Геометрические и экстремальные задачи теории однолистных функций Самсонова Кристина Александровна

Содержание к диссертации

Введение

1 Локальная экстремальная задача Хажинского—Тамми 17

1.1 Формализация экстремальной задачи Хажинского-Тамми 17

1.2 Оптимизационные методы в задаче Хажинского-Тамми 23

1.3 Вычисление частных производных целевой функции задачи 29

1.4 Дифференциальные уравнения задачи Хажинского-Тамми 34

1.5 Заключительные равенства

1.6 Основные результаты главы

2 Множества значений решений уравнения Левнера 48

2.1 Хордовое уравнение Левнера и множества значений его решений

2.2 Нахождение множества D(T) при 0 Г \

2.3 Нахождение множества D(T) при Г \ .

2.4 Нахождение множества D (T) 60 69

Некоторые геометрические задачи теории однолистных функций 75

3.1 Об отображении с минимальной емкостью разреза 75

3.2 Сингулярные решения хордового уравнения Левнера 78

3.3 Интегралы уравнения Левнера и гармонические меры сторон разреза

Заключение

Литература

• Вычисление частных производных целевой функции задачи
• Дифференциальные уравнения задачи Хажинского-Тамми
• Нахождение множества D(T) при 0 Г \
• Сингулярные решения хордового уравнения Левнера

Введение к работе

Актуальность темы.

В основе диссертационного исследования лежат некоторые геометрические и экстремальные задачи теории однолистных функций - основополагающем разделе геометрической теории функций комплексного переменного, который изучает свойства конформных отображений. В начале двадцатого века начали формироваться различные методы решения экстремальных задач в классах однолистных функций в единичном круге Е = {z :| z |< 1}.

Позднее в экстремальных задачах начали использоваться классические методы вариационного исчисления на множестве решений дифференциального уравнения Левнера. Обнаруженные связи теории Левнера со многими разделами математики объясняют растущий интерес к ней в современных исследованиях. При этом задачи, связанные с указанным уравнением, имеют широкие приложения в теории дифференциальных уравнений и других областях естествознания. Поэтому тематика диссертационного исследования весьма актуальна.

Приведем обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертации.

Определение 1. Пусть аналитическая однолистная функция f(z) в единичном круге Е имеет тейлоровское разложение следующего вида f(z) = z + CL2Z² + .... Класс всех таких функций обозначим через S.

Определение 2. Классом S^M назовем подкласс S, который состоит из всех ограниченных функций f Є S, удовлетворяющих в единичном круге условию \f(z)\ < М, М > 1, z Є Е.

Экстремальные задачи в классах S и S^M заключаются в нахождении оценок различных функционалов, в частности, коэффициентных функционалов. Задачи об оценке коэффициента | а_п | вызвали интерес особенно в связи с известной гипотезой Бибербахао справедливости неравенства \а_п\ < n, п > 2, для функций / Є S, знак равенства достигается для вращений функции Кебе

K(z) = тг, z Є Е, (1)

(1 — z)¹

которая отображает круг Е на всю комплексную плоскость с разрезом по лучу на отрицательном направлении действительной оси с вершиной в точке w = — |. Эта гипотеза была доказана де Бранжем. Ряд экстремальных задач для оценки коэффициентов локально однолистных функций универсального линейно-инвариантного семейства решен В. В. Старковы¹'², Я. Го дулей и В.

¹В. В.Старков / К оценке коэффициентов в классе U^y локально однолистных функций // Вестник ЛГУ, - 1984. - №13. - С. 48-54.

²В. В.Старков / Об одном неравенстве для коэффициентов функций линейно-инвариантного семейства // Докл. Болг. Акад. Наук, - 1984. - Т. 37. - №8. - С. 999-1002.

В. Старковым³.

Если рассматривать класс S^M, то вместо функции Кебе используют функцию Пика Рм

w = У Pn{M)z , z Є Е, М > 1. (2)

Функция Пика (2) отображает Е на круг радиуса М с центром в начале координат и разрезом вдоль отрезка [—М, —М(2М — 1 — V'М² — М)\ на отрицательном направлении вещественной оси. Пик⁴ доказал, что

2
max |й2і =2 ——, М > 1, (3)

/eS^m IVl

причем максимум достигается для вращений функции Пика.

