Функционально-аналитические подходы к вопросу о регулярности решений вариационных и краевых задач Цылин Иван Вячеславович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Поведение оператора Лапласа–Бельтрами в областях на многообразии при возмущении границы . 25

1.1. Необходимые сведения, постановка задачи и вспомогательные утверждения 25

1.2. Резольвентная непрерывность вH1-s(M), cходимость Mosco и спектральная устойчивость 35

1.3. Оценки модуля резольвентной непрерывности вH1(M) 41

Глава 2. Дифференциальные операторы ассоциированные с секториальными формами в случае областей с произволь ной границей . 50

2.1. Пространства Никольского–Бесова. 50

2.2. Распространение оценок модуля резольвентной непрерывности на случай операторов второго порядка. 58

2.3. Применение оценок. Степень регулярности решений первой краевой задачи в случае областей с гельдеровой границей. 64

Глава 3. Вариационные и краевые задачи в случае областей с гельдеровой границей . 70

3.1. Постановка задач и вспомогательные утверждения 70

3.2. Вариационные задачи 78

3.3. Краевые задачи 88

3.4. Заключение. Случай областей с негельдеровой границей 93

Литература

• Резольвентная непрерывность вH1-s(M), cходимость Mosco и спектральная устойчивость
• Оценки модуля резольвентной непрерывности вH1(M)
• Распространение оценок модуля резольвентной непрерывности на случай операторов второго порядка.
• Вариационные задачи

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Настоящая диссертация посвящена применению методов функционального анализа и теории функций к вопросу регулярности решений вариационных и краевых задач в областях (с нелипшицевой границей) на многообразии. В качестве модельной может служить задача поиска связи между гладкостью решений краевой задачи

—div(AVu + аи) + bVu + си = f в Г2; и = 0 на dQ (D)

и регулярностями правой части / и границы Г2, в случае оператора Лапласа-Бельтрами, возмущенного младшими членами.

Уравнения такого типа являются классическим объектом исследований в функциональном анализе и математической физике; в свою очередь результаты о повышенной гладкости решений используются при численном моделировании решений таких уравнений [20].

Один из первых результатов в этом направлении [29] утверждает, что решение и принадлежит Hf_0C(Q), если коэффициенты оператора класса С¹ и / Є Li2(p). Затем, L. Lions и M. Magenes [26] установили, что и Є H²(Q) при дополнительном предположении о выпуклости Q или выполнении равномерного условия шара для границы Q. В начале 1990-ых был обнаружен невыпуклый многогранник [24], для которого утверждение выше не имеет места. Таким образом, даже если dQ липшицева, то пространства Соболева целой гладкости не могут быть использованы для измерения гладкости решений. Поэтому, необходимо перейти к формулированию результатов о регулярности в терминах пространств обобщенной гладкости (типа Соболева). D. Jerison и C.E. Kenig [23] для оператора Лапласа, в случае областей с липшицевой границей, установили повышенную гладкость типа и Є i7^1+s/²(i7), если / Є i7~^1+s/²(i7), s Є (0,1). Техника авторов не допускала обобщение на случай переменной матрицы А.

Новым импульсом к исследованиям регулярности решений таких за-

дач послужили статьи S. Dahlke, R.A. DeVore [17] и G. Savare [31], вышедшие в конце 1990-ых. Так во второй работе было установлено, что заключение вышеприведенной теоремы D. Jerison’а и C. E. Kenig’а имеет место, если A Є C'^l(), a = b = 0, с = 0и граница локально представима в виде графика липшицевой функции. Эта работа G. Savare стимулировала появление в 2000-ых годах серии новых результатов о разрешимости и регулярности решений вариационных и краевых задач [5, 18]. С теми из них, которые относятся к краевым задачам, можно ознакомиться по недавней монографии М.С. Аграновича [6].

В случае областей с гельдеровой границей, исследования регулярности решений сталкивается с целым рядом трудностей: 1) Отсутствует оператор продолжения типа В. Рычкова [30] функций с на все многообразие с сохранением обобщенной гладкости, 2) Существуют различные подходы [21] к определению пространств обобщенной гладкости в областях с нелипшицевой границей (тем более, в случае областей на многообразиях), 3) Отсутствуют утверждения о вещественной интерполяции пространств, определенных на областях с негладкой границей.

Для получения результатов о регулярности решений рассматриваемых задач, в случае областей с гельдеровой границей, представляется перспективным преодолеть отмеченные трудности, воспользовавшись разностной техникой (ср. [31]) и методами теории функций и функционального анализа.

