Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 1
1.1 Пространства де Бранжа 3
1.1.1 Пространство Харди 3
1.1.2 Определение пространств де Бранжа. Элементарные свойства. Меры Кларка 4
1.1.3 Эквивалентные определения пространств де Бранжа. Пространство дискретных преобразований Гильберта ЩТ,(і) 7
1.1.4 Упорядоченность подпространств де Бранжа. Канонические системы 8
1.1.5 Пространства, наделенные базисом Рисса из воспроизводящих ядер. Аксиоматический подход 10
1.2 Малые пространства де Бранжа 12
1.2.1 Меры Карлесона 12
1.2.2 Базисы Рисса из воспроизводящих ядер
1.3 Свойства биортогональных систем 19
1.4 Наследственная полнота систем из воспроизводящих ядер
1.4.1 Наследственная полнота в пространствах де Бранжа 22
1.4.2 Дефекты смешанных систем 24
1.4.3 Наследственная полнота для систем из экспонент
1.5 Проблема Карлсона-Сандберга 26
1.6 Суммируемость неклассических рядов Фурье 27
1.7 Локализация нулей преобразования Гильберта
1.7.1 Аттракторы 32
1.7.2 Локализация в пространствах де Бранжа и приложения к каноническим системам 1.8 Подпространства С00(а,Ь), инвариантные относительно дифференцирования 36
1.9 Пространства фоковского типа 1.9.1 Базисы Рисса из воспроизводящих ядер 39
1.9.2 Ряды Габора. Классическое пространство Фока 1.10 Бесселевы последовательности в пространствах де Бранжа с равномерной верхней плотностью 42
1.11 Дополняемость систем из воспроизводящих ядер 44
Глава 2. Малые пространства де Бранжа 46
2.1 Доказательство теоремы
2.2 46
2.2 Частные случаи теоремы
2.2, последовательности Бесселя 49
2.3 Обратимость дискретных преобразований Гильберта 51
2.3.1 Доказательство теоремы
2.7 2.3.2 Локализация точек из Л в случае лакунарной последовательности Т 53
2.3.3 Геометрические Критерии обраТИМОСТИ І (Т;/х):(Л,г ;) ПРИ
условии лакунарности Т 58
2.3.4 Доказательство необходимости условий теоремы 1.2.9 60
2.3.5 Доказательство достаточности условий теоремы 1.2.9 65
Глава 3. Системы, биортогональные к системам из воспроизводящих ядер
3.1 Доказательства теорем 1.3.3 и 1.3.4 67
3.2 Размер ортогонального дополнения к биортогональной системе 73
Глава 4. Наследственная полнота систем из воспроизводящих ядер 79
4.1 План доказательства теоремы 1.4.2 79
4.1.1 Сведение к интерполяционной проблеме 79
4.1.2 План доказательства 82
4.2 Достаточность условий (і) и (И) теоремы 1.4.2 84
4.2.1 (і)= свойство наследственной полноты 85
4.2.2 (іі)= свойство наследственной полноты 86
4.3 Примеры базисов Маркушевича, не являющихся сильными: случай I 88
4.3.1 Доказательство утверждения 4.1.3 88
4.3.2 (1)= Н(Е) не обладает свойством наследственной полноты 90
4.4 Случаи II, III и IV: построение общих нулей 90
4.4.1 Случай (II) 90
4.4.2 Случай (III) 92
4.4.3 Случай (IV) 4.5 Доказательство утверждения 4.1.4 97
4.6 Базисы Маркушевича с бесконечномерным дефектом 100
4.7 Наследственная полнота для систем из экспонент
4.7.1 Свойства функций S\ и 5 2 для пространств Пэли-ВинераЮб
4.7.2 Полнота с точностью до одномерного дефекта 108
4.7.3 Доказательство теоремы 1.4.6 110
Глава 5. Проблема Карлсона-Сандберга 114
Глава 6. Суммируемость неклассических рядов Фурье 121
6.1 Универсальный метод суммирования 121
6.1.1 Матрица, порождающая метод суммирования 122
6.1.2 Доказательство леммы 6.1.1 126
6.2 Наследственная полнота системы 8(A) 129
Глава 7. Локализация нулей преобразования Гильберта 131
7.1 Эквивалентные формы локализации 131
7.2 Локализация и полнота полиномов
7.2.1 Полнота полиномов = свойство сильной локализации 135
7.2.2 Свойство сильной локализации = полнота полиномов 137
7.2.3 Сильная локализация для "хороших" мер 138
7.2.4 Доказательство теоремы 7.2.3 140
7.2.5 Аппроксимация полиномами на дискретных подмножествах К; ошибка Гамбургера 1 7.3 Структура цепочек из подпространств де Бранжа при условии локализации 142
7.4 Упорядоченность множеств нулей преобразования Копій
7.4.1 Первое доказательство теоремы 1.7.8 147
7.4.2 Второе доказательство теоремы 1.7.8 149
7.5 Описание пространств с локализацией типа 2 152
7.5.1 Достаточность условий теоремы 1.7.10 152
7.5.2 Необходимость условий теоремы 1.7.10 154
7.5.3 Локализация типа N 156
Глава 8. Подпространства С(а, Ь), инвариантные относительно дифференцирования 158
8.1 Доказательство теоремы
8.1 158
8.1.1 Проблема синтеза в гильбертовом пространстве 159
