества 46
3.1. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения 46
3.2. Чебышевость локально чебышевских множеств 49
3.3. Критерий строгой выпуклости нормированной плоскости в терминах ограниченной чебышевости 51
3.4. Пример локально чебышевского, но не чебышевского множества 56
3.5. Пример чебышевского, но не локально чебышевского множества 58
Заключение 60
Список литературы
- Критерий гладкости нормированной плоскости в терминах не более чем двузначности метрической проекции
- Обозначения, определения и вспомогательные утверждения
- Чебышевость локально чебышевских множеств
- Пример локально чебышевского, но не чебышевского множества
Критерий гладкости нормированной плоскости в терминах не более чем двузначности метрической проекции
Далее, проведем прямую т через точку (х + у)/2 перпендикулярно [ж,у]. Пусть теперь х — точка из Us0(x): у Є Y. Рассмотрим пересечения всех возможных отрезков \х,у\ с прямой т . Ясно, что эти пересечения образуют некоторый отрезок на прямой т : содержащий точку (х + у) /2. Обозначим через Ъ\ тот из его концов, что лежит в одной полуплоскости с точкой ж, относительно прямой ху: а через &2 другой. Наконец, обозначим через /Зі і. х-\-у /Эх-\-у 7, \ интервал (oi, FT), а через ро интервал ( , 2 Ясно, что оба этих интервала зависят от є : /Зі = /Зі(є),/32 = / (є)- Выберем є настолько малым, чтобы /Зі П М = 0, /З2 П М = 0. Пусть ж = x(t) Є / П dUt(x): х [х-,у\- Покажем, что найдется такое д Є (0, о], чт0 Для всякого t Є (0,) либо у Є Рм{%), либо на дуге х{хх2 окружности dUt(x) существует такая точка х = x (t) Ф ж, что \Рм{х )\ = 2, причем элементы множества Рм{х ) лежат по разные стороны от прямой /. Действительно, исходя из (1.3), получаем, что [хі,Рм{%і)] пересекает только интервал /Зі, а [х2, Рм{%2)] пересекает только интервал /З2. Но тогда в силу полунепрерывности метрической проекции либо на дуге Х\ХХ2 существует точка х = x (t): метрическая проекция которой двузначна, причем один из отрезков, соединяющий эту точку с одним из ее ближайших элементов, пересекает /Зі, а другой — /З2, а значит, ближайшие элементы лежат по разные стороны от прямой /, либо для некоторой точки х этой дуги отрезок (или два отрезка) [х ,Рм{% )] содержит точку {х + у)/2, откуда в силу леммы 1.1 имеем х = х и у Є Рм{% )- Последнее означает, что у Є PM{W) ДЛЯ всякого w Є (ж ,ж), так что полуинтервал [х,х ) С Ut{x) Г\Т\. Заметим, что х = х + t(x — у), т.е. предыдущее в точности дает Рм{% + t(x — у)) = у для любого числа t Є (0,#о), чт0 соответствует первой части утверждения леммы.
Если же у Рм{х {Ь)) для всякого t Є (0,#о), т0 рассмотрим указанную точку x (t) Є Т2, такую, что Рм{х {Ь)) = {y[{t),y t)} = {2/1,2/2}- Имеем [ж ,г/і] П/Зі т 0, [ж , 2/2] П/З2 т 0- Рассмотрим пересечение прямых /і = /((/9) и І2 = l{—(fi) с прямой га . Для каждого угла (/9 выберем такое малое є = є{ср), что интервалы /Зі(є) и / (є) не пересекаются с /і и /2, и в зависимости от этого є в соответствии с условием (1.2) выберем 6 = 6{є) #0- В дальнейшем рассматриваем t 6.
Пусть XiiLp = Xiyip(t) — точка пересечения прямой її с дугой Xi(t)x(t)x2{t): і = 1,2. Будем считать, что точки х\ и х\ лежат в одной полуплоскости относительно прямой /, а точки Х2 и Х2 — в другой. Заметим, 1.1, что противоречит условию, а значит, для любого t Є {0,6) имеем [xiyip{t),PM{%i, p{t))] П (ЗІ Ф 0, [жі; ( ), Рм(жі; ( ))] П/З2 = 0, [%2, p{t), Рм{%2, р{t))j П/Зі = 0. Таким образом, при Є {0,6) выбранная точка x {t) лежит на дуге Xi ip{t)x{t)x2 ip{t), а значит x {t) Є Ut{x)nT2r\L{(p), причем элементы Рм{х {Ь)) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой /. Лемма 1.3 доказана. 1.2. Критерий гладкости нормированной плоскости в терминах не более чем двузначности метрической проекции
Теорема 1.1. Двумерное банахово пространство X является гладким тогда и только тогда, когда всякое замкнутое множество М С X с не более чем двузначной метрической проекцией является 2-выпуклым.