Другой способ (по сравнению с использующим разностную технику и теорию интерполяции) получения утверждений о повышенной гладкости решений задачи (D) был предложен (2002 г) для уравнения Пуассона в работе G. Savare и G. Schimperna [32]. Ими было отмечено, что эффект повышения гладкости решения тесно связан с количественными оценками резольвентной непрерывности при вариации области .

Понятие резольвентной сходимости последовательности операторов, действующих в банаховых пространствах, было введено в 1950-ых годах (под названием "обобщенная сходимость операторов") в работах В.П. Маслова [9] и J.D. Newburgh [28]. С середины 1960-ых за данным типом

сходимости закрепилось название сходимости в смысле раствора (по истории вопроса, см. монографию Като [25]). Сходимость в смысле раствора измеряет расстояние между пересечениями графиков операторов T_s : X —> Y и единичной сферы S С X х У, и совпадает со сходимостью в равномерной операторной топологии, если T_s - ограниченные операторы. Если же операторы T_s неограничены, X = У, и резольвентные множества T_s содержат общую точку Л, то сходимость в смысле раствора имеет место тогда и только тогда, когда операторы (T_s — XI)~^l сходятся по операторной норме.

Как оказалось, наиболее удобным инструментом для работы с резольвентной сходимостью в L2{Q) (применительно к модельной задаче) является эквивалентная ей сходимость U. Mosco [27].

На протяжении 1990-ых в работах D.Bucur, J.-P. Zolesio [14, 13] (подробно см. обзор D. Bucur и G. Buttazzo [13]) исследовались необходимые и достаточные условия на класс варьируемых (по метрике Хаусдорфа) областей Г2, обеспечивающие равномерную резольвентную сходимость. Теоремы в этих работах утверждали лишь сам факт сходимости, не раскрывая количественной оценки.

Что касается исследования количественных оценок резольвентной сходимости, при возмущении коэффициентов оператора, то ему были посвящены работы (список ссылок и историю вопроса можно найти в обзоре A. Henrot [22], отдельно отметим работу G. Barbatis [11]), написанные главным образом в 1980-1990-ых годах.

Однако резольвентная непрерывность при возмущении области привлекла внимание исследователей лишь во второй половине 2000-ых (например, резольвентной непрерывности такого вида посвящена PhD работа E. Feleqi [19], защищенная в 2010 году), а бурное развитие получила уже в 2010-ых (см., например работы В. И. Буренкова, E. Feleqi, P.D. Lamberti, G. Barbatis [12, 15]). Автор диссертации использует оценки резольвентной непрерывности как при возмущении области, так и при возмущении коэффициентов. При этом, интерес представляет не только получение новых оценок, но и их применение к задаче о повышении

гладкости решений.

Цель работы. Получить оценки модуля резольвентной непрерывности краевых задач Дирихле для оператора Лапласа–Бельтрами, возмущенного младшими членами, в областях с нелипшицевой границей. Извлечь из резольвентной непрерывности факт повышения гладкости решений задачи в невозмущенной области для достаточно регулярных правых частей.

Для вариационных и краевых задач изучить связь между показателями гладкости границы области, суммируемостью коэффициентов, регулярностью правой части и гладкостью решения, в случае областей на многообразии, границы которых локально представимы в виде графика функции с условием Гельдера.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены оценки модуля резольвентной непрерывности первой краевой задачи для оператора Лапласа–Бельтрами относительно малой (по метрике Хаусдорфа–Помпейю) вариации области в классе тех, граница которых локально представима в виде графика непрерывной функции;

2. Для широкого класса вариационных и краевых задач изучена взаимосвязь регулярности правых частей и гладкости решений в случае областей с гельдеровой границей. При этом краевые задачи рассматриваются в случае операторов с коэффициентами из пространств Бесова функций негативной гладкости;

3. Для операторов ассоциированных с секториальными формами и соответствующих краевых задач изучена связь резольвентной непрерывности таких задач и свойства повышения гладкости их решений;

4. Предложен новый подход к установлению стабильности спектра операторов.

Методы исследования. В работе используются методы теории пространств Никольского-Бесова и Соболева-Слободецкого, теории вещественной интерполяции, теории дифференцирования в бесконечномерных пространствах, а также теории возмущений линейных операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы, развитые для их получения, могут быть использованы в теории возмущения, спектральной теории, теории граничных задач.

