Введение к работе
Актуальность темы. Одним из наиболее важных эффектов в многомерном комплексном анализе является возможность аналитического продолжения всех голоморфных функций из некоторых областей. Особый интерес представляют ситуации, в которых существование такого продолжения следует из геометрических и топологических условий.
Классическим примером является теорема Хартогса, согласно которой всякая функция, голоморфная в окрестности связной компактной вещественной гиперповерхности в Cn, п > 2, голоморфно продолжается в ограниченную этой гиперповерхностью область. Из этой теоремы следует, например, что если D и D' — ограниченные области со связными гладкими границами в Cn, п > 2, то всякое биголоморфное отображение их границ продолжается до биголоморфизма самих областей. Поэтому биголоморфную классификацию многомерных областей можно- изучать, исходя из классификации их границ:
Для валеного класса строго псевдовыпуклых областей, с вещественно-аналитическими границами задача локальной" биголоморфной классификации их границ была решена в классической работе Ш.-Ш. Черпа и Ю.Мозера1. Немного позже СИ.Пинчук2 обнаружил эффект продолжения локально заданных биголоморфных отображений вдоль путей в границе. Такое продолжение приводит, вообще говоря, к: многозначному отображению границ, к которому нельзя непосредственно применить теорему Хартогса. Необходимое обобщеіше этой теоремы, найденное X. Кернером3, естественно формулируется на языке универсальных накрытий. Таким образом, глобальная комплексная геометрия универсальных накрытий областей этого класса оказывается связанной с локальной комплексной геометрией их границ.
1S. S. Chern, J. К. Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. 133 (1974), 219-271.
2C. И. Пинчук, Об аналитическом продолжении голоморфных отображений, Мат. сб. 98 (1975), 416-435; О голоморфных отображениях вещественно-аналитических гиперповерхностей, Мат. сб. 105 (1978), 574-593.
3Н. Kerner, Uberlagerungen und Holomorphiehiillen, Math. Ann. 144 (1961), 126-134.
Теорему Хартогса можно обобщать и в другом направлении, а именно, рассматривать вместо гиперповерхностей произвольные компактные вещественные подмногообразия М
Относительно недавно было обнаружено, что на двумерных комплексных многообразиях подобные эффекты возникают и для вещественных подмногообразий, размерность которых равна комплексной размерности объемлющего комплексного многообразия, т.е. для вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. По-видимому, это явление было впервые подробно изучено при решении следующих двух задач, поставленных А. Г. Витушкиным в 80-х годах прошлого века в связи с проблемой обращения полиномиальных отображений в С2.
Гипотеза А. Если гладко вложенная двумерная сфера в комплексной проективной плоскости СР2 представляет ненулевой класс двумерных гомологии, то любая голоморфная в окрестности этой сферы функция постоянна.
Гипотеза В. Нельзя приклеить аналитический диск снаружи к диф-феоморфной шару строго псевдовыпуклой области в С2.
Первый шаг в направлении доказательства гипотезы А был сделан в 1994 г. С. М. Ивашковичем и В. В. Шевчишиным5. Предложенный ими подход опирался на теорию псевдоголоморфных кривых М. Громова6 и позволил получить доказательство этой гипотезы для частного случая симплектически вложенной сферы.
4 A. Andreotti, Т. FVankel, The Lefschetz theorem on hyperplane sections, Ann. of Math. (2) 69 (1959), 713-717.
5S. Ivashkovich, V. Shevchishin, Structure of the moduli space in the neighbourhood of a cusp curve and meromorphic hulls, Invent. Math. 136 (1999), 571-602.
6M. Gromov, Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math. 82 (1985), 307-347.
Другое направление исследований было связано с построением примеров, проясняющих суть сделанных в гипотезах А и В геометрических предположений. При этом использовались работы Х.-Ф. Лая7 и В. М. Харламова и Я. М. Элиашберга8 о геометрии вещественных поверхностей в комплексных поверхностях.