Известна оценка третьего коэффициента в классах S^M при М > 1. В

частности⁵,

1
max аз =1 ——г, М < е, (4)

/_Є5^М М^

2MV2

со знаком равенства для вращений функции Рур = [Рм2

До сих пор точные оценки четвертого коэффициента в классах S^M известны не для всех М > 1, тем не менее для М, близких к 1, функции Пика Pyi(z) = [Pm3(^z^)] будут экстремальными. М.Шиффер и О.Тамми⁶ доказали, что

max \аЛ = 1 —гг^, М < —, (5)

fes^M М⁶ 19

со знаком равенства для вращений функции Р^. Гипотеза Хажинского-Тамми заключается в том, что для всякого п > 2 найдется М_п > 1 такое, что для М Є (1,М_П) и / Є 5*^м выполняются неравенства

2 / 1 \

а„ < 1 ^ (6)

^{1 ч} yi 1 М^п

и знак равенства достигается для вращений функции Пика

³J. Godula, V. Starkow / Logarithmic coefficients of locally univalent function // Ann. Univ. Mariae Curie– Sklodowska, Sec.A, – 1989. – V. 43. – P. 9–13.

⁴G. Pick / Uber die konforme Abbildung eines Kreises auf ein schlichtes und zugleich beschranktes Gebiet // S.–B. Kaiserl. Akad. Wiss. Wien. Math., Naturwiss. Kl. Abt. IIa, – 1917. –№126. – P. 247–263.

⁵A. C. Schaeffer, D. C. Spencer / Coefficient regions for schlicht functions // American Mathematical Society: Colloquium publications, – 1950. – V.35, –311 p.

⁶M. Schiffer, O. Tammi / On the fourth coefficient of bounded univalent functions // Transactions of the American Mathematical Society, – 1965. – №119. – P. 67–78.

Pm^u(z) = [Рм^п(^^п)} . Эту гипотезу доказали Северский⁷, M.Шиффер и O.Тамми⁸. Из результата последних следует, что М^ = 34/19.

Более того, доказательство этой гипотезы решает локальную проблему о существовании чисел М* > М_п, п > 2, таких, что для М Є (1,М*) и / Є S^M неравенства (6) справедливы в некоторой окрестности функции Рм^п. Подробный обзор приведен в работе Д. В. Прохорова⁹.

Цели и задачи диссертационной работы.

1. Определить границы действия локальной экстремальной задачи Хажинского-Тамми для пятого коэффициента тейлоровского разложения голоморфной нормированной ограниченной функции.

2. Описать множество значений f(zo) решений хордового уравнения Левнера в классах голоморфных однолистных отображений EI \ К(Т) на верхнюю полуплоскость EI с гидродинамической нормировкой в окрестности бесконечности, где К{Т) - произвольная оболочка емкости Т.

3. Исследовать качественное асимптотическое поведение решений хордового дифференциального уравнения Левнера, генерируемых управлениями, обратными к степенной функции с натуральной степенью.

4. Найти асимптотическое соотношение между гармоническими мерами сторон разреза.

Научная новизна. Все результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер, которые могут быть применимы в теории дифференциальных уравнений, при исследовании вопросов конформного отображения, вопросов аппроксимации.

Методология и методы исследования. В основе исследования лежат методы оптимального управления, комплексного анализа, геометрической теории функций комплексного переменного, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория вещественных переменных.

Положения, выносимые на защиту.

1. Найдено точное верхнее значение М| действия локальной гипотезы Хажинского - Тамми для пятого коэффициента тейлоровского разложения голоморфной нормированной ограниченной функции.

⁷L. Siewierski / Sharp estimation of the coefficients of bounded univalent functions close to identity // Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), - 1971. - №86. - P. 1-153.

⁸M. Schiffer / On bounded univalent functions which are close to identity // Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A I. Mathematica, - 1968. - №435. - P. 3-26.

⁹D. V. Prokhorov / Bounded univalent functions // Handbook of Complex Analysis. Geometric Gunction Theory, Аmsterdam: Elsevier Science, - 2002.- V. 1, - P.207-228.

2. Описано множество значений f(z₀) в классах голоморфных однолист
ных отображений H\K(T) на H с гидродинамической нормировкой в окрест
ности бесконечности, где K(T) – произвольная оболочка емкости T.

5. Решена экстремальная задача о минимальной емкости разрезов в верхней полуплоскости, проходящих через заданные точки.

6. Исследовано качественное асимптотическое поведение решений хордового дифференциального уравнения Левнера, генерируемых управлениями, обратными к степенной функции с натуральной степенью.

