Интегральные оценки наипростейших дробей и экспоненциальных сумм Додонов Артур Евгеньевич

Доказательство теоремы 1.2

Приведем еще одну оценку нормы, в определенном смысле противоположную первому неравенству в (0.14) для конечных промежутков. Теорема 5 [45]. Пусть н. д. рп вещественнозначна на Ш и ее модуль на отрезке [-1,1] не превосходит 1. Тогда при любом г 0 имеем lkllw-ід] A{r)n2 r ЫМ_М]. (0.15) Оценка точна по порядку п в том смысле, что при г 2 существует н. д., удовлетворяющая условиям теоремы, для которой справедливо противоположное (0.15) неравенство с другой величиной А{г) 0. Отметим, что хотя по форме неравенство (0.15) сходно с неравенством Джексона (0.9), здесь a priori накладывается условие на величину модуля рп. Это условие по существу и связано оно с несовпадением «размерностей» левой и правой частей: левая часть стремится к оо быстрее, чем правая, если один из полюсов н.д. рп устремить к отрезку.

Основные результаты второй главы. Во второй главе получаются равномерные оценки на К. квазимногочленов и их частного случая — тригонометрических комплексных полиномов, имеющих соответственно вид п п П(щ x) = J2 Tk(x)eiz x, П0(щ x) = J2 AkeiZkX, (0.16) k=l k=l где zk Є C+, Tk(x) алгебраические многочлены, Ak комплексные числа. Нами используется новый достаточно простой и эффективный метод оценок, опирающийся на сравнение значений квазимногочленов (0.16) и ассоциированных с ними рациональных функций вида R(z) = Ri(z) + R2(z), где д1(г) = , Д2М = 2Й, x(z) = f[(z-zk)Sk , sfcGN, (0.17) а P1{z) и P2(z) — определенные многочлены степени, не большей S1 + ... + sn. Впервые оценка такого типа была получена В. И. Данченко в работе [20]: fi0(w;z) Refl1L, где iM ) = y . (0.18) X — Z — Zh к=1 К

Такого рода оценки тесно взаимосвязаны с оценками производных рациональных функций посредством специальных рациональных мажорант. Оценки с переменными мажорантами опираются на разные интерполяционные тождества Бернштейна - Виденского - Русака. Многие из них хорошо известны в теории рациональных аппроксимаций и восходят к работам С. Н. Бернштейна, В.С. Виденского [19], В.Н. Русака [18], Г. Сегё, Н.И. Ахиезера, Б.Я. Левина, А. А. Пекарского. Приведем одну наиболее простую по форме оценку тригонометрического многочлена посредством действительной части ассоциированной функции. Теорема 6 [44]. При х 0 имеем \П0(щх)\ пЫ (4llRei?1lloo) д1( ) = Х)г Лк К (0.19) Этот результат обобщает аналогичную оценку (0.18) и далее распространяется на квазимногочлены (0.16). Оценки для квазимногочленов формально сохраняют тот же вид, но имеют ряд технических усложнений, поэтому здесь не приводятся. Во второй главе нами рассматривается также вопрос о точности полученных оценок тригнометрических сумм. Например, показано что оценка (0.19) в значительной мере учитывает не только амплитуды, но и «интерференцию» гармонических слагаемых суммы Q0. В частности, доказано следующее Предложение [44]. Существуют отрезок [x0,xi], 0 х0 хх оо, и такая тригонометрическая сумма О.о(щх), что сумма ее амплитуд имеет порядок п, а мажоранта в (0.19) — только In2 п равномерно при всех хє [ж0,жі]. Как правило, оценки ассоциированных функций, на которые опираются неравенства типа (0.19), непосредственно через частоты Zk и амплитуды А весьма трудоемки. Во второй главе предлагается построение ассоциированных функций через «начальные условия» П%\о) = щ, j = 0,п-1. Сформулируем соответствующий результат. Теорема 7 [44]. При х 0 имеет место оценка k=l j=0 где P(() = С + Pn-iC 1 + ...+po - многочлен с корнями izk, k = Tji. Если, например, все щ = 0, кроме wn_b то R0(() = u}n-i/P((). В качестве приложения теоремы 7 получена оценка решения линейного однородного дифференциального уравнения у№ + pn_i?/n-1) + ... + р0у0 = 0 с устойчивым характеристическим многочленом вида Р с простыми корнями и начальными условиями 2/(Я(0) = ujj, j = 0,n —1. Именно, доказана оценка (0.20) с заменой QQ на у. Отметим, что корни характеристического многочлена не входят явно в правую часть оценки (0.20). Поэтому, используя непрерывность зависимости решения задачи Коши от коэффициентов характеристического многочлена, можно устранить условие простоты этих корней. Для развития техники оценок квазимногочленов нами получено новое неравенство типа Бернштейна - Виденского - Русака. Оно опирается на из 17 вестный результат В.Н. Русака и обобщает его с класса вещественнозначных на R рациональных функций на рациональные функции общего вида. Сформулируем соответствующий результат.