Доказательство. Докажем необходимость. Покажем, что для любого негладкого пространства X найдется такое множество М, что 1 \Рм{%)\ 2 для всякого х Є X и в то же время М не является 2-выпуклым. Пусть ±s Є S(X) — точки негладкости единичной сферы пространства X (см. рис. 1.3). Функционалы, опорные в точке s, занимают отрезок на единичной сфере сопряженного пространства S(X ), обозначим его [/і,/г]. Аналогично, точке — s соответствует отрезок [/35/4] = [—І2і — fi}. Обозначим li = {х : fi(х) = 1}, і = 1,4. Пусть її П Із = йі, І2 П U = (12 и пусть множества А\ = {х : fi(x) 1,/2(ж) —1}, А2 = {х : /2(ж) 1,/і(ж) —1}. Выберем произвольную точку ао Є Лі, не лежащую с точками а,\,а і на одной прямой. Положим М = { 2о, о\, 02} . Определенное таким образом множество М является искомым. Действительно, очевидно, что М не является 2-выпуклым, как всякое множество, состоящее из трех неколлинеарных точек. В то же время, ни для какого х метрическая проекция Рм{%) не может содержать всех трех точек ао, ai,a2 одновременно. В самом деле, пусть 0\,02 Є S(x, р(х,М)). Тогда для любого функционала /, опорного к шару В(х, р(х, М)) в точке а\ или в точке а.2, имеем / (/і, /2) U (/з, /4), откуда В(х, р(х, М)) С X \ {А\ U Л2), то есть 2о S(x, р(х, М)).
Обозначения, определения и вспомогательные утверждения
Далее, проведем прямую т через точку (х + у)/2 перпендикулярно [ж,у]. Пусть теперь х — точка из Us0(x): у Є Y. Рассмотрим пересечения всех возможных отрезков \х,у\ с прямой т . Ясно, что эти пересечения образуют некоторый отрезок на прямой т : содержащий точку (х + у) /2. Обозначим через Ъ\ тот из его концов, что лежит в одной полуплоскости с точкой ж, относительно прямой ху: а через &2 другой. Наконец, обозначим через /Зі і. х-\-у /Эх-\-у 7, \ интервал (oi, FT), а через ро интервал ( , 2 Ясно, что оба этих интервала зависят от є : /Зі = /Зі(є),/32 = / (є)- Выберем є настолько малым, чтобы /Зі П М = 0, /З2 П М = 0. Пусть ж = x(t) Є / П dUt(x): х [х-,у\- Покажем, что найдется такое д Є (0, о], чт0 Для всякого t Є (0,) либо у Є Рм{%), либо на дуге х{хх2 окружности dUt(x) существует такая точка х = x (t) Ф ж, что \Рм{х )\ = 2, причем элементы множества Рм{х ) лежат по разные стороны от прямой /. Действительно, исходя из (1.3), получаем, что [хі,Рм{%і)] пересекает только интервал /Зі, а [х2, Рм{%2)] пересекает только интервал /З2. Но тогда в силу полунепрерывности метрической проекции либо на дуге Х\ХХ2 существует точка х = x (t): метрическая проекция которой двузначна, причем один из отрезков, соединяющий эту точку с одним из ее ближайших элементов, пересекает /Зі, а другой — /З2, а значит, ближайшие элементы лежат по разные стороны от прямой /, либо для некоторой точки х этой дуги отрезок (или два отрезка) [х ,Рм{% )] содержит точку {х + у)/2, откуда в силу леммы 1.1 имеем х = х и у Є Рм{% )- Последнее означает, что у Є PM{W) ДЛЯ всякого w Є (ж ,ж), так что полуинтервал [х,х ) С Ut{x) Г\Т\. Заметим, что х = х + t(x — у), т.е. предыдущее в точности дает Рм{% + t(x — у)) = у для любого числа t Є (0,#о), чт0 соответствует первой части утверждения леммы.
