Инвариантные меры необратимых отображений Ахалая Шота Иракльевич

Л-1 . Y\-i.

_4С^^№вТК_{^^Ь^Гриб}^к_.зг)'¹_(2:))=

к-о' к=о'

4E?^(4t"⁴⁶'^K^4Es)(6-^K(E))^cE).

Поскольку пространство нормированных мер, заданных на компакте, слабокомпактно, то из построенной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Ее предел м является борелевской I -инвариантной мерой, причем

. Следовательно,

Обозначим через УҐ) меру, которая получается путем лебе
гова продолжения меры И . Поскольку Є -аддитивная мера М
первоначально задана на б -алгебре борелевских подмножеств
пространства X , то из конструкции лебегова продолжения ме
ры И непосредственно вытекает, что ил -измеримые множест
ва отличаются от к -измеримых множеств на множества нулевой
VT\ -меры и, следовательно, мера гп является | -инвариант
ной и . Известно, что метрический компакт
А с построенной выше мерой \V\ становится пространством
Лебега (см., например, [2І). Основные определения и исполь
зуемые ниже результаты, относящиеся к теории пространств Ле
бега, можно найти в статье В.А.Рохлина [24І .

Рассмотрим разбиение у\ пространства Д на классы эквивалентности, которые индуцированы следующим отношением эквивалентности: две точки эквивалентны, если их траектории относительно преобразования I пересекаются. Из построения разбиения У) следует его неподвижность относительно I , т.е. для любого Кб: [L и для любого элемента С*| разбиения у\ справедливо равенство | \\j\\ )= Сп Поскольку метрический компакт А с заданной на нем мерой m является пространством Лебега, то разбиение У\ обладает измеримой оболочкой 24] , т.е. существует такое измеримое разбиение Ъ пространства А , что ^ не мельче х\ , и всякое измеримое разбиение It , которое не мельче (mod \*п) її не мельче Cvno A vrw разбиения 1 . Элементы разбиения 3 состоят из объединения элементов разбиения Л и, следовательно, разбиение \ неподвижно относительно! .

Пусть V Кц \ - каноническая система мер, принадлежащая разбиению 3 , а К -х - мера на фактор-пространстве Л / ^ (так как \ измеримое разбиение пространства Лебега X г то и ДМ будет пространством Лебега). Преобразование \(_2 » индуцированное преобразованием \ в элементе v? неподвижного разбиения \ , сохраняет меру Кся и эргодично по отношению к этой мере для почти всех элементов

^{ЦеХ/^ [25І .}

Такую тройку \Сд «С^Нся ) называют эргодической компонентой динамической системы (А, 1,ш). С другой стороны, для сохраняющего меру vn преобразования \ ^и неподвижного относительно \ измеримого разбиения \ справедлива формула [25]

Ь„лтй Ь„лТс,)ан,сс>).

Из этой формулы и неравенства п следует су-

ществование измеримого множества \₀^- Л/? с положительной мерой, на котором почти всюду функция Пм_г ч 1С я ) не меньше чем п п .

Пусть J j счетная база топологии метрического компакта А . Так как все открытые множества в Д являются гп -измеримыми множествами и элементы базы разделяют точки пространства Л , то в силу теоремы о базисах [ 24 ] семейство Со есть некоторый базис в Л . Обозначим через Jj(a ) семейство подмножеств пространства д , элементами которого служат всевозможные пересечения конечного числа элементов базиса J J и зафиксируем произвольное множество Произвольному измеримому множеству Y^c Л / 3 сопоставим измеримое \ - множество

Так как Vn есть при фиксированном /Л о -аддитивная функция множества \ , абсолютно непрерывная относительно меры К a , то в силу теоремы Радона-Никодима существует такая измеримая функция іД на пространстве Л/3 , что для всякого измеримого в д / ^ множества Y справедливо равенство

и эта функция определяется множеством А однозначно d О/.
Для каждого элемента определим

«до» множеств Ос, , положив но отделении

\

_{^цСА)= v}^c_0-

Как показано в 124 J для почти каждого элемента С я функцию множеств VC* можно продолжить до меры Лебега на пространстве А » причем ограничение этой меры на множество С г совпадает с канонической мерой he г для почти всех С ^ X / ^ Поскольку семейство образует базу топологии пространства А , то наименьшая б -алгебра, порожденная этим семейством совпадает с б -алгеброй борелевских подмножеств пространства А и, следовательно, для почти каждого элемента Ся^Л/3 все те множества, которые получаются путем пересечения борелевских подмножеств пространства Д с множеством ч/*х , заведомо будут Mc-i ~^из~ меримыми множествами.

Теперь мы можем завершить доказательство теоремы I.I.
Рассмотрим на пространстве такие множества: \ _Л - мно
жество тех точек, в которых (.Сз, Нс-г ) не является прост
ранством Лебега; \ ^ - множество тех точек, в которых
vC^plcajKc-si) ^не является эргодической компонентой
динамической системы - множество тех

точек, в которых пересечение борелевских подмножеств прост-

- 23 -ранства А с w не являются рСх -измеримыми множества-

_{V ' ^ V}

ми и, наконец, \ хд -множество тех точек множества д₀ , в

КОТОРЫХ Ь|ЧСа^*^*'Р* ^{И3 сказанного} В⁶ Следует, ЧТО

эти множества имеют нулевую меру и поэтому множество

обозначим через Jio & -алгебру тех подмножеств пространства Л , которые в пересечении с множеством С я являются И(^ -измеримыми множествами. На пространстве (X JJ₀) введем меру М следующим образом:

В силу определения множества Чех/ ^ все борелевские
подмножества пространства \ суть К -измеримые множества,
т.е. если обозначает б -алгебру борелевских подмно
жеств пространства . Кроме того, мера |^
является 1 -инвариантной, эргодической и
Теорема І.І доказана.

2. Укажем на связь свойства марковости отображения со свойством П -адичности, введенным в работе [8І. Если V\-l и во включениях (I.I) V^-V⁴^ % , то говорят, что отображение \ диадическое.