Доказательство теоремы 1.6

Конечно, оценка (2.33) представляет интерес лишь на конечных промежутках ж Є [а, Ь], 0 а Ь оо. На практике при неизвестных корнях характеристического многочлена исследование решения можно проводить в два этапа. Сначала установить устойчивость многочлена Р, использовав, например, алгоритм Рауса - Гурвица (для комплексных многочленов), а затем, применив (2.33), получить оценку на заданном конечном промежутке [а, Ь].

Если не все корни (k характеристического многочлена Р(() уравнения (2.32) лежат в левой полуплоскости, то переходим к новой функции Со, такой, что со(х) = еах -UJ(X), а max Re С . k=l,...,n

Она будет удовлетворять новому линейному однородному уравнению с устойчивым характеристическим многочленом р(0 = сп + pn-iC1 + PI С + Ро, все корни которого сдвинуты на —а единиц влево по отношению к корням исходного характеристического многочлена Р. В следующей лемме найдем формулы для вычисления коэффициентов рк. Лемма 2.10. Коэффициенты многочлена Р(() вычисляются по следующим формулам: п—1 p0 = J2aJPj+an} (2.34) з=о п—1 рк = У CjaJ kPj + С ап-\ fc = l,...,n-l. (2.35) j=k Доказательство. Воспользуемся индукцией по степени многочлена Р((). Основание индукции — случай degP = 2 проверяется непосредственной подстановкой. Далее, предположим, что для всех степеней, меньших п + 1, формулы (2.34) и (2.35) верны. Коэффициенты многочлена Q(C) = J2nkZUk(k = Р(0(С Cn+i) выражаются через коэффициенты многочлена Р(С), очевидно, следующим образом: qk = рк-г - (n+iPki Р-\ = Pn+i = 0.

Приведем еще одну оценку нормы, в определенном смысле противоположную первому неравенству в (0.14) для конечных промежутков. Теорема 5 [45]. Пусть н. д. рп вещественнозначна на Ш и ее модуль на отрезке [-1,1] не превосходит 1. Тогда при любом г 0 имеем lkllw-ід] A{r)n2 r ЫМ_М]. (0.15) Оценка точна по порядку п в том смысле, что при г 2 существует н. д., удовлетворяющая условиям теоремы, для которой справедливо противоположное (0.15) неравенство с другой величиной А{г) 0. Отметим, что хотя по форме неравенство (0.15) сходно с неравенством Джексона (0.9), здесь a priori накладывается условие на величину модуля рп. Это условие по существу и связано оно с несовпадением «размерностей» левой и правой частей: левая часть стремится к оо быстрее, чем правая, если один из полюсов н.д. рп устремить к отрезку.

Основные результаты второй главы. Во второй главе получаются равномерные оценки на К. квазимногочленов и их частного случая — тригонометрических комплексных полиномов, имеющих соответственно вид п п П(щ x) = J2 Tk(x)eiz x, П0(щ x) = J2 AkeiZkX, (0.16) k=l k=l где zk Є C+, Tk(x) алгебраические многочлены, Ak комплексные числа. Нами используется новый достаточно простой и эффективный метод оценок, опирающийся на сравнение значений квазимногочленов (0.16) и ассоциированных с ними рациональных функций вида R(z) = Ri(z) + R2(z), где д1(г) = , Д2М = 2Й, x(z) = f[(z-zk)Sk , sfcGN, (0.17) а P1{z) и P2(z) — определенные многочлены степени, не большей S1 + ... + sn. Впервые оценка такого типа была получена В. И. Данченко в работе [20]: fi0(w;z) Refl1L, где iM ) = y . (0.18) X — Z — Zh к=1 К