7. Найдено асимптотическое соотношение между гармоническими мерами сторон разреза.

Апробация результатов. Полученные результаты докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах:

– 17-й международной Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения посвященной 150-летию со дня рождения В. В. Стеклова (Саратов, 2014 г.);

– 7-й Петрозаводской международной конференции "Комплексный анализ и его приложения"(Петрозаводск, 2014г.);

– 13-й молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения – 2014"(Казань, 2014г.);

–научно-практической конференции "Комплексный анализ и его прило-жения"(Брянск, 2015 г.);

– 12-й международной Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(Казань, 2015 г.);

– научной конференции сотрудников механико-математического факультета "Актуальные проблемы математики и механики"(Саратов, 2013– 2015 гг.);

– на семинарах: "Геометрическая теория функций комплексного пере-менного"(Саратов, 2013–2015 гг.).

Структура и объем диссертации. Общий объем работы составляет 100 страниц и состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на разделы, заключения, списка литературы из 56 наименований и включает 3 рисунка. Нумерация теорем, лемм, определений и формул двойная: первым указан номер главы, вторым – номер теоремы (леммы, определения, формулы) в этой главе, нумерация следствий подчинена нумерации соответствующих теорем.

Вычисление частных производных целевой функции задачи

Основными задачами в теории однолистных функций являются нахождение множеств значений различных функционалов, в частности, коэффициентных функционалов. При решении таких задач разработано большое количество методов. В главе используется сочетание метода параметрических представлений и принципа максимума Л. С. Понтрягина.

Простейшая задача о коэффициентных функционалах в классе SM состоит в оценке начальных коэффициентов ап в тейлоровском разложении f(z) = z + a2z2 + ... . Во введении была описана история получения оценок [3], [40], [51] для а2 , аз в классе SM при всех М 1 и [53] для а4 при М, близких к 1. 3. Хажинский и О. Тамми сформулировали гипотезу, которая заключается в том, что для всякого п 2 найдется Мп 1 такое, что для М Є (1, Мп) и выполняются следующие неравенства

Более того, доказательство этой гипотезы решает локальную проблему, которую можно сформулировать следующим образом: существуют числа М Мп, п 2, такие, что для всякого М Є (1,М ) и / Є SM неравенства (1.1) выполняются в некоторой окрестности функции Пика РМп. В силу инвариантности класса SM относительно вращения задача о максимуме ап в классе SM сводится к поиску максимума ffi,an

Рассмотрим алгоритм нахождения значения М . Задача будет сводиться к нахождению экстремума функции многих переменных.

В настоящей главе будет рассмотрен случай, когда п = 5. В таком случае удается применить методы оптимизации, а также выписать целевую функцию, все ее частные производные до второго порядка включительно. Основной результат главы содержится в определении границы действия локальной экстремальной задачи Хажинского-Тамми, то есть в нахождении значения

Функция PMi(z) доставляет граничную точку Ам = (О, О, 0,1/2(1-1/М4)) множеству значений коэффициентов У5(М) = {(а2, а3, «4, а5) : / Є М}, К М М5 . Согласно теореме о виде граничных функций коэффициентных функционалов на классе S [1], [2, с. 86] экстремальная функция /0 отображает Е на область, полученную из плоскости проведением разреза по кусочно аналитической кривой. Аналогичная теорема справедлива в классе SM, поэтому экстремальная функция в задаче Хажинского-Тамми отображает Е на круг радиуса М с разрезом по кусочно аналитической кривой, имеющей не более четырех концевых точек.

Обозначим через 9У54(М) часть граничной поверхности dVb(M) множества V5(M), которую доставляют функции / Є SM, отображающие единичный круг на круг радиуса М ровно с четырьмя кусочно аналитическими разрезами. Так как функция Пика Рм отображает единичный круг на круг радиуса М с четырьмя прямолинейными разрезами, то точка Ам - внутренняя точка множества 9У54(М).

