Содержание к диссертации
Введение
1 Основные обозначения и предварительные сведения 11
1.1 Теория меры 11
1.2 Метрика Канторовича 14
1.3 Шенноновская энтропия 15
1.4 Вероятностные ядра 17
1.5 Динамические системы и рохлинская энтропия 19
1.6 Софические группы и софическая энтропия 22
1.7 Доказательство равенства обычной и горизонтальной софиче-ской энтропии для эргодических мер 26
2 Фактор Пинскера 31
2.1 Слабое перемешивание относительно фактора 33
3 Меры Гиббса 35
3.1 Общие вопросы 35
3.2 Гиббсовы структуры и меры над софическими группами 43
3.3 Давление 53
Заключение 56
Список литературы
- Метрика Канторовича
- Софические группы и софическая энтропия
- Слабое перемешивание относительно фактора
- Гиббсовы структуры и меры над софическими группами
Метрика Канторовича
Динамическая система — это действие группы на стандартном вероятностном пространстве сохраняющими меру отображениями. Допуская вольность, будем иногда просто называть их действиями.
Тройка из двух действий группы G на стандартных вероятностных пространствах (X, ц) и (Y, и) и сохраняющего меру отображения тг: Y - X называется фактором системы G rv (Y, и) илирасширением системы G rv (X, ц), если для любого д Є G и для почти всех yeY имеем д(тг(у)) = п(д(у)). До пуская вольность, будем говорить иногда, что сама система G г\ (X, ц) является фактором системы G rv (Y, и), а G rv (Y, и) — расширением G rv (X, ц). Всякому фактору соответствует инвариантная подалгебра, т.е. такая подалгебра, что вместе с любым множеством в ней содержатся и все его сдвиги элементами группы. Кроме того, всякой инвариантной подалгебре соответствует фактор. На самом деле, если задана конечная или счётная решётка факторов, то ей соответствует решётка инвариантных подалгебр, и обратно. Таким образом, разговаривая о структурных вопросах эргодической теории, можно зачастую думать об инвариантных подалгебрах системы.
Джойнингом двух действий одной и той же группы называется действие этой группы с фиксированными фактор-отображениями в вышеуказанные действия, причём две подалгебры, соответствующие последним, вместе порождают подалгебру всех измеримых множеств. Пусть G rv (Хь ) и G rv (X2,fjL2) — два действия с общим фактором G rv (Z, rj) посредством отображений 7Гі: Xi - Z и 7Г2 : Х2 - Z. Будем говорить, что джойнинг G rv (Y, и) этих двух систем с соответствующими фактор-отображениями тгі: Y - Хх и тг2 : Y - Х2 есть относительно независимый джойнинг действий GW (Х:, ) иGn, (Х2, ц2) над общим фактором G rv (Z, rj), если тп о п[ = тг2 о тг2, и подалгебры, соответствующие Xi и Х2 относительно независимы над подалгеброй, соответствующей Z. Известно, что относительно независимый джойнинг существует и единственен с точностью до изомрфизма. Пусть G rv (У!, vx) иG r\ (У2, 2) — два расширения системы G r\ (X, ц) с соответствующими фактор-отображениями тп и тг2. Будем говорить, что они изоморфны, если существует изморфизм ф :Yi— Y2 между динамическими системами такой, что тг2(у) = тіг(ф(у)) для почти всех у Є Уі.
Зафиксируем сохраняющее меру действие группы G на стандартном вероятностном пространстве (X, fi). Для разбиения а и элемента д Є G будем обозначать ай = { (Б)! Є а}. Для F С G обозначим aF = \/geF а9. Имеет смысл рассматривать последнее как разбиение для конечных F и как подалгебру — иначе. Будем говорить, что разбиение а порождающее, если подалгебра aG mod 0 эквивалентна подалгебре всех измеримых множеств. Известно, что а является порождающим разбиением, если существует такое подмножество полной меры X пространства X, что точки х, у Є X не равны только при условии наличия такого g EG, что g(x) и g(y) принадлежат различным элементам а.
