Фредгольмовость операторов типа сингулярных в пространствах бесконечно дифференцируемых вектор - функций Горин Сергей Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Компактность и фредгольмовость линейных операторов в счетно нормированных пространствах 16

1.1. Критерий компактности оператора в счетно нормированном пространстве 16

1.2. Компактность интегрального оператора в пространстве бесконечно дифференцируемых функций 18

1.3. Абсолютно некомпактные последовательности 25

1.4. Критерий полуфредгольмовости оператора 29

ГЛАВА 2. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве бесконечно дифференцируемых вектор-функций 34

2.1. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве С" (Г) 34

2.2. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве С (Г),(НтЯ оо 76

ГЛАВА 3. Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве СГ (Г) 91

3.1 Алгебры Aн и AP и их свойства 91

3.2 Условие нетривиальности ядра символа оператора умножения 106

3.3 Критерий фредгольмовости 119

Литература

• Компактность интегрального оператора в пространстве бесконечно дифференцируемых функций
• Критерий полуфредгольмовости оператора
• Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве С (Г),(НтЯ
• Условие нетривиальности ядра символа оператора умножения

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию фредгольмости сингулярных интегральных операторов. Данные вопросы рассматривались в работах Н. И. Мусхелишвили, Ф. Д. Гахова, С. Г. Михлина, И. Б. Си-моненко, И. Ц. Гохберга, Н.Я. Крупника, А. П. Солдатова, 3. Пресдорфа, Б. Зильберманна, Ю. И. Карловича, С. Г. Самко, Н. К. Карапетянца, В. Б. Ды-бина, Л. И. Сазонова, Н.Л. Василевского, А. Н. Карапетянца, А. П. Солдатова, Г. С. Литвинчука, СМ. Грудского и многих других авторов. При этом исследование в своем развитии прошло несколько этапов. Сначала рассматривались индивидуальные уравнения. Для них находились достаточные условия нетеровости (или, по другой терминологии, фредгольмовости), определяемой в терминах свойств однородного уравнения и условий разрешимости уравнения неоднородного. При этом правая часть и искомые решения принадлежали некоторому множеству. Это множество обычно оказывалось линейным пространством. Типичная ситуация - теория сингулярных интегральных уравнений в классическом изложении в книгах Н. И. Мусхелишвили¹ и Ф.Д. Гахова, где в качестве основного объекта берутся пространство гельдеровских функций или его модификации.

Важным этапом стало применение в рассматриваемой теории методов функционального анализа. При этом фредгольмовость стала определяться в операторных терминах (замкнутость образа и конечномерность ядра и коядра оператора). Рассматривались различные банаховы пространства функций, в частности, пространства суммируемых функций. Как правило, в работах находились критерии (а не только достаточные условия) фредгольмовости.

Следующим этапом стало построение фредгольмовской теории для банаховых алгебр, порожденных операторами типа сингулярных (действующих в банаховых пространствах). При этом основным определением фредгольмовости стала обратимость порождаемого оператором смежного класса в алгебре

¹ Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968. ²Гахов Ф-Д. Краевые задачи, М.: Наука, 1977.

Калкина. Центральным моментом в этой теории явилось построение символического исчисления, которое в общих чертах укладывается в следующую схему.

Пусть X — банахово пространство, 9\ — банахова алгебра всех линейных непрерывных в X операторов. Рассматриваемые операторы порождают некоторую подагебру 23 С 91, обычно содержащую множество всех компактных оперататоров в X. Символическое исчисление — это непрерывный гомоморфизм из алгебры *В, в некоторую "естественную"алгебру (непрерывных функций, матриц-функций и т.п.), называемую алгеброй символов. Ядром этого гомоморфизма является множество всех компактных операторов. Основным результатом в таком исследовании является доказательство эквивалентности фредгольмовости оператора и обратимости его символа в "естественной" алгебре, а также выражение индекса оператора через топологические характеристики его символа.

В более общем случае локально выпуклых функциональных пространств ситуация в настоящее время совершенно иная. Исследованию фредгольмовости сингулярных интегральных операторов, действующих в таких пространствах, посвящены работы 3. Пресдорфа³ и Б. Зильберманна . Приведем их результаты, так как предмет исследования в них является наиболее приближенным к теме данной диссертации.

Пусть — конечная система попарно непересекающихся ориентированных замкнутых кривых класса С в комплексной плоскости. Обозначим через С⁰⁰ () пространство, состоящее из всех бесконечно дифференцируемых функций, определенных на . Топология в этом пространстве задается последовательностью норм

if\\_n = У^ max|<^()| ,n ^ 0.