Такого рода оценки тесно взаимосвязаны с оценками производных рациональных функций посредством специальных рациональных мажорант. Оценки с переменными мажорантами опираются на разные интерполяционные тождества Бернштейна - Виденского - Русака. Многие из них хорошо известны в теории рациональных аппроксимаций и восходят к работам С. Н. Бернштейна, В.С. Виденского [19], В.Н. Русака [18], Г. Сегё, Н.И. Ахиезера, Б.Я. Левина, А. А. Пекарского. Приведем одну наиболее простую по форме оценку тригонометрического многочлена посредством действительной части ассоциированной функции. Теорема 6 [44]. При х 0 имеем \П0(щх)\ пЫ (4llRei?1lloo) д1( ) = Х)г Лк К (0.19) Этот результат обобщает аналогичную оценку (0.18) и далее распространяется на квазимногочлены (0.16). Оценки для квазимногочленов формально сохраняют тот же вид, но имеют ряд технических усложнений, поэтому здесь не приводятся. Во второй главе нами рассматривается также вопрос о точности полученных оценок тригнометрических сумм. Например, показано что оценка (0.19) в значительной мере учитывает не только амплитуды, но и «интерференцию» гармонических слагаемых суммы Q0. В частности, доказано следующее Предложение [44]. Существуют отрезок [x0,xi], 0 х0 хх оо, и такая тригонометрическая сумма О.о(щх), что сумма ее амплитуд имеет порядок п, а мажоранта в (0.19) — только In2 п равномерно при всех хє [ж0,жі]. Как правило, оценки ассоциированных функций, на которые опираются неравенства типа (0.19), непосредственно через частоты Zk и амплитуды А весьма трудоемки. Во второй главе предлагается построение ассоциированных функций через «начальные условия» П%\о) = щ, j = 0,п-1. Сформулируем соответствующий результат. Теорема 7 [44]. При х 0 имеет место оценка k=l j=0 где P(() = С + Pn-iC 1 + ...+po - многочлен с корнями izk, k = Tji. Если, например, все щ = 0, кроме wn_b то R0(() = u}n-i/P((). В качестве приложения теоремы 7 получена оценка решения линейного однородного дифференциального уравнения у№ + pn_i?/n-1) + ... + р0у0 = 0 с устойчивым характеристическим многочленом вида Р с простыми корнями и начальными условиями 2/(Я(0) = ujj, j = 0,n —1. Именно, доказана оценка (0.20) с заменой QQ на у. Отметим, что корни характеристического многочлена не входят явно в правую часть оценки (0.20). Поэтому, используя непрерывность зависимости решения задачи Коши от коэффициентов характеристического многочлена, можно устранить условие простоты этих корней. Для развития техники оценок квазимногочленов нами получено новое неравенство типа Бернштейна - Виденского - Русака. Оно опирается на из 17 вестный результат В.Н. Русака и обобщает его с класса вещественнозначных на R рациональных функций на рациональные функции общего вида. Сформулируем соответствующий результат.Лемма 2.11 [49] Заменой переменной х + В = е1 уравнение (2.37) сводится к линейному однородному уравнению вида Доказательство. Проведем указанную замену переменной. При к 1 верна следующая символьная формула (которая легко получается из формулы, предложенной в [43]): к 1 И pk(x + B)kv -k)=pkY[(D-s)Y(t), где D = j, Y(t) = v ( et -В) . s=0 Видим, что k-i k-i Y[(D -s) = 2(-l)ma -1)Dk-m, s=0 m=0 поэтому k-1 pk{x + B)kv{k) = pk 2{-l)ma -1)Dk-mY{t), m=0 и мы получим линейное однородное дифференциальное уравнение вида (2.38). Лемма 2.11 доказана. Пусть задана задача (2.37) с начальными условиями v0 = v(l-B), Vl = v (l-B), ..., vn_i = i/n-1} (1 - В). (2.39) Тогда, последовательным дифференцированием получим начальные условия для задачи (2.38): v = у(о) = v(l-B) = vo, v\ = У (0) =V (1-B) = vh v = y"(0) = v (1 - B) + v" (l-B) = Vl+v2, .... (2.40) Введем следующие обозначения: E n («, _L X k-1 \ ґ71-к До(С) ELo a C k=l yuk-l "г 2 =1 an-juk-l-j S Гп(у) = ІтЩ(іу), Ikoll = max lro(2/)l -oo y oo Тогда непосредственно из оценки решения задачи (2.38), (2.40) получается Теорема 2.8 [49]. Если характеристический многочлен уравнения (2.38) не имеет корней с неотрицательной действительной частью, то для решения задачи Коши (2.37), (2.39) имеем при х 1 - В следующую оценку:

Доказательство теоремы 2.1

Доказательство теоремы 2.5. Предположим, что все корни (к многочлена Р(() = (п +pn_i(n_1 + ... + р\(, + ро из (2.24) различны и лежат в левой полуплоскости. Тогда мы можем получить оценку, аналогичную (2.3) при s = 1, с помощью замены z = -i(, zk = -i(k. Действительно, в этом случае имеем zk Є С+ RQ(Z) = iR0(() = ір((), о(ж) = ш(х), и из оценки (2.3) получается (2.10). Теорема 2.5 доказана 2.5.4. Аналогичным образом из (2.3) при s = 2 и замене R0 на R 0 полу чается неравенство \ш(х)\ 2п max iRep UyM х \ (2.31) уЄ[-оо,оо] В ряде случаев (2.31) точнее оценки (2.10). Отметим еще, что в некоторых случаях дробь р(() имеет весьма простой вид, например, р(() = ± если ujk = 0, к ф п - 1; Ж) = « і р(р(7Л если " = о, М о. 2.9 Приложение к оценкам решений дифференциальных уравнений 2.6.1. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение вида Jn)+pn_1 n-1) + ...+pDa; = 0 (2.32) с постоянными коэффициентами ис устойчивым характеристическим многочленом Р((). Предположим, что решение ш = ш(х) удовлетворяет начальным условиям (2.23). Тогда в случае простых корней (к многочлена Р решение уравнения (2.32) равно сумме ш вида (2.22) и по теореме 2.5 для него имеет место оценка (2.10). Этот результат получен в [20] с применением дроби р((), записанной в виде (2.22) и зависящей от явного вида корней многочлена Р.

Пользуясь теоремой 2.5, можно получить оценку решения и(х), уже не зависящую явно от корней характеристического многочлена и без требования их простоты. Действительно, при достаточно малых вариациях коэффициентов многочлена Р (с фиксированным рп = 1) имеем непрерывную зависимость и решения ш соответствующего дифференциального уравнения на любом конечном промежутке (теорема о непрерывной зависимости решений от параметров), и правой части в (2.10). Кроме того, мы можем добиться, чтобы все корни варьированных многочленов были различными и, значит, для соответствующих решений выполнялись неравенства (2.10). Таким образом, из теоремы 2.5 предельным переходом получается

Следствие теоремы 2.5. Для решения ш(х) задачи Коши (2.22), (2.23) с устойчивым характеристическим многочленом Р справедлива оценка \ш(х)\ п max 1шр(гу) х \ х 0. (2.33) уЄ[-оо,оо] Конечно, оценка (2.33) представляет интерес лишь на конечных промежутках ж Є [а, Ь], 0 а Ь оо. На практике при неизвестных корнях характеристического многочлена исследование решения можно проводить в два этапа. Сначала установить устойчивость многочлена Р, использовав, например, алгоритм Рауса - Гурвица (для комплексных многочленов), а затем, применив (2.33), получить оценку на заданном конечном промежутке [а, Ь].

Если не все корни (k характеристического многочлена Р(() уравнения (2.32) лежат в левой полуплоскости, то переходим к новой функции Со, такой, что со(х) = еах -UJ(X), а max Re С . k=l,...,n Она будет удовлетворять новому линейному однородному уравнению с устойчивым характеристическим многочленом р(0 = сп + pn-iC1 PI С + Ро, все корни которого сдвинуты на —а единиц влево по отношению к корням исходного характеристического многочлена Р. В следующей лемме найдем формулы для вычисления коэффициентов рк. Лемма