Если же у Рм{х {Ь)) для всякого t Є (0,#о), т0 рассмотрим указанную точку x (t) Є Т2, такую, что Рм{х {Ь)) = {y[{t),y t)} = {2/1,2/2}- Имеем [ж ,г/і] П/Зі т 0, [ж , 2/2] П/З2 т 0- Рассмотрим пересечение прямых /і = /((/9) и І2 = l{—(fi) с прямой га . Для каждого угла (/9 выберем такое малое є = є{ср), что интервалы /Зі(є) и / (є) не пересекаются с /і и /2, и в зависимости от этого є в соответствии с условием (1.2) выберем 6 = 6{є) #0- В дальнейшем рассматриваем t 6.
Пусть XiiLp = Xiyip(t) — точка пересечения прямой її с дугой Xi(t)x(t)x2{t): і = 1,2. Будем считать, что точки х\ и х\ лежат в одной полуплоскости относительно прямой /, а точки Х2 и Х2 — в другой. Заметим, 1.1, что противоречит условию, а значит, для любого t Є {0,6) имеем [xiyip{t),PM{%i, p{t))] П (ЗІ Ф 0, [жі; ( ), Рм(жі; ( ))] П/З2 = 0, [%2, p{t), Рм{%2, р{t))j П/Зі = 0. Таким образом, при Є {0,6) выбранная точка x {t) лежит на дуге Xi ip{t)x{t)x2 ip{t), а значит x {t) Є Ut{x)nT2r\L{(p), причем элементы Рм{х {Ь)) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой /. Лемма 1.3 доказана. 1.2. Критерий гладкости нормированной плоскости в терминах не более чем двузначности метрической проекции
Теорема 1.1. Двумерное банахово пространство X является гладким тогда и только тогда, когда всякое замкнутое множество М С X с не более чем двузначной метрической проекцией является 2-выпуклым.
Доказательство. Докажем необходимость. Покажем, что для любого негладкого пространства X найдется такое множество М, что 1 \Рм{%)\ 2 для всякого х Є X и в то же время М не является 2-выпуклым. Пусть ±s Є S(X) — точки негладкости единичной сферы пространства X (см. рис. 1.3). Функционалы, опорные в точке s, занимают отрезок на единичной сфере сопряженного пространства S(X ), обозначим его [/і,/г]. Аналогично, точке — s соответствует отрезок [/35/4] = [—І2і — fi}. Обозначим li = {х : fi(х) = 1}, і = 1,4. Пусть її П Із = йі, І2 П U = (12 и пусть множества А\ = {х : fi(x) 1,/2(ж) —1}, А2 = {х : /2(ж) 1,/і(ж) —1}. Выберем произвольную точку ао Є Лі, не лежащую с точками а,\,а і на одной прямой. Положим М = { 2о, о\, 02} . Определенное таким образом множество М является искомым. Действительно, очевидно, что М не является 2-выпуклым, как всякое множество, состоящее из трех неколлинеарных точек. В то же время, ни для какого х метрическая проекция Рм{%) не может содержать всех трех точек ао, ai,a2 одновременно. В самом деле, пусть 0\,02 Є S(x, р(х,М)). Тогда для любого функционала /, опорного к шару В(х, р(х, М)) в точке а\ или в точке а.2, имеем / (/і, /2) U (/з, /4), откуда В(х, р(х, М)) С X \ {А\ U Л2), то есть 2о S(x, р(х, М)).
Очевидно, что для всякого достаточно малого є множества Y\{e) и І2(є) не пересекаются. В дальнейшем будем рассматривать только такие е. Будем также считать є настолько малым, что 1 (є)П/ = 0,г = 1,2.
Тем самым мы установили, что Рм {tq) С Y\(e), Рм {tq ) С 1 (е) при Є (0,6). Тогда для любого t Є (0,6) на интервале (tq,tqr) существует такая точка х = x (t), что р(х ,Y\(e)) = p(x ,Y2(e)), из чего в силу (1.1) следует, что х Є T i- Заметим, что tq,tq Є L(cp), а значит, исходя из построения, х Є Ut(0) П Т2 П Ь(ср) и х ф 0.
При достаточно малом угле ср сектор L(p) лежит строго внутри угла (—2/г)0(—у\), поэтому для точки х имеем [х , у[)П[0, у2) = 0, [х ,у 2)Г\[0,уі) = 0, где {2/1,2/2} = Рм(х ) и 2/і находится в малой окрестности у\, а — в малой окрестности 2/2. Если для какого-либо і = 1, 2 выполнено [х ,у1) П [0, у ) т 0, то по лемме 1.1 получаем у І Є Рм{х ), у\ Є Рм(О), а значит в силу не более чем двузначности метрической проекции имеем у І = у і, откуда х лежит на прямой Оуі, что противоречит установленному выше местоположению сектора Ь(ср). Таким образом, [я/, 2/0 П [0,уі) = 0 для і = 1,2 и следовательно условие ( ) выполнено, что и требовалось.