ієГ k=0

³Прёсдорф 3., Некоторые классы сингулярных уравнений. - М.: Мир, 1979.

⁴ Зильберманн Б. О сингулярных операторах в пространствах бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций - В сб. «Матем. исследования», Кишинев, Штиинца, 1971, т.6, №3, с.168-179.

В этом пространстве определен оператор сингулярного интегрирования

Г

Этот оператор является непрерывным в пространстве С⁰⁰ (Г) и, кроме того, S = I. Введем стандартные проекторы

P = \(I + S), Q = \(I-S). В работах ставится вопрос о фредгольмовости оператора W вида:

W = c{t)P + d{t)Q + T,

где c(t) и d(t) — бесконечно дифференцируемые на Г функции, Т — компактный в С⁰⁰ (Г) оператор. Для оператора W получен следующий критерий фредгольмовости.

Теорема. Для того, чтобы оператор W был фредгольмовым оператором в пространстве С⁰⁰ (Г) необходимо и достаточно, чтобы каждая из двух функций c{t) и d{t) имела на Г не более чем конечное множество нулей конечных порядков.

Данный критерий был обобщен на случай пространства С^ (Г) бесконечно дифференцируемых вектор-функций, определенных на Г и принимающих значения в n-мерном линейном пространстве. Рассматриваемый оператор имел следующий вид

W = C{t)P + D{t)Q + T₁

где С{t) и D(t) — бесконечно дифференцируемые на Г матрицы-функции, Т — компактный оператор. Критерий фредгольмовости в этом случае имеет вид

⁵ Зилъберманн Б. О сингулярных операторах в пространствах бесконечно дифференцируемых и обобщенных функций - В сб. «Матем. исследования», Кишинев, Штиинца, 1971, т.6, №3, с.168-179. ⁶Прёсдорф 3., Некоторые классы сингулярных уравнений. - М.: Мир, 1979.

Теорема. Для того, чтобы оператор W был фредгольмовым оператором в пространстве С^(Г) необходимо и достаточно, чтобы каждая из двух функций detC(t) и det D(t) имела на Г не более чем конечное множество нулей конечных порядков.

Сформулированный таким образом критерий не допускает обобщения на случай функций, принимающих значения в произвольном гильбертовом пространстве. Кроме того, в рассматриваемых работах не было построено символическое исчисление. Одной из причин этого является тот факт, что, хотя указанные операторы и образуют алгебру (в "алгебраическом" смысле), регу-ляризаторы фредгольмовых операторов этого класса, вообще говоря, могут этой алгебре не принадлежать. Настоящая диссертация посвящена вопросам построения символического исчисления для алгебры сингулярных интегральных операторов, а также обобщению результатов на случай пространства функций, принимающих значения в произвольном гильбертовом пространстве.

Цели работы:

расширение алгебры сингулярных интегральных операторов до более широкой алгебры 23, которая содержит регуляризаторы фредгольмовых сингулярных интегральных операторов;

построение для операторов алгебры 23 символического исчисления;

получение критерия фредгольмовости оператора алгебры 23 в терминах обратимости его символа;

обобщение полученных результатов на случай пространства бесконечно дифференцируемых вектор-функций, принимающих значения в произвольном гильбертовом пространстве.

Основные положения, выносимые на защиту. В работе получены следующие основные результаты.

1. Построена алгебра операторов 23, действующих в пространстве бесконечно дифференцируемых вектор-функций со значениями в конечномерном пространстве Н, которая содержит в себе алгебру (б сингулярных интегральных операторов с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, а также регуляризаторы фредгольмовых операторов из б.

2. Для операторов этой алгебры построено символическое исчисление.

3. В случае, когда пространство Н есть множество комплексных чисел, установлены характеристические свойства символа, т.е. необходимые и достаточные условия того, чтобы произвольный элемент алгебры символов являлся символом некоторого оператора рассматриваемой алгебры.

4. Доказано, что фредгольмовость оператора из алгебры 23 равносильна обратимости его символа, а также, что регуляризаторы фредгольмовых операторов из 23 принадлежат 23 .

5. Получены некоторые обобщения на случай бесконечномерного простан-ства Н.

Методы исследования.

В диссертационной работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории функций комплексного переменного, теории пространств Фреше.

