Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена вопросам интерполяции и аппроксимации наипростейшими дробями (н.д.), т.е. рациональными функциями, представляющими собой логарифмические производные комплексных многочленов. Как аппарат приближения н.д. впервые применялись в работе С. К. Chui1 при аппроксимации аналитических функций в интегральных пространствах Бергмана-Берса. Задача построения н.д., наименее уклоняющихся от нуля в равномерной метрике на разных множествах и при различных ограничениях на полюсы, исследовалась Е. А. Гориным, А. О. Гель-фондом, Е. Г. Николаевым, В. Э. Кацнельсоном и другими авторами2. Значительно позже был доказан аналог теоремы Мергеляна3 о том, что класс функций, приближаемых н. д. в равномерной метрике на ограниченном множестве, включает многочлены, а значит, и аппроксимируемые ими функции. При этом оказалось , что скорость приближения н.д. для широкого класса функций и ограниченных множеств имеет тот же порядок, что и ско-
1 Chui С.К. On approximation in the Bers spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V. 40. P. 438-442.
2Горин E. А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 1962. Т. 3, № 5. С. 506-508; Николаев Е. Г. Геометрическое свойство корней многочленов // Вестн. МГУ. Серия 1: Математика, механика. 1965. № 5. С. 23-26; Гелъфонд А. О. Об оценке мнимых частей корней многочленов с ограниченными производными от логарифмов на действительной оси // Матем. сб. 1966. Т. 71, № 113. С. 289-296; Кацнелъсон В. Э. О некоторых операторах, действующих в пространствах, порожденных функциями —^— // Теория функций, функци-ональный анализ и их приложения. 1967. Вып. 4. С. 58-66; Данченко В. И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем. сб. 1994. Т. 185, № 8.
С. 63-80.
3Данченко В. И., Данченко Д. Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы шк.-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф.Егорова. Казань, 1999. С. 74-77.
4Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2001.
Т. 70, № 4. С. 553-559; Косухин О. Н. Об аппроксимативных свойствах наипростейших дробей // Вестн. МГУ. Серия 1: Математика, механика. 2001. № 4. С. 54-58.
рость приближения многочленами. Это позволило О. Н. Косухину получить для н.д. ряд аналогов классических теорем Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, А. Зигмунда, В. К. Дзядыка, Дж. Л. Уолша. В дальнейшем были обнаружены и существенные различия между аппроксимативными свойствами н.д. и полиномов, обусловленные в первую очередь нелинейностью задачи аппроксимации н.д.
В недавних работах В.Ю. Протасова, В. И. Данченко, О.Н. Косухина и П. А. Бородина, И. Р. Каюмова были получены результаты о приближении н.д. на неограниченных множествах: прямых, лучах, полуплоскостях5. Показано, например, что каждая непрерывная на прямой функция с нулевым значением на бесконечности с любой точностью приближается н. д. в равномерной метрике; причем аналогичное утверждение становиться неверным для неразвернутого угла. Этот результат указывает на нелинейность процесса аппроксимации, его зависимость от геометрических свойств множеств аппроксимации.
В работах О. Н. Косухина, А. К. Рамазанова6, В. И. Данченко и П. В. Чу-наева разработаны методы n-кратной интерполяции Паде, доказана единственность интерполяционной н.д. Паде. В задаче простой интерполяции, в отличие от n-кратной интерполяции, вопросы разрешимости и единственно-
5Протасов В.Ю. Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберт // Изв. РАН. Серия математическая. 2009. Т. 73, № 2. С. 123-140; Данченко В. И. О сходимости наипростейших дробей в Lp(R) If Матем. сб. 2010. Т. 201, № 7. С. 53-66; Бородин П. А., Косухин О.Н. О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Вестн. МГУ. Серия 1: Математика, механика. 2005. № 1. С. 3-8; Каюмов И. Р. Сходимость рядов наипростейших дробей в Ьр(Ж) // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 10.
С. 87-98.
6Рамазанов А. К. Приближение наипростейшими рациональными дробями в пространстве Харди
H"2{D) II Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Казан, междунар. шк.-
конференции. Казань, 2003. С. 177-178.