8.1.2 Сведение к задаче в гильбертовом пространстве
8.2 Доказательство утверждения 8.1.2 162
8.3 Доказательство теоремы 1.8.2 165
8.4 Подпространства с некомпактным резидуальным интервалом 169
Глава 9. Пространства фоковского типа
9.1 Полнота биортогональной системы 171
9.2 Пространства Фока, совпадающие с пространствами де Бранжа 175
Глава 10. Бесселевы последовательности в пространствах де Бранжа с равномерной верхней плотностью 180
Глава 11. Дополняемость систем из экспонент. Заключительные замечания 187
Литература
- Пространства, наделенные базисом Рисса из воспроизводящих ядер. Аксиоматический подход
- Обратимость дискретных преобразований Гильберта
- Сведение к интерполяционной проблеме
- Матрица, порождающая метод суммирования
Введение к работе
Актуальность темы. Теория гильбертовых пространств целых функций - активно развивающийся раздел современного анализа. Важный частный случай - пространства де Бранжа. Они определяются равенством
ЩЕ) = {F : F- целая, F(z)/E(z),~F(Z)/E(z) Є Я2},
где Е - целая функция класса Эрмита-Билера, а Я - класс Харди в верхней полуплоскости С+. Согласно классической теореме де Бранжа, такие и только такие пространства удовлетворяют трем естественным аксиомам гильбертовых пространств целых функций (существование воспроизводящего ядра, аксиома деления, унитарность оператора отражения). Другой важный пример - пространства фоковского типа - получается как замыкание полиномов zn в пространстве L2(w), где w - радиально симметричный вес.
Становление теории гильбертовых пространств целых функций относится к началу 1960-х годов, когда Луи де Бранж при помощи теории пространств де Бранжа решил обратную спектральную задачу для всех канонических систем второго порядка. К каноническим системам второго порядка сводятся многие знаменитые уравнения математической физики, такие как матричное уравнение струны, уравнение Штурма-Лиувилля, уравнение Шредингера, система Дирака и т.д. Оказалось, что для любой канонической системы существует подходящее спектральное преобразование, которое переводит решения канонической системы в воспроизводящие ядра некоторого пространства целых функций (пространства де Бранжа). Это преобразование унитарно.
Очень скоро выяснилось, что эта теория может пригодиться не только для решении задач математической физики, но и для решения многих классических проблем анализа, таких как проблема полноты полиномов и других систем специальных функций, проблема лакуны в спектре меры с малым носителем и т.д.
В последние годы интерес к применению теории пространств де Бранжа только нарастает. Например, в 2002 году И. Ортега-Серда и К. Сейп решили знаменитый вопрос об описании фреймов из экспонент при помощи теории пространств де Бранжа. А. Боричев и М. Содин применяли теорию пространств де Бранжа в задаче о полноте полиномов в L (р), где /і - атомарная мера специального вида. Недавно Н. Макаров и А. Полторацкий указали на новые глубокие связи теории пространств де Бранжа с теорией уравнений Шредингера. Используя методы теории пространств де Бранжа, А. Полторацкий и М. Митковский решили задачу о максимальном размере лакуны
в спектре меры с малым носителем и т.д. Значительные результаты в этой
области были получены Дж. Ровняком, К. Ремлингом, X. Дымом и другими известными математиками.
Отметим также, что теория пространств де Бранжа тесно связана с теорией модельных подпространств Kq пространства Харди, а именно: для каждого пространства де Бранжа существует естественный унитарный изоморфизм между ним и некоторым модельным подпространством, порожденным мероморфной (в С+) внутренней функцией G. Пространства К@ возникают в 1960-х годах в работах X. Шапиро, А. Шилдса, Н. Никольского.
Теория пространств де Бранжа имеет очень тесные связи с теорией сингулярных интегральных операторов. Например, задача об описании бесселевых последовательностей из воспроизводящих ядер - частный случай знаменитой проблемы об ограниченности двухвесового преобразования Гильберта. Эта проблема была недавно решена М. Лэйси, Э. Сойером, К. Шеном и И. Урарто-Туэро. Другая знаменитая задача - описание базисов Рисса из воспроизводящих ядер в пространствах де Бранжа - сводится к ограниченности и обратимости некоторого сингулярного интегрального оператора.