Сопоставление этих результатов достаточно естественно указывало-на связь между гипотезами Витушкина и_открытыми в последнее время топологическими инвариантами гладких четырехмерных многообразий. Более того, постепенно стало ясно, что ключевую роль в доказательстве гипотез А и В должны играть так называемые "неравенства присоединения" (adjunction inequalities), дающие нижнюю оценку для рода вещественной поверхности, реализующей заданный класс гомологии в комплексной поверхности. Такие неравенства были получены в 90-х годах прошлого века П. Кронхаймером и Т. Мрувкой9 и другими авторами10'11 при доказательстве известной гипотезы Рене Тома. (Эта гипотеза утверждает, что неособая алгебраическая кривая в комплексной алгебраической поверхности имеет наименьший род среди всех вложенных вещественных поверхностей в ее гомологическом классе.)
Цель работы. В диссертации рассматриваются различные применения методов геометрической топологии (в частности, теории инвариантов Зайберга-Виттена гладких четырехмерных многообразий) к задачам продолжения аналитических функций и отображений. Дается доказательство гипотез А и В и теоремы униформизации для штейновых строго псевдовыпуклых областей.
7Н. F. Lai, Characteristic classes of real manifolds immersed in complex manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 172 (1972), 1-33.
8B. M. Харламов, Я. M. Элиашберг, О числе комплексных точек вещественной поверхности в комплексной поверхности, Труды Ленинградской международной топологической конференции (23-27 августа 1982 г.), Л.: Наука, 1983.
9Р. В. Kronheimer, Т. Mrowka, The genus of embedded surfaces in the projective plane, Math. Res. Lett. 1 (1994), 797-808.
10R. Fintushel, R. Stern, Immersed spheres in 4-manifolds and the immersed Thom conjecture, Turk. J. Math. 19 (1995), 145-157.
11 P. Ozsvath, Z. Szab6, The symplectic Thom conjecture, Ann. of Math. (2) 151 (2000), 93-124.
Научная новизна. Исследованы геометрические и топологические условия, необходимые и достаточные для продолжения голоморфных функций и отображений из окрестностей вещественных гиперповерхностей и подмногообразий половинной размерности в комплексных многообразиях.
Основными результатами работы являются
теорема упиформизации для штейповых строго псевдовыпуклых областей (теорема 2.1.1)
теорема о линейности локальных биголоморфных отображений вещественных гиперповерхностей с невырожденной знакопеременной формой Леви в СР" (теорема 2.9.6)
точное неравенство для топологических характеристик вещественной поверхности, погруженной в штейнову комплексную поверхность (теорема 3.7.1)
описание оболочек голоморфности погруженных вещественных поверхностей в С2 (п. 4.1), в СР2 (п. 4.2) и в произведении СР1 на некомпактную римапову поверхность (п. 4.3)
доказательство-гипотезы Витушкина о невозможности приклеить аналитический диск снаружи к диффеоморфной шару строго псевдовыпуклой области в С2 (следствие 4.5.3)
построение Леви-плоских гиперповерхностей со штейновым дополнением в компактных комплексных поверхностях и многообразиях большей размерности (п. 4.6)
доказательство существования гомологически нетривиальной вложенной n-мерной сферы в дополнении к общей аффинной гиперповерхности в С" при п > 3 (теорема 5.3.1)
Указанные здесь основные результаты являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Точные формулировки приведены ниже.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в ряде разделов многомерного комплексного анализа и геометрической теории функций.
Методы исследования. В диссертации, используются методы комплексного анализа и дифференциальной топологии.
Апробация работы _и публикации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах в МГУ, МИАН, Математическом институте Макса Планка, Институте Анри Пуанкаре и в других научных центрах, а также на российских и международных конференциях. Работы о гипотезах Витушкина были отмечены премиями Московского Математического Общества и Европейского Математического Общества для молодых математиков. Результаты опубликованы в одиннадцати статьях, список которых приведен в конце автореферата^
Структура-диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав; первая глава разделенана 7 пунктов, вторая — на 9 пунктов, третья — на 8 пунктов, четвертая — на 6 пунктов, и пятая —;на 4 пункта. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 125 наименований. Общий объем диссертации — 144 страницы.