ЇЇВДОТШБИЕ. Если непрерывное преобразование 1 метрического компакта Л обладает свойством марковости и Пп>\) , то при некотором преобразование \ диадическое.

Доказательство. Предположим, что существует вершина

графа I , выходя из которой можно вернуться в нее двумя различными путями. В силу этого найдутся такие две различные конечные I -допустимые последовательности lOO^j^s^ и

'"Чі^-І » ^ ^OJl^=:^m^^::^t⁼0n^l' ^ПУ^СТЬ Vs общее кратное чисел Vr> и П , т.е. К-ГП-К^ и K-WK^.

для некоторых К\,Кг^'А/ ^{Возьмем} -допустимую последовательность {00^.,,..,00^ и выпишем ее последовательно Kv раз» Поскольку oo^-COm+i » то полученная последовательность vскх з 1=-1 будет I -допустимой, так же как и последовательность 1<Лг J1= і , где c^vc+v-СлЗ^ Аналогичным образом с помощью \ -допустимой последовательностью г^,,..,Vn ) построим новую последовательность \&\3(=-Ь Так как построенные | -допустимые последовательности различны, то замкнутые множества

не пересекаются и содержатся соответственно в множествах А «А ^ . Из равенства (1.2) получаем, что

Т СА)=Т СА_<л_іі..._і<а_к*і)=А«а_кч1=А Т^к(ВКГЧА^,...,р_к+1) = AjJk*i=Av*.

Так как dk і-Go ^-^^.= 61 , то имеем включение

Т*ШлТЧв^АиВ,

т.е. диадичность отображения \

Для завершения доказательства предложения остается пока-

зать, что справедлива следующая

ЛЕММА 1,3. Если в ориентированном графе \ не существует такой вершины, выходя из которой можно вернуться в нее двумя различными путями, то

Доказательство. Разобьем множество вершин графа I на
классы эквивалентности І і ,..., 1 к возвратных вершин и мно
жество невозвратных вершин (определение см., например, в [5І).
Так как из каждой вершины графа I выходит ребро и число вер
шин конечно, то в графе I существует хотя бы одна возврат
ная вершина и, следовательно, один из классов 1 \,,.., \ к
не пуст. Так как значение числа По не зависит от нумерации
вершин графа | , то перенумеруем ее вершины так, чтобы мат
рица переходов I I , отвечающая графу | , имела следующий
исттт \ 5І : ,

^'п,

Каждый диагональный блок в матрице | \ либо отвечает одному из, классов эквивалентности возвратных вершин и является неразложимой матрицей f 5І, либо отвечает некоторой невозвратной вершине и состоит из одного нуля. Максимальное положительное собственное значение матрицы 1 I совпадает с числом

'А- та ос 1741. \

где 7^1- наибольшее положительное собственное значение блока I \ ^ . Зафиксируем произвольный блок | I ^ , отвечающий

классу эквивалентности | ^ .В силу определения класса эквивалентности существует путь, проходящий через все вершины І і . Из условия леммы следует, что такой путь единственный, т.е. в каждой строке и столбце блока \{ стоит по одной единице и, следовательно, 7\\.~ 1 1⁵1. Так как блок | \'_ь был выбран произвольно, то 9^= 1 , т.е. Пп^г 0 Лемма 1.3, а вместе с ней и предложение доказаны.

2. Асимптотические свойства итераций квадратичных отображений

I. Рассмотрим в пространстве II v замкнутый симплекс

6п с вершинами в точках nv"U,0,..-,0)_r.., Д_ті⁼(0,0,...Д)

и введем на нем барицентрические координаты ІОС ^ _э,. „ _у ОС х\ -* і \ т.е.

Определим отображение б г» * б" п однородными квадратичными функциями следующим образом: если точка ОС : G \о

имеет координаты {ос*,... ,ОСп-*чЛ » ^{т0 точка} Х/пС^Оббп задается координатами:

В работе ^10*1 сформулированы следующие вопросы, касающиеся асимптотического поведения квадратичных отображений: а) Существует ли предел

при каждом начальном положении OCrG^ ?

б) Будет ли предельное множество каждой траектории ко
нечно?

в) Ограничены ли в совокупности длины периодических
траекторий?

г) Верно ли, что предельное множество траекторий непре
рывно зависит от начальной точки?

Мы покажем, что в пространстве иКбг»)^ v. (6n,Grw квадратичных преобразований симплекса 6п существует такое открытое множество \Л/ , что для каждого отображения G \f\j сформулированные выше вопросы имевзт отрицательный ответ (теорема 1.3).

Определим инъективное отображение 1п^: бп ^ И\ по
лагая ОС і , #. . , ЭС п ) и
рассмотрим отображение \/у>^; бп—*6\л » задаваемое следу
ющим образом:

Поскольку при сопряжении биективным отображением двух преобразований их траектории переходят друг в друга, то рассмотрение задач а) - г) для динамической системы vo v\, Vn ) рав-

посильно их рассмотрению для динамической системы (,6^,Vn)» Непосредственно из определения отображения Vn следует, что оно действует по правилу:

п п

,1

т.е. в отличие от отображения Vn оно уже задается неоднородными квадратичными функциями. Обратно, если отображение Vn'^n^^^n задано неоднородными квадратичными функциями

\<

и числа &i,j *, 1фК= 1,..., ї\ +1 определяются из равенств

Qv\+i,v\+i ⁼ ел ,

^a₄ ^{-- l-La-.j ,}

то отображение

будет уже задаваться однородными квадратичными функциями

плі twl

Ясно, что построенное соответствие между отображениями Vv^ и Vn будет взаимно однозначным, если на определяющие их квадратичные функции наложить условие симметричности. Итак, в дальнейшем вместо динамической системы wn, Vn) мы будем рассматривать динамическую систему 1б_П) Vn ) » вместо пространства однородных квадратичных отображений симплекса б^г» пространство li ч б" г> ) , а множество бп также будет называться симплексом.