Пространства де Бранжа возникают также при построении модели одномерных возмущений компактных самосопряженных операторов Самосопряженные возмущения такого рода были описаны П. Ахерном и Д. Кларком, общий случай был описан В. Капустиным, Г. Губреевым, А. Тарасенко, А. Барановым и Д. Якубовичем.
Цель работы. Целью диссертации является исследование геометрических свойств гильбертовых пространств целых функций (пространств де Бранжа, пространств фоковского типа), а именно: исследование полноты и базисно-сти систем из воспроизводящих ядер и биортогональных к ним; полноты смешанных систем; линейных методов суммирования для рядов Фурье, соответствующих таким системам; нахождение взаимно однозначных соответствий между пространствами де Бранжа и каноническими системами специального вида; исследование бесселевых систем из воспроизводящих ядер. Другая цель диссертации состоит в применении теории пространств де Бранжа для решения классических задач теории функций (полнота систем сдвигов, спектральный синтез для операторов). Еще одна цель диссертации - исследовать пространства фоковского типа при помощи методов из теории пространств де Бранжа.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
(і) найдено описание базисов Рисса из воспроизводящих ядер для "малых" пространств де Бранжа (т.е таких, что носитель меры Кларка лакуна-
рен);
(ii) дан отрицательный ответ на вопрос Н. Никольского о полноте системы, биортогональной к системе из воспроизводящих ядер, в К@;
(in) решена задача спектрального синтеза для систем воспроизводящих ядер в пространствах де Бранжа и, в частности, для систем из экспонент в пространстве L2(—7Г,7г);
(iv) найдены максимальные дефекты (коразмерности смешанных систем) для некоторых пространств де Бранжа (например, для пространства Пэли-Винера);
(v) доказана гипотеза Карлсона-Сандберга об описании замыкания системы из сдвигов;
(vi) получен ответ на вопрос Б. Коренблюма об описании подпространств C(R), инвариантных относительно дифференцирования;
(vii) получено геометрическое описание пространств де Бранжа, соответствующих каноническим системам, чей гамильтониан состоит из неделимых интервалов, сгущающихся влево;
(viii) получено описание пространств де Бранжа, которые изоморфны пространствам фоковского типа;
(їх) доказана теорема о полноте системы, биортогональной к точной системе из воспроизводящих ядер, для пространства Фока.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории сингулярных операторов, в частности, ограниченность и обратимость некоторых сингулярных операторов в весовых пространствах функций. Также интенсивно используются методы теории целых функций, такие как тонкие оценки функций нулевого экспоненциального типа, оценки функций вполне регулярного роста, характеризация множеств Полна, теоремы единственности. Также в работе широко применяется метод исследования полноты смешанных систем, разработанный автором диссертации.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространств де Бранжа и пространств фоковского типа, в частности, при изучении полноты смешаннах систем, мер Карлесона в пространствах целых функций, задач интерполяции, суммируемости неклассических рядов Фурье и других геометрических свойств систем из воспроизводящих ядер. Также результаты диссертации могут быть использованы для решения задач о спектральном синтезе для различных классов операторов и при
исследовании свойств канонических систем и обратных спектральных задач.
Апробация. Результаты диссертации неоднократно докладывались на международных конференциях: "New Trends in Harmonic and Complex Analysis" (Бремен, 2010), "Seventh's Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" (Эль-Пуэрто-де-Санта-Мария, 2010), "Hilbert Space of Entire Functions and Spectral Theory of Adjoint Differential Operators" (Барселона, 2011), "Hilbert function spaces" (Гарньяно, 2013), "26th Nordic and 1st European-Nordic Congress of Mathematicians" (Лунд, 2013), "Komplexe Analysis und Theorie Spectrale" (Линц, 2014), "Function spaces and Harmonic analysis" (Марсель, 2014), "Conference on Harmonic Analysis, Function Theory, Operator Theory and Applications in honor of Jean Esterle" (Бордо, 2015), "Recent trends in Operator Theory and Function Theory" (Лилль, 2015), "St.Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis (С- Петербург, 2010-2015), "Спектральные задачи, нелинейный и комплексный анализ" (Уфа, 2014), а также на ряде семинаров по анализу и теории функций: на семинаре по комплексному анализу под руководством член.-корр. РАН Е.М. Чирки и проф. А.И. Аптекарева в Математическом институте РАН (2013-2015), на семинаре по теории функций и теории операторов в С.-Петербургском отделении Математического института РАН (2009-2015), на семинаре по теории вероятностей в С.-Петербургском отделении Математического института РАН (2014), а также в университете Париж; 6, в университетах Трондхейма, Марселя, Бордо, Лиона.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опуликованы в 16 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из этих работ статьи [1-14] опубликованы в журналах из списка ВАК (4 статьи в российских журналах и 10 статей в ведущих зарубежных журналах). Из совместных работ [5-10,13,14] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из 11 глав. Общий объем работы - 198 страниц, библиография включает 97 наименований.