Доказательство. Воспользуемся индукцией по степени многочлена Р((). Основание индукции — случай degP = 2 проверяется непосредственной подстановкой. Далее, предположим, что для всех степеней, меньших п + 1, формулы (2.34) и (2.35) верны. Коэффициенты многочлена Q(C) = J2nkZUk(k = Р(0(С Cn+i) выражаются через коэффициенты многочлена Р(С), очевидно, следующим образом: qk = рк-г - (n+iPki Р-\ = Pn+i = 0. Поэтому многочлен ((() = Y k=oQk(k = Р(0(С (Cn+i «)), получающийся из Q(() сдвигом корней на -а единиц влево, имеет коэффициенты qk = рк-г - ((п+1 - а)рк, Р-\ = рп+1 = 0. Таким образом, надо доказать, что к n—k Hi . q0 = J2 aJPj + «П+1 Як = J2 C"aJ % + С, 3=0 3=k Действительно, n—1 n—1 У o?p3 + an - Cn+iPo - Cn+i X]a + аП 7=0 7=0 qo = — (Cn+i _ a)Po = a tip, + an- UiPo Cn+i a p3 + an -Cn+iPo + a(po - Cn+iPi) + an(Pn-\ Cn+i) + «n+1 = X]a + аП+1 з=о и формула (2.34) доказана по индукции. Далее, поскольку Сат + С 1 = С \ п\ qk = Vk-i (Cn+i - a)pk = Y C -laj-k+lpj + Ckn l j=k-i an-k+i /n-l \ -(Cn+i - a) \J2 C-aJ-kPj + Ckan k C +1 an K+i + Cl_[ay,p k-i + j=k nl nl к п—к и, — n +E c%aJ k+1pj - Cn+i Y, c1aJ kpj - Cn+ic, j=A; j=k n n—l Ck+lan k+l + Y, Ctam-kVm_x - Cn+i Cko?-kV3 - UiCknan k = m=k j=k к n—k (її —— n—l Ckn+lan k+l + J2 fe-i " Urn) + СапЛ»-і " Cn+iG n к п—к п 2 = ckn+lan k+l + J2 c -k{pj-i - Um) = J2 tftf-% + c, и формула (2.35) доказана по индукции. Лемма 2.10 доказана. Если мы имеем задачу (2.32), (2.23), то решение нового уравнения ш(х) будет удовлетворять начальным условиям Сок, формулы для вычисления которых дает следующая Лемма 2.11. Новые начальные условия имеют вид к UJQ = UJQ, Сок = У2 CJk(-a)k jujj, к = l,n - 1. з=о Доказательство. Формула для ш0 очевидна. Остальные формулы сразу получаются из формулы Лейбница, примененной к e axuj(x): ш&Нх) = CJk(-a)k-Je-axJJ\x) Лемма 2.11 доказана. Теперь сформулируем и докажем основной результат данного пункта. Введем следующие обозначения:

Вспомогательные утверждения. Доказательство теоремы

Конечно, оценка (2.33) представляет интерес лишь на конечных промежутках ж Є [а, Ь], 0 а Ь оо. На практике при неизвестных корнях характеристического многочлена исследование решения можно проводить в два этапа. Сначала установить устойчивость многочлена Р, использовав, например, алгоритм Рауса - Гурвица (для комплексных многочленов), а затем, применив (2.33), получить оценку на заданном конечном промежутке [а, Ь].

Если не все корни (k характеристического многочлена Р(() уравнения (2.32) лежат в левой полуплоскости, то переходим к новой функции Со, такой, что со(х) = еах -UJ(X), а max Re С . k=l,...,n

Она будет удовлетворять новому линейному однородному уравнению с устойчивым характеристическим многочленом р(0 = сп + pn-iC1 + PI С + Ро, все корни которого сдвинуты на —а единиц влево по отношению к корням исходного характеристического многочлена Р. В следующей лемме найдем формулы для вычисления коэффициентов рк. Лемма 2.10. Коэффициенты многочлена Р(() вычисляются по следующим формулам: п—1 p0 = J2aJPj+an} (2.34) з=о п—1 рк = У CjaJ kPj + С ап-\ fc = l,...,n-l. (2.35) j=k Доказательство. Воспользуемся индукцией по степени многочлена Р((). Основание индукции — случай degP = 2 проверяется непосредственной подстановкой. Далее, предположим, что для всех степеней, меньших п + 1, формулы (2.34) и (2.35) верны. Коэффициенты многочлена Q(C) = J2nkZUk(k = Р(0(С Cn+i) выражаются через коэффициенты многочлена Р(С), очевидно, следующим образом: qk = рк-г - (n+iPki Р-\ = Pn+i = 0.