Обзор содержания диссертации
Во введении формулируются основные результаты диссертации и обсуждаются необходимые для их доказательства геометрические идеи.
Глава 1 посвящена изложению используемых в дальнейшем результатов теории аналитического продолжения функций многих комплексных переменных.
В пунктах 1.1-1.2 дается определение и описание основных свойств многообразий Штейпа и строго псевдовыпуклых областей. Обсуждаются, в частности, теорема Стаута12 об алгебраической аппроксимации и
12Е. L. Stout, Algebraic domains in Stein manifolds, Banach Algebras and several complex variables. Proc. Conf. New Haven/Conn. 1983. Contemp. Math. 32 (1984), 259-266.
фундаментальные результаты Андреотти-Франкеля13 и Элиашберга14 о топологическом строении многообразий Штейна.
В пунктах 1.3-1.6 рассматривается понятие оболочки голоморфности и приводятся различные результаты об описании оболочек в терминах многообразий Штейна. Пункт 1.5 содержит изложение теоремы Кернера15, которая существенно используется в главе 2. Пункт 1.6 посвящен свойствам оболочек голоморфности над комплексным проективным пространством.
В пункте 1.7 дается новое доказательство теоремы С. М. Ивашковича16 о продолжении локально биголоморфных отображений.
Глава 2 посвящена доказательству теоремы униформизации для строго псевдовыпуклых областей и ее аналогов и обобщений.
В пункте 2.1 формулируется основной результат для строго псевдовыпуклых областей с вещественно-аналитическими границами:
"Теорема 2.1.1. Пусть D и D' — штейновы строго псевдовыпуклые области с вещественно-аналитическими границами. Универсальные накрытия областей D и D' биголоморфны тогда и только тогда, когда их границы 3D и dD' локально биголоморфно эквивалентны (в каких-то точках р Є dD и р' dD').
В частности, теорема 2.1.1 утверждает, что штейнова строго псевдовыпуклая область универсально накрывается единичным шаром тогда и только тогда, когда ее граница является сферической, т.е. локально биголоморфна сфере.
Пункт 2.2 посвящен изложению результатов С. И. Пинчука и А. Г. Ви-тушкина с учениками об аналитическом продолжении локальных голоморфных эквивалентностей между строго псевдовыпуклыми гиперпо-
13А. Andreotti, Т. Prankel, Op. ей.
14Ya. Eliashberg, Topological characterization of Stein manifolds of dimension > 2, Int. J. Math. 1 (1990), 29-46.
15H. Kerner, Op. cit.
16C. M. Ивашкович, Продолжение локально биголоморфных отображений областей в комплексное проективное пространство, Изв. АН СССР. Сер. мат. 47 (1983), 197-206.
верхпостями. Здесь приводится также найденный Бернсом и Шнайдером17 пример непродолжаемого отображения из сферы в компактную гиперповерхность.
Утверждения "тогда" и "только тогда" теоремы 2.1.1 доказываются в пунктах 2.3-2.4-и 2.6-2.7 соответственно. При этом области со сферическими и несферическими границами рассматриваются отдельно, и в обоих случаях получаются несколько более точные результаты. В частности, для отображений универсальных накрытий областей с несферическими границами имеет место следующий принцип соответствия границ:
Теорема 2.7.3. Пусть D и D' — штейновы, строго псевдовыпуклые области с вещественно-аналитическими границами. Если универсальные накрытия {открытых) областей D и D' не биголоморфны единичному шару, то всякий биголоморфизм между ними продолжается до биголо-морфизма универсальных накрытий замкнутых областей D и D'.
В пункте 2.8 показывается, что утверждение "только тогда" теоремы 2.1.1 справедливо и для не обязательно штейповых строго псевдовыпуклых областей, в то время как для утверждения "тогда" предположение о штейновости оказывается существенным.