Пространства, наделенные базисом Рисса из воспроизводящих ядер. Аксиоматический подход
Оказывается, что верно и обратное утверж;дение. А именно, любое нетривиальное гильбертово пространство целых функций, удовлетворяющее аксиомам В1 — ВЗ, - пространство де Бранжа Н(Е) для некоторой функции Е Є 1 LB [53, теорема 23] (под равенством пространств мы понимаем их совпадение как множеств и равенство норм).
Таким образом, класс пространств де Бранжа - наиболее широкий класс гильбертовых пространств целых функций, в которых норма задается весом на вещественной оси. В частности, оказывается, что всегда существует вес вида \Е(х)\ , задающий ту же самую норму. Этот глубокий факт имеет многочисленные приложения (см. [77]).
Благодаря аксиоматическому описанию пространств де Бранжа мы можем легко увидеть, что многие важные пространства целых функций суть пространства де Бранжа. Например, пусть v мера на К. такая, что полиномы V лежат в L (is), но не плотны в L (у). Легко проверить, что замыкание полиномов в L2{v) - след некоторого гильбертова пространства целых функций, удовлетворяющего аксиомам В\ — ВЗ. Следовательно, это пространство - пространство де Бранжа.
Пространство дискретных преобразований Гильберта. Пусть дискретная мера /i = 2n/ n tn на К. такова, что JR - ()j оо, а последовательность Т = {tn} такова, что \tn\ — оо, \п\ — оо. С любой такой мерой свяжем пространство мероморфных функций n{T,ti\ \S:m = Y T а = {а„}є(2. (1.1.5) Норма в %(Т,/І) задается формулой /%(т;А4) := Н 2. Предположим, что А - каноническое произведение Вейерштрасса с простыми нулями в точках {tn}, вещественное на вещественной оси. Тогда AH(T,fi) - гильбертово пространство целых функций. Нетрудно проверить, что АН{Т,ц) удовлетворяет аксиомам В\ — ВЗ. Следовательно, АН{Т,ц) -пространство де Бранжа. Более того, оказывается, что любое пространство де Бранжа может быть получено таким образом, если мы возьмем в качестве /і меру Кларка ца, где а - не исключительное значение.
Если, /І = X neZ т0 мы получаем знаменитую параметризацию Шеннона-Котельникова-Уиттекера для пространства VW VW = if : f(z) = аіптг - -, К} = {(-l)VM} Є f K neZ Как мы увидим, такой подход к пространствам де Бранжа позволил лучше понять их структуру и решить некоторые открытые вопросы (см. [28-31,37,38]).
Возможно самый поразительный факт в теории пространств де Бранжа - теорема об упорядоченности пространств, изометрически вложенных в L2(/i). Следующее утверждение было доказано Л. де Бранжем (см. [53, теорема 35]): Пусть два пространства де Бранжа T-L{E\), rH,{E i) изометрически вложены в L2(fi), fi Є М+(М). Если функция - имеет ограниченный тип в С+ (т.е j = hf2, hi,h2 Є Я(С+)); то либо Н(Ег) с Н(Е2), либо П{Е2)сП{Е1). В частности, любые два подпространства де Бранжа Тії, Т-і2 (т-е подпространства пространства де Бранжа Н(Е), которые сами являются пространствами де Бранжа и порождают ту же норму) упорядочены по включению (Тії С П2 ИЛИ Ч2 С Пі). Этот результат был доказан де Бранжем и использовался для доказательства обратной спектральной теоремы для канонических систем.
Пусть Н - матрица 2x2, элементы которой принадлежат пространству - ([О, L]). Предположим, что Н вещественна, Н 0 п.в. на [О, L] и іт(Н) = 1. Будем называть интервал / С [0,L] Н-неделимым если сужение Н на I постоянная вырожденная матрица, и это свойство не выполнено для любого накрывающего интервала J I (т.е, H(t) - проектор на фиксированный вектор е для п.в. t Є I).