7Danchenko V. I., Chunaev P. V. Approximation by simple partial fractions and their generalizations //
Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 176, № 6. P. 844-859.
сти, вообще говоря, не имеют однозначного ответа и зависят от алгебраической структуры интерполяционных таблиц8.
Я. В. Новак, М. А. Комаров и другие исследовали взаимосвязь чебышевского альтернанса, оптимальности приближения и единственности н.д. наилучшего приближения. Был выявлен ряд специфических аппроксимативных свойств, не присущих полиномам и рациональным функциям общего вида.
В работах А. В. Фрянцева9 и П. В. Чунаева10 н.д. и некоторые их естественные модификации нашли приложения в численном дифференцировании и интегрировании, аппроксимации дифференциальных операторов, вычислении многочленов и рациональных функций общего вида, аппроксимации плоских полей, создаваемых равновеликими источниками.
Цель работы. Получить условия существования и единственности решения задачи интерполяции н.д. Построить пример неединственности н.д. Для постоянных функций изучить взаимосвязь чебышевского альтернанса и наилучшего приближения н.д., доказать единственность н.д. наилучшего приближения, оценить скорость приближения интерполяционными Н.Д., построенными по чебышевской системе узлов.
Методы исследований. Использовались классические методы и подходы вещественного и комплексного анализа, линейной алгебры, теории рациональных и полиномиальных аппроксимаций, а также разработанные в диссертации новые методы обобщенной интерполяции с особыми узлами.
8Новак Я. В. О наилучшем локальном приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2008. Т. 84, №6. С. 882-887; Komarov М. A. Uniqueness of a simple partial fraction of best approximation //
Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 175, № 3. P. 284-308.
9 Фрянцев А. В. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов // Изв. Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, № 2. С. 39-43.
10 Чунаев П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации // Дифференциальные уравнения и
динамические системы. Сб. статей. Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 281-287.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
-
Разработана теория обобщенной интерполяции таблиц, допускающих бесконечно удаленные элементы, которая охватывает и обычную интерполяцию. В рамках этой теории получена единообразная классификация структуры таблиц, допускающих обычную или обобщенную интерполяцию. Эта классификация опирается на введенное в работе понятие особого узла, наличие которого в таблице является необходимым и достаточным для неразрешимости задачи обычной интерполяции. Получены алгебраический и геометрический критерии возникновения особых узлов, а также критерий единственности н.д. обобщенной интерполяции.
-
Получена оценка погрешности интерполяции н.д. постоянных функций в случае чебышевской системы узлов. Показано, что эта оценка по порядку близка к величине наилучшего приближения н.д. соответствующей степени.
-
Доказано, что наипростейшая дробь порядка п наилучшего приближения константы на отрезке действительной оси совпадает с ней в п узлах, лежащих на отрезке. Доказана единственность н.д. наилучшего приближения и необходимость наличия чебышевского (n + 1)-точечного альтернанса для оптимальности н.д.
-
Построен пример неединственности н.д. наилучшего приближения.
Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теории рациональных аппроксимаций и в некоторых нетрадиционных задачах приближения, связанных с комплексными многочленами и н.дробями.
Апробация работы. Результаты докладывались на научном семинаре под руководством д. ф.-м. н., профессора В. В. Жикова, на научном семинаре
Нелинейный анализ и его приложения под руководством д. ф.-м. н., профессора А. А. Давыдова, д. ф.-м. н., профессора В. И. Данченко, д. ф.-м. н., доцента М. С. Беспалова во Владимирском государственном университете им. А. Г. и Н. Г. Столетовых (2008-2012), а также на следующих российских и международных конференциях:
Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008, 2010);
Воронежская зимняя математическая школа "Понтрягинские чтения -XX": Современные методы теории краевых задач (Воронеж, 2009);
Современные проблемы теории функций и их приложения (Саратов, 2010, 2012);
— 10-я международная Казанская летняя научная школ а-конференция
"Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2011).
Публикации автора. По теме диссертации опубликовано 10 работ, две из них — [1] и [2] — входят в перечень рецензируемых научных журналов, рекомендуемых ВАК РФ для публикации результатов диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет - 96 страниц; библиографический список включает - 35 наименований.