Чебышевость локально чебышевских множеств
Проведем прямую т через точку х перпендикулярно отрезку [ж, у]. Пусть т П dUt(x) = {xi(t),X2{t)} = {жі,Ж2І- Отметим, что в силу леммы 1.1 (ХІ,РМ{%І)) П (ж, у) = 0, і = 1,2, (1-3) иначе ж Ті (в данном случае метрическая проекция точек х\ и 2 может быть как однозначна, так и двузначна, поэтому (ХІ, РМ{%І)) обозначает либо интервал, либо объединение двух интервалов).
Далее, проведем прямую т через точку (х + у)/2 перпендикулярно [ж,у]. Пусть теперь х — точка из Us0(x): у Є Y. Рассмотрим пересечения всех возможных отрезков \х,у\ с прямой т . Ясно, что эти пересечения образуют некоторый отрезок на прямой т : содержащий точку (х + у) /2. Обозначим через Ъ\ тот из его концов, что лежит в одной полуплоскости с точкой ж, относительно прямой ху: а через &2 другой. Наконец, обозначим через /Зі і. х-\-у /Эх-\-у 7, \ интервал (oi, FT), а через ро интервал ( , 2 Ясно, что оба этих интервала зависят от є : /Зі = /Зі(є),/32 = / (є)- Выберем є настолько малым, чтобы /Зі П М = 0, /З2 П М = 0. Пусть ж = x(t) Є / П dUt(x): х [х-,у\- Покажем, что найдется такое д Є (0, о], чт0 Для всякого t Є (0,) либо у Є Рм{%), либо на дуге х{хх2 окружности dUt(x) существует такая точка х = x (t) Ф ж, что \Рм{х )\ = 2, причем элементы множества Рм{х ) лежат по разные стороны от прямой /.
Действительно, исходя из (1.3), получаем, что [хі,Рм{%і)] пересекает только интервал /Зі, а [х2, Рм{%2)] пересекает только интервал /З2. Но тогда в силу полунепрерывности метрической проекции либо на дуге Х\ХХ2 существует точка х = x (t): метрическая проекция которой двузначна, причем один из отрезков, соединяющий эту точку с одним из ее ближайших элементов, пересекает /Зі, а другой — /З2, а значит, ближайшие элементы лежат по разные стороны от прямой /, либо для некоторой точки х этой дуги отрезок (или два отрезка) [х ,Рм{% )] содержит точку {х + у)/2, откуда в силу леммы 1.1 имеем х = х и у Є Рм{% )- Последнее означает, что у Є PM{W) ДЛЯ всякого w Є (ж ,ж), так что полуинтервал [х,х ) С Ut{x) Г\Т\. Заметим, что х = х + t(x — у), т.е. предыдущее в точности дает Рм{% + t(x — у)) = у для любого числа t Є (0,#о), чт0 соответствует первой части утверждения леммы.
Если же у Рм{х {Ь)) для всякого t Є (0,#о), т0 рассмотрим указанную точку x (t) Є Т2, такую, что Рм{х {Ь)) = {y[{t),y t)} = {2/1,2/2}- Имеем [ж ,г/і] П/Зі т 0, [ж , 2/2] П/З2 т 0- Рассмотрим пересечение прямых /і = /((/9) и І2 = l{—(fi) с прямой га . Для каждого угла (/9 выберем такое малое є = є{ср), что интервалы /Зі(є) и / (є) не пересекаются с /і и /2, и в зависимости от этого є в соответствии с условием (1.2) выберем 6 = 6{є) #0- В дальнейшем рассматриваем t 6.