ое/
.. „.._.. -многообразие

І I . Пусть LI некоторое открытое глножество в \ и \^: \)ґ* И
является регулярным L -отображением. Пусть /\ такое замк
нутое подмножество . Следуя работе

, назовем f \ гиперболическим множеством отображения + , если существует риманова метрика на I \ и константы Л^СОЛ),

С>0 такие, что для произвольной -V -траектории ІЗСу<Лю:~оо точек из /\ и для любого K/Z. выполнены следующие условия:

(а) 1хкМ=ЕакЕэс«;

(в) D^IExvJ^Eock-vi , ){ІЕхк)⁼Ех.**і*,

(с) при любом Пб/Л/ и для произвольных векторов V6 tx* и \Л/6Схк справедливы неравенства

nafx_Ktv)\Uc-^iwH₎iififow)ii>c--x"iiwii.

-ЗО -

Зафиксируем эту метрику на Г \ и будем обозначать через ОСх,ч) расстояние между точками X,"U6rH в метрике, индуцированной этой римановой метрикой.

ЛЕММА 1.4. Пусть /\ гиперболическое множество отображе
ния . Тогда для любого существует та
кое >0 , что для произвольного отображения 0-Ll—*\Л,
Рс¹ Т ' 3 ^ ^} УЩ^естЗУ^ет компактное множество Л/ , ин
вариантное относительно отображения Q и содержащееся в
о -окрестности UljlA) множества/\ _^

Доказательство. Обозначим через |\ прямое произведение

, снабженное тихоновской топологией. Поскольку многообразие І I компактно, то топологическое пространство І I будет компактным. Рассматриваемая топология метризуема с помощью следующей метрики:

Определим отображение полагая

где для произвольного Х\Ь- LL отображение 5lyv действует по правилу 5t_nV і ОС к І к=- ^1^5, ОС г» . Из определения топологии в \\ следует, что все отображения ОТп непрерывны, а отображение б" гомеоморфизм. Обозначим через

предел обратного спектра и снабдим

его индуцированной топологией из г\ .В силу равенства

- ЗІ -

получаем сюръективность отображения CJU va дня всех_^ П IL . Легко показать, что /\ замкнутое подмножество 1\ и, следовательно, оно компактно. Ограничение гомеоморфизма 6 на подмножество /\ будем обозначать через | . Для любого числа а^>0 найдется такое число Е>0 (см.[іЗІ, теорема І.ІЗ), что для любого отображения а: 9c^l \^s $ ' ** ^ ' ^сУЩ^ествУ^ет непрерывное отображение Ч ^: 1\~^ Г^ ^{со свойствами}

а^ДоЬ^рІоНсоОДоСОс))]^.

жение

Рассмотрим инвариантное относительно отображения Q компакт
ное множество и определим непрерывное отобра-

следующим образом

где /V предел обратного спектра . Оказыва-

ется, что это отображение есть гомеоморфизм и п+⁼С|⁰П , где Q является ограничением отображения б на /V (см. ЇІЗІ , теорема 1.20). Для завершения доказательства леммы достаточно показать, что для любой точки ч" /\/ найдется

такая точка Хв/\ , что рСх,Ь( кз-s і . Пусть

14\co^zM такая точка из/V , что 4of \ .Тогда найдется такая точка Х-ІОсД \С--о из /\ , что

качестве точки Х/\ возьмем ЗС₀-5!оСх) и оценим расстояние между точками х и лі .

-О G<3

«Li""-V-зЗі.

Лемма доказана.

3. Зафиксируем некоторое число С\є(3,"Ч) и рассмотрим квадратичное преобразование единичного отрезка X » которое задается формулой:

|сос)= ах(і-х).

Мы покажем, что при некотором значении параметра Q для ото
бражения -I существует нетривиальное гиперболическое мно
жество, которое отделено от границы отрезка J . Обозначим
через Хі и Х^ соответственно наименьший и наибольший про
образы точки Х=Ш/ относительно отображения і и покажем,
что при некоторых значениях параметра С\(3,^гі) выполне
ны неравенства Хо/ ОС і . Запи
шем эти неравенства явно:

8л/а^г-2сл'-а^а³-8с\<0, а.з)

2л/а^г-2а'-а^г+2а <0. (і.4)

При с\ = ^г\ неравенства (1.3) и (1,4) верны. Б силу непрерывности их левых частей относительно переменной V\ найдется такое число О>₀< \ , что неравенства (1.3) и (1.4) выполняются для всех С\^а₀ДО

Непрерывная функция | монотонно убывает и возрастает соответственно на отрезках [х^Ш] и [1/2, Х₂1 . Так как

то найдутся такие точки d₀ , ft₀fc С X і, 1/2. ) и

<л₄,^1бС1/г,х_г) .что fUo)=f(pn=x^ н

С помощью двух непересекающихся замкнутых множеств

Ao^zU₀₎>ol и A^[cu,j3J

и отображения -I построим ориентированный граф | , описанным в I способом. В силу включения

{ЧАо^^Мхі.хЛ^Ао^Аі

все элементы матрицы переходов I I графа | равны единице и, следовательно, пространство Л і | -допустимых последовательностей состоит из всевозможных последовательностей, элементы которых принимают значения нуль и единица. Пусть А замкнутое множество из леммы 1.2, которое в силу диадичности \> будет инвариантным относительно этого отображения. Мы покажем, что отображение I является растягивающим на множестве п^ Ао^Аі для некоторых значений параметра С^6(Оо,Ч) Дяя ^этго достаточно показать, что все

- 34 -точки oceAoVA^ удовлетворяют неравенству

1({^г)'(х)Ы.

Поскольку 1(00)--+ (1-х) для любых хе I и множество A₀V/Ai симметрично относительно точки ос = 1/2 » а функция I монотонно убывает на А о » ^то рассматриваемое неравенство примет вид:

cjtx^Mcr'x³- Ьсл^ъх^г-*2(а³-а^г)ос- о^г>1.

Кубическая функция выпукла на отрезке 10, V/2 ] и, следовательно, достаточно показать, что при некоторых значениях параметра СА СО о Л\ ) выполнены неравенства Q (<А ₀ ) > 1 ^и ^&оЬ1 , где

Р_ _

Требуемые неравенства имеют вид:

Эти неравенства выполнены при (Х- "Ч и, следовательно, в силу непрерывности их левых частей по переменной Q найдется такое число Q^Wo,^ ) , что для всех значений параметра (Xfck&i^) неравенства (1.5) и (1.6) верны.

Итак, показано, что при некоторых значениях параметра С\,
Ъ<0< М на множестве I\q\J 1\\ абсолютное значение производ-
ной функции 4. больше единицы. Это означает, что для любой
последовательности оо Л L компоненты связности А оо
множества А суть одноточечные множества и, следовательно,
построенное выше отображение (ЇГ* является гомео-

морфизмом, а само инвариантное множество А есть гиперболическое (отталкивающее) множество для отображения Д. .

4. Теперь вернемся к рассмотрению квадратичных преобразований симплекса 6y\ и определим отображение i- R—ЦК следующим образом

а положительные числа 0\$і ,.. Q_n выбраны таким образом, чтобы 1(6\0С 6*п » например Y1 0к ^ М ^Ком~

лекса существуют

понентн \г)...Дп рассматриваемого преобразования і снилеє суть сжимающие отображения І в себя и поэтому такие точки ос⁰;. 6 1 , что I *_t С Ос\ ) - OCt .

Выше мы показали, что при 0^(си, Ч) отображение -L имеет гиперболическое множество /\ . Поэтому множество

является гиперболическим для отображения Д. , причем динамическая система \ /\ , і ) сопряжена с динамической системой \l ) . Все дальнейшие обозначения согласованы с обозначениями из леммы 1.4.

ТЕОРЕМА 1.2. В пространстве Q(

квадратичных пре-

образований симплекса б_п найдется такое открытое множество , что для любого отображения Сі существует такое Ql -инвариантное замкнутое множество /V^е б\л и бо-релевская сг-инвариантная нормированная мера М на /\/ , что эндоморфизм $ пространства с мерой (Д/, М / точен. Доказательство. Рассмотрим замкнутые множества

/\₀=/\o*Uxi,...,x?,)} .Л^АЛох!,...,*&)},

где по, /А і - отрезки, с помощью которых в п. 3 строилось инвариантное множество /А . В силу построения этих отрезков найдется такое число о > 0 » что о -окрестности

множеств принадлежат внутреннос-

ти симплекса 6\л » а их значения имеют пустое пересечение.
Обозначим через -окрестность построенного выше

гиперболического множества /\ преобразования \ симплек-са 6n . Ясно, что

_{"U«UY)UsU\o)VUi(AJ.}

Выберем положительные числа С і и і _г , первое из которых
соответствует числу о >0 в силу леммы 1.4, а второе обла
дает тем свойством, что из неравенства РсЛ М^,(Й ^
следует неравенство^ РсдЦ 9| '^\ Рассмотрим предел
обратного спектра и обозначим через W

открытое множество в Ы(6п) , которое является ^ -окрестностью отображения \: ЦДЛ)-»

Пусть qfcVv/ . Так как Q^i Ц » (f '⁴ і » ^{т0 из}
леммы 1.4 следует существование Q -инвариантного замкнуто
го множества . Покажем, что в каждом из множеств

найдется хотя бы одна точка множества Л/ . Пусть 5сб/\ произвольная точка и ОсН'ЭСк Jk=-: ОС ^. Рассмотрим последовательность hС% 1 = "М -x"4vc jкг-сх*^Л/= tim(Л/, Q^z/ и зафиксируем точку Q ~ м₀ из множества /V . При доказательстве леммы 1.4 было показано, что для любой точки эс Л выполнено неравенство О С*х_; n (.%⁴)) < о , т.е; РС'эс, ^)< о В силу этого неравенства и определения множеств Ц$\Ло) и XI \/\і) заключаем, что точка м принадлежит тому из этих множеств, которому принадлежала точка X .

Поскольку динамическая система сопряжена с

, то система сопряжена с (Л,б) .

где 1І - пространство всевозможных двусторонних последова-тельностей из нулей и единиц, а 6 - гомеоморфизм сдвига. Как было отмечено при доказательстве леммы 1.4, гомеоморфизм

сопрягает (7\,f) c(/V, gi) . Пусть \) мера максимальной энтропии на пространстве JTL . Эта мера

6 -инвариантна и динамическая система (.лі ,б , V / являет,-ся 1\ -системой. Обозначим через Н образ этой меры на /V относительно гомеоморфизма, сопрягающего Динамическая система v/V,3*, И ) является К -системой и

И -мера любого открытого множества пространства /V поло
жительна. На множестве /V введем борелевскую Ч -инвариан
тную меру H-(3ToW(-h) и покажем, что она не сосредоточе
на в одной точке. Пусть это не так. Тогда прообраз одного из
множеств относительно непре-

рывного отображения 5ї₀ будет открытым множеством нулевой меры в /V » что неверно. Поскольку построенная мера И не сосредоточена в одной точке и так как (N_} 9^г, М) является

К -системой, то ее фактор-система (Л/, ^, |0

относительно отображения 5l₀ будет точным эндоморфизмом І26І . Теорема 1.2 доказана.

СЛЕДСТВИЕ. В пространстве найдется такое открытое множество LL t что для любого Q LL существует борелевская Q. -инвариантная эргодическая мера И с

5. Используя теорему 1.2, дадим ответы на вопросы а) -г) п. I.

ТЕОРЕМА. 1.3. В пространстве ЦС Gn ) существует такое открытое множество Yv , что для любого отображения Q6V\/ сформулированные выше вопросы а) - г) шлеют отрицательный ответ.

Доказательство. Пусть открытое подмножество в О.Сбп ) » существование которого утверждает теорема 1.2. Зафиксируем произвольное отображение ^ Wi и рассмотрим

точный эндоморфизм (/\1_;о , VA ) , построенный в предыдущей теореме. Так как [Л - мера всех открытых подмножеств множества /V положительна и отображение сг эргодично относительно меры М, , то почти все точки множества /V имеют всюду плотные Q -траектории в /V (см., например, [27] ). Это дает отрицательный ответ на вопрос б). Поскольку множество периодических точек отображения 6 всюду плотно,в пространстве а множество Л/ является образом п при непрерывной эквивариантной сюръекции, то периодические точки отображения сЛ , а следовательно, и отображения а всюду плотны в /V . Отсюда следует отрицательный ответ на вопрос г), так как в любой близости друг от друга находятся две точки, одна из которых имеет всюду плотную траекторию в /V » а другая периодическую.

Теперь покажем, что длины периодических траекторий отображения Q не ограничены в совокупности. Пусть это не так и S такое натуральное число, что периодические точки отображения Ч имеют периоды не больше, чем S . Тогда на множе-

стве периодических точек отображения Q отображение Q ,

где гс\- S. будет тождественным. Из непрерывности отображения

Q и плотности множества периодических точек следует, что

сЛ* тождественно на /V и, следовательно, топологическая

энтропия отображения а Є \N\ равна нулю, что противоречит

выбору множества

^{\л/л .}

Наконец, перейдем к рассмотрению вопроса а). Построенное выше отображение ^ симплекса Єп в себя имеет одну неподвижную точку О*, и две периодические точки р4,Рз периода два, которые образуют цикл второго порядка. Из определения

отображения і получаем, что если p-_t~ ІЗС^ЗС^_г..,Хп J »

...t Qt4->/9i-^-3'

* 6,-ьА^г-26і-3 '
^Хі" 2Єі

Так как для всех вл^ VCAi.^l) расстояние между точками Ці" Pi ^и Чг-Цг⁺Рз")/2 положительно, то найдется такое число о\ > О , что замыкание -окрестности

OvQct) ^{этих точек не} пересекаются.

Пусть положительное число таково, что о -окрестности 1л/\,Д^г1Д,3 точек OL не пересекаются. Построим систему о і. \ -окрестностей і,\-іЛ,3 точек р^ таким образом, чтобы выполнялись следующие включения

?(U_l5VU_Ul ^UvxKlu, {UJUKUU,

и неравенства:

Из определения множества /\ следует существование го
меоморфизма Г¹: , который сопрягает отображения
Г и б . При этом отображении последовательности, состо
ящие из одних единиц и нулей, переходят соответственно в
точки р! и р^ .В пространстве і 1 рассмотрим непересе
кающиеся множества i=\,X и выберем
такие натуральные числа t и S » чтобы имели место вклю
чения:

V^hKfbV-i ^-iHVi,

Vx"Ico^Q:co_jv-Q,...,gj_s=0U\4

Это можно сделать в силу построения множества А . По заданным некоторым способом (ниже будет указано, каким именно)

возрастающим последовательностям I \1 к з к = і , 1^іцЗк=і

натуральных чисел построим точку 6о еХ L следующим образом. .Идя любого натурального числа К обозначим через со_к и \)ц конечные последовательности длин Y^>> и Шк^>^ , состоящие соответственно из одних нулей и единиц, и по определению положим 00 = 100-1.,^^00^4)^...1 . Полученная точка ообЦ под действием отображения Є имеет следующий "маршрут движения". Стартуя из Vo , она находится там на протяжении ^ Cn^-S") шагов. После этого покидает v^ и находится вне Vi на протяжении S шагов. Затем попадает в Vj. и находится там на протяжении (ууц- t) шагов. Покинув это множество, она через L шагов снова попадает в V^, ^и находится там

уже на протяжении (Пд,- 5>) шагов и так далее. В силу сопряженности отображений 6 и точка 0=Г(со)б U2.3 будет иметь аналогичный маршрут движения относительно множеств rCV_a/)^cLL^3, ^\Vi)^cLLv3 и отображения 1 Отсвда и из определения окрестностей Lli і получаем, что траектория точки С\ под действием отображения А- устроена следующим образом. Стартуя из окрестности \Х %ъ , она на протяжении (YK~S) шагов поочередно находится то в Ц^о, , то в ІЦ2, После этого через S шагов попадает в IX1^, где на протяжении (\Y\\,- О шагов поочередно находится то в \Х.\.Ъ і то в Цлз . Затем покидает эти множества и через 5. шагов попадает в 11,2 и поочередно находится то в \Хгъ» то в 11^ уже на протяжении (Пг~$^,)_шагов и так далее. Зафиксируем положительное число o-imin І а1г~^іл5

и выберем соответствущие ему положительные числа 81 и t ъ таким же образом, как и при доказательстве теоремы 1.2. Положим С равным наименьшему из чисел ^., _г tt^nlo-OitJ

и рассмотрим открытое множество пространства которое является Ь -окрестностью отображения 4- . Пусть аб\л/^ . Рассмотрим такую точку а={слк)\^-<ьо про-

странства /\ , что СКу^- | (О), \<-0Д,..-^и обозначим

через ft--ал \<,= - оо точку пространства /V , которая является образом точки с* относительно построенного в лем-

ме 1.4 гомеоморфизма . Так как точка 0\ не

является периодической точкой отображения 1 , а гомеомор-физм п сопрягает отображения 1 и 9 , то точка

не Судет периодической точкой для

- 43 -у

отображения Сі . Покажем, что при надлежащем выборе после-довательностей 1ГОкзк=1, лГ)к jK = \ » по которым строится

точка Со и, следовательно, точка о , не существует предела средних

^к-о

Для этого достаточно показать существование двух подпоследо
вательностей последовательности I <Ь tn \ о) І m = А. , первая
из которых будет лежать в множестве 0(0ц ) , а вторая в
ичЧг) С этой целью проследим поведение траектории точки
й относительно отображения ^ . В силу определения про
странства А/ получаем, что . По
скольку отображение П отличается от тождественного отоб
ражения не более чем на , то для любого натурального
числа к выполнено неравенство р(Ок,&\<)<о и, следо
вательно, точки o_v< лежат в окрестностях 11 и \л\% .
С другой стороны, так как РсА^Ь^І* ^и точки
лежат в множествах \Х\\ и LL31 , то точки QVO>J лежат
в окрестностях . Итак, точка Ь под действием
отображения Q имеет следующий "маршрут движения". Стартуя
с окрестности 11 , она на протяжении (гц-S) шагов пооче
редно находится то в 11 , то в Ll^ . После этого не бо
лее чем за Ъ шагов переходит в Ll{ , где находится на
протяжении От\- Л шагов. Затем не более чем за С шагов
снова попадает в Ц^ и поочередно находится то в 1,1. » то
в ІЦ уже на протяжении (г\_г-Ь) шагов и так далее. Отсюда

-44 -получаем, что для любого К Є IN

с г о мі и / к (WHttvt)
С|і- РеЛ^И^ * 1 о >

Взяв число \Пц достаточно большим, например,

\Т\

\<

>/^-^p(n^m^... + n_V(4-_i+m_K-^\i_v<)

получим, что

Аналогично взяв

s о Wei / _ч

получим, что

^{U^-Ss^H^d}

Тем самым доказано, что последовательность

не имеет предела.

Для завершения доказательства теоремы остается взять в качестве открытого множества W пространства пересечение W^flWi , которое не пусто в силу их построения как окрестностей одного и того же отображения + в . Теорема 1.3 полностью доказана.

Построение инвариантной меры отображений со свойством марковости методом измеримых сечений

Эта теорема усиливает один результат из [в J для преобразований метрических компактов. В 2 первой главы свойство энтропийной стохастичности используется при изучении асимптотического поведения интера-ций квадратичных преобразований ft -мерного симплекса Задача об асимптотическом поведении итераций таких отображений ставилась С.Уламом [эЗ и Ю.И.Любичем [і0\ . В одномерном и двумерном случаях ряд результатов в этом направлении получен в работах [її J , _I2J , \_I4 J . ТЕОРЕМА 1.2. В пространстве однородных квадратичных преобразований симплекса 6\-\ найдется такое открытое множество W , что для любого отображения Q существует Q -инвариантное замкнутое множество /уС-бп. и борелев-ская От -инвариантная нормированная мера К на /\/ , для которых эндоморфизм Q пространства с мерой \N, Н) точен. Доказательство этого результата об энтропийной стохастичности квадратичных преобразований использует теорему о семействе 6 -траекторий гиперболических эндоморфизмов (см.[із]). С помощью теоремы 1.2 в 2 даны ответы (теорема 1.3) на поставленные в [іОІ вопросы о поведении траекторий квадрано непрерывных инвариантных мер одномерных отображений. Б связи с задачей о существовании интегрального инварианта -У -систем А.М.Степин в 1970 г, предложил метод (см. fl5J ) построения и исследования абсолютно непрерывных мер для преобразований, обладающих свойством гиперболичности. Метод основан на исследовании оператора Кузьмина, связанного с отображением, и использовании подходящего критерия когшактности. Для одномерных растягивающих отображений доказательство существования абсолютно непрерывной инвариантной меры дано Ля-сотой и Йорком ІІ6 J и Адлером [17 J . Во второй главе диссертации рассмотрен класс одномерных отображений + , для которых условие растяжения IX I 1 нарушается в конечном числе точек. Такие отображения назовем несжимающими. Пусть і - несжимающее преобразование окружности S = \к И. к313003 - » растягивающее на множестве 4Xv,...,Xaj. Рассматривая вопрос о существовании абсолютно непрерывной инвариантной меры, можно, без ограничения общности, считать, что Xi,.,.;OCf\ - неподвижные точки для т и i(Xi) = l, lzl,».. П. . Пусть Ч? - непрерывная ветвь обратного отображения в окрестности точки Х ; 4 СЭС,)С ЭС1 . Будем говорить, что отображение і удовлетворяет условию (Л+) (соответственно ( Л ) ) в точке X і , если для некоторого 6 0 существует такая точка "2 \Х } Xi+ L) (соответст венно (Х{,-8.,Хс) ) и число , что для любых точек Х,Ч[Ч!{Л);?3 (соответственно X,Vj6fe, j?-L ()] )". и в точках XI выполнены условия \1\ ) , то существует абсолютно непрерывная т_ -инвариантная мера, которая необходимо бесконечна. С метрической точки зрения изучение несжимающих преобразований окружности класса С сводится к исследованию несжимающих преобразований отрезка і= [0,1 J , удовлетворяющих условиям: а) существует такое разбиение 0 = Q0 C\i ... 0 -{ отрезка 1 , что ограничение отображения X на 1С к-1, (X к ) продолжается до функции -I \ класса С на отрезке б) все функции +ц возрастают и взаимно однозначно ото бражают [САк-і.,(Х\Л на I, К=1,..МУ\.

Если несжимащее отображение отрезка 1 в себя, удовлетворяющее условиям а) и б), растягивает вне неподвижных точек XL, 1=1,,.., VI ив точках ОСі выполнены условия \\\ ) и V /\ j , то существует абсолютно непрерывная инвариантная мера, которая необходимо бесконечна.

При доказательстве теоремы 2.2 используется прием перехода к индуцированному отображению, предложенный Я.Г.Синаем (см. [18]).

Отметим, что в теоремах 2.1 и 2.2 не предполагается монотонности производной отображения в окрестности неподвижных точек, как это делается в работе С 9] Ьолее того, из условия монотонности производной в окрестности неподвижных точек следует выполнение условий (МАМ (предложение 2.1). Ограничение на класс гладкости в теоремах 2.1 и 2.2 существенно, как показывает следующий результат. ТЕОРЕМА 2.3. Для любого сКбСОД) существует такое несжимающее преобразование окружности класса С , что оно обладает конечной абсолютно непрерывной инвариантной мерой.

Б третьей главе изучается одномерное отображение, возникающее при моделировании процесса бурения шарошечным долотом, вращающимся с постоянной угловой скоростью. Вопросам разрушения горных пород шарошечными долотами посвящено много работ специалистов по бурению и горному делу (см., например, в t2Il описана модель работы перекатывающейся по забою шарошки. В работах L 221 и [ 32 1 эта модель исследована в предположении постоянной поступательной скорости шарошки. Доказательство существования абсолютно непрерывной инвариантной меры соответствующего одномерного отображения в работе 22 . ошибочно.

Асимптотические свойства итераций квадратичных отображений

Как показано в 124 J для почти каждого элемента С я функцию множеств VC можно продолжить до меры Лебега на пространстве А » причем ограничение этой меры на множество С г совпадает с канонической мерой he г для почти всех С X / Поскольку семейство образует базу топологии пространства А , то наименьшая б -алгебра, порожденная этим семейством совпадает с б -алгеброй борелевских подмножеств пространства А и, следовательно, для почти каждого элемента Ся Л/3 все те множества, которые получаются путем пересечения борелевских подмножеств пространства Д с множеством ч/ х , заведомо будут Mc-i из меримыми множествами.

Теперь мы можем завершить доказательство теоремы I.I. Рассмотрим на пространстве такие множества: \ Л - мно жество тех точек, в которых (.Сз, Нс-г ) не является прост ранством Лебега; \ - множество тех точек, в которых vC plcajKc-si) не является эргодической компонентой динамической системы - множество тех точек, в которых пересечение борелевских подмножеств пространства А с w не являются рСх -измеримыми множествами и, наконец, \ хд -множество тех точек множества д0 , в КОТОРЫХ ЬЧСа Р И3 сказанного В6 Следует, ЧТО эти множества имеют нулевую меру и поэтому множество обозначим через Jio & -алгебру тех подмножеств пространства Л , которые в пересечении с множеством С я являются И( -измеримыми множествами. На пространстве (X JJ0) введем меру М следующим образом: В силу определения множества Чех/ все борелевские подмножества пространства \ суть К -измеримые множества, т.е. если обозначает б -алгебру борелевских подмно жеств пространства . Кроме того, мера является 1 -инвариантной, эргодической и Теорема І.І доказана. 2. Укажем на связь свойства марковости отображения со свойством П -адичности, введенным в работе [8І. Если V\-l и во включениях (I.I) V -V4 % , то говорят, что отображение \ диадическое. Если непрерывное преобразование 1 метрического компакта Л обладает свойством марковости и Пп \) , то при некотором преобразование \ диадическое. Доказательство. Предположим, что существует вершина графа I , выходя из которой можно вернуться в нее двумя различными путями. В силу этого найдутся такие две различные конечные I -допустимые последовательности lOO j s и "Чі -І » OJl=: m :: t=0n l ПУСТЬ Vs общее кратное чисел Vr и П , т.е. К-ГП-К и K-WK . для некоторых К\,Кг А/ Возьмем -допустимую последовательность {00 .,,..,00 и выпишем ее последовательно Kv раз» Поскольку oo -COm+i » то полученная последовательность vскх з 1=-1 будет I -допустимой, так же как и последовательность 1 Лг J1= і , где c vc+v-СлЗ Аналогичным образом с помощью \ -допустимой последовательностью г ,,..,Vn ) построим новую последовательность \&\3(=-Ь Так как построенные -допустимые последовательности различны, то замкнутые множества не пересекаются и содержатся соответственно в множествах А «А . Из равенства (1.2) получаем, что Для завершения доказательства предложения остается показать, что справедлива следующая ЛЕММА 1,3. Если в ориентированном графе \ не существует такой вершины, выходя из которой можно вернуться в нее двумя различными путями, то Доказательство. Разобьем множество вершин графа I на классы эквивалентности І І ,..., 1 к возвратных вершин и мно жество невозвратных вершин (определение см., например, в [5І). Так как из каждой вершины графа I выходит ребро и число вер шин конечно, то в графе I существует хотя бы одна возврат ная вершина и, следовательно, один из классов 1 \,,.., \ к не пуст. Так как значение числа По не зависит от нумерации вершин графа , то перенумеруем ее вершины так, чтобы мат рица переходов I I , отвечающая графу , имела следующий. Каждый диагональный блок в матрице \ либо отвечает одному из, классов эквивалентности возвратных вершин и является неразложимой матрицей f 5І, либо отвечает некоторой невозвратной вершине и состоит из одного нуля. Максимальное положительное собственное значение матрицы 1 I совпадает с числом где 7 1- наибольшее положительное собственное значение блока I \ . Зафиксируем произвольный блок I , отвечающий классу эквивалентности .В силу определения класса эквивалентности существует путь, проходящий через все вершины І і . Из условия леммы следует, что такой путь единственный, т.е. в каждой строке и столбце блока \{ стоит по одной единице и, следовательно, 7\\. 1 151. Так как блок \ ь был выбран произвольно, то 9 = 1 , т.е. Ппг 0 Лемма 1.3, а вместе с ней и предложение доказаны.

Об устойчивости неподвижных точек отображения, моделирующего процесс бурения

Из определения множества /\ следует существование го меоморфизма Г1: , который сопрягает отображения Г и б . При этом отображении последовательности, состо ящие из одних единиц и нулей, переходят соответственно в точки р! и р .В пространстве і 1 рассмотрим непересе кающиеся множества i=\,X и выберем такие натуральные числа t и S » чтобы имели место включения: Это можно сделать в силу построения множества А . По заданным некоторым способом (ниже будет указано, каким именно) возрастающим последовательностям I \1 к з к = і , 1 іцЗк=і натуральных чисел построим точку 6о еХ L следующим образом. .Идя любого натурального числа К обозначим через сок и \)ц конечные последовательности длин Y и Шк , состоящие соответственно из одних нулей и единиц, и по определению положим 00 = 100-1., 00 4) ...1 . Полученная точка ообЦ под действием отображения Є имеет следующий "маршрут движения". Стартуя из Vo , она находится там на протяжении Cn -S") шагов. После этого покидает v и находится вне Vi на протяжении S шагов. Затем попадает в Vj. и находится там на протяжении (УУЦ- t) шагов. Покинув это множество, она через L шагов снова попадает в V , и находится там уже на протяжении (Пд,- 5 ) шагов и так далее. В силу сопряженности отображений 6 и точка 0=Г(со)б U2.3 будет иметь аналогичный маршрут движения относительно множеств rCVa/)cLL 3, \Vi)cLLv3 и отображения 1 Отсвда и из определения окрестностей Lli і получаем, что траектория точки С\ под действием отображения А- устроена следующим образом. Стартуя из окрестности \Х %ъ , она на протяжении (YK S) шагов поочередно находится то в Ц о, , то в ІЦ2, После этого через S шагов попадает в IX1 , где на протяжении (\Y\\,- О шагов поочередно находится то в \Х.\.Ъ і то в Цлз . Затем покидает эти множества и через 5. шагов попадает в 11,2 и поочередно находится то в \Хгъ» то в 11 уже на протяжении (Пг $,)_шагов и так далее. Зафиксируем положительное число o-imin І а1г іл5