Научная новизна и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применения к исследованию операторных уравнений в локально выпуклых функциональных пространствах.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2006 г.), Международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" (2013, 2014 гг.)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[6]. Работы [3] — [4] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ, действовавшего на период публикации.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 117 наименований. Теоремы, леммы и следствия имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Общий объем диссертации - 139 страниц.

Компактность интегрального оператора в пространстве бесконечно дифференцируемых функций

Пусть А является Ф+-оператором. Так как kerA - конечномерное подпространство, оно обладает топологическим дополнением в X , то есть существует замкнутое подпространство Хх а X , такое, что X = ker А + Хх. Так как Хх и imA являются замкнутыми подпространствами пространства X , то они являются пространствами Фреше. Определим оператор Д, действующий из пространства Хх в пространство imA по правилу \х = Ах (для любого хє Хх). Легко видеть, что Д - линейный непрерывный оператор, взаимно однозначно отображающий Хх на imA. Это означает ([79]), что оператор Д обратим и оператор А"1, отображающий пространство imA на Хх, непрерывен. Из определения непрерывности оператора А следует, что для любого п О найдутся число т О и константа сп О, такие, что для всех элементов х є X выполняется неравенство Ах с х . (1.8) и п m Докажем теперь, что для любой последовательности {- } _0 класса Dm(X) последовательность {AJC JJ принадлежит классу Dn(X). Из неравенства (1.8) следует, что для любой последовательности {- } _0 класса Dm(X) последовательность {АХЛИ} ограничена. Допустим, что существует последовательность { }Г_0 класса Dm(X), такая, что {Ах }" содержит сходящуюся подпоследовательность. Не нарушая общности, можно считать, что последовательность {Ах } о сходится.

Представим элементы хк в виде xk = yk + zk, где укє kerA, ztel,. Так как Ахк = Azk = Axzk, то и последовательность {Д } _0 сходится. В силу непрерывности оператора А 1 последовательность {zj.}J_0 сходится к некоторому элементу ZG Xl. Поэтому, в частности, последовательность { } ограничена. Так как последовательность {- } _0 принадлежит Dm(X), то последовательность {- т} ограничена. Но тогда и последовательность { m} ограничена. Поскольку пространство ker А конечномерно, все нормы в этом пространстве эквивалентны. Следовательно, последовательность { }J_0 ограничена в ker А, и из нее можно выделить сходящуюся в топологии пространства X подпоследовательность {ук } . Обозначим через у предел этой последовательности. Из вышесказанного следует, что последовательность [хк ] сходится к элементу у + z, а это противоречит абсолютной некомпактности {- } _0 Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение. Импликация 2 3 очевидна, докажем импликацию 3 = 1. Допустим, что выполнено условие 3 теоремы. Допустим, что dim ker А = со. Тогда пространство ker А относительно т-й нормы является бесконечномерным линейным нормируемым пространством. Тогда ([46]) существует последовательность х єкегА, такая, что xj =1 и x -xj при к її. Очевидно, последовательность {- } _0 принадлежит классу Dm(X), но {Ах } о представляет собой последовательность нулевых элементов и потому сходится. Таким образом, если условие 3 теоремы выполнено, то пространство ker А конечномерно и, следовательно, обладает топологическим дополнением Хх. Пространство Хх, будучи топологическим дополнением, является замкнутым. Определим оператор \, действующий из пространства Хх в пространство X по правилу Дх = Ах (для любого хє X,). Очевидно, ядро оператора Д тривиально, а образ совпадает с образом оператора А. Из построения оператора Aj следует, что для любой последовательности {хк} Qe Dm(X1) последовательность {Д- } _0 принадлежит D0(X).

Докажем замкнутость образа оператора А. Пусть последовательность ук є im Д сходится к элементу у. Докажем, что у є im Д. Выберем последовательность хк элементов пространства Хх, являющихся прообразами элементов ук при отображении Д. Поскольку кегД ={0}, то элементы хк определяются единственным образом. Так как { } _0 не принадлежит D0(X), то и {xkY_Q не принадлежит Dm(X1).

Допустим, что limxj =. Рассмотрим последовательность эк = хк хк Тогда Ак = xJ ук. Так как последовательность ук сходится, последовательность Ак сходится к нулю. Следовательно, последовательность что { kYk-Q не принадлежит классу Dm{Xx). Учитывая, что \%к\ = 1, заключаем, последовательность { }J_0 не является абсолютно некомпактной, то есть, содержит сходящуюся подпоследовательность \Е,к ] . Обозначим ее предел через . Тогда принадлежит пространству Х1 (в силу его замкнутости) и Щт=1. Но А = ]imA k = 0, что противоречит тривиальности ядра оператора Д.