Пространство Пэли-Винера соответствует случаю, когда гамильтониан Н - единичная матрица, H(t) = I, t Є [О, L], Et(z) = e ltz. Обратная спектральная теорема де Бранжа говорит, что отображение Н ь-» EL задает взаимно однозначное соответствие между классом всех канонических систем и классом регулярных пространств де Бранжа Напомним, что пространство 11(E) регулярно, если оно замкнуто относительно
Пространства 7і(Т, /І), заданные формулой (1.1.5), можно определить для любой (не обязательно вещественной) дискретной меры її Є М+(С). Пусть А - каноническое произведение с простыми нулями в Т = supp/i. Тогда АН(Т,ц) - пространство целых функций (пространство де Бранжа в случае Гс1). Многие результаты о пространствах де Бранжа могут быть доказаны для этого (более широкого) класса пространств целых функций. С другой стороны, такие пространства могут быть задана аксиоматически.
Будем говорить, что нетривиальное пространство целых функций "Н принадлежит классу 9\, если выполнены следующие три аксиомы: (А1) функционал значения в точке / ь- /(А) непрерывен для любого Л Є С. Т.е. в пространстве Ті есть воспроизводящее ядро к\; (А2) если feH и /(A) = 0, то f(z)/(z -Х)еП; (A3) в пространстве П есть базис Рисса из нормированных воспроизводящих ядер. Т.е существует Т такое, что {тц—T\}tneT базис Рисса в %. Покажем, что в этом случае 1-і совпадает с одним из пространств AH(T}fi). Рассмотрим систему {дп}, биортогональную базису {-Й М-} . Хорошо известно, что дп - тоже базис Рисса. Заметим, что gn(z) = сп gm(z) r, п тп. Действительно, из аксиомы (А2) следует, что функция в правой части лежит B H И ортогональна системе {kt i n- Значит, она совпадает с дп с точностью до скалярного множителя. Таким образом, функция G{z) := gn(z)(z — tn) не зависит от п. Заметим, что G имеет простые корни в Т и не имеет других корней. Действительно, если G(w) = 0, w Т, то функция G(z)/(z — w) Є Ті и ортогональна системе {ktn}tneT- Это противоречит полноте системы {kfn}tneT
Обратимость дискретных преобразований Гильберта
В этом параграфе мы изучим обратимость операторов/Hrr,fj,y.(A,w)- Особое внимание будет уделено двум случаям цп = о{Мп) и f = о{Рп). В обоих случаях удается получить явное геометрическое описание базисов Рисса из воспроизводящих ядер в пространстве %(Т, /і) (или %{Е)).
Напомним формулировку теоремы 1.2.7. Теорема 2.3.1. Пусть Л - полная и минимальная последовательность в 1-(.(Т,ц), тогда система {-р тт} - базис Рисса {или, что то же, Л - полная интерполяционная последовательность) тогда и только тогда, когда ограничены операторы T-L{T,H):{K,W) и (Л,и ):(т,д) (веса w и fi задаются формулами (1.2.14)-(1.2.15)j.
Это означает, что мы задали отображение, обратное к H(T . ,W) на плотном подмножестве в lfv. Следовательно, при условии, что Л - точная последовательность для (т, )? Для обратимости оператора Я(Т,/І):(Л,«;) необходимо и достаточно, чтобы оператор, заданный формулой (3.2.3), мог быть расширен до линейного оператора в 1 .
В последнем равенстве мы воспользовались тем, что [H \e](Xj) = 0, j 7 1. Отметим, что теорема 2.3.1 верна и для пространств %(Т,/І) С произвольным атомарным носителем supp/i. В частности, ее можно применять для пространств KQ, где мера Кларка внутренней (не обязательно мероморфной) функции G состоит из атомов. Отметим, что формулы, задающие весаД и w, могут быть интерпретированы следующим образом. Положим,
Последние 3 параграфа главы 2 будут посвящены двум специальным классам малых пространств де Бранжа цп = о(Мп) и f = о(Рп). В этом параграфе мы покажем, что несмотря на то, что бесселева последовательность Л может иметь нетривиальное разбиение на последовательности А \ \(м) и Л ), условие обратимости оператора H ,fj,y.(A,w) влечет тривиальность последовательностей л(м)ил(р).
Пусть последовательность Т = {n} Li лакунарна (т.е. удовлетворяет условию (1.2.8)). Напомним обозначения, введенные в главе 1,
В дальнейшем выбор числа N будет играть существенную роль. Напомним, что если цп = о(Мп) или # = о(Рп), то для любого N множества Dn(/i, 7V) дизъюнктны, начиная с некоторого п. В этом параграфе мы покажем, что в этом случае из обратимости оператора Н{гіІЛ):{к,и}) следует, что диски Dn(/i, N), начиная с некоторого места, содержат в точности по одной точке из Л. Более того, число точек в Л и Т почти совпадает (см. дискуссию в главе 1).
