Фредгольмовы функционалы с непрерывной симметриейи их возмущения Сапронова, Татьяна Юрьевна

Введение к работе

Актуальность темы. В диссертации рассмотрен класс гладких фредгольмовых функционалов на гладких банаховых многообразиях, который, как известно, включает в себя большинство функционалов классического вариационного исчисления и многие функционалы теории оптимального управления. Фредгольмовость означает конечномерность ядра и коядра ковариантной производной Фреше (второго кодпфференцнала) от градиента (первого кодифференциала) функционала в произвольной точке. Предполагается совпадение размерностей ядра и коядра второго кодифференциала (в каждой точке). Фредгольмовость дает возможность точной локальной конечномерной редукции (сведения локального анализа поведения функционала к анализу поведения гладкой функции на окрестности нуля конечномерного пространства) ¹.

Для нелокальной редуцируемости требуется выполнение дополнительных условий. Например, для функционалов на линейных банаховых пространствах достаточно потребовать коэрцитивность функционала или его градиента в сочетании с выпуклостью по прообразу редуцирующего отображения ².

Отдельные варианты точных нелокальных конечномерных редукций развивались в работах Н.А.Бобылева, К.Конли, Э.Цендера, С.В.Болотина, Ю.И.Сапронова, А.В.Гнездилова, С.Л.Царева и др. Однако для функционалов на многообразиях пока не разработаны условия глобальной конечномерной редуцируемости, эффективные для приложений. Некоторый прогресс имеется в случае разрушения непрерывных симметрии: на окрестности компактной морсовской критической орбиты допускается редукция возмущенного функционала к его сужению на квазиннвариантное подмногообразие, близкое к критической орбите.

Понятие квазиинвариантного подмногообразия, введенное в работе [7] автора диссертации, возникло на стыке таких известных понятий, как критическая орбита, критическое подмногообразие (по Ботту), инвариантное подмногообразие (для динамической системы)

'Красносельский М-А , Бобылев Н.А.. Мухамадиеэ Э.М. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления.// Доклады АН СССР. 1975.- Т.240. вып.З.- С.530-533.

'^Сапронов Ю.И.. Царев С.Л. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах// Матсм. заметки. - 2000. - Т. 5S, Л^г- 5. - С. 745-754.

и ключевая функция (для гладкого функционала). Каждое квазиинвариантное подмногообразие представляет интерес в первую очередь тем, что критические точки сужения функционала на такое подмногообразие одновременно являются критическими и для функционала в целом. Свойства критических точек при этом сохраняются (при выходе в объемлющее многообразие).

Благодаря этому обстоятельству, метод квазиинвариантных подмногообразий представляется весьма полезным и перспективным для анализа критических точек гладких функционалов на гладких функциональных многообразиях.

Тема диссертации частично соприкасается с теорией эквивари-антных краевых задач механики и геометрии, разработкой которой занимались В.А. Треногий, Б.В. Логинов, Н.А. Бобылев, Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Дж. Марсден, Д. Сетинжер, А. Вейнстейн, У. Козель, Т. Барч, В. Кравцевич, В. Марзантович, А.Ю. Борисович и многие другие математики, и с общим симметрийно-группо-вым анализом дифференциальных уравнений (Л.В. Овсянников, Н.Х. Ибрагимов, A.M. Виноградов, В.Ф. Зайцев, П. Олвер и др.).

В диссертации использованы элементы анализа гладких G—инвариантных функций на конечномерных многообразиях, развитого в работах В.И.Арнольда, СМ. Гусейн-Заде, В. Поэнару, СТ.С. Уолла, Д. Сирсмы, Л. Мишеля и др., а также элементы теории Ботта (по критическим многообразиям) в виде современной теории Морса для боттовских интегралов (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.).

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация нового подхода к построению и изучению экстремалей фредгольмова функционала, полученного гладкой деформацией (возмущением) G—инвариантного фредгольмова функционала, на малой окрестности фиксированной критической (для невозмущенного функционала) орбиты положительной размерности.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа (теория нелинейных фредгольмовых уравнений на гладких банаховых многообразиях), вариационного исчисления на гладких многообразиях, теории групп Ли и анализа гладких G—инвариантных функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные ре-

зультаты диссертации являются новыми.

1. Теорема о структурной устойчивости компактной критической орбиты симметричного функционала при симметричном возмущении функционала.

2. Теорема о превращении компактной критической орбиты в квазиинвариантное подмногообразие функционала при разрушении его симметрии.

3. Теорема о структурной устойчивости компактного квазиинвариантного подмногообразия при возмущении функционала.

4. Теоремы о существовании и асимптотическом представлении
ветви изолированных экстремалей при разрушении симметрии фун
кционала.

5. Описание канонических алгебраических форм первого и второ
го кодифференциалов функционала Дирихле на многообразии петель
класса С¹ в группе SO(3).

6. Описание и вычисление индексов Морса критических орбит
функционала Дирихле на многообразии С²—петель в 50(3).

7. Описание рождения ветви критических S0(2)—орбит петлеобразных траекторий лагранжева волчка.

8. Описание канонической формы первого кодифференциала функционала Дирихле на многообразии двумерных сфероидов в 50(3) и оценка снизу индекса Морса функционала Дирихле на критическом сфероиде через индекс Морса редуцированного функционала.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации подкрепляют теоретическое обоснование метода фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу квазиинвариантных подмногообразий (основу метода составляет утверждение о том, что возмущение фредгольмова индекса ноль G —инвариантного гладкого функционала сохраняет вблизи каждой невозмущенноп компактной морсовской критической орбиты диффеоморфное орбите квазиинвариантное подмногообразие (сама критическая орбита, разумеется, исчезает в момент разрушения, симметрии)).

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

5 '

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях "Понтрягннские чтения" [1], [4], на международной конференции "Стохастический и глобальный анализ" [3], на 3 Международном симпозиуме по небесной и классической механике [6], на Воронежской зимней математической школе [10], на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" [9], на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" [12], на семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа ВГУ (руководитель — профессор Ю.Г.Борисович) и на семинаре по функциональному анализу НИИМ ВГУ (руководители — проф. Звягин В.Г. и проф. Баскаков А.Г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [12].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 15 параграфов, и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 107 стр.