Критерий полуфредгольмовости оператора

Для всех fc -m обозначим bk(t) = ak(t)-ck(t). Заметим, прежде всего, что коэффициент b_m(t) тождественно равен нулю. Рассмотрим ряд ]Г Ък {t ) z . Докажем, что этот ряд удовлетворяет свойствам 1-3 теоремы 2.1.5. к=-т+\ Будем использовать тот факт, что коэффициенты ck(t) удовлетворяют этим свойствам, поскольку они образуют символ оператора из алгебры A.

Очевидно, свойство 1 для коэффициентов Ьк (t) выполняется. Докажем выполнение свойства 2. Пусть в некоторой точке t0 выполняются равенства b_m+1 (t0) = ... = b_1(t0) = 0. Рассмотрим два случая. а. tQ{tl,t2,...,tr}. В этом случае c_m+l(t0) = ... = c_l(t0) = 0. По свойству 2 коэффициенты ск (t) бесконечно дифференцируемы в некоторой окрестности Ul точки t0 для всех teUl ck ( t ) = c{k ) ( t ) . Далее, для любого кє{ -т,...,-і] ak ( t0 ) = 0, следовательно, коэффициенты ak(t) бесконечно дифференцируемы в некоторой окрестности U 2 точки t0 и для всех teU2 справедливо равенство ak ( t ) = 4k ) ( t ) . Но тогда bk ( t ) бесконечно дифференцируемы в окрестности Uf\Ult и для любого teU U, bk ( t ) = ak ( t ) -ck ( t ) = (а(0к) ( t ) - с(0к) ( t ) ) к\ Ф) () к\ b. tQ&{tvt2,...,tr} ak(t)z опре к=-т В этом случае а-т( t0 )tO с-т( t0 ) 0. С помощью ряда ак( t ) zk делим функцию a Za(t) -„( « ) = о +00 Аналогично по рядам ]Г Ьк ( t ) zk и ]Г q (f) z построим функции и к=-т к=-т %с, соответственно. По замечанию 2.1.6 функции ха и Хс являются бесконечно дифференцируемыми в некоторой окрестности U точки t0, причем для всех к О справедливы равенства хТ = к Ч- (fo) и хТ = & ! -„ ( 0) Но тогда в силу очевидного равенства Хь( ) = Ха( )-Хс( ) заключаем, что функция Хъ также бесконечно дифференцируема в U и для всех к О ) (t0) = k\Ьк-т(t0).

Так как b-m+1 (t0) = ... = b-1(t0) = 0, то функция Хъ имеет в точке t0 нуль порядка не меньше т. Поэтому существует бесконечно дифференцируемая в окрестности U функция /?, такая что VteU Хъ() = (f-Ч)Р() Для всех teU\{t0} b0(t)= Zb () =P(t) и b0(t0) = Zb () =P(t0). (t0) m ml 1 ф) к\ Это означает, что функция b0 (t) бесконечно дифференцируема в U. Кроме того, по пункту а. для всех точек teU\{tQ} справедливы равенства bk ( t ) = b( k ) ( t ) . Докажем, что в точке t0 они также имеют место. Действительно, ( + m)! !m! loj ! loj Таким образом, ряд ]Г bk ( t ) zk удовлетворяет свойству 2. k=-m Докажем выполнение свойства 3. Пусть в точке t0 выполнены соотношения Ь_т (t0 ) = = Ь_п_х (t0) = 0,b_n (t0) 0. Снова рассмотрим два случая: а. tQ{tl,t2,...,tr}. Тогда c_m(t0) = ... = c_1(t0) = 0 и для любого к 0 коэффициенты ck(t) бесконечно дифференцируемы в некоторой окрестности Ul точки t0 и для всех tell, ck ( t ) = ct]( t ) . Поэтому при к п Um cKtJ-1 ck_l{t ) = 0 = ck_n ( t0 ) , п о t- t0 t- t0 при к п \imfjCln ( t0 ) n-lck_l{t ) = ]imck_n{t ) = ck_n ( t0 ) . Таким образом, тіп\к,п\ n о lim Cln{tQ)n-lck_l(t) = ck_n{tQ). (2.1.18) По условиям теоремы ak (t0) = 0 при к -п, a_n(t0) 0 и ти{ ,и} n о lim X С - Ч-ЛО -ДО- (2-1.19) Из (2.1.18) и (2.1.19) следует, что коэффициенты bk(t) удовлетворяют в точке t0 требуемому свойству. b. є{ 2,..., } Рассмотрим функцию хъ построенную при доказательстве второго свойства. Она является бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности U точки t0 и Zim n l) (t0) = (m-n-l)\b_n_l(t0) = 0.