Нам понадобится определение, двойственное к определению 1.2.8. Определение 2.3.2. Пусть последовательность Л = {An} Lno занумерована в соответствии с возрастанием \Хп\ и 0 Л. Будем говорить, что Л -возмущение последовательности Т = {tn}, если мы можем выбрать щ и N так, что Хп Є Dn(p}N) для достаточно больших п. Если щ 1, то мы будем говорить, что Л - возмущение Т с избытком 1 — щ.
Если оператор #(т;/х):(л,г ;) обратим,, то Л - либо точное возмещение Т, либо возмуи ение с избытком 1. Отметим, что из лемм 2.3.3, 2.3.4 следует, что последовательности А - и А тривиальны, если оператор H(T,[I,):(A,W) обратим. В дальнейшем мы увидим, что все три случая могут иметь место.
Доказательство лемм 2.3.3, 2.3.4 состоит из нескольких шагов. Мы начнем с простой оценки, которая будет применяться неоднократно. Положим,
Для доказательства последнего неравенства мы воспользовались тем, что Л -точное возмущение Т. Это дает нам последнее утверждение леммы. А именно, оценку log/9n = о{п) при условии цп = о{Мп) или fin/tn = о(Рп) при п — Утверждение леммы следует из последнего неравенства, если мы положим 5 = а/2 и выберем достаточно большое число N. Лемма 2.3.6 показывает, что если оператор - (т нл,) обратим, то последовательность Л должна содержать подпоследовательность, являющуюся возмущением Т. Следующие две леммы показывают, что сама Л должна быть возмущением Т.
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует нетривиальная последовательность {ап} Є I2 такая, что Н(г а обнуляется на Л. Следовательно, существует целая функция J такая, что
Предположим, что /J-n/ti = {Рп) при п - оо. Если А -возмущение Г с избытком 1, то А - множество единственности дляН Т/лу Доказательство. Предположим противное. Тогда существует нетривиальная последовательность {ап} Є I2 такая, что Н(г а обнуляется на Л. Следовательно, существует целая функция J такая, что не превосходит е для некоторого (5 0. С другой стороны, из леммы 2.3.5 следует, что Qn = е п при п — оо. Таким образом, максимум J(z)\ в области n \ Dn(p} N) стремится к 0 при п —оо. Следовательно, J(z) = 0. П Теперь мы докажем еще две леммы, которые вместе с предыдущими тремя леммами в точности дадут утверждения леммы 2.3.3 и леммы 2.3.4.
Сведение к интерполяционной проблеме
Доказательство. 1. Пусть Т = {tnk}, /І = /іт, a 7i(E) - соответствующее пространство де Бранжа. Из утверждения 4.6.1 мы знаем, что существует точная система из воспроизводящих ядер {k }\eA в Н(Е) чья порождающая функция G удовлетворяет оценке \G(iy)\ \y\ N\А(гу)\ для некоторого N. Тогда, пользуясь утверждением 4.1.3, мы получаем, что существует базис Маркушевича из воспроизводящих ядер в Н(Е), не являющийся сильным. Из замечания 4.3.1 мы знаем, что дефект, соответствующий разбиению Л = Л U f (где f = Т\ Т), равен N.
Если Т удовлетворяет условию степенной разделенности, то \tn\ \п\р для некоторого р 0. Следовательно, (Ь) влечет, что для некоторой последовательности индексов {rik\ и для каждого N Є N мы имеем 2к пк 2 "пк " Тогда из пункта 1. мы получаем, что (Ь)= (а). Докажем обратное. Предположим, что рп П М для некоторого М 0. Нетрудно проверить, что в этом случае пространство Н(Е) умеренного роста (tp (x) (1 + w)). Тогда, пользуясь теоремой 5.3 из работы [29], получаем, что существует М = M{N) такое, что для любой точной системы из воспроизводящих ядер {к\}\еА и любого разбиения Л = Лі П Л2 мы имеем оценку на размер дефекта def (Лі, Л2) М. П Напомним формулировку теоремы 1.4.4. Теорема 4.6.3. Для любой возрастающей последовательности Т = {tn}, \tn\ —оо существует мера р, supp/i = Т такая, что в пространстве де Браноюа Н(Е) (= АН(Т}р)) существует базис Маркушевича из воспроизводящих ядер {к\}\е\ такой, что def (Лі, Л2) = оо для какого-то разбиения Л = Лі U Л2 Доказательство. Разобъем последовательность Т на три части Т = Т U Т1 U Т2 со следующими свойствами:
Доказательство будет состоять из нескольких шагов. Мы будем последовательно строить меру р на множествах Т , Т и Т . Шаг 1. Конструкция полной системы из воспроизводящих ядер с неполной биортогональной с бесконечным дефектом. Чтобы определить меру р на Т , мы применим результат, доказанный в работе [35] (теорема 0.3). Мы будем использовать формулировку в терминах воспроизводящих ядер: для любой возрастающей последовательности Т С К существует мера р = t еТо pnb tn такая, что в пространстве де Бранжа %{Е), Е = А0 — іВ со спектральными данными (Т,/І) существует точная система из воспроизводящих ядер с порождающей функцией GQ такая, что биортогональная система G/( — А) имеет бесконечную коразмерность.
В теореме 0.3 работы [35] накладывались дополнительные требования на пространство 7i(E ), и ее доказательство было довольно длинным. Ниже (Шаг 2) мы явно построим /І0 И G0 при помощи упрощенной версии конструкции из работы [35]. Из этой конструкции будет видно, что /in 1, tn Є Т . Более того, для некоторой целой функции W экспоненциального типа 0 с вещественными нулями такую, что J0 nw r dr = о(/0 dr), R — оо (см. [35, неравенство (4.4)]). Шаг 2. Явная конструкция /1 и G0. Пусть А0 - каноническое произведение нулевого порядка с простыми нулями вТ. Тогда мы можем выбрать каноническое произведение D с лакунарными вещественными нулями такое, что, для любого N 0,
Мы можем выбрать спектральные данные (Т, Д) в шаге 3 таким образом, что ТПТ2 = 0. Сделаем /in ДЛЯ tn Є Т2 экстремально малыми. А именно, пусть Н(Е) - пространство де Бранжа со спектральными данными (T}fi), а О - соответствующая внутренняя функция. Выберем/in (tn Є Т2) настолько малыми, что для некоторых других спектральных данных (U, и) пространства Н(Е) существуют точки ип Є [tn — 1, tn + 1] П U такие, что \0 E{uv)\ х 1. Это возможно, так как малые дополнительные нагрузки в мере /і лишь немного возмущают решения уравнения 0#() = (З Є Т и производную в () в этих точках.
Таким образом, мы построили пространство де Бранжа Н(Е) со спектральными данными (Т, /І) такое, что для некоторых других спектральных данных (U, и) выполнено v(\tn — 2,tn + 2]) 1, tn Є Т (напомним, что v({un}) = 2тг/\0Е(ип)\ x 1). Если Е = А — іВ, то мы получаем разложение А = AAA, где А , А - канонические произведения нулевого порядка с нулями в Т и Т , а A i - некоторая целая функция с простыми нулями вТ .
Построение множества Л. По построению, в пространстве 7i(E ) существует точная система из воспроизводящих ядер {к }\е 0 с порождающей функцией G0 такая, что биортогональная система имеет бесконечный дефект. Следовательно, существует бесконечномерное подпространство векторов а0 = {ап} Є I2 такое, что G\{z)Sl{z) anG(tn) S2(z) _ а A{z) t% l12 A«)\tn){z - tn) А(г) СҐт0 Z tn для некоторых целых функций S и 5 2, зависящих от а . Как и в доказательстве утверждения 4.1.3, умножая эти уравнения на А1 А2, мы получаем, что система {к\}\ет1ит2 U {9\}\еА0 имеет бесконечномерное ортогональное дополнение в 7i(E). Положим, Л = Л U Т1 U Т2. Легко проверить, что {&А}АЄЛ точная система из воспроизводящих ядер в Н(Е) (см. замечание 4.3.2), a G = GAlA2 - ее порождающая функция. Шаг 6. Полнота биортогональной системы. Нам осталось показать, что система {G/{- — A)}A =A биортогональная к {к\}\еА, полна в %{Е). Отметим, что мы не можем применять утверждение 4.1.3, так как не выполнено условие \G(iy)\ \y\ N\A(iy)\ для некоторого N 0 (суперполиномиальное убывание G0/А0 вдоль мнимой оси - ключевое свойство для конструкции из работы [35] и в шаге 2). Мы будем применять другое рассуждение из [35].
Пусть (U, v\ U = {ип} - спектральные данные для 1-(,(Е), построенные выше. Этим данным соответствует функция Еа = аЕ — Е для некоторого а Є Т, а / —1. При помощи рассуждений из параграфа 4.1.1 мы получаем, что система {G/{ — А)}А =Л неполна в Н(Е) тогда и только тогда, когда существует последовательность {сп} Є I2 и нетривиальная целая функция V
Матрица, порождающая метод суммирования
Для того чтобы доказать эквивалентность всех 4-х условий, мы последовательно докажем, что (i) =Ф- (ii), (ii) = (iv) и (ii)& (iv) =Ф- (iii). При доказательстве нам иногда будет удобно рассматривать не пространство %{Т, /І), а соответствующее пространство де Бранжа % = АН{Т,ц). Напомним, что последовательность {zk} С С лакунарна, если inf/s zfc+i/zA; 1. Каноническое произведение Вейерштрасса рода нуль, построенное по лакунарной последовательности, мы будем называть лаку парным каноническим произведением, Нам часто будут нужны условия, гарантирующие то, что функция F лежит в пространстве де Бранжа 1-і = АН{Т,ц). Следующий критерий -частный случай теоремы 26 из [53]:
Теорема 7.1.2 (теорема 26 из книги де Бранжа). Пусть Ті = АН(Т,ц) -пространство де Бранжа. Целая функция F лежит в T-L тогда и только тогда, когда iF/A - функция ограниченного вида {т.е. отношение двух ограниченных функций) в обеих полуплоскостях С+ и С ,
Этот результат будет играть важную роль не только в доказательстве теоремы 7.1.1. Кратко напомним идеи доказательства теоремы 7.1.2. Условие (7.1.2) влечет, что мы можем написать интерполяционный ряд Лагранжа для F/A, а именно, n A,,t yz_t у Условие (7.1.1) означает, что этот ряд представляет функцию FIА (т.е. что нет дополнительного слагаемого). Следовательно, F Є AH(T fi). Необходимость условий (7.1.1) и (7.1.2) следует из определения пространства %(Т, /І). Мы покажем, что в теореме 7.1.1 условие (іі) может быть заменено на более сильное условие (іі ): (і) = (іі ). Предположим, что (іі ) не выполнено. Тогда для некоторого М 0 существует нетривиальная функция F Є Н, у которой есть бесконечное множество нулей z Є Zp таких, что dist(z, Т) м.
Пусть S - неограниченное множество, удовлетворяющее (і). Тогда мы можем выбрать две последовательности Sk Є S и Zk Є Zp такие, что
Разделим Н на полином Р степени М + 1 такой, что Zp С Zp \ {zk}. Из теоремы 7.1.2 следует, что функция Н = Н/Р лежит в Н. Это противоречит условию (і), так как множество Zg П S бесконечно. (ii)= (iv) Предположим, что условие (iv) не выполнено. Тогда существует ненулевая функция F Є Ті и последовательность {zn}, zn = xn+iyn, состоящая из кратных нулей F такая, что dist({zn},T) 1, infn zn+i/zn 2. Положим,
Нетрудно показать, что это произведение сходится и supxR /г(ж) supyR \h(iy)\ оо. Действительно, так как \уп\ 1, мы знаем, что
Из теоремы 7.1.2 следует, что функция Н = Fh лежит в "Н, и у Я есть вещественные кратные нули. Следовательно, не умаляя общности, мы можем считать, что существует последовательность вещественных кратных нулей zn функции F. Если существует большое число М Є N и бесконечная подпоследовательность {z n} такая, что dist(z/n,T) C\tk+i — tk\ M, z n Є [tk,tk+i], то функция
Из стандартных оценок бесконечного произведения следует, что /i(z) (1 + \z\) при dist(z, {zn}) 1. Если Л - нуль функции F, то функция - Ц h(z) лежит в Ц, и имеет бесконечное число кратных нулей {z2n+i} (ii )&(iv) =Ф- (iii)- Рассмотрим набор дизъюнктных дисков D(tn}c\tn\-N). Если существует ненулевая функция F Є Ті с бесконечным числом нулей {zn} вне этих дисков, то мы получаем противоречие с (ii ). Предположим, что все нули функции F, кроме, быть может, конечного числа, находятся внутри дисков D(tn,c\tn\ ) для достаточно большого М. Если есть бесконечная подпоследовательность дисков D(tnk,c\tnk\ ), каждый из которых содержит по два нуля z&, Zk функции F, то (переходя к подпоследовательности) мы можем показать, что функция
Для доказательства достаточно взять функцию F, которая не удовлетворяет условию (ii), и построить U как каноническое произведение по нулям щ Є Zp, dist(uk,T) 1. В этом параграфе мы будем доказывать теорему 1.7.4. Напомним ее формулировку. Доказательство. Предположим обратное. Тогда существует М 0 и бесконечная последовательность индексов {rik\ такая, что /infc \tnk\ . Не умаляя общности, мы можем считать, что [tnk\ лакунарна. Пусть U - лакунарное каноническое произведение с нулями в точках tnwk. Пользуясь теоремой 7.1.2, мы получаем, что функция Мы показали, что для любого М 0 все нули функции / Є %(Т,/І) \ {0}, кроме, быть может, конечного числа, лежат в множествеUnD(n, \tn\ ). Пользуясь теоремой 1.7.1, мы заключаем, что в пространстве (Т, /І) есть локализация и, следовательно, любой диск D(tn} \tn\ ), кроме, быть может, конечного числа, содержит не более одного нуля функции /.