Рохлинская энтропия определяется как инфимум Шенноновских энтропий порождающих разбиений относительно подалгебры инвариантных множеств: hRok = inf{H(a\J?), а — порождающее разбиение}, J обозначает подалгебру инвариантных множеств. Для эргодических систем это определение, очевидно, редуцируется до простого инфимума шен ноновских энтропий порождающих разбиений. Пусть G — счётная группа, а А — конечное множество (алфавит). Определим на пространстве AG, снабжённом топологией произведения (полагая топологию на А дискретной), сдвиговое действие формулой (gx)(h) = x(hg), где х Є AG и g, h Є G. Это действие непрерывно. Мера и на AG называется инвариантной, если g(v) = v для всякого g Є G. Пусть Ва (для а Є А) обозначает множество таких х Є AG, что х(е) = а(е обозначает единичный элемент группы). Разбиение а = {Ва\а Є А} будем называть каноническим алфавитным разбиением. Для подалгебры tf обозначим tf= f] VaG\F FmG — её насыщение.
Софические группы и софическая энтропия
Остановимся на последнем подробнее: пусть А — другое конечное множество, и v ЕЛ4(А ) — инвариантная мера. Предположим, что полученная динамическая система изоморфна исходной, порождённой инвариантной мерой v на пространстве AG, снабжённом сдвиговым действием. Конструкцией софической энтропии можно воспользоваться в обоих случаях. Боуэн доказал, что результат будет одинаковым при фиксированной софической аппроксимации. Таким образом, при фиксированной аппроксимации софическая энтропия — инвариант изомрфизма динамических систем, обладающих конечными порождающими разбиениями (с помощью стандартной конструкции такие динамические системы можно реализовать на сдвиговом действии с конечным алфавитом). Чуть позже, в работах Керра и Ли [19] и Керра [18] было дано определение софической энтропии, не требующее наличия порождающего разбиения.
В дальнейшем нам будет полезно также другое понятие (вообще говоря, не эквивалентное), так называемая горизонтальная софическая энтропия. Для є 0 и г Є N обозначим Map(г, є) — множество всех таких г] eM(AVi), что Z(6(/7),i/) е.
Определим теперь горизонтальную софическую энтропию как 1.7. Доказательство равенства обычной и горизонтальной софической энтропии для эргодических мер
Равенство обычной и горизонтальной софической энтропии для эргодических действий было получено в работах [5] и [15]. В них данный результат не формулируется в нужном мне виде. Поэтому для полноты изложения я привожу его доказательство. Пусть X — метрический компакт. Определим отображение барицентра из M{M{Х)) вM(Х) формулой Bar(i/)= / цйи{ц). M(M(X))
Если M (M (X) тоже снабжена метрикой Канторовича (порождённой метрикой Канторовича на M(Х)), то отображение барицентра, как нетрудно проверить, не увеличивает расстояния. Определим также вложение ind: X - M (X) так, что ind(x) = 6Х. Несложно видеть, что оно будет изометрией, если M(Х) снабжено метрикой Канторовича. Легко проверить, что Bar о ind = id.
Пусть г — метрика на Ас, порождающая его топологию, снабдим M (AG) метрикой Канторовича. Лемма 1.3. Для любого дєСиє 0 сушествует такое і0, что для любого г г0и для любого г] Є M(AVi) имеем 1АGуГ(дв(г]), в(г])) є. Доказательство. Обозначим V( С V множество таких v, что г(дЄ,(т),Єа!м(т)) е/2 для всех reAVi. Несложно видеть, что limТ///Т = 1. г— оо Выберем теперь такое i0, что для всех г г0 выполняется (l-V;/Vt)M e/2, где М — диаметр метрического пространства (AG, г). Несложно видеть, что для любого г г0 и для любого /? Є M(AVi) будет выполняться оценка iAA9{v),{v)) т Y11АеЛд (л),в м) = _ 1 ( и ( \ Й 1 Г 1 v&V/ иЄУДУ/ 0- П Лемма 1.4. Для любого є 0 существует такое г0, что для всех i i0и для любой меры г] Є M (AVi) мера Q(rq) лежит на расстоянии менее є от множества инвариантных мер.
Доказательство. Заметим, во-первых, что существует такое конечное множество 5іСи такое є, что всякая мера и Є M (AG), удовлетворяющая нера венству lAa r (gi/, і/) є при всех g Є S, лежит на расстоянии менее є от множества инвариантных мер. Действительно, предполагая противное, мы можем взять всё большие и большие конечные множества и всё меньшие и меньшие є , получая последовательность мер (у ) такую, что lim lAa (ди , и ) = 0 для всех д Є G, при этом все v[ лежат на расстоянии не менее є от множества инвариантных мер. Выбирая сходящуюся подпоследовательность, получаем, что её предел лежит на расстоянии не менее є от множества инвариантных мер и при этом является инвариантной мерой. Противоречие.
Несложно видеть теперь, что применение предыдущей леммы доказыва ет требуемое. Лемма 1.5. Пусть v eM(AG) — эргодическая мера. Тогда для любых а,Ь 0 существует такое положительное є и натуральное і0, что для всех положительных є є ,г г0и для любого г] Є Map(z/, г, є), будет выполнено г](Hom(и,г,а)) 1-6.
Доказательство. Предположим противное, тогда для некоторых положитель ных а и Ъ мы сможем найти возрастающую последовательность (і,-) нату ральных чисел и последовательность мер (i]j) такую, что % и lim (m) = и, но также rjj (Hom(i/, ц., а)) 1 - Ъ для всех j. Выделяя подпоследовательность, если нужно, считаем последовательность (О(ind (??.,)))% сходящейся: lim(e(ind«(?77))) = n. Отметим, что здесь ind: AVi - M(AVii), а indB — индуцированное отобра жение из M(AVii) в M(M(АУі0). Обозначим В — открытый шар в про странстве M(AG) с цетром в точке v и радиусом а. Несложно видеть, что в силу вышесказанного, ц(В) 1-Ь. Более того, Bar(fj) = и (поскольку Bar(e(indB(/7j))) = (%)). В силу предыдущей леммы, мы получаем также, что носитель меры /і есть подмножество множества инвариантных мер. По лучаем противоречие, так как мы смогли представить эргодическую меру v в виде барицентра меры, сосредоточенной на инвариантных мерах.
Слабое перемешивание относительно фактора
Доказательство. Это стандартный факт. Он, например, следует из того, что единственная гиббсовская мера обладает тривиальной хвостовой подалгеброй (следует из теоремы 8.8 в [12]) и того, что подалгебра инвариантных множеств содержится в хвостовой подалгебре (утверждение 14.9 там же).
Если группа G — софическая, то мы можем определить особо важную последовательность гиббсовых структур Q%. Для Q% множество вершин будет Vi (из определения софической аппроксимации). Для каждой вершины алфавит будет одинаков: А.
Потенциал для 0і определим следующим образом: ФТ(т) = AW) для ТЄАУІиТС Vh сумма берётся по всем таким v Є V-, что af{v) = Т (чаще всего количество слагаемых будет нуль или один). Обозначим щ — единственную гиббсовскую меру для гиббсовой структуры Q. Лемма 3.15. Для любого AmG есть такое SmG, что если veVi является S-хорошим элементом, то мера в„(гц) является (Q, А)-допустимой. Доказательство. Возьмём S = dgA U Л U D U D l. Несложно проверить, что для такого S условие выполняется. Лемма 3.16. Пусть v — какая-то точка накопления последовательности (6(/7І))ІЄ№ Тогда v — инвариантная гиббсовская мера для Q. Доказательство. Инвариантность меры v следует из леммы 1.4. Зафиксируем Л ш G. С помощью предыдущей леммы получим подмножество S шС Обозначим V( — подмножество 5-хороших точек в V- для і Є N. Мы знаем, что для всех vEV/ выполнено
Пусть г — произвольная метрика, совместимая с топологией на AG, lr — соответствующая метрика Канторовича на М (AG). Пусть М — диаметр (AG, г). Несложно видеть теперь, что
В силу леммы 1.2 мы получаем, что vf д,л ( ) = v. Произвольность выбора Л = G теперь означает, что v Є M.Q. П Следующая лемма есть прямое следствие леммы 3.1. Лемма 3.17. Пусть Q1 — гиббсовская структура с конечным множеством вершин V. Тогда единственная гиббсовская мера г] для Q1 является одновременно единственной вероятностной мерой на Q , на которой достигает своего максимума функционал Г] н-). Н(Г]) - [ V ФтМ (о;), ЛУ Тсу1 rieM(Av ).
Теорема 3.18. Пусть Q — инвариантная относительно сдвига гиббсова структура над софической группой G с фиксированной софической аппроксимацией, v — единственная инваринтная гиббсова мера для Q, а последовательность щ определена как указано выше. Тогда софическую энтропию сдвигового действия GнаAG с мерой v можно посчитать по формуле ад) = к . гlimоо \Vi\
Доказательство. Нам будет удобно использовать горизонтальную софическую энтропию. Так как любая точка накопления последовательности (в (г]г)) яляется инвариантной гиббсовской мерой (по лемме 3.16), получаем, что эта последовательность стремится к v. Это влечёт неравенство ад ш »Ш. lim \Vi\ Докажем теперь обратное неравенство. Возьмём є 0. Для любого доста точно малого є 0 будет выполнено I 4 {u)dv{u)- I \р{ш) {ш) є /2, лишь только 1(и,г/) є. Начиная с некоторого г будет выполнено / (и, в (г]г)) є. Зная теперь, что щ максимизирует величину Н(г]) - [ V Фт(ш)(1 ч(и) = Н(г]) - \Vi\ [ tp{u))d{Q{ri)){u)), ПІ TcV, мы получаем, что sup{H(r])\r] Є Map(г,є)} Н{гц) + \V!\e!. Таким образом, гlimоо \Vi\ В силу произвольности выбора є это влечёт требуемое. Лемма 3.19. Пусть и — единственная мера Гиббса для Q. Пусть К — конечное подмножество G. Фиксируем произвольную метрику для -слабой топологии на М(АК). Тогда для любого є 0 существует такое конечное подмножество S группы G, что К U dgK dS,и для любой S-хорошей точки veVi проекция prк(в„(гц)) е-близка к prK(i/).
Гиббсовы структуры и меры над софическими группами
Воспользуемся предыдущей леммой, чтобы получить такое подмно жество S, что для всякой 5-хорошей точки veVi мера в„(гц) будет (Л, Q) допустимой. П Лемма 3.20. Для любого FmG существует такое SmG, что для всякого S-хорошего элемента veVi выполнено dgi{af{v)) = jfgF(v).
Доказательство. Достаточно взять в качестве S = FUdgFU DU D l. П
Лемма 3.21. Пусть F — конечное подмножество группы G. Зафиксируем произвольную метрику для -слабой топологии на М (AF F). Возьмём произвольное є 0. Существует такое конечное подмножество S в G, что SDFU dgF UDU D \ и что для всякой S-хорошей точки veVi выполняется dgi(a[(v)) = ai g (v), а проекция prFL)d F(9v(rji)) является є-близкой к prpyjdgF ) Доказательство. Несложно видеть, что условия предыдущих лемм продол жат выполняться, если соответствующие подмножества S заменить на боль шие. Возьмём в качестве S для этой леммы их объединение.
Доказательство следующей леммы опирается на аргумент случайного упорядочивания из [2]. Напомним, что (QgeG — случайный процесс независимых величин, каждая из которых равномерно распределена на единичном отрезке [0,1], а L? = {g Є G\{g) Це)}. Лемма 3.22. Пусть v Є MQ — единственная гиббсовская мера. Тогда для всякого конечного F cG имеем h(u) EH(a\aL G\F)).