В пункте 2.5 обсуждаются две гипотезы о свойствах метрики Бергмана строго псевдовыпуклой области. Гипотеза Чена утверждает, что шар — это единственная строго псевдовыпуклая область, метрика Бергмана которой является метрикой Кэлера-Эйнштейна. Гипотеза Ромадинова гласит, что области со сферической границей характеризуются отсутствием логарифмического члена в асимптотическом разложении ядра Бергмана на границе. С помощью теоремы 2.1.1 показывается, что гипотеза Чена следует из гипотезы Рамаданова, откуда выводится справедливость гипотезы Чена для областей в С2. Материал этого пункта обобщает работу Фу и Вонга18.
irD. Burns, S. Shnider, Spherical hypersurfaces in complex manifolds, Invent. Math. 33 (1976), 223-246.
18S. Fu, B. Wong, On strictly pseudoconvex domains with Kdhler-Einstein Bergman metrics, Math. Res. Lett. 4 (1997), 697-703.
Пункт 2.9 посвящен продолжению локально биголоморфных отображений вещественных гиперповерхностей с невырожденной знакопеременной формой Леви в комплексном проективном пространстве. Здесь доказывается следующее утверждение-о линейности таких отображений:
Теорема 2.9.6. Пусть М и М' — это компактные гиперповерхности в комплексном проективном пространстве СР" с невырожденной знакопеременной формой Леви. Предположим, что М вещественно-ана-литична, а М' вещественно-алгебраична. Если М и М' локально биго-ломорфно эквивалентны, то эта эквивалентность задается автоморфизмом пространства СРП.
В главе 3 изучаются топологические инварианты вещественных поверхностей в комплексных поверхностях и доказываются необходимые л достаточные условия существования штейновой окрестности у погруженной вещественной поверхности в данном изотопическом классе.
В пункте 3.1 определяются основные топологические"характеристики погруженной ориентируемой поверхности. В пункте 3.2рассматриваются точки самопересечения- погруженных поверхностей и вводится удобное для дальнейших приложений понятие существенной двойной точки.
Определение 3.2.2. Двойная точка х = і{а) — і{Ь) погруженной поверхности S = t(Ss) С X называется существенной, если для любого пути 7 : [0> 1] —* Ss, соединяющего-точку а с точкой Ь, гомотопически нетривиальна замкнутая петля іо7([0, 1]) С X. Число положительных и отрицательных существенных двойных точек поверхности S С X будем обозначать через ^^(S, X) .
Пункты 3.3-3.4 посвящены комплексным точкам вещественных поверхностей в комплексных поверхностях. (Точка р Є S С X называется комплексной, если касательная плоскость TPS в этой точке является комплексной прямой в ТРХ.) Здесь приводятся формулы Лая19 для алгебраического числа таких точек, а также дается элементарное доказательство теоремы Харламова и Элиашберга20 о сокращении пар комплексных то-
19Н. F. Lai, Op. cit.
20В. М. Харламов, Я. М. Элиашберг, Op. cit.
чек различного типа.
В пункте 3.5 излагаются основанные на теоремах Лая и Харламова-Элиашберга результаты Форстнерича21 и автора о существовании штей-новых окрестностей у малых деформаций вещественных поверхностей.
Теорема 13.5.1. Погруоюенная вещественная поверхность S рода g в комплексной поверхности X, удовлетворяющая неравенству
[S] [S] + |(Cl(X), [5])| <2g-2 + 2x+{S) - 2*_(S),
изотопна погруженной поверхности S', имеющей фундаментальную систему трубчатых штейновых окрестностей.
В пунктах 3.6-3.7 теория инвариантов Зайберга—Виттена гладких четырехмерных многообразий применяется для доказательства следующего основного топологического неравенства ("неравенства присоединения") для погруженных вещественных поверхностей в штейновых комплексных поверхностях.
Теорема 3.7.1. Пусть S = () С X — погруженная вещественная поверхность рода g в штейновой комплексной поверхности. Если S не является двумерной сферой, представляющей тривиальный класс двумерных гомотопий, то выполнено неравенство
[S] [S] + |(С1(Х), [5]>| < 2д - 2 + 2x+{S) - 2x*?(S,X).