Апробация диссертации. Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих семинарах:

«Динамические системы и дифференциальные уравнения», МГУ, руководители: академик РАН Д.В.Аносов, проф. A.M. Степин (2013);

«Асимптотические методы в уравнениях математической физики», МГУ, руководители: проф. В.В. Жиков, проф. Е.В. Радкевич, проф. А.С. Шамаев, проф. Т.А. Шапошникова (2013);

«Дифференциальные уравнения и динамические системы», МГУ, руководители: проф. A.M. Степин, проф. А.А. Давыдов (2014-2015);

«Бесконечномерный анализ и математическая физика», МГУ, руководители: проф. О.Г. Смолянов, проф. Е.Т. Шавгулидзе, д.ф.-м.н. Н.Н. Шамаров (2014);

«Функциональный анализ и его приложения», РУДН, руководитель: проф. В.И. Буренков (2015);

Научно-исследовательский семинар по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (семинар Никольского), МИАН, под руководством член-корр. РАН О.В. Бесова (2015);

Научно-исследовательский семинар по теории функций под руководством академика РАН Б.С. Кашина, член-корр. РАН, проф. СВ. Конягина, проф. М.И. Дьяченко, проф. Б.И. Голубова (2015);

Научно-исследовательский семинар по теории приближений аналитическими функциями, МГУ, руководители: проф. П.В. Парамонов, д.ф.-м.н. К.Ю. Федоровский (2015);

Совместное заседание научно-исследовательских семинаров кафедры матема
тического анализа и теории функций и кафедры нелинейного анализа и оп
тимизации, РУДН, руководители: проф. А.В. Арутюнов, проф. В.И. Буренков

(2015);

«Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения», РУДН, руководитель: проф. А.Л. Скубачевский (2016);

«Операторные модели в математической физике», МГУ, руководители: проф. А.А. Шкаликов, проф. И.А. Шейпак, доц. A.M. Савчук, А.А. Владимиров (2016).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих конференциях:

Всероссийская конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2013);

Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2014);

Юбилейная научная конференция «Ломоносовские чтения-2015», посвященная 260-летию Московского университета (г. Москва, 2014);

XXII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2015» (г. Москва, 2015);

Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика СМ. Никольского (г. Москва, 2015);

Международная конференция по математической теории управления и механике (г. Суздаль, 2015);

Международная научная конференция «Теория приближений функций и родственные задачи анализа», посвященная памяти профессора П.П. Коровкина (г. Калуга, 2015).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 статьях, 3 из которых опубликованы в научных журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Личный вклад автора. Изучать краевые задачи для оператора Лапласа-Бельтрами в областях с нелипшицевыми границами на многообразиях, используя резольвентную непрерывность краевых задач относительно деформации области, предложена диссертанту научным руководителем. Подготовка к публикации результатов статьи [3] проводилась совместно с А.М. Степиным. Основные результаты диссертации получены лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 40 наименований. Общий объем диссертации составляет 99 страниц.

Резольвентная непрерывность вH1-s(M), cходимость Mosco и спектральная устойчивость

Пусть (М, д) — гладкое связное компактное риманово і-мерное многообразие без края, Мо = М\0: О С М — фиксированное непустое открытое множество с гладкой границей, Q С Мо — область, А — эрмитово сечение Т М расслоения, /3,6 — векторные поля на М, с — комплексно-значная функция на М. Для эллиптического оператора Ли = — div(AVu + (Зи) + bVu + си (1.1.1) поставим первую краевую задачу Ли = / в Г2; и = 0 на 9Г2, (1.1.2) и, в случае если /3 = 6, Imc = 0 соответствующую спектральную задачу Ли = Хи в Q] и = 0 на dQ. (1.1.3) Для открытого множества А С М и чисел к,1 Є Z+ введем пространство Лебега Lp(A,Tl), р Є [1,оо] как совокупность всех сече 25 ний X расслоения TjlM := ((S T M) (g) g TcM, для которых ко ,, и н ь — 1/2 нечна норма Х (AT1) := гДе W сМ с;М, Ь : 7с М — Т М — музыкальные изоморфизмы1. Легко видеть, что пространство L2(A,7l) является гильбертовым со скалярным произведением T(X,Y) := [л Х$ Y dVol. Скажем, что сечение X Є LJA,Tl) принадлежит пространству Соболева W (A, 7 ), р Є [1, оо], если VX є Т Л Т / \ \\ \\Р НИР і В ни Ьр(А, / , 1/ ІМІИПМ Т ї := ІІ ІГ 1С4ГМ \\и\\т ІАТ1\і ГДЄ Н НгоЧ Т ) := VwL (дт-г ). Пространство Со(А)-гладких сечений расслоения Т М обозначим Р(Л,7 ), и Ж}(Л,7 ) введем как пополнение2 Т (А,ТІ) по норме Wp(M,7l). Если Л С Мо, то снабдим Й (Л, 7 ) эквивалентной нормой \\и\\WI/Aт1 Тогда пространство W 1(A,7l), q Є (1,оо) вводится где r — форма на Р (Л,7 ) x Р(Л,7 ), порожденная скалярным произведением в L l A Tl). Везде ниже, если это не будет вызывать затруднений, будем опускать зависимость пространств Соболева и Лебега от ТІ- Дополнительно обозначим Hl(M) = W M), Hl(A) = ц/ ЯЛ), H l{A) = W ( 4), 11 11 1( 4) = ІІ Цадім)- Потребуем выполнения следующих условий