Производящим для классов SM является дифференциальное уравнение Левнера-Куфарева [2, с. 70] где dfi(t, v) является вероятностной мерой на единичной окружности. По теореме И. А. Александрова об отображении экстремальной функции круга Е на круг радиуса М с четырьмя разрезами уравнение Левнера-Куфарева приобретает вид где Vk = Vk(i), к = 1,2,3, 4, произвольные непрерывные на [0, оо) функции, Цк 0, Е / А = 1- Решение w = w(z,t) = e \z + a2(t)z2 + ...) задачи Копій k=l для уравнения (1.3) представляет собой при всяком фиксированном t 0 однолистную аналитическую функцию переменного z, \z\ 1. Все функции / Є SM, которые доставляют точки граничной поверхности дУь(М), можно представить в следующем виде [15] f(z) = Mw(z,logM), (1.4) где w(z,t) = e-fiz + a2(t)z2 + ...) (1.5) является решением дифференциального уравнения Левнера (1.3). Управляющие функции vk, к = 1,2,3,4, удовлетворяют необходимым условиям оптимальности, о которых будет сказано позже.

Дифференциальные уравнения задачи Хажинского-Тамми

Классы S и 5м компактны в топологии равномерной сходимости внутри круга Е. Поэтому существует экстремальная функция / Є SM, которая доставляет максимум Ш.а$. Следовательно, существует оптимальная управляющая функция v = {vlvlvlvl), соответствующая функции / Є SM в (1.7), и оптимальный постоянный вектор // = (//,/4,/4,М4) с неотрицательными координатами ц к, к = 1,...,4, к=\Р к = - - которые удовлетворяют условию оптимальности процесса maxH(t, х\ Ф , v, /І) = H(t, х , Ф , v , /І ), 0 t І — 1/М, (1.11) где (ж ,Ф ) является решением управляемой и сопряженной систем дифференциальных уравнений (1.6) и (1.9) с v = г , /І = // В ИХ правых частях. При положительных значениях /ІІ,/І2,МЗ5М4 каждая координата г , , , является корнем уравнения совпадают с базисными векторами. Опти мальный скользящий режим характеризуется существованием четырех различных на [0,27г) значений v\ v v v\ координат оптимального вектора v = (vl,v%,v%,vl) , который означает, что максимум функции Я, как функция управления v , достигается в четырех различных точках v k на протяжении дуги траектории (ж , Ф ).

Поскольку функция P/vi"4 доставляет внутреннюю точку множества 9У54(М), то все граничные точки множества Vs(M) из окрестности точки Лм принадлежат 9V54(M). Они доставляются экстремальными функциями, близкими к Рм4, Для которых реализуется скользящий режим в принципе максимума Л. С. Понтрягина.

Проварьируем начальные данные вектора Ф(0), полагая Фі(0) = аі, Ф2(0) = а2, Ф3(0) = «з, Ф4(0) = А, Ф5(0) = /32, Фб(0) = /33. Сохранение скользящего режима для варьированных значений вектора Ф(0) в момент времени t = 0 означает равенство коэффициентов при параметрах /ii, М2, Мз, М4 функции Гамильтона (1.4) в точке v = v {aua2, а3, А, /32, /33), когда t = 0. Имеем:

Будем решать локально экстремальную задачу в окрестности функции РМ4- Для этого необходимо сравнить функции / Є SM, соответсвующие точкам части поверхности 9У54(М) из окрестности точки Ам- Такие функции имеют вид (1.4) с интегралами (1.5) дифференциального уравнения (1.3). Непрерывное управление v должно удовлетворять принципу максимума Л. С. Понтрягина (1.11) и соответствовать вектору начальных данных Ф (0) в (1.9) из окрестности точки (1,0,0,0,0,0,0), сохраняющими сообразно (1.12) скользящий оптимальный режим, и параметрами // = (/ , / , /i?j, /4) из окрестности точки /І0 = (1/4,1/4,1/4,1/4). Таким образом, нахождение точной границы для гипотезы Хажинского-Тамми сводится к следующему. функция, которая сопоставляет каждому начальному данному Ф (0) и параметру о в экстремальной задаче (1.6) - (1.11) со скользящим оптимальным режимом значение xi(l — 1/М). Полагаем следовательно, FM = FM{a). Необходимо получить точное верхнее значение М5 1 в локальной гипотезе Хажинского-Тамми такое, что для всякого М Є (1, Ml) функция FM(a) будет достигать локального максимума в точке а = 0.

Управляющая система (1.6) при v = v и /І = ц имеет решение x\{t) = 0, к = 1,...,6, x(t) т 0, а сопряженная система (1.9) при v = г , /і = /і0, с нулевыми начальными условиями в точке = 0 имеет решение Ф( ) = 0.