Таким образом, функция Хъ имеет в точке t0 нуль порядка не меньше т-п. Следовательно, существует бесконечно дифференцируемая в U функция /?, такая, что ;&(О = ( - оГ " 0(О- Не нарушая общности, считаем, что VteU \{t0] коэффициенты Ъ_т+х,...,Ъ_х равны нулю. Тогда по доказанному второму свойству Ьк (?) = b{0 k ) ( t ) . При t t0 1(0= \L= \тп -( to) Ш (t0) (t0) Докажем теперь, что коэффициенты bk удовлетворяют формулам свойства 3: к-т\ 0/ Л ЬК 0/ \\ О/ Г- V ,) Положим в последнем равенстве k = s + m-n: »,.( .) = Л( - .ГК )Г = ЄГ.("»-") /?" ( .) = (s + rn-и)! і.- , (s + ш-и)! = i/5M(/o) = illm/ffW(() = Illm( (,-,0 )"foo(()f,=llm m ylc:((-(o)""fe,, Итак, коэффициенты ряда J] bk ( t ) zk удовлетворяют тем же свойствам, k=-m+l +00 ту же про ук к=-т+\ что и коэффициенты исходного ряда. Применим к ряду ]Г Ък [t ) zk S цедуру. В результате ее определим некоторый оператор А, = Д (t)Rj 1 и по лучим, что +оо yfc=-m yfc=-m+2 причем коэффициенты ряда ]Г с (О также удовлетворяют свойствам тео yfc=-m+2 ремы 2.1.5. Продолжая этот процесс, построим операторы А1,А2,...,Атє A, такие, что yfc=-m yfc=0 Коэффициенты dk удовлетворяют свойствам 1-3. Но поскольку для каждой точки te Г ряд J]dk ( t ) zk не содержит отличных от нуля коэффициентов к=0 при отрицательных степенях z, то по второму свойству \/t є Г \/к О d,(t) =dik (t). Поэтому этот ряд представляет собой символ оператора ум к\ J к[ О V ) ножения на функцию d0 (t). Таким образом, J]ak{t ) zk-at ( A + A2 + ... + Am ) = at ( d0 ( t )l) , к=-т или Yjak ( t ) zk = at ( Al + A2 + ... + Am + d0 ( t )l) , к=-т что и требовалось доказать. Теорема 2.1.10. Пусть А є A и символ сгДЛ) оператора А обратим в каждой точке t є Г. Тогда существует оператор В є A, такой, что в каждой точке є Г символ сгДі?) оператора 5 удовлетворяет равенству сг (5) = (сг (А)) . Доказательство. Рассмотрим сначала произвольный обратимый элемент из F. Поскольку он не является нулевым, то его можно записать в виде akzk, к=г в котором аг 0. Тогда, очевидно, обратный элемент будет иметь вид ]Г bkzk, к=-г где Ь_ = 0. Обозначим 7,(А) = ak{t ) zk. Из вышесказанного следует, что, если yfc=-m символ оператора А обратим в каждой точке tє Г, то обратный к символу в точке t ряд будет иметь вид ]Г bfe (f) z , в котором b_n (t) 0. Докажем, что су yfc=-r, ществует число г, такое, что для всех t є Г г( г. Предполагая противное, получим, что существует последовательность точек ЁГ, такая, что rt - +оо при к - С. Поскольку Ь_г ( ) 0, то я_т (tk) =... = ar _, (tk) = 0. В частности, для всех номеров к, больших некоторого числа к0 выполняется равенство a0(tk) = 0. Но в силу леммы 2.1.7 это противоречит обратимости символа оператора А в каждой точке.