Лемма 1.1.1. Пусть Q ( = Мо — область, оператор А удовлетворяет условиям D1 - D3, тогда для любой функции f Є H l(Q) существует 1 То есть естественные изоморфизмы, порожденные метрикой д; термин см., например, [7] 2При этом элементы пространства Т (А, 7 ) предполагаются продолженными нулем на М\А. о единственное решение и Є Н (Q) задачи (1.1.2), понимаемое в следующем смысле о Vf Є Н (Q) Ф(гі,г ) = т(/,г»), (1.1.4) Ф(и, -и) := AVM (8) Vt rfVb/ + (3uVv dVol + bVuv dVol + сгш rfVb/ м M M M и значит, определен ограниченный линейный оператор TZQ : H l(Q) — о Н (Q), TZQ : / ь- - гі, решающий задачу (1.1.4); оператор Л вводится как обратный к IZQ . Доказательство. Заметим, что форма Ф ограничена на прямом произ о о о ведении Н (Q) х Н (Q). Действительно, в силу вложения Н (Mo) L 2d (Мп) имеет место неравенство Ц-иУцЦ/, Ґ_ \\V\\L 2d (Q)\\ U\\L2(Q) d 2 d -l d -1 Cpmblkll Лі чІІ ІІ Ль . Следовательно AVu g)VvdVol \\A\\T (O)\\U\\ IMI , cuvdVol Q, -" l J -" l J П d jf=i d d l d l оценки для частей формы Ф содержащих Ъ и (3 получаются аналогично. С другой стороны, в силу условий D1 и D3, и оценок выше, Re Ф(и, и) а \\и\\ н1(М), следовательно применима Теорема 1.1.1 (Babuska-Lax-Milgram, [4]). Пусть U, V — гильбертовы пространства, В : U х V — С является непрерывной полуторали-нейной функцией. Также предположим, что В слабо коэрцитивна, то есть существует такая константа О 0, что inf sup \B(u,v)\ с \Ы\и=1 \\v\\v=l и для любого О ф v Є V выполнено siipiuii =1 \B(u,v)\ 0. Тогда, для любого f Є V существует единственное решение и = Uf Є U следующей слабой задачи B(iif,v) = (f,v) УУ Є V. Более того, решение непрерывно зависит от начальных условий \\Uf\\и / \\v (1.1.5) с Лемма доказана

Если /3 = 6, Imc = 0, то оператор Л : Ьг( ) — ( ) является самосопряженным с компактной резольвентой. Следовательно, с учетом требований D1 и D3, спектр Л состоит из положительных собственных значений3 \k(Q) с точкой накопления в бесконечности. В этом случае задача (1.1.3) разрешима для А = Л ( ), и решения щ понимаются как более того, имеет место принцип Куранта-Фишера-Вейля А/ДШ = sup inf . LkdHl{Q), 6imLJ:=k-l V ; Лемма 1.1.1 ставит в соответствие каждой области Q оператор IZQ решающий задачу (1.1.2) с правыми частями из H l(Q). Изменим постановку задачи: будем решать (1.1.2) с правыми частями из Н 1(Мо), а соответствующий решающий оператор обозначим QQ. Так как QQ имеют общую область определения, то можно задаться вопросом: насколько будут близки операторы QQ при возмущении области Q. А именно, пусть {Г2е} — последовательность областей из Мо и Q с Мо область, такая что относительно некоторой метрики d(Q,Q) — 0 при є — 0. Какие условия необходимо наложить на области { є}, Г2, чтобы \\бп — бпЕ\\с(в1,в2) 0, при - 0, (1.1.6) где і, 2 — некоторые банаховы пространства, ( і, 2) — пространство линейных ограниченных операторов из В\ в 2. Если (1.1.6) выполнено, то будем говорить, что для оператора Л имеет место резольвентная непрерывность при возмущении {Г2Є} области Q в паре пространств ( і, 2), или более коротко, имеет место резольвентная непрерывность в пространстве 2. Функцию \\QQ — бпЕ\\с(в1,в2) будем называть модулем резольвентной непрерывности.