Поэтому многочлен ((() = Y k=oQk(k = Р(0(С (Cn+i «)), получающийся из Q(() сдвигом корней на -а единиц влево, имеет коэффициенты qk = рк-г - ((п+1 - а)рк, Р-\ = рп+1 = 0. Таким образом, надо доказать, что к n—k Hi . q0 = J2 aJPj + «П+1 Як = J2 C"aJ % + С, 3=0 3=k Действительно, n—1 n—1 У o?p3 + an - Cn+iPo - Cn+i X]a + аП 7=0 7=0 qo = — (Cn+i _ a)Po = a tip, + an- UiPo Cn+i a p3 + an -Cn+iPo + a(po - Cn+iPi) + + an(Pn-\ Cn+i) + «n+1 = X]a + аП+1 з=о и формула (2.34) доказана по индукции. Далее, поскольку Сат + С 1 = С \ п\ qk = Vk-i (Cn+i - a)pk = Y C -laj-k+lpj + Ckn l j=k-i an-k+i /n-l \ -(Cn+i - a) \J2 C-aJ-kPj + Ckan k C +1 an K+i + Cl_[ay,p k-i + j=k nl nl к п—к и, — n +E c%aJ k+1pj - Cn+i Y, c1aJ kpj - Cn+ic, j=A; j=k n n—l Ck+lan k+l + Y, Ctam-kVm_x - Cn+i Cko?-kV3 - UiCknan k = m=k j=k к n—k (її —— n—l Ckn+lan k+l + J2 fe-i " Urn) + СапЛ»-і " Cn+iG n к п—к п 2 = ckn+lan k+l + J2 c -k{pj-i - Um) = J2 tftf-% + c, и формула (2.35) доказана по индукции. Лемма 2.10 доказана. Если мы имеем задачу (2.32), (2.23), то решение нового уравнения ш(х) будет удовлетворять начальным условиям Сок, формулы для вычисления которых дает следующая Лемма 2.11. Новые начальные условия имеют вид к UJQ = UJQ, Сок = У2 CJk(-a)k jujj, к = l,n - 1. з=о Доказательство. Формула для ш0 очевидна. Остальные формулы сразу получаются из формулы Лейбница, примененной к e axuj(x): ш&Нх) = CJk(-a)k-Je-axJJ\x) Лемма 2.11 доказана. Теперь сформулируем и докажем основной результат данного пункта. Введем следующие обозначения: Е п ( , sr k-1 \ ґп-к МО к=\ Uk-\ + 2 j=l Рп-jUk-l-j С, Р(0 г0(у) = 1т ВоНу), \Ы\= max \г0(у)\. -оо у оо Тогда непосредственно из оценки для ш(х) получается Теорема 2.7 [49]. Для решения задачи Коши (2.32), (2.23) с характеристическим многочленом Р{(,), имеющим корни (k Refc а, имеем оценку \uj{x)\ neax\\rQ\\x-1. (2.36) Эта оценка, конечно, может иметь ценность только при небольших х. 2.6.3. Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение Эйлера п-й степени pk(x + Bfv{k) = 0, А О, рп7 0. (2.37) к=0 Положим сг _1) = 1, а_1) = ат(1, 2,..., к - 1, 0,..., 0).

Лемма 2.11 [49] Заменой переменной х + В = е1 уравнение (2.37) сводится к линейному однородному уравнению вида Доказательство. Проведем указанную замену переменной. При к 1 верна следующая символьная формула (которая легко получается из формулы, предложенной в [43]): к 1 И pk(x + B)kv -k)=pkY[(D-s)Y(t), где D = j, Y(t) = v ( et -В) . s=0 Видим, что k-i k-i Y[(D -s) = 2(-l)ma -1)Dk-m, s=0 m=0 поэтому k-1 pk{x + B)kv{k) = pk 2{-l)ma -1)Dk-mY{t), m=0 и мы получим линейное однородное дифференциальное уравнение вида (2.38). Лемма 2.11 доказана. Пусть задана задача (2.37) с начальными условиями v0 = v(l-B), Vl = v (l-B), ..., vn_i = i/n-1} (1 - В). (2.39) Тогда, последовательным дифференцированием получим начальные условия для задачи (2.38): v = у(о) = v(l-B) = vo, v\ = У (0) =V (1-B) = vh v = y"(0) = v (1 - B) + v" (l-B) = Vl+v2, .... (2.40) Введем следующие обозначения: E n («, _L X k-1 \ ґ71-к До(С) ELo a C k=l yuk-l "г 2 =1 an-juk-l-j S Гп(у) = ІтЩ(іу), Ikoll = max lro(2/)l -oo y oo Тогда непосредственно из оценки решения задачи (2.38), (2.40) получается Теорема 2.8 [49]. Если характеристический многочлен уравнения (2.38) не имеет корней с неотрицательной действительной частью, то для решения задачи Коши (2.37), (2.39) имеем при х 1 - В следующую оценку: