Введение к работе
- З -
Актуальность темы. Первая интерполяционная теорема теории операторов была получена М. Риссом в 1926 году, а затем уточнена Г.О. Ториным. Существенным дальнейшим шагом явилась интерполяционная теорема Ж. Марцинкевича (1939 г.), доказательство которой опубликовано А. Зигмундом в 1956 г. В 50-ых годах Е.М. Стей-ном и Г. Вейсом были получены важные обобщения теорем Рисса, То-рина и Марцинкевича. Разработка общих интерполяционных теорем для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств была начата в 1958 г. независимо в ряде стран. Первые публикации здесь принадлежат Й.Л. Лионсу, Е. Гальярдо, А.П. Кальдерону и С.Г. Крейну. В дальнейшем существенную роль сыграли работы Ж.Петре.
Теория интерполяции линейных операторов бурно развивалась и стала важным разделом функционального анализа, имеющего приложения в различных областях математики (в теории апроксимаций, в гармоническом анализе, в теории уравнений с частными производными, в геометрии банаховых пространств, в вычислительной математике, в математической физике и др.). Значительный вклад в развитие теории интерполяции сделан коллективом воронежских математиков (Е.Н. Семенов, Ю.И. Петунии, В.И. Овчинников, А.А. Седаев, И.Я. Шнейберг и др.).
В абсолютном большинстве работ исследовалась интерполяция в парах или нескольких банаховых пространствах. Однако, те случаи, когда банаховы пары являются операторными пространствами изучен слабо. Здесь лишь имелась пионерская работа Петре, которая, насколько нам известно, но получила дальнейшего развития. В связи с этим, является актуальним исследования интерполяции трансформаторов (линейных операторов, действующих в операторных
пространствах).
Целью-работы является исследование связей между интерполяционным функтором в категории банаховых пар с соответствуют^ функтором в операторных пространствах.
Методика исследования. В диссертации используются методь теории операторов в банаховых пространствах, теории идеальных структур измеримых функций, теории вещественной интерполяции.
Научная новизна. Все результаты являются новыми. Наиболее важные из них:
выделение класса дополняемых банаховых пар, для которы> исследованы функторы суммы и произведения для верхних и нижни> операторных пространств ;
исследованы идеальные структуры на верхних и нижних от раторных пространствах ;
изучен метод констант и средних на верхних и нижних one раторах пространств ;
доказаны новые интерполяционные теоремы для конкретных операторных пространств.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер и ее результаты могут найти применение в теории интегральных операторов, в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в теории функциональных пространств.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на совместном заседании семинара имени й.Г. Петровского, на научном семинаре С.Г. Крейна, на ежегодных научных конференциях Воронежского лесотехнического инстит; та и Воронежской математической школе.
.-5-