Оценки модуля резольвентной непрерывности вH1(M)

Чтобы обобщить и применить оценки предыдущей главы, воспользуемся вещественной интерполяцией и свойствами связанных с ней пространств Никольского-Бесова. Сначала определим пространства Соболева для целого порядка гладкости.

Определение 2.1.1. Скажем, что для произвольного открытого множества Q С М, сечение S принадлежит пространству W(f2); р Є [1,оо] если S Є Lp(Q) и существует обобщенный градиент VmS \\S\\wm(Q) VmS_j, (Q) oo. II О IIP II О IIP і II f» IIP В качестве нормы примем \\b wm := Ь \\Т ,0ч + \\b \\ mlr,\ В тех же предположениях, что и в определении 2.1.1, скажем, что а - т Г т IГЛ\ II ИР II ИР і о Є V (\1, если, дополнительно, конечна норма \\и ,/m/n := \\и\\т ,п + m L.P =1 ll"ll«,fc(fi). Предложение 2.1.1 (см. [12]). Если Q — ограниченная область с границей С-класса, то VLm(r2) совпадает с W{1) для любых р Є [1,оо]. 50 В силу предложения 2.1.1, не будем употреблять обозначение V{VL) на протяжении диссертации. Заметим также, что вследствие неравенства Фридрихса в пространстве W(Q) = {v Є W(Mo) suppi» С Л}, Q ( = Mo полунорму w{l) можно принять за норму, что и будет предполагаться. Теорема 2.1.1 (см. [13]). Пусть1 Q С M.d, 0Q Є СЛп, 7о Є (0,1]; р Є [1, оо]. Тогда существует оператор продолжения где [s\ — максимальное целое число не превосходящее s; причем норма \\S\\ ограничена постоянной, не зависящей от р. Если область Q обладает липшицевой границей (либо границы нет), то вместо И/27г(і7), т Є N, будем писать Hm(Q). Так же для р Є (1, оо), т Є N, 1/р + І/q = 1 введем обозначения: W m(Q) = (И/1П(Г2)) , W m(Q) = (W(Q)) . (2.1.1) В силу теоремы 1.2.4, если dQ Є С, то имеет место вложение W m(Q) - -Р (Г2), которое при этом инъективно. Теорема 2.1.2 (см. [1] теорема 4.12, [20], теорема 1.4.4.1). Пусть Q — область в Mo, dQ Є С0 1; j Є N+; т Є N+; p Є [1, оо). 1. Если либо тр d либо т = d и р = 1, то W(Q) - - Ck,a(Q), где к т — - к + 1, а = т — к — -. р р dp in J ттлі+m/г и ТІЛІ tсл „. „л щ z. Если тр а, тогда VVJ, Ш - - vV/A\l), где р а р = , у . Напомним следующее

Определение 2.1.2. Пусть s Є Ш+, пространством Соболева-Слобо-децкого Wp(Q), р Є (1,оо) называется пространство Тк сечений S Є Lp(Q), которое, в случае целого s совпадает с пространством Соболева, хБудем обозначать через С0 7, 7 Є (0,1] пространство С0 52 а в случае, если s N состоит из S Є Wp (Q) (если s 1, то v Є Lp(Q)) для которых конечна полунорма: Л, , , , fvWufx) VLsJM(y)V [S] w s (Q) = / / 77 w.f _i n dflx dfly, где П;ТО — метрика в расслоении ТМ, порожденная римановой структурой. Теорема 2.1.3 (см. [20], теорема 1.4.4.1). Имеет место следующее вложение Wp(M.d) - - W (Rd) для t sup q оо; таких что s — — —— ь — — Р ч Пространства W (f2) для отрицательного s определим аналогично формуле (2.1.1). Введем пространства Никольского-Бесова в случае областей M.d. Пусть Q С M.d — открытое множество, для 5 0 рассмотрим Q s = {х Є Q\ p(x,dQ) 5}, Z(Q S) — полунормированное пространство функций, заданных на Q s, 1 в оо, / Є Ш+, га, а Є N. Будем говорить, что / Є dm,aBle(Z(Г2)), если / Є L\j0C(Q) и WfWd B izin)) = ll/IU(n) + / \\f\\dm ijbl (z(n)) 5 (2.1.2) И II II l,-l-m\\ /\а Ят -PW II / с1ГГк а У (7(d)) \\ J h І І I \\Z(Q а ) т /г, тт\ 1 и обозначим п1 := b , N1 := В1 . Здесь А -ір — разность по переменной Xj порядка о" с шагом h, LQ(0,H) — пространство измеримых на (0,Н) функций g одной переменной, для которых при 1 9 оо 9\\ь (он) = \9\а)\ Г 5 (- оо! -") = OO(0,JJ)) 9 o h о а Будем считать, что набор /, а,га является допустимым, если о" + га I га. Определение 2.1.3. Пусть набор I, а, га является допустимым, I 0; р Є [1,оо]; в Є [1,оо) пространствами Бесова и Никольского назовем соответственно dm,aBl e(Q) := dm,aBle(Lp(Q)), dm (JNl(Q) := d BULpm. Предложение 2.1.2 (см. [8]). Определение пространств Бесова и Никольского не зависит от допустимого набора l,(j,m, в случае если Q = M.d. Более того, если существует оператор продолжения Р : dm,aBle(Lp(Q)) — dm,aBle(Lp(M.d)), то пространства dm,aBle(Lp(Q)) также не зависят от допустимого набора.

Таким образом, следуя предложению 2.1.2 в случаях если Q = M.d или существует оператор продолжения2 Р будем писать В g{il) = U В giyil) N (іI) = d N (y\l). Заметим дополнительно, что из предложения 2.1.2 следует, что пространства B e(Q) = \у Є B e(M.d) I supp-u С Q}, N (Q) = [v Є ЩІШ1) suppt С Q} также не зависят от допустимого набора вне зависимости от открытого множества Q.

Теорема 2.1.5 (см. Теорема 13.3.1 [2]). Пусть Т — ограниченный линейный оператор из XQ + Х\ в YQ + Y\, Tj = Т\цх-,у-) J = 0,1, s,0 — обозначение оператораТ как оператора из Xs в Ys , Xs = (Х$,Х\)8 , YSie = (Yo,Yi)sfl, s Є (0,1); в Є [1, oo]; и \\Tj\\ = Mj (j = 0,1). Тогда Ts — ограниченный оператор из Xs в Ys с нормой Ms удовлетворяющей неравенству Ms g M0 SM{. Предложение 2.1.3 (см. [35], [30]). Для s Є (0,1); р Є [1, оо]; q Є [1, оо]; А; Є N области ГУ С М с липшицевой границей, пространства iB!L {Q!) являются результатом вещественной интерполяции:

Распространение оценок модуля резольвентной непрерывности на случай операторов второго порядка.

Для установления эффекта повышения гладкости, нам понадобится установить дифференцируемость по Гато функционала J. Следуя [24], определим понятие дифференциала и производной по Гато. Пусть X, Y — банаховы пространства, J есть отображение, действующее из X в Y. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения J в точке х (при приращении h) называется предел т/ d v J[x + th) — J{x) DJix, h) = —J(x + m) t=o = Hm , at t-ю где сходимость понимается в сильном смысле. Если при этом дифференциал DJ(x, h) линеен по h DJ(x, h) = J (x)h, где J (x) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато). Для удобства формулировки утверждений, будем опускать зависимость функциональных пространств от области значений функций. Теорема 3.1.2. Пусть функционал J представим в виде (3.1.1) и вы о полнены условия Fl, F2. Тогда для любого и Є W(Q) существует производная Гато T(AF+EU, V) = T(AQU, V) + т{А и, v) + т{А и, v) T(AQU,V)= / \7ymuiF(x,u, Vit,.., Vmw)V"V i/i Jn r(Ar u,v)= / V uiF(x,.., S7mu)vl + S/ym-iuiF{x,.., Vmw)Vm_ vld[x Jn т(Аг u,v)= I \7uiE(x,.., \7mu)v% + + \7ym-iuiE(x,.., Vmw)Vm_ v%d\i n причем для Ay , Аг существует такая константа Со Є Ш+, что для о любых it, v Є W(f2) имеет место оценка \т(Аг U,v)\ + т(Л.г U,v)\ Со ( 1 + IMI mfm ) ІМІ/г" 7 )