Из этой теоремы немедленно следует, что условие теоремы 3.5.1 является не только достаточным, но и необходимым для существования трубчатых штейновых окрестностей у погруженной поверхности в данном изотопическом классе. (В трубчатой окрестности поверхности все ее двойные точки существенны, и, следовательно, неравенства из теорем 3.5.1 и 3.7.1 совпадают.) Обратно, из теоремы 3.5.1 легко вывести, что неравенство в теореме 3.7.1 является точным.
21F. Forstneri5, Complex tangents of real surfaces in complex surfaces, Duke Math. J. 67 (1992), 353-376; Stein domains in complex surfaces, J. Geom. Anal. 13 (2003), 77-94.
В последнем пункте 3.8 рассматриваются аналоги предыдущих результатов для неориентируемых вещественных поверхностей и приводится топологическая классификация штейновых комплексных структур на К2-расслоениях над вещественными поверхностями.
Глава 4-посвящена главным образом приложениям результатов главы 3 к описанию оболочек голоморфности окрестностей вещественных поверхностей в различных комплексных поверхностях.
В пункте 4.1 рассматриваются вещественные поверхности в С2. Продолжение голоморфных функций, определенных в окрестности погруженной ориентируемой поверхности ScC2 рода д, имеющей х+ положительных и ус- отрицательных двойных точек, описывается следующим образом:
-
Если 0 <-д—1+>с+ — >С-, то поверхность S С С2 изотопна погружен-ной^поверхности S" С С2 с фундаментальной системой штейновых окрестностей. Каждая такая окрестность совпадает со своей оболочкой голоморфности, поэтому можно сказать, что в этом случае "принудительного продолжения" голоморфных функций не происходит.
-
Если 0 > д — 1 + к+ — х_, .то все функции, голоморфные в окрестности U Э S продолжаются- в риманову область, в которой поверхность 5 является гомотопически тривиальной сферой или имеет несущественные двойные точки. Таким образом, в этом случае оболочка голоморфности сколь угодно малой окрестности U D S "затягивает" какие-то нетривиальные гомотопические классы на S.
В частном случае вложенной сферы (т.е. при д = х+ = >r_ = 0) это описание дает следующий результат:
Теорема 4.1.1. Вложенная двумерная сфера в С2 гомотопна нулю в оболочке голоморфности любой своей окрестности.
Аналогичные утверждения справедливы и для неориентируемых поверхностей. Например, пусть задано вложение і : RP2 —» С2 вещественной проективной плоскости в С2. Если нормальное число Эйлера этого
вложения равно —2, то поверхность t(RP2) может иметь сколь угодно малые штейновы окрестности. С другой стороны, если нормальное число Эйлера равно +2, то (единственная) гомотопически нетривиальная петля в і(ИР2) ограничивает погруженный диск в оболочке голоморфности любой окрестности U D t(IRP2).
В пункте 4.2 рассматриваются оболочки голоморфности гомологически нетривиальных вещественных поверхностей в СР2. Аналитическое продолжение из окрестности ориентируемой поверхности S С СР2 рода д, имеющей положительный индекс пересечения d с проективными прямыми, описывается следующими утверждениями:
1. Если выполнено неравенство
^ д + к+-х-> , то поверхность S изотопна погруженной поверхности 5' С СР2, имеющей фундаментальную систему штейновых окрестностей. 