Таким образом, обратный к символу оператора А ряд во всех точках t є Г имеет вид E () z , (2л-2) yfc=-r в котором г не зависит от t. Докажем теперь требуемое утверждение. В силу теоремы 2.1.9 достаточно доказать, что коэффициенты ряда (2.1.20) удовлетворяют свойствам теоремы 2.1.5. Допустим, что существует отрицательное целое число к, такое, что Ьк (?) отлично от нуля на бесконечном множестве точек. В тех точках t, в которых bk(t) отлично от нуля, имеем a-m(t) = ... = a0 В частности, получаем, что a0(t) обращается в нуль на бесконечном множестве точек, а это, согласно лемме 2.1.7, противоречит обратимости символа оператора А в каждой точке. Следовательно, для всех к 0 Ък (t) отлично от нуля лишь в конечном числе точек. Докажем, что коэффициенты Ък (t) удовлетворяют второму свойству теоремы 2.1.5. Пусть в точке 0єГ выполнены равенства Ь-г (t0 ) = = Ь-х (t0) = 0. Рассмотрим два случая. а. b0(t0) 0. Тогда a-m(t0) = ... = a-l(t0) = 0, a0(t0) =Ц 0. Следовательно, функ 0 ( 0 ) ция a0(t) является бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности U точки t0, и для всех к 0 и всех точек t є U выполняется равенство a,( t ) =a( k ) ( t ) . Заметим, что для всех teU выполнено условие а-т (t) =... = а-х (t) = 0 (если бы оно не выполнялось в некоторой точке tє U , то по свойству 3 в этой точке функция a0(t) не являлась бы дифференцируемой).

Фредгольмовость сингулярных интегральных операторов в пространстве С (Г),(НтЯ

Допустим, что dimkerC0(r0) /. Тогда существуют элементы vvv2e кегС0(?0), такие, что система vvv2,uv...,ul_l линейно независима. Если (Vvek) = (v2,ek) = 0, то C(t0)vt =C0(t0)vt = 0, и мы получим в kerC(r0) линейно независимую систему vvv2,u1,...,ul_1, состоящую из 1 + 1 элемента. Поэтому либо (vl,ek) 0, либо (v2,ek) 0. Пусть, для определенности, (v2,ek) 0. Рассмот {vvek ) рим элемент v3 =Vj -j v2, который принадлежит пространству kerC0(?0) и (v3,ek) = 0. Следовательно, он также принадлежит пространству kerC(?0) и его можно представить в виде линейной комбинации элементов XQ, ,..., : i-i v3 =ax0 + ajuj. Умножая последнее равенство скалярно на ек, получим, что а(х0,ек) = 0, i-i откуда а = 0. Таким образом, v3 = Yaaiui или (vi L V, Vo 2 л = (V2 ek) 2 7=1 7 7 Последнее равенство противоречит линейной независимости системы vvv2,u1,...,ul_1. Лемма доказана. Заметим, что при t t0 обратимость операторов C(t) и C0(t) равносильна. Кроме того, оператор Dkt (t)T 1 является Ф - оператором с регуляризато-ром из алгебры Aя. Действительно, его регуляризатор имеет вид T0Rk , где для любого j к Rk o( xJ{t ) ej ) = xJ{t ) ej и Rkto( xk ( t ) ek ) = ((Rtoxk) ( t ) )er Из теоремы 2.2.2 следует, что символ (Jt(Dkk(t)T 1) обратим, поэтому обратимость символов ак (c(t)l) и ак (C0(t)l) также равносильна.

Теорема 2.2.5. Если символ оператора C(t)l обратим в любой точке te Г, то этот оператор является фредгольмовым в пространстве С# (Г) с регу-ляризатором из алгебры Aя. Доказательство. Допустим, что оператор C(t)l не является фредгольмовым. Тогда существует точка t0 є Г, такая, что оператор C(t0) необратим Н . (В противном случае имеем обратимый в С (Г) оператор). Обозначим Мс ={te F\C(t) необратим}. Если множество Мс конечно, то существует точка t0eMc, в которой разложение, приведенное в лемме 2.2.3, можно применять неограниченное число раз. Действительно, если такой точки нет, то последовательно применяя разложение из леммы 2.2.3 в каждой из точек множества Мс (конечное число раз в каждой из точек), получим, что оператор C(t)l представим в виде произведения оператора умножения на обратимую всюду оператор-функцию и конечного числа операторов вида Dkt (t)Tr1. Отсюда будет следовать, что оператор C(t)l является Ф - оператором в пространстве С (Г). Если множество Мс бесконечно, выберем предельную точку t0 этого множества. В этой точке можно применять разложение леммы 2.2.3 неограниченное число раз. (В противном случае мы построим разложение C ( t ) = C ( t )Y\Dk tTJl, в котором оператор C ( t0 ) обратим. Из этого следует, что оператор C(t) обратим в некоторой выколотой окрестности точки t0, а это противоречит тому, что t0 - предельная точка множества Мс.)