Поскольку Я ( ,ж0,Ф,гЛ/ ) 0, то неявные функции А: = Vk(t,x,ty) определяются уравнениями (1.12) в окрестности точки (ж,Ф0), Vk(t,x0, ) = vk, /г = 1,2,3,4. Подставляя в правые части управляемой (1.6) и сопряженной (1.9) систем г = v(t,x,V) = (г і(,ж,Ф), V2(t,x,4f), vs(t,x,4f), г 4(,,Ф)), получаем, что решение (ж, Ф) систем будут аналитически зависеть от начальных данных и параметра /І. Следовательно, (ж, Ф) имеет производные по а до второго порядка включительно. Значит, этим же свойством будет обладать управляющая функция v = v(t,x(a),V(a)) = v(a). Следовательно, функция FM{a) имеет производные до второго порядка включительно, поэтому чтобы исследовать ее на локальный максимум, применим традиционные средства дифференциального исчисления.

Правые части в (1.18) - (1.20) являются квадратичными полиномами относительно частных производных (xp)aj и (Фр)а , р = 1,...,6, которые вычислены в точке а = 0. Чтобы вычислить частные производные первого порядка функций х и Ф по координатам вектора а в точке а = 0 необходимо продифференцировать уравнения систем (1.6) и (1.9) по а. Проинтегрируем два последних уравнения сопряженной системы (1.9), учитывая два первых уравнения управляемой системы (1.6), получим

Нахождение множества D(T) при 0 Г \

Дифференциальное уравнение Левнера (1.3) при к = 1 осуществляет параметрическое представление всюду плотного подкласса конформных отображений f{z,t) единичного круга Е в себя с нормировкой f(0,t) = 0, f (0,t) = e_t, это уравнение принято сейчас называть радиальным уравнением Левнера.

Подобная задача решается для конформных отображений верхней полуплоскости Н = {z : %z 0} в себя с гидродинамической нормировкой или для им обратных с помощью хордового дифференциального уравнения Левнера. В настоящем параграфе изложим основные сведения о хордовом уравнении Левнера и поставим задачу описания множества значений решений хордового уравнения Левнера.

Ограниченное множество К верхней полуплоскости Н = {z : %z 0} называется оболочкой, если К = НП К яШ\К связно и односвязно. Пусть конформное отображение fK области Н \ К на Н имеет гидродинамическую нормировку в окрестности бесконечности (см. [36])

Тогда оболочка К = К(Т) имеет относительно верхней полуплоскости емкость Г 0 [36]. Иногда 2Г называют емкостью множества К(Т) [35, с.69].

Обозначим через U (Г) множество всех конформных отображений / : Ш\ К(Т) - Не гидродинамической нормировкой и с произвольной оболочкой К(Т) емкости Т.

Всюду плотный подкласс множества %{Т) задается как множество решений /О, Г) хордового дифференциального уравнения Левнера произвольная действительнозначная непрерывная управляющая функция. При некоторых дополнительных условиях на X(t) функция f(z,t) отображает Н \ K(t) на Н, где K(t) есть простая непрерывная кривая 7t := 7[о, ] = {7(ж) :0 ї і}вНи А(0)} с концами 7(0) = А(0) и 7Й [39].

Обозначим через Н (Т), Г 0 класс функций /_1(гу) для / Є U(T). Всюду плотный подкласс множества % {Т) задается как множество решений g(w, Т) хордового дифференциального уравнения Левнера где fi(t) - произвольная действительнозначная непрерывная управляющая функция. Уравнение (2.2) отличается от (2.1) знаком "-"в его правой части. Оба уравнения (2.2) и (2.1) принято называть хордовым уравнением Левнера [39].

Типичной для геометрической теории функций комплексного переменного является экстремальная задача о нахождении множества значений {/(ZQ)} В классах аналитических функций. Она сводится к поиску локальных экстремумов функционалов /(/) = №{elaf{z0)) (2.3) на заданном классе функций для всевозможных значений а Є [0, 27г].

В настоящей главе получим описание множества значений {f(zo) f Є 7 L(T), ZQ K(T)}, ZQ Є Ш. Заметим, что если f(z) Є 1-L(T), то f(z + а) — а Є %{Т) для любого а Є Ш. Это позволяет ограничить поиск множества значений только для чисто мнимого ZQ. Кроме того, если f(z) Є Ч{Т), то rf{z/r) Є Н(г2Т) для всех г 0. Таким образом, без ограничения общности, предположим, что ZQ = г и рассмотрим экстремальную задачу описания множества значений D(T) := {/(г) : f Є Н(Т), г І К{Т)}. Аналогично, рассмотрим экстремальную задачу описания множества значений D (T) := {д(г) : д Є Н (Т)}, Г 0.