Пусть XiiLp = Xiyip(t) — точка пересечения прямой її с дугой Xi(t)x(t)x2{t): і = 1,2. Будем считать, что точки х\ и х\ лежат в одной полуплоскости относительно прямой /, а точки Х2 и Х2 — в другой. Заметим,
ЧТО ЄСЛИ [Хі ,Рм{%і,ір)\ П /32 7 5 Т0 [жг, 5 м( г, )] П [ж, у] ф 0, ОТКу да ж Ті по лемме 1.1, что противоречит условию, а значит, для любого t Є {0,6) имеем [xiyip{t),PM{%i, p{t))] П (ЗІ Ф 0, [жі; ( ), Рм(жі; ( ))] П/З2 = 0, [%2, p{t), Рм{%2, р{t))j П/Зі = 0. Таким образом, при Є {0,6) выбранная точка x {t) лежит на дуге Xi ip{t)x{t)x2 ip{t), а значит x {t) Є Ut{x)nT2r\L{(p), причем элементы Рм{х {Ь)) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой /. Лемма 1.3 доказана. 1.2. Критерий гладкости нормированной плоскости в терминах не более чем двузначности метрической проекции
Теорема 1.1. Двумерное банахово пространство X является гладким тогда и только тогда, когда всякое замкнутое множество М С X с не более чем двузначной метрической проекцией является 2-выпуклым.
Доказательство. Докажем необходимость. Покажем, что для любого негладкого пространства X найдется такое множество М, что 1 \Рм{%)\ 2 для всякого х Є X и в то же время М не является 2-выпуклым. Пусть ±s Є S(X) — точки негладкости единичной сферы пространства X (см. рис. 1.3). Функционалы, опорные в точке s, занимают отрезок на единичной сфере сопряженного пространства S(X ), обозначим его [/і,/г]. Аналогично, точке — s соответствует отрезок [/35/4] = [—І2і — fi}. Обозначим li = {х : fi(х) = 1}, і = 1,4. Пусть її П Із = йі, І2 П U = (12 и пусть множества А\ = {х : fi(x) 1,/2(ж) —1}, А2 = {х : /2(ж) 1,/і(ж) —1}. Выберем произвольную точку ао Є Лі, не лежащую с точками а,\,а і на одной прямой. Положим М = { 2о, о\, 02} . Определенное таким образом множество М является искомым. Действительно, очевидно, что М не является 2-выпуклым, как всякое множество, состоящее из трех неколлинеарных точек. В то же время, ни для какого х метрическая проекция Рм{%) не может содержать всех трех точек ао, ai,a2 одновременно. В самом деле, пусть 0\,02 Є S(x, р(х,М)). Тогда для любого функционала /, опорного к шару В(х, р(х, М)) в точке а\ или в точке а.2, имеем / (/і, /2) U (/з, /4), откуда В(х, р(х, М)) С X \ {А\ U Л2), то есть 2о S(x, р(х, М)).
Пример локально чебышевского, но не чебышевского множества
Рассмотрим точки ХІ = [x,yi] П dUs(x), і = 1,2. Используя лемму А (см. 1.1), получаем, что у І Є РМ{%І), і = 1, 2.
Заметим, что на дуге dU{x) П ІІГ найдется точка, равноудаленная от множеств Уї и І2. В самом деле, либо для некоторого і = 1,2 имеем p(xi,M) = p(xi,Yi) = р(жі,І2), либо р(жі,М) = р(жі,УЇ) р(жі,І2) и р{х2-,М) = р(ж2,І2) р( 2,Уі), но тогда, в силу непрерывности функции расстояния, на дуге dU{х)Г\К найдется такая точка ж, что р(ж, Уї) = р(ж, 1 ). Покажем, что точка х и есть искомая.
Действительно, если для всякого элемента?/ Є Рм{х) имеем [х,у] С К: то, учитывая (3.1 ) и (3.3), получаем Рм{х) С Y1UY2, откуда р(ж, М) = р(х, Y\) = р(ж,І2). Ввиду (3.2), Уї П І2 = 0, а значит найдутся уі,у2 Є Рм{%), такие что [х,уї\ С К,і = 1,2: и уі ф 2/2, и, тем самым, точка ж есть искомая. Если же существует такой элемент у Є Рм{%), что [ж, у] (ф К, то [ж, у] П [ж,г/г] т 0 для некоторого і = 1,2. Пусть, для определенности, [ж, у] П [х,уі] ф 0. По лемме 1.1 (см. 1.1) получаем, что у\ Є Рм{%), а значит \\х — у\\\ = р(х, М) = р(х, Y\). Положим у\ = у\. Учитывая равенство р(х, Y\) = р(х, Y2), найдется элемент у Є Рм{х) ПІ2- Если [х,у ] С К: то полагаем у2 = у . Если [х,у ] (ф К, то, учитывая у Є І2, получаем [ж, у ] П [ж, 2/2] 7 и, рассуждая аналогично, имеем У2 = У2 Є Рм{х). Таким образом, найден элемент х и такие, соответствующие ему, элементы уі,у2 Є Рм{х)і что отрезки [х,уі] и [ж,у2І лежат в К: а значит К(х,уі,у2) С К, причем К(х,уі,у2) ф К, поскольку X ф X. Лемма 3.1 доказана.