Итак, если оператор C(t)l не является Ф - оператором, то существует точка 0ЁГ, в которой можно применять разложение, приведенное в лем 86 ме 2.2.3, неограниченное число раз. Пусть {е.} - произвольный ортонормиро ванный базис в пространстве Н . Выберем элемент х0є kerC(r0)\{0} и зафиксируем индекс к, такой, что (х0,ек) 0. Построим разложение, используя эле мент x0 : C(t) = C0(t)Dkt(t)T Обозначим / = dimkerC(r0). Дополним элемент х0 до базиса в kerC(r0). При этом, как и раньше, выберем такой базис XQ, ,..., , в котором (ul,ek) = ... = (ul_l,ek) = 0. Заметим, что kerC0(r0) {0}, так как на каждом шаге разложения, приведенного в лемме 2.2.3, мы будем получать необратимый оператор. Возможны два варианта: 1. Найдется элемент є kerC0(t0):(xvek) 0. В этом случае, используя элемент хх, строим разложение C(t) = Cl(t)Dkt(t)T;lDkt(t)T-1 I k,t0 1 k,t0 0 2. Любой элемент хє кегС0(?0) ортогонален элементу ек. В этом случае C(t0)x = C0(t0)x = 0, то есть хєкегС(?0). Разложим элемент х по i-i базису XQ, ,..., : x = ax0 + jajuj. Умножая последнее равенство 7=1 скалярно на ек, получим 0 = а(х0,ек), или а = 0. Таким образом, произвольный элемент хє kerC0(r0) представим в виде линейной комби i-i нации х = Y,VjUj, следовательно dimker С0 (t0) = / -1. В этом случае 7=1 вместо оператора C(t)l будем рассматривать оператор C0(t)l и к нему применять все следующие разложения. При этом переходе выполняются свойства: a) (Tk(C(t)l) - обратим тогда и только тогда, когда сг (С0( )/) - об-ратим. b) Оператор C(t)l фредгольмов тогда и только тогда, когда C0(t)l фредгольмов. c) К оператор-функции C0(t) в точке t0 также можно применять разложение, приведенное в лемме 2.2.3, неограниченное число раз. За конечное число шагов мы перейдем к рассмотрению оператора C(t)l со следующим свойством: для любого положительного числа т можно построить разложение C ( t ) = Cm ( t ) Dkt ( t ) T?Dk, {t ) T m\...DKt ( t ) T -і (2.2.8) в котором существует хє kerCm(t0), такой, что (х,ек) 0. При этом обратимость символа оператора C(t)l в каждой точке Г эквивалентна обратимости в той же точке символа оператора C(t)l, а фредгольмовость оператора C(t)l эквивалентна фредгольмовости оператора C(t)l. Определим элементы v. є Я :

Докажем достаточность. Представим оператор W в виде W = CP + DQ,C,DEAH. Обратимость символа оператора Wв каждой точке влечет за собой обратимость символов операторов С и D в каждой точке. Но тогда по замечанию 2.2.6 операторы С и D фредгольмовы с регуляризаторами из алгебры Aя. Пусть Rc и RD - регуляризаторы операторов С и D соответственно (Rc,RDEAH). Тогда непосредственной подстановкой устанавливается, что оператор Rw = RCP + RDQ є Bн является регуляризатором оператора W. Теорема доказана.

Условие нетривиальности ядра символа оператора умножения

В рассмотренных ранее скалярном и конечномерном случаях гильбертова пространства Н фредгольмовость оператора рассматриваемой алгебры связывалась с обратимостью символа в каждой точке окружности Г. При этом и в том, и в том случае обратимость символа тривиальным образом означала какое-то другое, более простое свойство символа как формального степенного ряда. Так, в скалярном случае обратимость символа эквивалентна его нетривиальности, это позволило в каждой точке окружности Г построить обратный к символу элемент поля $, доказать, что построенный таким образом элемент также является символом некоторого оператора из рассматриваемой алгебры, а сам этот оператор является регуляризатором исходного. Обратное утверждение (ес 107 ли оператор фредгольмов, то его символ обратим) доказывалось при этом от противного. Необратимость (тривиальность) символа оператора в некоторой точке означала, что для всех функций с носителями, расположенными в некоторой окрестности этой точки оператор представлял собой (с точностью до компактного слагаемого) оператор умножения на бесконечно дифференцируемую функцию с нулем бесконечного порядка в рассматриваемой точке. Это позволило построить абсолютно некомпактную последовательность, которую оператор переводил в сходящуюся к нулю последовательность и получить противоречие с теоремой 1.6.