В первой главе упоминались результаты [2] о том, что в классе S граничные функции для функционала (2.3) отображают круг Е на плоскость с разрезом по кусочно аналитической кривой, имеющей одну концевую точку. Эти результаты переносятся на класс SM, а также на классы %{Т) и % {Т). Следовательно, для поиска функций / Є Н(Т) или f Є П (Т), доставляющих граничные точки dD(T) или dD (T), соответственно, возможно использовать хордовое уравнение (2.1) или (2.2). При этом граничные функции должны удовлетворять необходимым условиям экстремума или необходимым условиям экстремальности в экстремальной задаче, сведенной к задаче оптимального управления.

Тот факт, что имеется одна концевая точка разреза, будет следовать из принципа максимума Л. С. Понтрягина в поставленных задачах в виду невозможности в них скользящего режима. Это дает дополнительное объяснение тому, что можно ограничиться уравнениями (2.1) и (2.2) и не прибегать к хордовым уравнениям Левнера-Куфарева, дающим полное параметрическое представление классов %{Т) и 7i (T), см., например, [10], [35].

Экстремальная задача описания множества D(T) решается по-разному в теоремах 2.1 и 2.2 для 0 Т и для Т , соответственно. Множество D (T) описанное в теореме 2.3 для всех Т 0. На рисунках 2.1 - 2.3 даны схематические изображения описанных множеств.

Сингулярные решения хордового уравнения Левнера

Следствие 2.2.1 соответствует результату Рота и Шляйсингера [48]. Из принципа оптимальности следует, что каждая граничная точка w Є dD{T)\{i}, %w 0, доставляется единственной функцией f(z) Є Н(Т), где / регулярное решение дифференциального уравнения Левнера (2.1). С другой стороны, каждая действительная точка w принадлежит замыканию D(T), Т, и доставляется множеством функций f(z), которые являются сингулярными решениями дифференциального уравнения (2.1). Сингулярная точка w = f(z, t) = X(t) может появиться в любой момент времени t Є (т, Г].

В настоящем параграфе опишем множество D (T). Для этого будем использовать хордовое дифференциальное уравнение Левнера (2.2).

Обозначим через С{(р,Т) 0, - ц , Г 0, единственный корень уравнения 2cosVog(l + sin ) + (1 + sin )2 = 2cosVlogC + C2(l + 4Г). (2.38) Теорема 2.3. Область D (T) = {д{г) : g Є U (T)}, T О, ограничена (%АШ кривыми Li н L2; соединяющими точтш г н гуТТ Т. Яривая Lx е комплексной (и, v) -плоскости задается уравнениями (С(у?, Г))2(4Г + !)-(! + sin у?)2 l + siny? тг тг W() 2C( ,r)cos U С( р,Г) 2 2 Кривая L i симметрична L\ относительно мнимой оси. Доказательство. Рассмотрим множество комплексных значений {д(г,Т)} для g(i,t) = u(t) + iv(t), 0 t Г, как действительное двумерное множество значений D (T) = {u(T),v(T)}, где u() и г () соответствуют системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Область D (T) является достижимым множеством в момент времени Т для фазовой системы (2.39) - (2.40). Нормируем сопряженные переменные так, чтобы выполнялось условие Ф2(Т) + Щ(Т) = 1. Вектор (Фі(Г) + Ф2СО) = (cos у?, sin у?) является нормалью к границе 3D (Г) области D (T) в граничной точке А = А(ф) Є dD (T). Точка А = (г,Г) = (Т) + г (Т) доставляется решением #(г, ) системы Гамильтона (2.39) - (2.43) с управляющей функцией fi(t) = /i (f), удовлетворяющей принципу максимума Л. С. Понтрягина maxН(иу(і),Уу(і), Фі( ), Ф2( ), м) = H(u t),v t), Фі( ), Ф2( ), //„( )) в точках непрерывности /i (f). Максимум функции Ядостигается либо в нулях частной производной

Изучим краевую задачу для систем дифференциальных уравнений (2.45) - (2.47) и Фі() = cos if. Она сводится к краевой задаче для уравнений (2.46) и (2.47), так как они не содержат фазовую переменную и. Для экстремальной управляющей функции fi(t) и генерируемой экстремальной траектории (u(t),v(t)) и сопряженной траектории (Фі(),Ф2()),