Доказательство. Будем действовать в русле доказательства Теоремы 5.1 Главы 1 из [18]. Сразу заметим, что если получено доказательство для F удовлетворяющей условиям теоремы 3.1.2 и Е = 0, то теоре о ма доказана полностью. Пусть v Є W(Q) — вариация, причем, без уменьшения общности, можно сразу предположить, что ее носитель принадлежит некоторой карте U, в которой расслоение JN mM распадается в прямое произведение U х M.Nd х х M.Ndm. Так как функция F — непрерывна и дифференцируема по ( , 1, , т) при почти любом х Є М, то применяя формулу Ньютона-Лейбница и теорему Фубини, для А Є (0,1) и фиксированной функции и Є W(Q,M. ) получим, что J\u-\-\v]—J\u\ отношение j— равно / dfi {\7uiF(x,u + t\v,\7u + t\\7v,...,\7mu + t\\7mv)vl+ unii o yuiF{x1 и + tXv, Vit + tXVv,..., Vmit + tX\7mv) Vt + + VymMiF(j;, и + tXv, Vit + tXVv,..., Vmit + AVm,u) Vm ) г гс Таким образом, обозначая il){t) = \t\p l, Du = (it, Vit,..., Vmit), в силу условия F2 получим оценку tXVmv)Vkv4t о i Fx dfi := S7ykuiF(x, и + Аг ,..., Vmit + o o sup C(l + / (Dit + ADi;)) V г», к = 0,... ,m. іє[0,1] Тогда последовательность {FxjUjV }xe(o,i} является равномерно суммируемой4. В самом деле, пусть V С U измеримое множество достаточно малой меры, тогда AF\,IV Adii С Гт/ (l + ib {2\DvX) + ib]l(2X\Dv\ 3Определение пространств К5, и полунормы ks см. таблицу 2.2.1 4Последовательность {fh} называется равномерно суммируемой, если Ve О 3S 0 : VV С М, V— измеримо, u(V) 6 = sup,, Г., I f/, І du є \\/kv\dfi. Заметим, что \7kv Є W k(Q) - - KI k (Q) для к Є {О,... , m}, и вследствие теорем 2.1.2, 2.1.6 имеют место теоремы вложения K k f(Q) - - LPk(Q) для некоторого pk- Таким образом, интеграл

Последовательность {FA,M,W,A;}A равномерно суммируема для любого к = 0, ..,т и любых фиксированных U,D Е W(f2). Следовательно, можно перейти к пределу по Л — 0, тем самым получив утверждение теоремы.

Предложение 3.1.1. Пусть Q — подобласть Мо, коэффициенты оператора AD удовлетворяют условию А2, 7 Є (0,1], тогда для гпі,т2 Є Z+ таких, что 0 т т\ т, І Ф т, имеет место неравенство 2) Если к I — 7 и 7 = 1, то случай сводится к предыдущему, поэтому будем считать 7 Є (0,1). Без уменьшения общности положим, что носители z и w лежат в одной карте, поэтому корректно определен оператор сдвига аргумента. Для удобства переобозначим / — 1 = п, 1— 7 = С Легко видеть, что Vn(z g w — Zh 8 Wh)\\b (П) не превосходит п У (\\VJ z\\Lq{j)(n)\\Vn J (w wh)\\bq4j)(Q) + 3=0 + \\\7J(z — Zh)]] ,.JQ\\\Vn JWh\\rJ JQ\ II II - r J) V / - r (j) V / Из предыдущих рассуждений ясно, что сумма l/g (j) + \/q{j) будет максимальна, если j = 0, в этом случае q (0) = 2 и g(j) определяется с помощью теоремы 2.1.2, как порядок суммируемости во вложении о Н (Q) - - Lq(o)(f2). Аналогично, сумма l/r (j) + l/r(j) будет максималь на, если j = 0. Показатель г(0) определим из теоремы 2.1.7 как порядок суммируемости во вложении Н (Q) - - іц( ), в свою очередь показатель г (0) определяется из теоремы 2.1.6 ИЗ ВЛОЖХЭНИЯ J\O( ) с—У ljr (Q\[\l). Сравниваем с условием А2: предложение доказано. П Предложение 3.1.2. Пусть Q — подобласть Mo, dQ Є C0,t, t Є (0,1]; коэффициенты оператора AN удовлетворяют условию А2, тогда для k,l Є Z+ таких, что 0 / к т, І ф т, имеет место неравенство

Вариационные задачи

Пусть -и — произвольный элемент из W(f2). "Заморозим" в подынтегральном выражении Jf (см. (3.1.2)) все производные по и кроме старшей, а именно, рассмотрим функционал Ju[v] равный / F(x,u, Vit,..., Vm it, \7mv) (Іц+ I Е(х,и, Vit,..., Vm it) + т(/, it), тогда, в силу условия F5 JM[i;] будет выпуклым. В силу теоремы 3.1.2, для Ju[v] существует производная Гато AF,U, причем где AF,U по свойству F5 есть коэрцитивный оператор. Следуя [31], на Л Є [0,1] определим функцию s(A) = JM[it + A(i — it)], она выпуклая вещественнозначная класса С1 (см. [25], Ch. 2, Prop. 1.1), причем s (A) = r(AF,u(u + А (і; — it)), і» — it). Следовательно Ju[v] — Ju[u] — r(A Mit,v — it) = s(l) — s(0) — s (0) = / (s (A) — sf(0))d\ = o