Теорема 3.1. В двумерном банаховом пространстве X всякое связное замкнутое локально чебышевское множество М является чебышевским.
Замечание 3.1. Требования замкнутости и связности множества М здесь существенны: открытый единичный шар и двухточечное множество на евклидовой плоскости суть локально чебышевские, но не чебышевские множества.
Доказательство. 1. Используя локальную чебышевость множества М, для каждой точки у Є М найдем такую окрестность Ur (y), что каждое мно жество Ur(y){y) ПМ- чебышевское. Рассмотрим произвольную точку х Є X. Множество Мх = В(х, р(х, М) + 1) П М компактно, причем Рм{%) С Мх. Тогда { Ur(y)(y) : у Є Мх} есть открытое покрытие множества Мх. Выделим конечное подпокрытие { иг(у.)(у )}=1. Таким образом, Мх лежит в объединении конечного числа чебышевских множеств (МТ С I J7_i I Urt-.Aiyj) П М\), откуда следует, что метрическая проекция точки х на все множество М конечна.
2. Предположим, от противного, что множество М не является чебышевским. Тогда найдется такой элемент ЇЄІ, что \Рм{х)\ 1. Выберем некоторые 2/1,2/2 Рм{х), для которых положим К = К(х,уі,у2) и определим величину S = inf{mes2 К{х)у\) 2/2)}, где Е Е = {(ж,2/1,у2) : 2/1,2/2 Рм{%)) 2/1 7 2/2, К(х, 2/ь2/2) С К}. Множество Е непусто ((ж, 2/1 ,2/г) Є і?) и ограничено (Е С К х К х К) в пространстве X х X х X. Рассмотрим последовательность элементов {%п,Упі,Уп2) Е таких, что mes2 І (жп,2/пі,2/п2) — S. Можем считать, что
Если у\ = у2 = . 2/, то для любого положительного числа г найдется такой номер к = к(г), что Укі,Ук2 Ur(y) П Рм{хк), причем ук\ ф Ук2, ввиду чего множество Ur(y) П М не является чебышевским ни для какого г, что противоречит определению локальной чебышевости множества М.
Таким образом, у\ ф г/2, и множество К := іЦж, 2/1,2/2) может быть корректно определено. Из условия К(хп,уп1,уп2) С К следует включение К С К, а значит инфимум достигается на наборе (ж, 2/1,2/2) Є , причем 5 = mes2 i 0. В самом деле, mes2 К mes2(i П В(х, р(х, М))) 0.
Заметим, что ни для какого, отличного от у і иг/2, элемента у Є Рм{х) отрезок [ж, 2/] К, иначе mes2 K(x,y,yi) mes2 К, что противоречит равенству S = mes2 i . Тогда, по лемме 3.1, найдутся такие элементы ж,г/1,2/2, что (ж, г/і, г/г) Є Е и множество ІІГ := if (ж, 2/1,2/2) $! і . Но отсюда mes2 ІІГ mes2 ІІГ, вследствие чего опять приходим к противоречию.
Полученное противоречие показывает, что исходное предположение о том, что найдется элемент х с \Рм{х)\ 1, не является верным. Таким образом, множеством М — чебышевское.
Замечание 3.2. Отметим, что справедливость теоремы 3.1 для случая строго выпуклого и гладкого конечномерного пространства X очевидна и вытекает из теорем A и C (см. Введение).
В самом деле, из локальной чебышевости и связности по теореме A следует замкнутость, связность и локальная выпуклость, откуда, в силу теоремы C, следует замкнутость и выпуклость, а значит, по теореме A, — чебышевость. Более того, нетрудно показать, что теорема останется справедливой даже без наложения условия строгой выпуклости на пространство X, т. е. для случая произвольного гладкого конечномерного пространства X.
Очевидно, что всякое ограниченно чебышевское множество является как локально чебышевским, так и чебышевским. В то же время, любое не строго выпуклое пространство X, взятое в качестве своего подмножества, дает пример чебышевского, но не локально (а значит, и не ограниченно) чебышевского множества: пересечение X c единичным шаром Вх есть сам шар, не являющийся чебышевским множеством. В связи с этим автору представляется интересным следующая задача: охарактеризовать банаховы пространства, в которых всякое чебышевское множество является ограниченно чебышевским.