и выберем соответствущие ему положительные числа 81 и t ъ таким же образом, как и при доказательстве теоремы 1.2. Положим С равным наименьшему из чисел ., г tt nlo-OitJ и рассмотрим открытое множество пространства которое является Ь -окрестностью отображения 4- . Пусть аб\л/ . Рассмотрим такую точку а={слк)\ - ьо про странства /\ , что СКу - (О), \ -0Д,..- и обозначим через ft--ал \ ,= - оо точку пространства /V , которая является образом точки с относительно построенного в лем ме 1.4 гомеоморфизма . Так как точка 0\ не является периодической точкой отображения 1 , а гомеомор-физм п сопрягает отображения 1 и 9 , то точка не Судет периодической точкой для отображения Сі . Покажем, что при надлежащем выборе после-довательностей 1ГОкзк=1, лГ)к JK = \ » по которым строится точка Со и, следовательно, точка о , не существует предела средних к-о Для этого достаточно показать существование двух подпоследо вательностей последовательности I Ь tn \ о) І m = А. , первая из которых будет лежать в множестве 0(0ц ) , а вторая в ичЧг) С этой целью проследим поведение траектории точки й относительно отображения . В силу определения про странства А/ получаем, что . По скольку отображение П отличается от тождественного отоб ражения не более чем на , то для любого натурального числа к выполнено неравенство р(Ок,&\ ) о и, следо вательно, точки ov лежат в окрестностях 11 и \л\% . С другой стороны, так как РсА Ь І и точки лежат в множествах \Х\\ и LL31 , то точки QVO J лежат в окрестностях . Итак, точка Ь под действием отображения Q имеет следующий "маршрут движения". Стартуя с окрестности 11 , она на протяжении (гц-S) шагов пооче редно находится то в 11 , то в Ll . После этого не бо лее чем за Ъ шагов переходит в Ll{ , где находится на протяжении От\- Л шагов. Затем не более чем за С шагов снова попадает в Ц и поочередно находится то в 1,1. » то в ІЦ уже на протяжении (г\г-Ь) шагов и так далее.

Существование абсолютно непрерывной инвариантной меры отображения в случае квадратичного профиля

В настоящей главе исследуется отображение, возникающее при моделировании процесса бурения шарошечными долотами. Найдены зоны устойчивости и неустойчивости его неподвижных точек в зависимости от угловой скорости вращения. Б 2 для одного одномерного отображения рассматриваемого типа доказано существование абсолютно непрерывной инвариантной меры.

Об устойчивости неподвижных точек отображения, моделирующего процесс бурения I. Следуя работам [20І , [2l] , шарошечное долото будем представлять вращающейся зубчатой шестерней, перекатывающейся по горизонтальной плоскости. Считаем, что не происходит скольжения зубьев по плоскости и что удары зубьев шестерни о плоскость абсолютно неупругие. В этих предположениях работа шарошки полностью описывается отображением ) , сопоставляющим положению шарошки в момент удара ее положение в момент следующего удара. Положение шарошки в момент удара зубцом однозначно задается парой чисел (К , ft) , где ft - величина угла между вертикальной осью и радиус-вектором, соединяющим центр шестерни с острием К -го зубца. Если этот зубец соприкасается с плоскостью справа от вертикальной оси, проходящей через центр шестерни, то значение угла 6 считается положительным, в противном случае - отрицательным. Из определения угла у следует, что в случае удара одним зубцом \$\ Ч , где 2 - внутренний угол между соседними зубцами. В том случае, когда соприкосновение шестерни с горизонтальной плоскостью происходит одновременно двумя соседними зубцами, Q\r Ч. . Интересующее нас отображение \Э представимо в виде косого произведения с /V -точечным слоем (где Л/ - число зубцов шестерни) над преобразованием г полуинтервала 1 Ч., \ / , сопоставляющего углу G в момент удара значение этого угла в момент следующего удара. Нашей целью является исследование типа неподвижных точек отображения Г . Предположим, что шестерня имеет радиус К, , массу \ и вращается по часовой стрелке с постоянной угловой скоростью СО . Пусть, кроме того, на шестерню действует постоянная сила G , направленная вертикально вниз. Зависимость угла р от времени X определяется равенством: где . Из этого равенства следует, что В\Л2 » тогда и только тогда, когда x vvnoo\T ) . Введем отображение Л . сопоставлящее моменту удара \0 следующий момент удара X и рассмотрим преобразование t полуинтервала \_0,Т ) , задаваемое формулой: Покажем, что преобразования г и t сопряжены посредством отображения + , определенного следующим образом: Действительно, если Х0 и tj. - моменты времени двух последовательных ударов, а р0 и BJL - соответствующие им углы, то для to lOjT/ имеем цепочку равенств: Дадим геометрическое описание отображения t . Пусть в момент удара X о шестерня имела положение р о , а в сле дующий момент удара X положение [І І . Расстояние от центра шестерни до горизонтальной плоскости в момент X 0 равно . Так как удар предполагается абсолютно неупругим, то вертикальная компонента скорости центра шестерни после удара равна оо . Высота центра шестерни в промежутке между последовательными ударами описывается уравнением:

Похожие диссертации на Инвариантные меры необратимых отображений

Инвариантные меры для многозначных отображенийГорбачев Алексей Николаевич