В случае конечномерного пространства H при доказательстве фредголь-мовости оператора умножения на оператор-функцию с обратимым символом обратный элемент не строится. Доказательство того, что символ фредгольмово-го оператора обратим в каждой точке, отличается от скалярного случая только способом подбора последовательности функций, противоречащей теореме 1.6. Здесь используется обстоятельство, что в каждой конкретной точке окружности символ – суть линейный оператор, действующий в конечномерном пространстве, и, следовательно, его необратимость эквивалентна нетривиальности его ядра. Выбирается нетривиальный элемент из этого ядра и строится последовательность функций, производные соответствующего порядка которых (с точностью до скалярного коэффициента) совпадают с коэффициентами этого ряда, позволяющая получить требуемое утверждение.

Как отмечалось ранее, если пространство H бесконечномерно, то многие из использовавшихся в предыдущих главах условий не выполняются. Во-первых, необратимость линейного оператора не означает нетривиальность его ядра. Это явилось одной из причин, по которой рассматриваются операторы умножения вида I +K (t), где K (t) - компактнозначная оператор-функция. Для таких операторов необратимость эквивалентна нетривиальности ядра и, что не менее важно, конечномерности этого ядра. Во-вторых, символ в каждой точке окружности представляет собой линейный оператор, действующий в бесконечномерном линейном пространстве, не наделенном никакой топологией.

Целью данного параграфа является получение условий, при которых символ в некоторой точке окружности имеет нетривиальное ядро. А именно, доказывается следующая теорема.

Обозначим через Lm линейную оболочку, натянутую на элементы u0,uv...,um. Из равенств (3.2.2) следует, что Lm является инвариантным подпространством каждого из операторов P0,Pv...,Pm,Q0,Qv...,Qm. Перейдем к построению искомого степенного ряда. Рассмотрим уравнение (3.2.1) при т = 0. Требуется подобрать элемент х0 так, чтобы формальный степенной ряд (Р0 + Q0z)x0 имел нулевой коэффициент при z Очевидно, для этого достаточно положить х0=и0. Пусть т = \. Требуется подобрать элемент хх таким, чтобы формальный степенной ряд (P1 + 21z)(P0 + eoz)(x0+x1z) имел нулевой коэффициент при z. При этом элемент х0 уже определен на предыдущем этапе: х0=и0. Коэффициент при z равен P1P0x1 + P1Q0u0 + Q1P0u0 = Р1Р0х1 + Р1и0. Будем искать элемент х1 в виде х1 = ДМ1. Получим ДВДм1 + Р1и0 = Ді 1 (щ - а1 0и0) + Р1и0 = -Дц 0Р1и0 + Р1и0. Очевидно, достаточно положить х1 = Ц"0м1 . Перед рассмотрением случая произвольного числа т исследуем случай т = 2. Имеем ряд (Р2 + 62z)( + Q1z)(P0 + Q0z)(x0 + x1z + x2z2). Выпишем коэффициент при z2: Р2Р1Р0х2 + Р2 [P1Q0X1 + Q1P0x1 + Q1Q0x0] + Q2 [P1P0X1 + P1Q0x0 + Q1P0x0] По построению элементов х0 и х1 последнее слагаемое в этом выражении равно нулю. Кроме того, по построению x0,jq є Ц. Следовательно, элемент У1 = 1б0Л + QAx1 + б1б0 0 є Ц . Таким образом, имеем уравнение P2[P1P0x2-y1] = 0. (3.2.3) Можно найти явное выражение элемента у1, но докажем, что последнее уравнение разрешимо для любого элемента у1 1л. Будем искать х2 в виде линейной комбинации х2 = Дц + Ди2. Получаем: Р2 [РЛХ2 У1] = Р2 [Р1 ( АМ1 + P2U2 - Д«1,0«0 - А«2,0М0 ) - У1 _ = = Р2 [2"2 - 1 1,0"0 - 2 2,0М0 - 2 2,11 + 1 1,0 0,11 + 2 2,0 0,11 -1 ] = = Р2 [(-ДЦ1,0 - Д2ОГ2,0 )И0 + (ДЦ1,0 0,1 + Д К,0Ц0,1 - «2,1 ))"1 - У1 Представим в виде у1 = 5jw0 + 82и1. Легко видеть, что для существования элемента х2, удовлетворяющего уравнению (3.2.3), достаточно разрешимости системы линейных уравнений