Введение к работе
Актуальность темы. Проблеме интерполирования функций ft. переменных на хаотических (т.е. произвольных) сетках посвя -щено значительное количество работ разных авторов (см, биб -лиографический обзор на с.105-106 диссертации), что объясня-ется большим теоретическим и прикладным значением этой задачи. Несмотря на это, в теоретико-аппроксимативном аспекте вопросы интерполирования функций на хаотических сетках были изучены слабо: оценки погрешности приближения были известны только при дополнительных условиях, значительно снижающих общность ситуации. В основном здесь исследовались задачи интерполяции гладкими кусочно-полиномиальными функциями на регулярных (т.е. прямоугольных)сетках, а также на сетках, специальным образом сконструированных в соответствии с заданной, достаточно хорошей триангуляцией.' Наиболее существен -ные, хотя и весьма немногочисленные, результаты в этом нап-равлении были получены именно для ^Э -сплайнов, введённых
в 1966 г. М.Атья \I$\* Зто оценки погрешности интерполяции
*2>' -сплайнами функций 4- из Соболевского класса ^7
на произвольных сетках Д , где Ъс. - ограниченная об -
ласть в Ц^ , полученные Ж.Дюшоном ^26J и А.Ю. Бежаевым
f_2j. Используемый ими метод, однако, неприменим к классам
Wpf-Q.} приближаемых функций , отличным от \/l(Qi).
Кроме того, хорошие аппроксимативные свойства 2) -сплай -
нов (на |R ) были выявлены в численных экспериментах ( Р.
франке \jp\, В.А.Василенко 4^], М.И.Игнатов, А.Б.Певный \І\)-
Так, в сравнительных тестах, проведённых Р.Франке |_27J для
большой группы разнообразных методов приближённого восстано-
т-вления функций, zu -сплайны показали наилучший результат
по-точности приблихения. За последние десятилетия достигнут зна -чигельный прогресс в теории сплайнов одного переменного, и проб -лема порядковых оценок для них была в основном решена. Несмотря на это, результаты по многомерным л) -сплайнам, известные до исследований автора, затрагивали лишь немногие, относительно простые частные случаи. Таким образом, актуальность изучения аппроксимативных свойств Й) -сплайнов многих переменных бесспорна.
Цель работы - получить точные по порядку оценки погрешности приближения функций f^WpCQ) и их производных порядка . в L(Jl) интерполяционными 5) -сплайнами при произвольных Г" , И- , К , ь, f , <}, и исследовать сходимость интерполя -цисиного процесса в пространствах Соболева W^Cbt,) , гае SaL - область в IK
Методы исследования. Методы, которые применялись в предав -ствующих работах в тех или иных частных случаях, не могут быть перенесены на общую ситуацию, поэтому для достижения поставленной цели необходим специальный, более сложный аппарат. Используемый автором аппарат включает три основных момента: I) теория дифференцируемых функций многих переменных; 2) свойство зкспонен -циального убывания интерполяционного 2) -сплайна на подобла -сти Ьс. , содержащей нули (при атом вводится специальная метрика на Q_ , отличная от евклидовой); 3) неравенства типа Никольского для сплайнов.
Научная новизна. В диссертационной работе предложена новая конструкция, позволяющая продолжить оператор сплайн-интерполяции, в частности, на классы У/рС^С-/ приближаемых функций + ( в этой ситуации неприменим вариационный принцип), доказана соответствующая теорема существо!ания и единственности сплайна, исследованы гладкостные свойства сплайнов, получены точные по порядку
оценки погрешности приближения функций G Щ* (SD в по
лунормах 82) 'й/ интерполяционными Э"1 -сплайнами, исс -
ледованы свойства сходимости сплайнов к интерполируемой функц
ии в пространствах Wa (ft-) . Все эти вопросы изучены в их
естественной общности: для областей Я. (кал огрй.?м'-«.'-нкх,
та^ и неограниченных) с липшицевой границей, при произвольном
расположении узлов интерполяции и при некоторых естественных
условиях на параметры Hi , К , й: , <. , f> ,
малась поыгтки изучения многомерных z; -сплаиноз, однако они привели к результатам только в следующих случаях: I) K=Wl (для сплайнов с краевыми условиями также (C=2./n ), р=2. , 5зц - ограниченная область с лилшицевой границей (М.АтьяцЭ], П.-Ж.Лоран [V], Н.Дютон[г5, 2б], В. А.Василенко fjf], А.Ю.Бежа-евЕХЗ И'ДР«) и ^) SJ=1R , сетка Д - равномерная кубическая (У.Мэдич, С.Нельсон \Z9, 30J). В данной диссертационной работе, таким образом, снята все ограничения, накладываемые в задачах аппроксимации Я& -сплайнами предшествующими исследо-вателями. Кроме того, в диссертации (с помощью *2) -сплайнов) впервые построены базисы в пространствах Соболева Wp(Q) , где 2, - ограниченная область с границей, удовлетворяющей условия Липшица. Ранее такие базисы были известны только для областей Si , граница которых имеет гладкость С либо "склеена" из конечного числа частей, имеющих такую гладкость І24І.
Практическая ценность. Задача интерполирования функций нескольких переменных на хаотических сетках возникает в таких областях, как геология (построение карт изолиний различных пара -метров месторождений), медицина (диагностика заболеваний серд -ца), системы автоматизированного проектирования (изготовление деталей и агрегатов сложной формы), экономика (анализ зависимостей ме-кду экономическими показателями) и др.
'Как показывают результаты численных экспериментов (Р.Франке \2.i}t В.А.Василенко [л]* М.И.Игнатов, А.Б.Певный {j7j ), удобным аппаратом для решения задачи интерполирования на п"р-а к т и к е являются 3> -сплайны на {** . Нахождение
2) -сплайна на IR. в явном виде сводится к решению системы линейных уравнений порядка
число узлов интерполяции. В связи с этим возникает проблема оценок погрешности приближения такими сплайнами. В диссертации получены оценки погрешности приближения функций few; од, где Q. - ограниченная область в fR , интерполяционными
2> -сплайнами на flC*- в полунормах » при
этом мультипликативные константы в оценках являются эффектив -ними, т.е. могут быть найдены в явном виде. Ранее такие оценки были известны лишь для случая JC»WL , P=s2. , Кроме то -го, в дополнении к диссертации рассмотрены другие конструктивные методы интерполирования на хаотических сетках, для которых приводятся оценки погрешности приближения и оценки вычислите -льной сложности.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" (Киев, 1990 г.), на Всесоюзном семинаре "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Москва, 1990 г.), на Всесоюзных (Миасс, 1987, 1989 гг.; Свердловск, 1990 г.) и Международной (Магнитогорск, 1993 г.) школах по теории функ -ций, на Саратовской зимней школе по теории функций и прибли -жений (1994 г.), на семинаре по теории функций действительного переменного в МГУ, на семинаре по теории функций несколь -
ких действительных переменных и её приложениям в ЫИРАН, на семинаре по прикладному численному анализу в ВЦ СО РАН, на
семинаре по теории приближения функций в Институте математики и механики УрО РАН и на семинаре по теории функций в Институте математики Болгарской Академии Наук (София).
Публикации. Все основные результаты диссертации принад -лежат её автору и опубликованы в работах [36-40].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четьфех глав и дополнения. Список литературы вклго -чает 89 наименований. Объём диссертации - 115 с.