Замечание. Принцип максимума Л. С. Понтрягина является необходимым условием для функций /, доставляющих граничные точки D(T) и D (T). Он становится достаточным в теоремах 2.1 - 2.3, так как только эти функции, которые описывают граничные кривые /і, /2 или L\, L2, удовлетворяют этому принципу. Кроме того, это доказывает, что любая внутренняя точка области, ограниченной h U /2 или Ьг U L2, принадлежат D(T) или D (T), соответственно. Действительно, предположим, что точка w внутри l\ U /2 не принадлежит D(T). Тогда существуют граничные точки множества D(T) внутри /і U її и эти граничные точки доставляются функциями /, которые должны удовлетворять необходимому условию оптимальности. Но все такие функции были уже найдены в теоремах 2.1, 2.2. Данный параграф посвящен решению экстремальной задачи о минимальной емкости разрезов в верхней полуплоскости Н = {г G С : 3z 0} и проходящих через заданные точки Ак Є Н, к = 1,... ,п. Обозначим через 7А, к = 1,..., п, разрезы в Н, соединяющие точки Ak с вещественной осью

Пусть конформное отображение / : Н \ Q 7А —У Ш имеет гидродинами А=1 ческую нормировку f(z) = z + - + 0(z 2), \z\ -Л оо [47]. п Рассмотрим экстремальную задачу о минимуме емкости (J 7А относитель А=1 но ЕЕ. Теорема 3.1. (О минимальной емкости разреза.) Минимальная ем п кость [J 7/г относительно верхней полуплоскости Ш для разрезов 71, , 7п А=1 в Н, соединяющих заданные точки Ак Є Н, к = 1,..., те, с вещественной осью Ш, достигается только в том случае, когда все 7ъ ,7п являются отрезками, перпендикулярными к R. Доказательство. Предположим, что кривые 7А задаются параметрическими уравнениями: 7А = {z Є С : z = 7 ( ), 0 t Г}, 7А(Г) = Л n Обратная к f(z) функция д := дт отображает Н на Н\ Q % и удовлетворяет к=1 дифференциальному уравнению Левнера /г=1 tV ; Ку J п где Лі,..., Хп положительные числа, J А& = 1 , см. [43], ащ,..., ип— непре к=1 рывные управляющие функции на [О, Г]. Функции gt, 0 t Т, допускают непрерывные продолжения на Н (J Ш. Используя результаты работы [54], дадим эквивалентную двойственную формулировку рассмотренной экстремальной задачи: для решения gt(w) уравнения (3.1), щ(0) = а&, к = 1,...,п, с заданными соотношениями , к = 2,... ,гс, найти max 7i(Г) = max№(w(T)).

Если z Ф 0, то g(z,0) 0и существует регулярное решение g(z,r) уравнения (3.3), голоморфное относительно т при достаточно малых т, единственное для каждого z ф 0. Сингулярные решения уравнения (3.3) не удовлетворяют условиям единственности. Каждая точка (g(zo,To),To) такая, что g(z0,T0) = т0 является сингулярной точкой для уравнения (3.3). Если т0 ф 0, то точка (#(20,т0),т0) называется алгебраической критической точкой решения g(z, т). В этом случае соответствующие сингулярные решения уравнения (3.3) разложимы в ряды по степеням (т — То), m Є N, в окрестности точки т = То, см. [22, с. 129].

Точка (#(20,то),то) = (0,0) является единственной сингулярной точкой неопределенного характера, для которой числитель и знаменатель в правой части уравнения (3.3) обращаются в нуль одновременно [22, с. 130].

Поведение всех решений уравнения (3.3) описывается теоремой Пуанкаре-Бендиксона [22, с. 138], [26], [41]. Две интегральные кривые дифференциального уравнения (3.3) пересекаются только в особой точке (0,0). Интегральная кривая уравнения (3.3) может иметь кратные точки только в точке (0,0). Бендиксон [26] установил, что вещественные интегральные кривые имеют конечные точки в узлах и фокусах и имеют продолжение через седловые точки. Теорема Бендиксона [26] описывает все три возможных случая поведения траекторий для уравнения (3.3) в окрестности точки (0,0): (а) интегральная кривая замкнута, то есть является циклом; (б) интегральная кривая представляет собой спираль, которая стремится к циклу асимптотически; (с) интегральная кривая имеет конечную точку (0,0).