2. Если же выполнено обратное неравенство d2 + 3d + 2 то все непостоянные голоморфные функции в окрестности поверхности S продолжаются в штейнову риманову область, -в которой поверхность- S имеет несущественные отрицательные двойные точки. В частности, если вложенная поверхность рода д и степени d > 0 в СР2 удовлетворяет неравенству д < \{d? + 3d + 2), то все голоморфные в ее окрестности функции постоянны, так как двойным точкам взяться неоткуда. Это неравенство заведомо выполнено, если род поверхности равен нулю, откуда вытекает гипотеза А. В пункте 4.3 дается еще одно доказательство этой гипотезы, основанное на применении теоремы Дональдсона22 о невозможности разложения 22S. К. Donaldson, Polynomial invariants for smooth four-manifolds, Topology 29 (1990), 257-315. компактной кэлеровой комплексної! поверхности в связную сумму гладких многообразий, в форме пересечения каждого из которых имеется положительный квадрат. Пункт 4.4 посвящен оболочкам голоморфности вещественных поверхностей в прямом произведении СР1 на произвольную некомпактную ри-манову поверхность Y. Здесь получаются результаты, вполне аналогичные сформулированным выше. В частности, если вложенная поверхность рода д и положительной степени d > 0 в СР1 х У удовлетворяет неравенству д < d + 1, то любая голоморфная в ее окрестности функция продолжается в окрестность множества СР1 х tty(S). (Степень d ориентированной поверхности S С СР1 х Y определяется как топологическая степень ее проекции па СР1 сомножитель.) Рассматривая график гладкого отображения / : СР1 —* Y как вложенную сферу степени 1 в CPLx У, из последнего утверждения легко вывести принадлежащее Е. М. Чирке23 обобщение классической леммы Хартогса, сформулированное в качестве гипотезы А. В. Домриным. Следствие 4.4.2. Пусть непрерывная комплекснозначная функция ср : Д-»Се (замкнутом) единичном круге A = {z Є С | \z\ < 1} ограничена по модулю единицей. Тогда любая функция, голоморфная в окрестности обобщенной фигуры Хартогса Hv = {(zM*)) Є С2 I z Є A} U{(z,w) Є С2 І \z\ = 1, И < 1}, голоморфно продолжается в окрестность замкнутого единичного би-диска D С С2. (Классическая фигура Хартогса получается, если функция <р тождественно равна нулю или, чуть более общим образом, голоморфна в А.) В пункте 4.5 рассматривается задача Витушкина о (не)возможности подклейки аналитического диска снаружи к строго псевдовыпуклой области. Применение теоремы 3.7.1 позволяет получить следующий общий результат: 23 Е. М. Чирка, Обобщенная лемма Гартогса и нелинейное д-уравнение, Комплексный анализ в современной математике, 19-30, М.: Фазис, 1998. Теорема 4.5.1. Пусть аналитический диск /(А) приклеен снарумси к строго псевдовыпуклой области U в штейновой поверхности X с тривиальной группой двумерных гомологии Н2(Х;Ж). Тогда в области U не существует гладко вложенного диска с той же границей. Гипотеза В легко выводится из этой теоремы с помощью инверсии. Здесь же приводится обобщение теоремы 4.5.1 для аналитических дисков с дырками и рассматриваются примеры, иллюстрирующие точность полученных результатов. В последнем пункте этой главы приводится конструкция, позволяющая разрезать некоторые компактные комплексные многообразия и, в том числе, комплексные алгебраические поверхности разных типов на штейновы части вдоль гладких Леви-плоских поверхностей. Получающиеся штейновы области с Леви-плоскими границами обладают весьма неожиданными аналитическими свойствами. Кроме того, эта конструкция представляет интерес ввиду следующих двух геометрических результатов. С одной стороны, известная гипотеза утверждает, что такое разрезание невозможно для комплексной проективной плоскости СР2. С другой стороны, Акбулут и Матвеев24 доказали, что всякое гладкое четырехмерное многообразие можно разрезать на две части, диффеоморфные многообразиям Штейна. В главе 5 рассматривается вопрос о представимости гомологических классов в дополнении к алгебраической гиперповерхности в С вложенными сферами и его приложения к комплексному анализу. Пункт 5.1 содержит обзор классических результатов о существовании вложенных сфер в данном n-мерном классе гомотопий на 2п-мерном вещественном многообразии при п > 3. В пункте 5.2 излагается вариант выполненного Фамом25 вычисления гомологии комплексной гиперповерхности в С", задаваемой уравнением 24S. Akbulut, R. Matveyev, A convex decomposition theorem for 4-manifolds, Internat. Math. Res. Notices (1998), no. 7, 371-381. 