Так как it — нестрогий минимум функционала J/[f], то производная Гато вдоль любого направления должна быть неотрицательной: т((Л0 + Лг + Лг )(u),v — и) — r(f,v — и) 0 Vf Є И/ІП(Г2), следовательно —т(Л.0 (it),-и — it) г((Л.г + Л.г )(it),-u — it) — r(f,v — u) Vf Є И/Тг(Г2). Сопоставляя (3.2.10) и (3.2.9), приходим к неравенству ти\гпф 1 ТМГ1 ґґ AF і лЕ\ґ гпФ \ J \1 ,или\ — J \и\—т[[Лг + Аг ){и),1 ,,ли — и) — (3.2.11) I гпФ \ \ II rnV IIP T / , і / 1t — It —It — 1 ,UW , V"7 " (pi{ti) — її І\ІІ) llW a\\ ггф — \\u — 1 /llllr . 7 " tpiyh) llWm(Q) Вновь, из теоремы 3.1.2 получаем оценку і // л F і ЛЕ\Ґ гпФ \\ v-—у 11 ир—1 \Т {{Лг. + ./L Hit), і ,іЛи — и On U ,- . і vv r r /v ifi{n) /і — "и "W ffi) llrnV II /"1\\ГГ\Ф и и up—1 i Jh\U — ЩЕ !!,) — IK f/l)M М1ІА"та_7( П)11гі11тД/т/0 (3.2.12) с некоторой константой С. По лемме 1.3.4 и теореме 2.1.4 имеет место вложение Щ ( if_7(f2)) г W(Q), следовательно для некоторой константы С выполнена оценка

Для доказательства (3.2.1) осталось оценить сверху (3.2.15). В силу свойства F3 имеет место выпуклость F по последнему аргументу, то есть

Действительно, разность (3.2.17) оценивается по модулю благодаря лип-шицевости ф, разность (3.2.18) аналогично (3.2.6), для разности (3.2.19) оценка получается в силу условия F4, поэтому займемся (3.2.20). Пусть ф Є С(V) такая, что ф = 1 для любой точки х Є supp ; ясно, что (3.2.20) равно причем j-ую компоненту, j 1, v можно переписать в виде V-7 (U_ip.( h) и)+ф5 _і _ч:,. ігул\і. Вспомним, что j_ij_ ,.(/j)] = Г-7 -1 — ipi{h)) — Г 1(х), где Г j — линейный дифференциальный оператор порядка к с коэффициентами из Ст к,1(у). В свою очередь разность \\ф-(и_(р. — w)IUm(n) стремится к нулю, так как и Є W(f2) и следовательно является непрерывной в целом. Таким образом, 2{h) — 0 если h — 0. Снова из теоремы 3.1.2, следует, что для к = —cpi(h) разность (3.2.20) можно оценить как для некоторой константы С. Для получения оценки (3.2.2) достаточно применить теорему 1 из [14] к неравенствам (3.2.12), (3.2.13), (3.2.21), предполагая, что и Є N+S(Q,M.N). Откуда получаем, что для (s = тт{ с, s + 7} решение и задачи (3.1.2) принадлежит пространству N p (Г2, IR. ). Теорема 3.2.2. Пусть и — нестрогий минимум функционала Jf задачи (3.1.2), р Є (1,2); область Q С Мо обладает гельдеровой границей с показателем t Є (0,1]; функционал J удовлетворяет условиям Fl F4 Тогда если f Є К т 7(Ш, - + — = 1, то и Є AC1 (Ш, и справедлива оценка С ( 1 + и \ ) ( 1 + ll ll WmfQ) + 11М11тУт(П) 11/11лГ_т+7(П) где Со = min{ , 7J- Если дополнительно известно, что и принадлежит N+S(Q), s Є (0,1/р), f Є К т 1 {&) то и Є N (Q), причем

Предложение 3.2.1 (см. [33]). Пусть есть две пары банаховых пространств, EQ - - Е\, FQ - - F\, вложения непрерывны, и открытое множество U в Е\. Пусть Т : U — F\ — оператор отображающий EQ П U в FQ, и пусть существует р Є [2, оо) и положительные константы Со,Сі такие, что Доказательство. Предположим, что р 2, так как случай р 2 не представляет собой ничего нового. Из неравенства (3.2.1) следует, что для / Є К т 1 {&) соответствующее решение задачи минимизации принадлежит пространству N (Г2), где а = тіп{ , с}. Причем из неравенства (3.2.19) видно, что в случае а = х, применив неравенство (3.2.2), предполагая и Є N (Г2), мы не получим новой информации о гладкости решения. Предположим теперь, что 7 достаточно мало, тогда можно воспользоваться неравенством (3.2.2) и для некоторого числа С получить оценку