Доказательство. Пусть (Xv)vevi — случайный процесс, состоящий из независимых величин, распределённых равномерно на единичном отрезке. Обозначим Lv x для v Є Vi — множество всех таких w Є Vi, что x-w Xv. Пусть (Yv)veV. — случайный процесс с распределением щ. Пусть (Xg)geG — случайный процесс с распределением v. По цепному правилу для энтропии: Him) = У ЕуЯ ( Yv I (YJW&L ) . vVi Фиксируем произвольную метрику для -слабой топологии на M(AFudsF), пусть є 0 (значение его выберем позднее). Применим предыдущую лемму, чтобы получить множество S. Пусть V( С Vi (где г Є N) обозначает множество всех 5-хороших элементов. Мы знаем, что lim V! \ / \ Vi \ = 1. Для элемента v Є V( рассмотрим соответствующее ему слагаемое: ЕХЯ ( Yv\(Yw)w&Lv x) ExH {Yv\{Yw)w&LvMVAaF{v))\ = = ЕХЯ [Yv\(Yw)we{LvxnaF{v))u{dg.aF{v))J = = ЕХ {H((Xjwe{v}u{Lv:xnaF{v))u{dgiaF{v))) - H((Xw)we{Lv:xnaF{v))u{dgiaF{v)) Щ (я {(x9)ge{eMLinF)udgF ) - я {(x9)ge{LinF)udgF )) - є . В оценках выше мы воспользовались марковским свойством для процесса (Yv)veVi и тем фактом, что для любого є 0 мы можем выбрать настолько малый є 0, что процесс (Yw) FuagF будет так близок по распределению к процессу (Xg)geFudgF (с перемаркировкой при помощи функции д н-). а(ь)), что для любого RcFUdgF будет выполнено H((Xa)aeR)-H((Yw)w&»{v))\ e /2. Применим теперь марковское свойство для процесса (Xg)geG: Е? (Я {(Xg)ge{e}u{LinF)udgF ) - Я {(Xg)ge{LinF)udgF )) = = Е? (Я {(Xg)ge{e}uLiU{G\F) ) - Я {(Xg)geLiU{G\F) )) = = Е?Я Xe(Xfl)flLU(GVF) =Е?Я(«« и(с ). Оценка limV?/№l = 1 г— оо (лемма 1.2) влечёт, что вд ; lim 4 Г ЩН(а\аь с ) - є , что завершает доказательство, так как є можно взять произвольно малым.
Пусть /і — единственная мера Гиббса для потенциала tp, и а — каноническое порождающее разбиение. Тогда h(n) ЩН(а\ої) (для любой софической аппроксимации). Доказательство теоремы 3.23. Пусть (Rn) — последовательность коконеч-ных подмножеств G такая, что Щ С Rj для і j и f)i&i Ri = 0. Для всякой реализации f имеем Я(о;о;ь«иД") - Н(а\а ) (при п ). Из предыдущей леммы и теоремы о мажорированной сходимости заключаем, что h(u) ЩН(а\о&) U
Утверждение 3.24. Пусть Q — гиббсова структура, удовлетворяющая условию Добрушина, иv — единственная гиббсова мера для этой структуры. Тогда для всякого ScG подалгебры с и as являются v-mod 0 эквивалентными.
Это утверждение является прямым следствием леммы 3.8. Доказательство теоремы 0.2. Известно, что Ци) hRok(u) (см. например [3]); далее, hRok(u) EcH(a\aL) (по теореме 0.1), и h{u) ЩН{а\аь) (комбинация предыдущего утверждения и теоремы 3.23). Получаем: hRoM = h(n) = EiH(a\aL). Цель этого раздела — доказательство теоремы 0.3.
В этом разделе потенциал будет изменяться, поэтому во избежание неоднозначности мы будем указывать его в гиббсовской системе: Q , Q . Мы будем всегда предполагать, что гиббсовская система Qv имеет единственную инвариантную гиббсовскую меру. Обозначим для гиббсовской системы Q иТЄПІ функцию
По определению, единственная гиббсовская мера щ для Qv % задаётся соотношением: Z Для фиксированной гиббсовской системы Q с единственной инвариантной гиббсовской мерой и софической аппроксимации будем называть давлением величину в случае, если последний предел существует. Тогда мы будем говорить, что давление существует. Утверждение 3.25. Если для данной гиббсовской системы существует давление, то софическая энтропия выражается формулой h(vv) = Pv+ [ (u)dvv(u). n Доказательство. Воспользуемся определением горизонтальной энтропии. Для этого посчитаем шенноновскую энтропию меры 7 ,г: Н ,г) = J2 WM) log idr}) = J2 (log Z4 + (Г)) = T&li T&li = logZ t + \Vt\ [ р{ш)йи {ш). Jn