25Ф. Фам, Обобщенные формулы Пикара-Лефшеца и ветвление интегралов, Математика 13:4 (1969), 61-93. вида 5>^ = 1, 2<^<оо, i=i где по определению Zj = eZj. Этот результат позволяет получить удобные формулы для индексов пересечения гг-мерных циклов на универсальном накрытии дополнения к общей аффинной гиперповерхности в С". В пункте 5.3 результаты.предыдущих двух пунктов применяются для_ доказательства следующей теоремы, отвечающей на вопрос, поставленный А. К. Цихом в связи с многомерной теорией вычетов. Теорема 5.3.1. Пусть Н С С — общая алгебраическая гиперповерхность степени d. Если п > 3 и d > 3, то существует гладко вложенная n-мерная сфера, представляющая нетривиальный класс гомологии вСп\Н. Эта теорема не имеет места для квадратичных гиперповерхностей. (это доказывается методами пункта 5.2) и для гиперповерхностей любой степени в пространстве С2 (это легко следует из теоремы 4.1.1). Обратно, теорема 5.3.1 показывает, что теорема 4.1.1 не имеет места в С при пфі. Следствие 5.3.4. При любом п ф1 существует вложенная п-мерная сфера в С, которая гомологически нетривиальна в оболочке голоморфности любой своей достаточно малой окрестности. В последнем пункте 5.4 рассматривается поставленная Стольценбер-гом26 задача о сравнении рационально и полиномиально выпуклых оболочек для (ко)односвязных компактов в С. Доказывается, что (вопреки ожиданиям) эти оболочки могут иметь существенно разную топологию. А именно, n-мерная группа когомологий рационально выпуклой оболочки такого компакта может быть нетривиальной, в то время как для полиномиально выпуклой оболочки эта группа обращается в нуль по классической теореме Серра. 26G. Stolzenberg, Polynomially and rationally convex sets, Acta Math. 109 (1963), 259-289. * * * Эта работа была бы невозможна без определяющего влияния академика А. Г. Витушкина (1931-2004). Результаты главы 2 были получены совместно с Р. Г. Шафиковым. Автор признателен также проф. В. К. Бе-лошапке, к.ф.-м.н. А.В.Домрину, д.ф.-м.н. СМ.Ивашковичу, к.ф.-м.н. Н. Г.Кружилину, к.ф.-м.н. С. Ю. Оревкову, проф. А. Г. Сергееву, чл.-корр. Е. М. Чирке, Dr. hab. В. В. Шевчишину и д.ф.-м.н. Н. В.ЛЦербине за многочисленные полезные обсуждения затрагиваемых в диссертации тем. Работы автора по теме диссертации 1. С. Ю. Немировский, Штейновы области на алгебраических мно , Голоморфные^ функции и вложенные вещественные поверхности, Мат. заметки 63 (1998), 599-606. , Вложения двумерной сферы в штейновы поверхности, Докл. Рос. Акад. Наук Сер. мат. 362 (1998), 442-444. , Комплексный анализ и дифференциальная топология на комплексных поверхностях, Успехи Мат. Наук 54:4 (1999), 47—74. , Штейновы области с Леви-плоскими границами на компактных комплексных поверхностях, Мат. заметки 66 (1999), 632-634. 6. , Geometric methods in complex analysis, European Congress of Mathematics, Vol. II (Barcelona, 2000), 55-64, Progr. Math., 202, Birkhauser, Basel, 2001. 7. , Топология дополнений к гиперповерхностям и рационально выпуклые оболочки, Труды Мат. Инст. им. Стеклова 235 (2001), 169-180. 8. , Adjunction inequality and coverings of Stein surfaces, Turk. J. Math. 27 (2003), 161-172. 9. , P. Г. Шафиков, Униформизация строго псевдовыпуклых обла 10. , Р. Г. Шафиков, Униформизация строго псевдовыпуклых обла 11. , Р. Г. Шафиков, Гипотезы Чена и Рамаданова, Успехи Мат. Наук 61:4 (2006), 193-194.
д + х+ - х_ < ,
гообразиях, Мат. заметки 60 (1996), 295—298.
стей, 1, Изв. Рос. Акад. Наук Сер. Мат. 69:6 (2005), 115-130.
стей, II, Изв. Рос. Акад. Наук Сер. Мат. 69:6 (2005), 131-138.